Оптимизация процессов внешнего нагрева с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА

УДК 517.977+669.046

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ВНЕШНЕГО НАГРЕВА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЯ И НА МАКСИМАЛЬНУЮ

ТЕМПЕРАТУРУ

© Н. Д. Морозкин*, Н. Н. Морозкин

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 273 32 87.

E-mail: morozkin@bashedu.ru

Рассматривается задача оптимального управления нагревом одномерных тел (пластины или цилиндра) с учетом ограничений на максимальную температуру и на сжимающие и растягивающие термонапряжения. Предполагается, что нагрев осесимметричный, а в качестве управления выступает температура греющей среды. Все теплофизические и механические коэффициенты, за исключением пределов прочности на сжатие и растяжение, считаются постоянными. Предложен способ поиска управления, который позволяет за фиксированное время получить распределение температур в теле максимально близкое к заданному.

Ключевые слова: оптимизация, нагрев,термонапряжения, интегральные преобразования, аппроксимация, оптимальное управление

Введение. Задачи оптимизации процессов нагрева с фазовыми ограничениями на практике встречаются значительно чаще, чем аналогичные задачи без ограничений, поскольку, как правило, при нагреве изделий обязательно присутствуют технологические ограничения. В то же время именно задачи оптимального нагрева с ограничениями ввиду их сложности изучены значительно меньше, чем аналогичные задачи без ограничений. Отметим, что работы, в которых исследуются задачи оптимального нагрева с фазовыми ограничениями можно подразделить на две группы: работы, в которых используются общие методы, такие как метод штрафных функций [1] и работы, в которых разрабатываются специальные методы [2]. В настоящей работе развивается подход, предложенный в [2]. Исходная бесконечномерная задача оптимального управления аппроксимируется конечномерной с использованием метода интегральных преобразований. Конечномерная задача оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные решается с помощью метода условного градиента. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Постановка задачи

Процесс осесимметричного нагрева неограниченной пластины (д=0) и неограниченного цилиндра (я=1) внешними тепловыми источниками описывается уравнением:

À

dT (r, t)

dr

r

r = a(W(t) - T(R, t)), t є (0, t ] (S) q dT(r, t)

dr

1=0=0, t є (0, t ]

(4)

где Т - температура нагреваемого тела ( С), t -время (с), а - коэффициент температуропроводности (м2/с), Я - радиус цилиндра или половина толщины пластины (м), Л - коэффициент теплопроводности (Вт/(м • град)), а - коэффициент теплообмена (Вт/(м2- град)), ?(г) - управление (температура внешней среды 0 С).

?еУ = (?:? = ?( г) е Ь2 е [0, г ], гТ <?<?+} По условиям задачи недопустимо, чтобы тело в процессе нагрева получило бы необратимые деформации от возникающих термонапряжений, а наибольшая температура тела превысила бы допустимое значение. Будем рассматривать материалы, которые разрушаются хрупко. Тогда в соответствии с результатами работы [3] ограничения на термонапряжения запишутся в виде:

-ос (Т) <а. (г, Т) <ар (Т),

<7с (Т), (7р (Т) - пределы прочности на сжатие

где

dT ( r, t ) dt

=a

d 2T ( r, t ) + q dT (r, t )

dr2

dr

(I)

0 < r < R, t є (0, t],0 < t < »

с начальным условием:

T (r,0) = T0 = const, 0 < r < R (2)

и краевыми условиями, учитывающими теплообмен на границе по закону Ньютона:

и растяжение, Сі (г, Т) - главные компоненты тензора напряжений (мПа), которые находятся из решения уравнений Дюомеля - Неймана [4]. В рассматриваемом случае эти уравнения решаются аналитически. Анализ термонапряжений [5] показывает, что при осесимметричном нагреве растягивающие напряжения наибольших значений достигают на оси, а сжимающие - на поверхности нагреваемых тел. Тогда ограничения на термонапряжения можно написать в виде: а) в случае пластины:

r

* автор, ответственный за переписку

аТЕ 1 -V

- Т (0, г) + (4, г)4

<&р (Т (0,г))

