АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 536.62.50
УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ С УЧЕТОМ ТЕРМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Канд. техн. наук, доц. ВОРОНОВА Н. П.
Белорусский национальный технический университет
Бурное развитие науки и техники приводит к тому, что технологические процессы описываются математическими моделями не только обыкновенными дифференциальными уравнениями (системами с сосредоточенными параметрами [1]), но и уравнениями в частных производных (системами с распределенными параметрами [2]). Системы автоматического управления объектами с сосредоточенными параметрам, и особенно линейными объектами, уже относительно хорошо изучены.
Однако в большинстве технических приложений суть объектов управления такова, что описание их небольшим конечным набором сосредоточенных переменных не адекватно ни существу процесса, ни той цели управления, которая поставлена применительно к объекту.
Разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами в общем обусловливается тем, что [3]:
• состояние объекта описывается функциями нескольких независимых переменных;
• движение объекта описывается дифференциальными уравнениями с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями в частных и полных производных;
• управляющие воздействия на объект могут носить самый разнообразный характер. Они могут описываться функциями одной независимой переменной и многих переменных;
• на управляющие воздействия и функции состояния объекта могут накладываться дополнительные ограничения типа равенств и неравенств;
• техническая реализация управляющих сис-
тем связана с большими трудностями и проблемами новой технологии.
На основании сказанного можно сделать вывод о важности проблемы оптимальности, управляемости и наблюдаемости. Ряд работ посвящен важной задаче экономичного нагрева в различных технологических процессах [4-6]. Разработок, посвященных анализу процессов управления теплотехническими процессами с учетом термонапряжений, недостаточно.
В [7] рассматривается нагрев конструкции и исследуются термические напряжения, которые в ней возникают. При нагреве термически массивных тел возникают внутренние температурные напряжения, которые могут ограничивать скорость нагрева, особенно в начальной низкотемпературной стадии. Процесс нагрева должен проводиться таким образом, чтобы термонапряжения не превышали максимально допустимые значения с точки зрения появления различных микродефектов, а также возможности разрушения тела. В частности, при решении задач оптимального по быстродействию нагрева термически массивных тел необходимо учитывать не только управляющее воздействие, т. е. температуру греющей среды, но и ограничения на фазовые координаты (термонапряжения). Решение задачи оптимального по быстродействию нагрева термически массивного тела с учетом ограничений на термонапряжения гораздо сложнее, чем без учета этих ограничений [2].
Применяя метод, позволяющий ограничения на фазовые координаты заменить ограничениями на управляющее воздействие, упрощается выбор допустимой скорости нагрева, в частности при решении задач оптимального управления.
Рассмотрим теплотехнический процесс, описываемый системой:
du(l, ф) _ д2u(l, ф); дф
dl2
ди
~dl
_ b[Q(Ф)-u(1, ф)];
l _i
(i)
_ Ь[2(ф)-u(- i, ф)]; u(l; 0)_ v;
l _-i
-(i-Х)й Q(Ф)< i + X,
at x
где ф _ — - безразмерное время; l _ — - без-
размерная толщина (-1 < I < 1); Ь = — - крите-
X
рий Био; V - безразмерная начальная диффузия; X - безразмерная температура (критерий несимметричности нагрева, |% |<1); и(1, Ф) - температура; б(ф) - температура греющей среды.
Система (1) описывает процесс нагрева пластины толщиной 2s, для которой а, X, а - соответственно коэффициенты температуропроводности, теплопроводности материала пластины и теплообмена.
Распределение температурных напряжений в пластине согласно [7] приводит к максимальным растягивающим отах и сжимающим отт напряжениям в виде
а„
вЕ s ди
i-© З дx
где f (ц) - функция от коэффициента несим-
s + c
метричности нагрева, ц _
2s
c _ const, ко-
торая при нагреве постоянным тепловым потоком в регулярном режиме дает параболическое распределение температуры по толщине пластины
и
(x, t) _ c(t) + ci (x + c)2,
где c(t) - линейная функция времени;
c1 = const; в - коэффициент линейного расширения; Е - модуль упругости.
Для пластины функция f (ц) определяется следующим образом [2]:
/(ц)_
З(ц-О + Т1, Ц< i;
Г1
З--, ц>i ц
для am
З-------, Ц< 0,5;
ц
- - З, ц> 0,5. Ц
- для am
Если при нагреве наиболее опасны растягивающие напряжения, то введем ограничение
^ <• a < a
max max
где атах - предельно допустимое растягивающее напряжение.
На основании этого ограничения можно определить максимально допустимое значение теплового потока и, в свою очередь, по граничному условию задачи (1) - ограничение на температуру греющей среды
Q(t)_ u(s, t)
+ -
as
f (ц):
(2)
3X(1 -e)amax
где cm = — ----- ---- - коэффициент, завися-
PE
щий только от материала нагреваемого тела.
В регулярном режиме нагрева можно через внешний теплообмен судить о температурных напряжениях в пластине.
