CC BY
66
УДК 519.95
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 4
А. Н. Кириллов
УПРАВЛЕНИЕ МНОГОСТАДИЙНЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
1. Введение. Математическое моделирование сложных технологических процессов и управление ими представляет собой трудноразрешимую проблему. Сразу оговоримся, что термин «технологический» будем понимать в широком смысле, не ограничиваясь химической технологией. Различные причины, сдерживающие прогресс в развитии указанного направления, как представляется, можно разбить на два класса. К первому отнесем наличие многочисленных взаимосвязей между отдельными составляющими технологического процесса, ко второму - обилие ограничительных условий на допустимые значения параметров, характеризующих состояние процесса.
Рассмотрим, например, процесс производства целлюлозы. Его можно разбить на несколько технологических операций: смешения, нагрева, диффузии, химических превращений, разделения и накопления продуктов реакций [1]. Математическая модель этого процесса представляет собой совокупность взаимодействующих моделей технологических операций с переключениями между ними. Таким образом, процесс варки целлюлозы имеет многостадийный характер, причем стадия - это технологическая операция. В качестве другого примера можно рассмотреть процесс биологической очистки сточных вод, для чего используется совокупность взаимодействующих аэротенков [2]. При этом количество одновременно функционирующих реакторов зависит от внешней нагрузки и состояния всей системы. Здесь стадии процесса соответствует система с постоянным количеством одновременно функционирующих аэротенков между моментами отключения или подключения реакторов. К условиям, накладываемым на параметры состояния, можно отнести неотрицательность или ограниченность таких переменных величин как температура, давление, концентрация и т. д. Кроме того, как показано в [2], количество видов микроорганизмов в биомассе зависит от времени ее оборота, что также приводит к необходимости учитывать многостадийность процесса биоочистки. Можно рассмотреть и другие примеры многостадийных процессов, причем не только технологических. Так, в [3] рассмотрен пример использования идеи агрегирования при производстве нескольких типов легированной стали, что приводит к задаче управления системой с переменным фазовым пространством. В. И. Зубов во время одной из бесед предложил рассмотреть модель управления движущимся объектом, у которого во время движения изменяется количество работающих двигателей. В настоящее время теория управления многостадийными процессами находится на начальном этапе развития. Классические результаты теории управления не позволяют адекватно моделировать данные процессы. Следует отметить работы А. А. Мартынюка [4], Д. Шильяка [5], В. М. Матросова [6], где исследуются вопросы устойчивости многосвязных или крупномасштабных систем, которые можно отнести к классу многостадийных систем. Нами был предложен подход к моделированию многостадийных процессов, основанный на методе динамической декомпозиции, когда в зависимости от состояния динамика сложной системы задается одной из составляющих ее подсистем [7, 8]. При этом размерность системы изменяется в процессе функционирования. Настоящая работа продолжает исследование в данном направлении.
2. Система неизотермических реакторов. Рассмотрим возникновение многостадий-ности на примере задачи управления системой реакторов. Для технологических процессов на химических, целлюлозно-бумажных, нефтеперерабатывающих предприятиях характерно многократное чередование стадий нагрева и охлаждения. Это снижает температурный потенциал энергоносителей, в результате чего в окружающую среду выбрасывается значительное количество тепла в виде дымовых газов (конденсата), отработанного пара низкого потенциала
© А. Н. Кириллов, 2006
и т. д. Известно [9], что производительность химического реактора тем больше, чем выше концентрация реагентов. Но это приводит к увеличению локальных перегревов в реакциях с большим тепловым эффектом, что вызывает выбросы в окружающую среду в виде перечисленных выше энергетических отходов, которые образуются при охлаждении агрегатов, причем понижается уровень безопасности функционирования реактора. Таким образом, при управлении химическим реактором целесообразно вводить ограничения на допустимые концентрации реагентов.