(5)

аТЕ 1 -V

Т (Я,г) --1-3Г Я Я •’» 6Г ("Я

Я

/0Т (4, г)4

Я

б) в случае цилиндра: "- Т (0,г) +

2 ГЯ

Я2

Т (Я, г) -

2 ГЯ

<7 (Т (Я, г))

(6)

аТЕ 1 -V

аТЕ

1 - V

¡4(4,г)^4 )-

/> (4 г)^4

<ар (Т (0,г))

(7)

<7С (Т (Я, г)) (8)

где Ге[0,1] - число, характеризующее степень закрепления от поворота краев пластины, Г = 0 - для жесткого закрепления, Г = 1 - для свободной от поворота краев, аТ - коэффициент линейного расширения (1/град), Е - модуль упругости (мПа), V -коэффициент Пуассона (безразмерная величина).

Потребуем также выполнения ограничений на максимальную температуру в теле, которая в рассматриваемом случае достигается на поверхности

Т (Я, г) < Т&оп (9)

Задача 1. При фиксированной длительности

нагрева г >0 найти управление V еУ , минимизирующее функкционал

I = [V [т (I, г,?) - Т(1 )]2 м (¡в)

*0

так, чтобы при всех г е (0, г] были бы выполнены

неравенства (5)-(9). Здесь Т(/) заданное конечное распределение температур в теле.

Введем безразмерные координаты:

г аг

I = -, 0 = (Т (г, г) - Т0)аТ, т = а2,

Я Я2

аЯ 7

Б1 = —, и = (?(г) - Т0)ат ,7р = (1 - у)-^

Л Е

(¡¡)

7* = (1 - у)^-, 08оп = (Т8оп - Т0)аТ Е

В новых переменных соотношения (1)-(4) запишутся в виде:

д0(/,т) = Э20(/,т) д д0(1,т)

' ' (¡2)

Эт

Эт

0(1,0) = 0, / е [0,1]

д0(1,т)

д/

= Ы(и(т) -0(1,т)),те (0,т] (¡4)

I

„ Э0(/,т) д/

!г=0=0,д = 0,1,те (0,т], (¡5)

_ аг где т - —2 Я2

Аппроксимировав зависимости 7С (0) и

7р (0) линейными функциями

7р(0) = а + Д0(16), 7*;(0) = а2 +в20 (¡6) Неравенства (5)-(8) перепишутся в виде (1 -в)0(1,т) -

- (д +1 + 3(д - 1)Г)|014*0(4,т)М4+ (^

бГ(д -1) /^40(4, т)М4<—1,

+

- (1 -р2)0(0,т) -

- (д +1 - 3(д - 1)Г)/04д0(4,т)м4 +

+ 6Г(д -1)/40(4, т)М4 < а2

Ограничения на максимальную температуру (9) запишутся в виде:

0(1, т) <0^ (¡8)

Применение метода интегральных преобразований Методом интегральных преобразований [2] решение уравнений (¡2) - (¡5) находится аналитически и записывается в виде:

где

Д.

0 = ТДпХп (и,т)К(Мп1)

____________2Вт______________

(ш2+В12+(1 - д)Б1)К1(мп1)

(¡9)

(20)

(¡3)

К(Ш) !д=0= С08(^п1X К(Ш) !,=1= )

(2!)

