Динамические системы с переменной структурой и размерностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

список литературы

1. Pearl J. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems. N.Y.: Morgan Kaufmann Publ., 1988. 552 p.

2. Тулупьев А. Л., Сироткин А. В., Николенко С. И. Синтез согласованных оценок истинности утверждений в интеллектуальных информационных системах // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 7. С. 20—26.

3. Тулупьев А. Л., Николенко С. И., Сироткин А. В. Байесовские сети: логико-вероятностный подход. СПб.: Наука, 2006. 607 с.

Сведения об авторе

Александр Львович Тулупьев — канд. физ.-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский институт инфор-

матики и автоматизации РАН, лаборатория прикладной информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

технологий программирования СПбГУ ИТМО 15.02.08 г.

УДК 519.8

А. Н. Кириллов

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ И РАЗМЕРНОСТЬЮ

Предлагается подход к математическому моделированию сложных динамических систем с переменной структурой и размерностью. Модель задается системами обыкновенных дифференциальных уравнений, количество и вид которых зависят от поведения специальных переменных. Приведен пример использования предложенного подхода в задаче стабилизации системы твердых тел.

Ключевые слова: динамическая система, математическая модель, изменение структуры, переменная размерность, декомпозиция, управление.

Введение. Решение задачи управления техническими системами и технологическими процессами связано с построением сложных математических моделей, что обусловлено, в частности, многочисленными взаимосвязями различных подсистем. Необходимость учета этих взаимосвязей приводит к созданию динамических систем, аналитическое исследование которых весьма затруднительно. К системам, в которых важную роль играют изменяющиеся во времени взаимосвязи образующих их подсистем, можно отнести крупные производственные комплексы, движущиеся объекты с переменным количеством компонентов, роботы-манипуляторы, динамические модели теории метапопуляций. Эти и многие другие аналогичные системы имеют общие свойства: в процессе функционирования их структура изменяется таким образом, что подсистемы, из которых они состоят, могут на различных интервалах времени находиться в пассивном или активном режиме. В настоящей статье для моделирования таких процессов предлагается использовать динамические системы, размерность и структура которых, в зависимости от состояния, может изменяться с течением времени, т. е. происходит динамическая декомпозиция сложной системы [1]. Отметим, что вопросы моделирования сложных систем со структурными изменениями исследовались в работах [2—7]. Настоящая статья развивает это направление.

Пусть некоторая сложная система £ состоит из подсистем , г = 1,..., п, которые в процессе функционирования могут отключаться от нее или, наоборот, подключаться к ней в зависимости от состояния сложной системы. Тем самым структура и, следовательно, размерность £ изменяются. Перейдем к формальному описанию. Предположим, что система £

представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем S,, i = 1,..., n, причем не все S, могут входить в состав S одновременно. Итак, S = [Ski,..., Sj,..., }, kj e {1,..., n}, j = 1,..., m, m < n, при этом полагаем, что ki = ki, ki < k(i +1).

Определение. Вектором структуры y e Rn системы S называется вектор yT = (71,...,yn), такой что Yi = 1, если Si e S, и Yi = 0, если Si g S.

Вектор y будем также называть структурой системы S. Введем вектор y(t) e Rn,

У (t) = (y1(tУп (t)), такой что Yi = 1 если yi(t) > У i, и Yi = ° если yi(t) < yi. Здесь У i — заданные постоянные (пороговые значения). Если в некоторый момент времени t справедливо равенство у, (t) = у, , то происходит изменение структуры системы S, а именно: если при t e (t - 5, t) подсистема S, входит в состав S, S, е S, т.е. y, (t) > y,, то происходит отключение S, от S. Если при t e (f - 5, t) подсистема S, не входит в состав S, S, ^ S, т.е. y, (t) < y,, то происходит подключение S, к S. Здесь 5 > 0 — заданная постоянная.

Замечание. Вектор y(t) можно назвать многомерным временем эволюции системы в отличие от текущего времени t. Именно изменение компонентов y, (t) приводит к изменению структуры системы S.

Перейдем к описанию динамики системы S. При этом рассмотрим два варианта: разрывное (скачкообразное) и непрерывное изменения структуры.

Разрывное изменение структуры. Отключение Sj. Пусть в некоторый момент времени t в состав S входят подсистемы Sk, : S = {Sk1,..., S¡¡m}, т.е. yk,(t) > y. Введем векторы состояний Xk, e R(k,) подсистем Sk,, где (ki) — размерность вектора Xk,. Тогда полагаем, что динамика системы S в момент времени t описывается системой дифференциальных уравнений

Xki = fkl..,km (Xk1,..., Xki,..., Xkm ), i = 1 ..., m;

(1)

у1 - Ек\,..,кт (Xk1,•••, ХЩ Хкт X 1 - п

где : Я(к1)+-+(кт) ^ К(щ); ^: К(к1)+-+(М ^ К, причем правые части обеспечи-

вают существование и единственность решения системы (1)

Пусть в некоторый первый момент времени ' - переменная у- (') принимает значение ущ : у- (Щ-) - у/ • Введем отключающее подсистему непрерывное отображение

ф- : R(k1)+•••+(km)+и+1 ^ к1)+_+(кт)+п+1 : т я/

фк/ (Хк1 ('к/ Хк/ ('к/ Х-^ Хкт ('к/ X у1('к/ Х-^ ук/ уп ('к/ X 'к/ ) -

-(Х(-/) 0(к/) Х(-к) у(-к) у б- л>(~к) /-) - ^Хк1 '•••'0 '•••'Хкт 'у1 '•••'ук/ - бк/,•••,уп ,/,