Рассмотрим задачу стабилизации системы п однотипных неизотермических химических реакторов непрерывного действия (проточных) с идеальным смешением. Пусть в каждом реакторе протекает обратимая реакция А —> В. Соответствующая математическая модель имеет вид [9]
_ j_
Xi ~ —X{G yi + Ui(xoi — Xi), (1)
J_
yi = Xieyi + m(yoi - yi), (2)
здесь Xi = Xi(t) - концентрация (безразмерная) исходных реагентов в реакторе i в момент времени t, i = l,...,n; yi — yi(t) - температура (безразмерная) среды в реакторе г; xoi,yoi -концентрация и температура соответственно исходных реагентов на входе в реактор г; щ -коэффициент, определяющий объемную скорость подачи и отвода реагентов. Пусть задача управления состоит в получении на выходе каждого реактора реагента В с заданной концентрацией за счет изменения управляющего параметра и. При этом, согласно вышеизложенному, потребуем, чтобы в ходе процесса концентрация и температура реагентов не превышали некоторых заданных значений, что равносильно ограниченности переменных
О ^Xi(t)^Xi, 0 ^yt^Vi, O^Ui^Ui, (3)
где - заданные положительные постоянные. В работе [10] построено кусочно посто-
янное управление, решающее поставленную выше задачу стабилизации для системы (1)-(3) в случае n = 1 при постоянных входных концентрации и температуре. Там же показано, что множество стабилизируемых состояний принадлежит прямой х + у = хо 4- уо. Последнее означает, что при достаточно больших значениях хо,уо условия (3) будут нарушаться, что приводит к аварийным выбросам. Предположим теперь, что хо = xo(t), уо = у о СО - кусочно постоянные функции времени. Рассмотрим систему п реакторов. Пусть также п = n(t), т. е. количество одновременно работающих реакторов переменно. В этом случае для обеспечения выполнения условий (3) предлагается перераспределять входной реагент между реакторами, подключая или, наоборот, временно отключая дополнительные реакторы. Отметим, что если постоянно работают все п реакторов, то технологический процесс становится неэффективным и дорогостоящим. Таким образом, возникает многостадийность, а управление, которое нетрудно построить, становится двухуровневым: сначала происходит перераспределение входного реагента, а затем стабилизация каждого реактора в отдельности.
3. Структура системы. Для формализации многостадийных систем в работах [8, 11] было введено понятие структуры сложной системы S, состоящей из подсистем Si, i = 1,..., N, причем количество подсистем N является функцией времени: N — N(t). Это означает, что в процессе функционирования происходит отключение или, наоборот, подключение некоторых подсистем, что приводит к изменению размерности S.
Определение 1. Структурой системы S называется вектор 7 = (71, ...,7^), где 7i = 1, если подсистема Si функционирует в составе S, 7; = 0 - в противном случае.
Таким образом, структура принимает значения на множестве вершин единичного куба IN С RN■ Пусть динамика системы S задается уравнениями Хг = Fi(X\,..., Xn), описывающими фукционирование ее подсистем Si, где Хг — вектор состояний подсистемы Si, а также оператором G(X 1,..., Xn, 7, t) : X х IN х R -> IN, определяющим изменение структуры. Здесь X— множество допустимых значений блочного вектора (Xi,...,Xn). В частности, этот оператор может задаваться некоторой системой дифференциальных уравнений.
Определение 2. Структура 7 системы 5 называется г-сильно устойчивой, если найдется такой момент времени Т, что для любого £ ^ Т имеем = 1.
Определение 3. Структура системы называется 1-устойчивой, если для любого Т > 0 найдется такое I > Т, что 7; = 1 при £ = £.
Сильная устойчивость, таким образом, означает, что соответствующая подсистема г не будет отключаться с некоторого момента времени, устойчивость структуры - то, что г-тая подсистема после отключения на некоторое время вновь подключается, хотя, возможно, на конечное время. Естественно, возникает задача стабилизации структуры системы с целью сохранения ее нормального, безопасного, функционирования. Надо отметить, что проблемы устойчивости крупномасштабных систем рассмотрены в работах [4-6], но в них исследуется устойчивость состояний равновесия, а не структуры. Аналогично понятию устойчивости структуры можно ввести свойство ее грубости по отношению к изменению правых частей уравнений, описывающих ее динамику [12]. В [13] автором построена и исследована модель динамики популяций с переменной размерностью. Была предложена многостадийная система, в которой различные стадии соответствуют процессам миграции и сосуществования двух популяций, связанных отношением хищник-жертва. Получены результаты, связанные с устойчивостью структур этой модели.
