Управление теплотехнологическим процессом с учетом термических напряжений Текст научной статьи по специальности «Математика»

АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 536.62.50

УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ С УЧЕТОМ ТЕРМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Канд. техн. наук, доц. ВОРОНОВА Н. П.

Белорусский национальный технический университет

Бурное развитие науки и техники приводит к тому, что технологические процессы описываются математическими моделями не только обыкновенными дифференциальными уравнениями (системами с сосредоточенными параметрами [1]), но и уравнениями в частных производных (системами с распределенными параметрами [2]). Системы автоматического управления объектами с сосредоточенными параметрам, и особенно линейными объектами, уже относительно хорошо изучены.

Однако в большинстве технических приложений суть объектов управления такова, что описание их небольшим конечным набором сосредоточенных переменных не адекватно ни существу процесса, ни той цели управления, которая поставлена применительно к объекту.

Разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами в общем обусловливается тем, что [3]:

• состояние объекта описывается функциями нескольких независимых переменных;

• движение объекта описывается дифференциальными уравнениями с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями в частных и полных производных;

• управляющие воздействия на объект могут носить самый разнообразный характер. Они могут описываться функциями одной независимой переменной и многих переменных;

• на управляющие воздействия и функции состояния объекта могут накладываться дополнительные ограничения типа равенств и неравенств;

• техническая реализация управляющих сис-

тем связана с большими трудностями и проблемами новой технологии.

На основании сказанного можно сделать вывод о важности проблемы оптимальности, управляемости и наблюдаемости. Ряд работ посвящен важной задаче экономичного нагрева в различных технологических процессах [4-6]. Разработок, посвященных анализу процессов управления теплотехническими процессами с учетом термонапряжений, недостаточно.

В [7] рассматривается нагрев конструкции и исследуются термические напряжения, которые в ней возникают. При нагреве термически массивных тел возникают внутренние температурные напряжения, которые могут ограничивать скорость нагрева, особенно в начальной низкотемпературной стадии. Процесс нагрева должен проводиться таким образом, чтобы термонапряжения не превышали максимально допустимые значения с точки зрения появления различных микродефектов, а также возможности разрушения тела. В частности, при решении задач оптимального по быстродействию нагрева термически массивных тел необходимо учитывать не только управляющее воздействие, т. е. температуру греющей среды, но и ограничения на фазовые координаты (термонапряжения). Решение задачи оптимального по быстродействию нагрева термически массивного тела с учетом ограничений на термонапряжения гораздо сложнее, чем без учета этих ограничений [2].

Применяя метод, позволяющий ограничения на фазовые координаты заменить ограничениями на управляющее воздействие, упрощается выбор допустимой скорости нагрева, в частности при решении задач оптимального управления.

Рассмотрим теплотехнический процесс, описываемый системой:

du(l, ф) _ д2u(l, ф); дф

dl2

ди

~dl

_ b[Q(Ф)-u(1, ф)];

l _i

(i)

_ Ь[2(ф)-u(- i, ф)]; u(l; 0)_ v;

l _-i

-(i-Х)й Q(Ф)< i + X,

at x

где ф _ — - безразмерное время; l _ — - без-

размерная толщина (-1 < I < 1); Ь = — - крите-

X

рий Био; V - безразмерная начальная диффузия; X - безразмерная температура (критерий несимметричности нагрева, |% |<1); и(1, Ф) - температура; б(ф) - температура греющей среды.

Система (1) описывает процесс нагрева пластины толщиной 2s, для которой а, X, а - соответственно коэффициенты температуропроводности, теплопроводности материала пластины и теплообмена.

Распределение температурных напряжений в пластине согласно [7] приводит к максимальным растягивающим отах и сжимающим отт напряжениям в виде

а„

вЕ s ди

i-© З дx

где f (ц) - функция от коэффициента несим-

s + c

метричности нагрева, ц _

2s

c _ const, ко-

торая при нагреве постоянным тепловым потоком в регулярном режиме дает параболическое распределение температуры по толщине пластины

и

(x, t) _ c(t) + ci (x + c)2,

где c(t) - линейная функция времени;

c1 = const; в - коэффициент линейного расширения; Е - модуль упругости.

Для пластины функция f (ц) определяется следующим образом [2]:

/(ц)_

З(ц-О + Т1, Ц< i;

Г1

З--, ц>i ц

для am

З-------, Ц< 0,5;

ц

- - З, ц> 0,5. Ц

- для am

Если при нагреве наиболее опасны растягивающие напряжения, то введем ограничение

^ <• a < a

max max

где атах - предельно допустимое растягивающее напряжение.

На основании этого ограничения можно определить максимально допустимое значение теплового потока и, в свою очередь, по граничному условию задачи (1) - ограничение на температуру греющей среды

Q(t)_ u(s, t)

+ -

as

f (ц):

(2)

3X(1 -e)amax

где cm = — ----- ---- - коэффициент, завися-

PE

щий только от материала нагреваемого тела.