Практическое применение формулы (2) позволяет при ограничении на температуру греющей среды
б(ц)< A = const (3)
в начальной стали нагрева, когда растягивающие термонапряжения не достигли максимально допустимой величины, ограничиться только ими. Начиная с момента времени t1, когда
cmax(t) < , необходимо, кроме ограничения
(3), учитывать и ограничение (2). Момент времени t1 определяется из условия
где Лип
максимально допустимый перепад
температур по толщине пластины с точки зре-
s
s
c
m
x_s
ния допустимых термонапряжений. Величину Литах можно найти по формуле
* _ $Е Литах I(^)
1 -© 3
Если тт и(х, t) > 5 ; - 5 < х < 5, где 5 - температура, при которой материал имеет достаточную пластичность для погашения термонапряжений, то можно учитывать только ограничения (3).
Момент времени t2, когда ограничение (3) теряет силу, может быть определен по выражению
и (5 t2 )=5 + Литах.
Следовательно, для выполнения ограничений на внутренние термонапряжения стах при использовании соотношения (3) необходимо знать температуру поверхности пластины и (5, t) из системы (1) [6]. Тогда определяются моменты времени t1 и ^, между которыми должно быть выполнено ограничение (3), использующее также текущее значение температуры поверхности и (5, t); t1 < t < t2.
Рассмотрим численную реализацию данной задачи на примере решения уравнения
1 д2и
—т- = -а
С2 ді
д4 и дх '
0 < х < Ь ; 0 < і< Т
(4)
где и - величина уклонения от стационарного положения; с, а - коэффициенты, характеризующие состояние объекта в момент времени t с координатой х; Т - время процесса.
Для того чтобы полностью определить существо процесса, необходимо задать начальные и граничные условия. В качестве начальных условий возьмем начальное уклонение и начальную скорость:
и (х,0) =1 (х); ^ = g (х). дґ
(5)
Граничные условия определяют режим изменений на концах объекта:
д и
(0, ґ) = 0; Ц- (0, ґ) = 0; и(Ь, ґ) = 0; Ц- (Ь, ґ) = 0.
дх
дх2
Решение задачи удобнее проводить с помощью безразмерных переменных. Произведем
замену х ^ Х-ГЬ ; t ^ — t, тогда решение про-
с
изводится на отрезке [0; 1] и уравнение (4) примет вид
д 2и д4и
дґ2
дх 4
Решение задачи (4)-(6) осуществим методом сеток, для этого введем две вспомогательные функции и(х, t) и ю(х, t) по формулам:
ди
и = и ю = - 2 .
ді ^--2
д 2и дх2
Уравнение (4) заменяется системой урав-
нений:
ди д ю
дґ дх
дю д2 и
(7)
дґ дх
2
Дополним систему (7) начальными и граничными условиями:
и(х,0)= g (х); ю(х,0) = / "(х); (8)
и(0, ґ )= 0; ю(0, ґ) = 0; и(і, ґ) = 0; ю(1, ґ)= 0. (9)
Если задача (7)-(9) решена, то решение задачи (4)-(6) находится по формуле
т
и(х,ґ) = I(х) + |и(х,ґ)іґ. (10)
0
Частные производные по х будем аппроксимировать их полусуммой центральных разностных производных на слоях ] и ] + 1:
д2 и 1
и]+1 - 2и/+1 + и/++/ , иІ-1 - 2и/ + и/+1
дх 2
+
Л
д2ю = 1 Гюу-і 2ю/ +ю/+1 . ю/-1 - 2ю/ + ю/+^ дх2 = 2 +
В частности, получаем систему (7) в разностном виде:
2
2
п
п
и
и7+1 - и7 = (ю/_+11 - 2ю/+1 + ю/++11)+ Юи - 2ю/ + ю/+1);
т
2Ь1
ю7+1 - ю = (и1-+11 - 2и1+1 + и1++11)+ (Чч- 2и1 + и1+1)
т
2Л2
(11)
Система (11) относится к классу неявных и аппроксимирует решение исходной задачи с
точностью о(т2 + Ь). Она устойчива при любых соотношениях между т и И.
Для решения системы (11) рассмотрим вектор
2/+1 =
Тогда система примет вид
- л1г/:+ + В2І+1 - с^1 = д., г = 1, п -1, (12)
где
(
А = С =
о —— •
О 2А2’
Л
2Ь‘
2О;
(
В =
О ——;
О 2Л2’
Л
2Ь-
2 О;
(
Д =
иі- 2^2 (ю1-1- 2ю1 + Ю1+1)
юі+И2 (и1-1- 2и1+и1+1'
л
Из начальных условий определяется вектор 2® на нулевом временном слое. Решив систему (12), получим значение векторов 2\, а по формулам (10) - значения функции и—. Продвигаясь на второй временной слой и далее, получим решение задачи на всем промежутке [0; Т].