4. Линейная последовательная система. Многие технологические процессы представляют собой последовательность однотипных стадий, отличающихся лишь параметрами, их характеризующими. Так, например, в целлюлозно-бумажной промышленности к таким процессам можно отнести процессы промывки целлюлозы, выпарки щелоков, варки целлюлозы с использованием группы котлов [1]. В связи с этим введем в рассмотрение следующую многостадийную линейную систему 5 = (51,..., 5п), которая при условии
у{Ь) е Ак = (ук,ук+1), к = 1,..., п, (4)
задается уравнениями
Хк = АкХк, (5)
у = В*кХк, (6)
в которых ук - заданные постоянные при к ф к ф п + 1, уъ < уг < •■■ < Уп, у\ = —оо,
Уп+1 — +оо, Хк — (х\,..., Хк)*, Вк = (Ъ\,..., Ьк)*', * - символ операции транспонирования; Ак~ квадратная матрица порядка к с постоянными элементами. Условие (4) и уравнения (5),(6) задают подсистему Бк- Далее, пусть при попадании траектории системы (4)-(6) из области (4) на плоскость у = ук происходит переход от системы 5ь к системе 5*,-1 при 2 ^ к ^ п, а при попадании на плоскость у — ук+\ - переход от Бк к Бк+1 при 1 ^ к ^ п — 1. При этом отображения ] = г ± 1, осуществляющие переход от 5; к Б], имеют вид
:гк-* С(к-1, к)гк+Ек-1(-е), (7)
где 2к = (ж1,..., Хк, Ук)*, Ек-\{—£) = (0,..., О, —е), — е - постоянная на к-том месте, причем
О <£< 0,5(^+1 - ук), к = 2,..., п - 1, (8)
С (к — 1, к) - матрица размерности кх(к+1) с заданными элементами су, с^ = 0 при j — 1,.., к, С{,к+1 = 0 при г — 1,..., к — 1, ск<к+1 = 1. Отображение ¡рк-1,к имеет вид
<рк-1,к ■ гк-1 В(к - 1,к)гк-! +Ек(е), (9)
здесь И(к — 1 ,к) - матрица размерности (к + 1) х к с заданными элементами с^-, с1к+ = 0 при ] = 1,..., к - 1, = 0 при г = 1,..., к, дк+\,к = 1.
Определение 4. Отображения вида (7), (9), где е - достаточно малая заданная постоянная, удовлетворяющая условию (8), называются отображениями перехода, понижающими и повышающими соответственно порядок системы на единицу.
Определение 5. Динамическая система (4)-(9) называется линейной системой с последовательным переключением, или линейной последовательной системой.
Поясним смысл введенного понятия. Система (4)-(6) задает динамику отдельной стадии, переход между которыми осуществляют отображения (7), (9), в зависимости от состояния переменной у, которая характеризует продолжительность стадии. Таким образом, переменную можно назвать временем эволюции системы 5, в отличие от текущего времени В [11] отображения перехода (7), (9) задавались с помощью дифференциальных уравнений.
Рассмотрим задачу стабилизации структуры системы (4)-(9). Для этого введем управление и в уравнение (6), после чего оно примет вид
у = В*кХк+и, и 6 Д. (10)
Теорема. Для любого I (Е {1,...,п} найдется управление и в виде и = р\х\ + ... + рпХп, Рг — Рг{х{)- кусочно постоянные функции компонентов вектора Хп, такое, что система (5), (10) будет иметь 1-силъно устойчивую структуру для любой начальной точки (Хко,Уко) при условии Хко ф 0, Хы = (жю, ■■■,Хко), к е (1,..., п).
Доказательство. Пусть система 5 находится в состоянии т. е. ее динамика задается соотношением (4) и уравнениями (5), (10). Предположим для определенности, что I > к. Построим сначала управление, обеспечивающее переход системы в состояние Бк+1 ■ По условию Хко ф 0. Значит, найдется г € (1, ...,&) такое, что Xi(to) = £¿0 ф 0, ¿о - некоторый начальный момент времени; Х{(Ь) — г-й компонент решения Хк^о) = Хко• В силу не-
прерывности соответствующего решения найдется момент времени £ > ¿о такой, что при всех £ € [¿о, ¿] имеем £¿(4) ф 0. Тогда при Ь >1
t t
J \xi(r)\dT> J \xi(r)\dT = q > 0.
10 t о
Возьмем pi таким, что Ь, + Pi — Cisignx,, где signa;* = 1 при Xi ^ 0, signai = —1 при Xi < 0, т. e.