В регулярном режиме нагрева можно через внешний теплообмен судить о температурных напряжениях в пластине.

Практическое применение формулы (2) позволяет при ограничении на температуру греющей среды

б(ц)< A = const (3)

в начальной стали нагрева, когда растягивающие термонапряжения не достигли максимально допустимой величины, ограничиться только ими. Начиная с момента времени t1, когда

cmax(t) < , необходимо, кроме ограничения

(3), учитывать и ограничение (2). Момент времени t1 определяется из условия

где Лип

максимально допустимый перепад

температур по толщине пластины с точки зре-

s

s

c

m

x_s

ния допустимых термонапряжений. Величину Литах можно найти по формуле

* _ $Е Литах I(^)

1 -© 3

Если тт и(х, t) > 5 ; - 5 < х < 5, где 5 - температура, при которой материал имеет достаточную пластичность для погашения термонапряжений, то можно учитывать только ограничения (3).

Момент времени t2, когда ограничение (3) теряет силу, может быть определен по выражению

и (5 t2 )=5 + Литах.

Следовательно, для выполнения ограничений на внутренние термонапряжения стах при использовании соотношения (3) необходимо знать температуру поверхности пластины и (5, t) из системы (1) [6]. Тогда определяются моменты времени t1 и ^, между которыми должно быть выполнено ограничение (3), использующее также текущее значение температуры поверхности и (5, t); t1 < t < t2.

Рассмотрим численную реализацию данной задачи на примере решения уравнения

1 д2и

—т- = -а

С2 ді

д4 и дх '

0 < х < Ь ; 0 < і< Т

(4)

где и - величина уклонения от стационарного положения; с, а - коэффициенты, характеризующие состояние объекта в момент времени t с координатой х; Т - время процесса.

Для того чтобы полностью определить существо процесса, необходимо задать начальные и граничные условия. В качестве начальных условий возьмем начальное уклонение и начальную скорость:

и (х,0) =1 (х); ^ = g (х). дґ

(5)

Граничные условия определяют режим изменений на концах объекта:

д и

(0, ґ) = 0; Ц- (0, ґ) = 0; и(Ь, ґ) = 0; Ц- (Ь, ґ) = 0.

дх

дх2

Решение задачи удобнее проводить с помощью безразмерных переменных. Произведем

замену х ^ Х-ГЬ ; t ^ — t, тогда решение про-

с

изводится на отрезке [0; 1] и уравнение (4) примет вид

д 2и д4и

дґ2

дх 4

Решение задачи (4)-(6) осуществим методом сеток, для этого введем две вспомогательные функции и(х, t) и ю(х, t) по формулам:

ди

и = и ю = - 2 .

ді ^--2

д 2и дх2

Уравнение (4) заменяется системой урав-

нений:

ди д ю

дґ дх

дю д2 и

(7)

дґ дх

2

Дополним систему (7) начальными и граничными условиями:

и(х,0)= g (х); ю(х,0) = / "(х); (8)

и(0, ґ )= 0; ю(0, ґ) = 0; и(і, ґ) = 0; ю(1, ґ)= 0. (9)

Если задача (7)-(9) решена, то решение задачи (4)-(6) находится по формуле

т

и(х,ґ) = I(х) + |и(х,ґ)іґ. (10)

0

Частные производные по х будем аппроксимировать их полусуммой центральных разностных производных на слоях ] и ] + 1:

д2 и 1

и]+1 - 2и/+1 + и/++/ , иІ-1 - 2и/ + и/+1

дх 2

+

Л

д2ю = 1 Гюу-і 2ю/ +ю/+1 . ю/-1 - 2ю/ + ю/+^ дх2 = 2 +

В частности, получаем систему (7) в разностном виде:

2

2

п

п

и

и7+1 - и7 = (ю/_+11 - 2ю/+1 + ю/++11)+ Юи - 2ю/ + ю/+1);

т

2Ь1

ю7+1 - ю = (и1-+11 - 2и1+1 + и1++11)+ (Чч- 2и1 + и1+1)

т

2Л2

(11)

Система (11) относится к классу неявных и аппроксимирует решение исходной задачи с

точностью о(т2 + Ь). Она устойчива при любых соотношениях между т и И.

Для решения системы (11) рассмотрим вектор

2/+1 =

Тогда система примет вид

- л1г/:+ + В2І+1 - с^1 = д., г = 1, п -1, (12)

где

(

А = С =

о —— •

О 2А2’

Л

2Ь‘

2О;

(

В =

О ——;

О 2Л2’

Л

2Ь-

2 О;

(

Д =

иі- 2^2 (ю1-1- 2ю1 + Ю1+1)

юі+И2 (и1-1- 2и1+и1+1'

л

Из начальных условий определяется вектор 2® на нулевом временном слое. Решив систему (12), получим значение векторов 2\, а по формулам (10) - значения функции и—. Продвигаясь на второй временной слой и далее, получим решение задачи на всем промежутке [0; Т].