Решение системы (12) осуществляется методом матричной прогонки. Сначала определяется вспомогательный набор двумерных матриц Ег и векторов по рекуррентным формулам:
Ео = о, ^ = 0;
Е =(В - с.е. 1 )-1 А;
21:— = Е2!+1 + Ъ , г = п -1; п - 2,..., 1.
Описанный алгоритм решения задачи реализован специальной программой.
Для системы (1) поставим задачу найти управление, удовлетворяющее системе, которое обеспечило бы минимальное время ф0 выполнения равенства и(1, ф0) = 0 для всех -1 < I < 1.
Эта задача решается при помощи метода моментов [1]. Решение конечномерной проблемы моментов сведено к определению чисел ©1, 02, ..., ©ы, ф0, где ©г - точка переключения Q(ф>) из системы к трансцендентных уравнений с к неизвестными. Для к = 2 эта система имеет вид
2вц‘в‘ + (х - 1>ц2ф0 = 1 + х + V, г = 1, 2,
где числа цг, г = 1, 2 являются различными действительными положительными корнями характеристического уравнения
1
-ц = ^ ц.
Ь
При решении задачи о нагреве функция и(ф) на отрезке [0; ©!] должна принимать значения 1 + х, а следовательно, на отрезке [©1; ф0] она имеет значение х - 1.
Зададим начальное управление Q(ф в интервале 0' < ф < 0", где 0 < 0' < 0" < 01. Благодаря правильному выбору этого управления можно выполнить ограничения на термонапряжения. В этом случае оптимальное управление существует и величины ©1 и ф0 определяются из системы уравнений:
2ец'01 + (х - 1>ц?ф0 = V + (1 + х)ец'0 " - ц25, г = 1, 2,
где
© '
©"
•Я = | (1 + х)ец,2ф<аф + | б(ф)ец,2ф dф.
0 0 '
Решение данной системы получим из соотношений:
(г. Ц2©
2ец1©1 -(1 + х + V)І _ ( 2еЦг©1 -(1 + х + V 2)
1 -х
1-х
Ъ =(В - СЕ-1 )-1 (д. - СЪ-1), г = 1, 2, ..., п -1.
Далее находятся искомые величины
„0 = -Ы ^©'-^ + х + у1)
Ц1
1 - х
Т
Т
где V; = V + (1 + х)(ец0 - ец 0 )- ц21б(ф)ец фdф,
0'
г = 1, 2.
Если принудительное управление является линейной функцией, т. е. б(ф) = d + £ф, 0 '<ф<0 ", то значения ©1 и ф0 определяются из соотношения
і ^2< у,=У + е1
- е
©"
1+х-Л-ё
(
( О ©"- -V
1+х-Л-ё
©" Т
1/ У
В Ы В О Д
Таким образом, используя прием для замены ограничения на фазовую координату ограничением на управляющее воздействие, приходим к тому, что метод решения задачи оптимального по быстродействию нагрева термически массивного тела с учетом ограничений на термонапряжения принципиально не отли-
чается от метода решения той же задачи без учета ограничений на термонапряжения.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления / В. Г. Болтянский. - М.: Наука, 1966. - 208 с.
2. Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.
3. Бутковский, А. Г. Проблемы финитного управления / А. Г. Бутковский. - М.: Энергия, 1972. - 244 с.
4. Андреев, Ю. Н. О приближенном решении задачи нагрева стали с минимальным обезуглероживанием / Ю. Н. Андреев // ИФЖ. - 1968. - № 2. - С. 21-23.
5. Воронова, Н. П. Об одном оптимальном управлении процессом сушки / Н. П. Воронова, Н. И. Березовский // Литье и металлургия. - 1998. - № 2. - С. 42-46.
6. Воронова, Н. П. Разработка оптимального по времени режима работы печи садочного типа / Н. П. Воронова, Р. В. Михнова // Энергетика. (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 1996. - № 1-2. -С. 72-75.
7. Гетвуд, Б. Е. Температурные напряжения / Б. Е. Гет-вуд. - М.: Наука, 1969. - 288 с.
Поступила 24.04.2006
УДК 624.078.5
опорный узел треугольной деревянной фермы НА ВКЛЕЕННЫХ СТЕРЖНЯХ
Канд. техн. наук, доц. ОКОВИТЫЙ А. В.
Белорусский национальный технический университет
При изготовлении строительных конструкций с дощатоклееными элементами все большее распространение получают соединения на вклеенных арматурных стержнях, наиболее известные из которых: монтажные стыки элементов конструкций большой длины (арок, рам), узлы опирания стоек рам на фундаменты, опорные узлы ферм, а также усиление отдельных участков конструкций при действии в них значительных перерезывающих усилий [1, 2].
Соединения на вклеенных стержнях отличаются компактностью конструктивных решений. Стыковые соединения не имеют ограничений по величине действующих в стыкуемых элементах усилий. При конструировании узловых соединений, в частности опорных узлов ферм, имеющих размеры контактных площадок, ограниченных размерами поперечных сечений поясных элементов, из-за необходимости соблюдения требований условий расстановки и