Pi = Ci signai - bi, (11)
здесь Ci - некоторая постоянная, выбор которой будет задан ниже. Далее, если положить Pj = —bj для j = 1,...,к, j ф i, то, подставляя в (10) управление и = р\Х\ + ... + ркХк, в котором выбор коэффициентов pj, j = 1 ,...,к, j ф г и pi указан выше, и интегрируя (10), получим
t t y(t) = у ко + Ci J Xi(r)sigïiXi(T)dT = y ko + Ci J \xi(r)\dT > yko + Ciq.
t О io
Итак, y(t) > yko+Ciq. Выберем коэффициент Ci так, чтобы выполнялось неравенство yko+Ciq > Ук+i, т. е. Ci > Ук+1~Ук0. Тогда получаем y(t) > Ук+i при t > t, а значит, найдется момент времени t* такой, что y(t*) = yk+i- Таким образом, система переходит из состояния S к в состояние Sfc+i.
Аналогично последовательно переводим систему в состояния S к+2, Si. Для сохранения 5; следует переключать управление в моменты попадания траектории на гиперплоскости у = yi + as, у = yi+i — as, 0 < а < 1 так, чтобы обеспечить возрастание или убывание y(t). При этом соответствующие управляющие воздействия строятся согласно приведенному выше методу.
Замечание 1. Отметим, что при доказательстве теоремы построено управление, стабилизирующее структуру 7 = (1,..., 1,0,..., 0), в которой первые I компонентов равны 1, 7 € Яп. Состояние Si соответствует данной структуре.
Замечание 2. При построении управления выбор постоянных Ci осуществляется неоднозначно. Это позволяет ставить задачи оптимизации, например задачу оптимальной по времени стабилизации состояния 5; по параметрам ct.
Замечание 3. Если вектор Хк является блочным, т. е. Хк = {х\, ...,Хк), где Xi = (х ), то управление, решающее задачу стабилизации структуры, строится
аналогично.
Summary
Kirillov А. N. The multistage technological processes control.
The control problem of complex technological systems with varying structure is considered. Each stage of the process is described by the system of differential equations. The concept of complex system structure is introduced. Some problems of structure stabilization are investigated.
Литература
1. Зорин И. Ф., Петров В. П., Рогулъская С. А. Управление процессами целлюлозно-бумажного производства. М.: Лесная промышленность. 1981. 272 с.
2. Вавилин В. А. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М.: Наука. 1986. 144 с.
3. Болтянский В. Г. Метод шатров и проблемы системного анализа // Математическая теория систем / Под ред. М. А. Красносельского. М.: Наука. 1986. С. 5-24.
4. Груйич Л. Т., Мартынюк A.A., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 473 с.
5. Шилъяк Д. Децентрилизованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994. 576 с.
6. Матросов В. М., Маликов А. И. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. Вып. 2. С. 47-54,
7. Кириллов А. Н. Динамическая декомпозиция и устойчивость структур // Математический анализ и его приложения / Ред. колл.: В. В. Мазалов, С. Е. Холодковский, В. Г. Ванин, Э. А. Кочетов. Чита: Изд-во Читинск. пед. ин-та им. Н. Г. Чернышевского, 1996. Вып. 2. С. 20-24.
8. Кириллов А. Н. Об управлении сложными системами с переменной размерностью // Машины и аппараты ЦБП / Под ред. О. А. Терентьева. СПб.: Изд-во СПбГТУРП, 1999. С. 136-137.
9. Вольтер Б. В., Сальников И. Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1981. 200 с.
10. Кириллов А. Н. Математическая модель управления неизотермическим химическим реактором при ограничении тепловых сбросов в окружающую среду // Охрана окружающей среды от загрязнения промышленными выбросами ЦБП / Под ред. В. Ф. Максимова. Л.: Изд-во Л ТА, 1990. С. 72-76.
11. Кириллов А. Н. Устойчивость структур сложных систем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. Т. 7, вып. 2. С. 364.
12. Кириллов А. Н. Грубые структуры в системах с переменной размерностью // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 389-390.
13. Кириллов А. Н. Экологические системы с переменной размерностью // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1999. Т. 6, вып. 2. С. 318-336.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А. М. Камачкиным.
Статья поступила в редакцию 7 июня 2006 г.