Решение системы (12) осуществляется методом матричной прогонки. Сначала определяется вспомогательный набор двумерных матриц Ег и векторов по рекуррентным формулам:

Ео = о, ^ = 0;

Е =(В - с.е. 1 )-1 А;

21:— = Е2!+1 + Ъ , г = п -1; п - 2,..., 1.

Описанный алгоритм решения задачи реализован специальной программой.

Для системы (1) поставим задачу найти управление, удовлетворяющее системе, которое обеспечило бы минимальное время ф0 выполнения равенства и(1, ф0) = 0 для всех -1 < I < 1.

Эта задача решается при помощи метода моментов [1]. Решение конечномерной проблемы моментов сведено к определению чисел ©1, 02, ..., ©ы, ф0, где ©г - точка переключения Q(ф>) из системы к трансцендентных уравнений с к неизвестными. Для к = 2 эта система имеет вид

2вц‘в‘ + (х - 1>ц2ф0 = 1 + х + V, г = 1, 2,

где числа цг, г = 1, 2 являются различными действительными положительными корнями характеристического уравнения

1

-ц = ^ ц.

Ь

При решении задачи о нагреве функция и(ф) на отрезке [0; ©!] должна принимать значения 1 + х, а следовательно, на отрезке [©1; ф0] она имеет значение х - 1.

Зададим начальное управление Q(ф в интервале 0' < ф < 0", где 0 < 0' < 0" < 01. Благодаря правильному выбору этого управления можно выполнить ограничения на термонапряжения. В этом случае оптимальное управление существует и величины ©1 и ф0 определяются из системы уравнений:

2ец'01 + (х - 1>ц?ф0 = V + (1 + х)ец'0 " - ц25, г = 1, 2,

где

© '

©"

•Я = | (1 + х)ец,2ф<аф + | б(ф)ец,2ф dф.

0 0 '

Решение данной системы получим из соотношений:

(г. Ц2©

2ец1©1 -(1 + х + V)І _ ( 2еЦг©1 -(1 + х + V 2)

1 -х

1-х

Ъ =(В - СЕ-1 )-1 (д. - СЪ-1), г = 1, 2, ..., п -1.

Далее находятся искомые величины

„0 = -Ы ^©'-^ + х + у1)

Ц1

1 - х

Т

Т

где V; = V + (1 + х)(ец0 - ец 0 )- ц21б(ф)ец фdф,

0'

г = 1, 2.

Если принудительное управление является линейной функцией, т. е. б(ф) = d + £ф, 0 '<ф<0 ", то значения ©1 и ф0 определяются из соотношения

і ^2< у,=У + е1

- е

©"

1+х-Л-ё

(

( О ©"- -V

1+х-Л-ё

©" Т

1/ У

В Ы В О Д

Таким образом, используя прием для замены ограничения на фазовую координату ограничением на управляющее воздействие, приходим к тому, что метод решения задачи оптимального по быстродействию нагрева термически массивного тела с учетом ограничений на термонапряжения принципиально не отли-

чается от метода решения той же задачи без учета ограничений на термонапряжения.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления / В. Г. Болтянский. - М.: Наука, 1966. - 208 с.

2. Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

3. Бутковский, А. Г. Проблемы финитного управления / А. Г. Бутковский. - М.: Энергия, 1972. - 244 с.

4. Андреев, Ю. Н. О приближенном решении задачи нагрева стали с минимальным обезуглероживанием / Ю. Н. Андреев // ИФЖ. - 1968. - № 2. - С. 21-23.

5. Воронова, Н. П. Об одном оптимальном управлении процессом сушки / Н. П. Воронова, Н. И. Березовский // Литье и металлургия. - 1998. - № 2. - С. 42-46.

6. Воронова, Н. П. Разработка оптимального по времени режима работы печи садочного типа / Н. П. Воронова, Р. В. Михнова // Энергетика. (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 1996. - № 1-2. -С. 72-75.

7. Гетвуд, Б. Е. Температурные напряжения / Б. Е. Гет-вуд. - М.: Наука, 1969. - 288 с.

Поступила 24.04.2006

УДК 624.078.5

опорный узел треугольной деревянной фермы НА ВКЛЕЕННЫХ СТЕРЖНЯХ

Канд. техн. наук, доц. ОКОВИТЫЙ А. В.

Белорусский национальный технический университет

При изготовлении строительных конструкций с дощатоклееными элементами все большее распространение получают соединения на вклеенных арматурных стержнях, наиболее известные из которых: монтажные стыки элементов конструкций большой длины (арок, рам), узлы опирания стоек рам на фундаменты, опорные узлы ферм, а также усиление отдельных участков конструкций при действии в них значительных перерезывающих усилий [1, 2].

Соединения на вклеенных стержнях отличаются компактностью конструктивных решений. Стыковые соединения не имеют ограничений по величине действующих в стыкуемых элементах усилий. При конструировании узловых соединений, в частности опорных узлов ферм, имеющих размеры контактных площадок, ограниченных размерами поперечных сечений поясных элементов, из-за необходимости соблюдения требований условий расстановки и