К1(Шп) !д=0= >«п(АX К1(Шп) !,=1= 11(Шп) (22)

Цп - корни уравнения

ВК(Шп) ) = 0, п = 1,2... (23)

10, 11 - функции Бесселя нулевого и первого порядков, Хп (и,т) - находятся из решения следующей бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

^ = -£ Хп +Ши(т), Хп (0) = 0, п = 1,2... (24) Мт

С учетом конкретного вида функции 0 неравенства (¡7), (¡8) перепишутся в виде:

п=1

го

Б

n =1

где

cinxn М < ei, i = 1,3,

1 -ßi+6Г(^ ■ Mn

F

(q +1 - 3Г^ - 1))Bi

m2

c = F

2n n

6Г(д -1)

m2 k (Mn)

((q +1) - 3^ - 1))B, + 6Г^ -1)

(25)

(26)

1

K (Mn )

Mn

1 + ß2 +

бГ^ -1)

m2

(27)

Конечномерная аппроксимация модели

Ограничившись в ^ 9) первыми N членами ряда, первыми N уравнениями в системе (24) и первыми N членами ряда в левой части неравенства (25), получим:

— = - Ах + Ви (32)

Мт

х (0) = О (33)

Я

Сх < Е (34)

где х = х(т) - N мерная вектор-функция,

А = diag(Ш_,...,Шl) - диагональная (пXп) матрица, В = (щл,...,Шп)Т, С - матрица размерности (3 X N) с элементами

c3n = F,, Гє [0,1]

2Biu

F =----------------

2 .,2 , d-2

M2 + Bi + (1 - q)Bi

ex = a1, e2 =a2, e3 = Qgo:

(28)

Система функций {К(Цпї)} ортогональна и полна (с весом іуррскушсхве ЩТ) I • Следова

" 1 ^І0 Ь П ЛХп ’ ) К,(ЦЯ)

Сп, i = 1,3, п = 1, N, Е = (а1,а2,0 ).

Бесконечномерной задаче 2 поставим в соот ветствие следующую конечномерную:

Задача 3. Найти управление и е и, минизи рующее интеграл

^ N £ Т ГП П ^ „ \

тоостр.анс,тве Х,

1

1 ll K (Mnl )Pll

-gnK (Mnl ) (2Я)

^почти при все

где

/•1 ~

g, = j>Q(l )K (Mnl )dl

ll K (Mnl ) ll2=-

(S0)

,,2_ Kl(Mn)

Я

С учетом проведенных преобразований функционал (10) перепишется в виде:

ґ ^ —12

К'(Мп)„ Хп(ш,Т)К(Р,1)-

на решениях системы (32), (33) при соблюдении на промежутке (0,т] неравенств (34).

Можно показать [2], что для нормы погрешности

го

Г(ї,т) = X °пХп(ш,т)К(Мп,I) (36)

п=№+1

справедлива оценка

F

J0

I

2=1

ll K (Mnl )

g2

K (M,l )

=ft J0

tp,K (M,l )

2=1

K(Mnl)

x, (Ц,т) -

Y IIl2(^) <

u+Bi(2T)l

П

90

.4 N -1

- S:

2=1

(S7)

g:

Ki(M: )

dl =

dl

где

(SI)

Таким образом, задачу 1 можно переписать в эквивалентной форме:

Задача 2. При фиксированной длительности

нагрева т >0 найти управление ш° Є и, минимизирующее интеграл (31) так, чтобы были выполнены ограничения (25) при всех ТЄ (0,т], где и = {ш = ш(т): ш(т) є Ь2[0,1], ш~ < ш(т) < ш+ ,тє (0,т]}

а = ((/,т): I е (0,1),те (0,т)}

Оценки точности выполнения фазовых ограничений при Г = 0 выписаны в работе [5], а в более общем случае при любых Ге [0,1] в работе [2].

Сходимость конечномерных аппроксимаций по функционалу и по управлениям в наиболее важном с точки зрения практики случае, когда закрепление концов пластины препятствует ее изгибу, т. е. в случае Г = 0, показано в работе [2].

Решение конечномерной задачи Рассмотрим функционал:

3 т

I (u) = ßZj

■fl'

J0

i=1

N

max

Ÿfinxn (u,т) - ei,0

YPK(Mnl)l x,(u,f) -

:='

Kí(M: )

dт +

dl, (S8)

c

ln

n

і

2

4

2

J

2

2

2=1

2

g

n

Отметим, что первое слагаемое в правой части (38) характеризует степень нарушения фазовых ограничений, где в -аналог штрафной функции,

в = const > 1

В результате введения функционала (38) задачу 3 можно сформулировать в виде следующей задачи оптимального управления:

Задача 4. При фиксированной длительности

нагрева T >0 найти управление Ы° G U, минимизирующее функционал (38) на траекториях системы

(31)-(33).

Можно показать, что функционал (38) является выпуклым и непрерывно дифференцируемым по u, а его градиент удовлетворяет условию Липшица по u. Следовательно, решение задачи 4 можно найти пользуясь методом условного градиента.

Градиент функционала (38) в силу системы

(32) находится по формуле [6]:

Iu= -BTY (39)

При этом вектор-функция

W = V(t) = (^l(t),^'2(t(t))T определяется из решения системы дифференциальных уравнений:

dYm dT

+ 2e^naj^[Cinxn (u,T) - Ц.,0 \cin {40)

i=1

m = 1, N

■■ MmYm +

¥m (T) = (Mml) X

X

£(DnK(Mnl)l ^n (u,T) -

gn

Ki(Mn)

dl, (41)

m = 1, N

Опишем итерационную процедуру поиска оптимального управления методом условного градиента. Пусть задано k-е приближение оптимального управления uk G U . Приближение uk+1 G U строится следующим образом. Находим вспомогательное управление uk из условия:

(1 (uk),Щ - uk) = min( 1 (uk),u - uk) (42)

UGU

Приближение uk+1 находится по формуле:

uk+1=uk+Mk (uk- uk) (43)

где Цк G [0,1] и находится из условия:

I (Mk) = inf I (uk + M(u* - uk)) (44)

0<M<1

Как следует из [1] в силу выпуклости функционала (38), выпуклости и компактности множества U, описанная итерационная процедура сходит-

ся по функционалу, а последовательность управлений слабо сходится к множеству оптимальных. Итерационная процедура завершается, если

\1 (шк+і) - I(шк )| <Є (45)

где Є >0 - заданная точность выхода.

Результаты вычислительных экспериментов

Рассмотрим нагрев неограниченной пластины

(д = 0) из сплава ЖС6У до конечной, постоянной

по сечению температуры 920 °С за время 1 = 3.5 часа.

Исходные данные: а = 0.153 м2/час, А = 23 Вт/(м ■ град), а = 200 Вт/м2 ■ град), аТ = 0.18 ■ 10-4 град-1, Е = 0.145 ■ 1012 Н/м2, V = 0.3, Я = 0.25 м.

Зависимость предела прочности от температуры задавалась таблично (табл.).

Таблица

Температура, °С 20 975 1050 1100 1150

Предел проч- ности (мПа) Сжатие 1500 700 470 310 210- 240

Растяжение 980 540 370 200 140

Температура греющей среды менялась в диапазоне [800 °С, 1600 °С], т.е. ?+ = ¡600°С,

? = 800 °С.

Переход к безразмерным величинам осуществляется по формулам (¡¡). Для удобства расчетов (коэффициент линейного расширения аТ мал,а модуль упругости Е велик) было принято аТ = 100аТ, Е = 0.01Е .На величину термонапряжений такая замена не влияет, поскольку в формулы для вычисления напряжений входит произведение аТЕ . Перейдем в таблице 1 к безразмерным

величинам и аппроксимируем зависимости <Jc и

7р от температуры линейными функциями вида

(¡6). Коэффициенты а1, в, а2,найдем используя метод наименьших квадратов. Получим:

7р(0) = 0.748 - 0.2850(1,т)

7* (0) = 0.493 - 0.180(0, т)

(46)

Будем рассматривать наиболее важный с точки зрения практики случай, когда края пластины имеют жесткое защемление от поворота, т. е. Г = 0. Пределы изменения безразмерного управления ш : ш- = 1.404, ш + = 2.844 . При N =3 система (32) приобретает вид:

— = - Ах + Вш (47)

йт

n=1

Начальные условия:

х1(0) = 0, х2(0) = 0, х3(0) = 0 (48)

В соотношении (47)

А = diag(1,16,13,276,43,274)

В = (1,077,3,644, 6,578)Т

Матрица С в рассматриваемом случае записывается в виде:

C=

- 0.246 0.235 0.101

- 0.003 0.226 -0.066

0.559 0.208 0.081

(4Я)

Вектор

E = (a, а2,0gon) = (0.748,0.493,1.944)

Система (40) запишется в виде:

' d^i

-=1.16УІ + dт

+ 2ß[-0•246PІ(т) -- 0.003P2(т) +

+ 0•SS9P3(т)]

dyi = 13.276yi + dт

+ l^^P^) + + 0•226P2(т) +

+ 0.208P3(т)]

= 43.274у +

dy3

dт

+ 2ß[0•101PІ(т) -

- 0.066P2(т) +

- 0•0081P3(т)]

где

P' (т) = max

P2 (т) = max-

P3 (т) = max-

- 0.246x' (т) + + 0.235x2^) + + 0.101x3 (т) --0.748,0

- 0.003x' (т) + + 0.226 x2 (т) -

- 0.066x3 (т) -

- 0.493,0 0.559x^) +

+ 0.208x3 (т) + + 0.081x -

(50)

(5I)

-1.944,0

Поскольку конечное распределение температур 0(1) постоянно и равно 1.62, то из (30) следует

gn = \lcos(Mnl )©(/)dl = 1.62

Mn

Граничные условия (41) запишутся в виде:

(T) = -2Di [ cos (Mil)q(l)dl, i = 1,3 (52)

J0

где T = 0.857, Dt вычисляются по формуле:

2Bi2

(MÏ + Bi2 + Bi)sinMi

, i = 1,3 (5S)

Bi = 2.174, Mi = 1.077, M2 = 3.644, M3 = 6.578

n / J ,-s 1.62

Dncos(Mnl) xn(т)------------

I Mn J

n=i

Положив в (S8) ß = 100, получим:

.Л c

I (u) = 100^|0

í!

i=i

3

'0.857

'0

max \Yfinxn (u.т) - fi,0

YPncOs(Mnl )

n=1

, 1.62 x, (u,т )-----------

n Mn

dт +

dl (54)

При N=3 заданное конечное распределение температуры в теле было достигнуто с хорошей точностью. При этом ограничения на наибольшую температуру и на термонапряжения практически не оказывали влияния на оптимальный режим нагрева. При N=5 заданное конечное распределение температуры в теле достичь с наперед заданной точностью за время 3.5 часа не удается, так как ограничения на максимальную температуру и на термонапряжения сдерживают скорость нагрева. Дальнейшее увеличение числа членов ряда, то есть числа N не ведет к каким-либо значимым изменениям. Таким образом, вычислительные эксперименты подтверждают теоретический вывод работы [2] о том, что учет первых двух-трех членов ряда может обеспечить заданную точность в задачах с фазовыми ограничениями лишь при малых значениях ВІ. Это важно с точки зрения практики, поскольку инженеры при решении подобных задач независимо от ВІ часто пользуются укороченной системой первых двух-трех уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. Москва: Факториал Пресс. 2002. 824 с.

2. Морозкин Н. Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. Уфа: БашГУ. 1997. 114 с.

3. Филоненко - Бородич М. И. Механические теории прочности. М.: МГУ им.М.В.Ломоносова. 1961. 92 с.

4. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир. 1964. 517 с.

5. Морозкин Н. Д. Оптимальное управление одномерным нагревом с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование. 1996. Т. 8. N3. С. 92-110.

6. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1979. 488 с.

2

:='

2

Поступила в редакцию 29.02.20I2 г.