где 0(к/) — нулевой вектор, 0(к/) е К(к/), причем 0(к/) находится на /-м месте; постоянная б-- > 0; постоянная у/ - б-- находится на (т + /)-м месте; Щ < И- — заданный момент времени; Хк-к/), у] к/) — заданные векторы и постоянные, I - 1, •••, п, I Ф к/, / - 1, •••, т, / Ф /, х---') е • При этом полагаем

(У1 (t-j) - У1) (y(~kjj - У )> 0, I = 1,..., n, l * kj,

т.е. положение постоянных y¡ (t—) по отношению к пороговым значениям у1 после скачка не

изменяется. Тогда отображение перехода ф-, понижающее размерность системы S, не влияет мгновенно на отключение или подключение других подсистем S^. Далее, при t > t- динамика системы S задается уравнениями

Xki - ,..,km (X k1 Xki ,•••, Xkm X * - •••, m, * ф j;

Xkj - 0(kj);

- gL L km Xkj ,•••, Xkm X l - •••, n,

(2)

41, kj k1''"' kj:

с начальными условиями

Xa^^(к) = Xk7kj\ i = 1,..., ш, i * j; Xj(tjj) = 0(jj}; (3)

У1 (tj) = y/"jj), l = 1,-, и, l * jj, yjj(tkj) = yjj - 4j• (4)

Здесь символом Xj обозначен отсутствующий вектор. В силу второго уравнения системы (2) и начального условия (3) Xj (t) = 0(jj) при t > tj. Это означает, что переменной Xjj (t) можно пренебречь. Тогда будем полагать, что при t > tjj- динамика системы S задается

уравнениями

XXki — fíi ы~\ kj+i km(Xц,...,Xk/j,X•••,Xkm), * — ^l,m, * ^ j;

(5)

У1 = ёк1..,к1-1Л]+1. .М (Хк1,..., Хк--1, Хк]+1,..., Хкт X 1 = 1, п.

Таким образом, произошло отключение подсистемы . В результате динамика системы £ описывается уравнениями (5) с начальными условиями (3), (4).

Замечание. Следует отметить, что отображение ф-- позволяет системе 8 совершить

временной скачок длительностью к -- 0.

Подключение . Пусть динамика системы 8 задается уравнениями (5). Предположим,

что в некоторый момент времени 1 = 1+ переменная Ук- (1) принимает значение

У- : У- ) = У-. Отсутствие в составе 8 подсистемы 8к- при 1 < означает, что при этом выполняется условие Ук- (1) < у -. Введем подключающие подсистему 8к- отображения

ф+ : ^(к1)+...+(к-1)+(к+1)+...+(кт)+п+1 ^ ^(к1)+...+(кт)+п+1 так что

ф+ (Хк1 (1+-),..., Хк(--1) (к), Хк(-+1) (1+-),Хкт (к- ), У1 (1+- Х-^ Уп (1+-), ) =

= (х(+к) х(+к) х(+к) х(+к) у(+к) У(+к-) У(+к) У У(+к) (+к) 7+ \

,..., хк (--1), хк- , Хк (-+1),..., укт , У1 ,..., Ук (--1), Ук}+ °к, Ук (-+1),..., Уп , 1к}),

где 5+-, к, У((+к) — заданные постоянные, 5+- > 0, к - ; хк^к) — заданные векторы,

X'

k+kj) е ^(ki), i - 1,m; при этом полагаем, что (y¡ (t+ ) - y{) (y(¡+kj) - y{ )> 0, l - 1,n,

l * kj, т.е. положение постоянных yi (t+) не изменяется по отношению к пороговым значениям y¡ после скачка, иными словами, отображение ф+, повышающее размерность системы, не влияет мгновенно на отключение или подключение других подсистем Sk,.

Далее, при t > t¡+ динамика системы S задается уравнениями (1) с начальными условиями Xk, (t+ ) = Xk+kj), y¡ (t+ ) = y\+kj\ ykj (t+ ) = ykj + 5+j, l = 1,..., n, l * kj, i = 1,..., m.

Непрерывное изменение структуры. Отключение Sj■ Предположим, что при t < t-динамика системы S задается уравнениями (1). Пусть ykj (t- ) = yj ■

Также полагаем, что gj . km (Xk1(tkj ),■■■, X km (t-j )) < Пусть при t > t-j, Xkj (t) * 0 динамика системы S задается уравнениями

1.....X„.....Xm ), i = 1.....m;

(6)

Xki = fk\....Jkn (Xk1,..., Xki,..., Xkm ), i = 1,..., m;

у1 - g-í,•••, кт (Xk1,•••, Хк/ ,•••, Хкт ), 1 - п,

где функции /я-кг т, g~-ll кт обеспечивают существование и единственность решений системы (6) При этом полагаем, что в области {|| X— ||<|| X--) ||}

?к\!•,кт (Xk1,•••,Хк/ ,•••,Хкт ) < -а-'

где а-- — заданная постоянная, кроме того,

fk\] km (Xk1,■■■, Xkj ,■■■, Xkm ) <"% < 0, (7)

gкl/• •,кт (Хк1),•••, Хк/ ),•••, Хкт ('к/ )) < 0

Далее, наличие условия (7) позволяет определить момент времени , такой что Х-/ ('к/) - 0- При этом возможны два случая: 1) траектория системы (6), находясь в области, для которой ук/ < уц, попадает на множество X— - 0; 2) траектория системы (6) сначала при ' - 11-/ < '/ попадает на плоскость у— - у— •

Рассмотрим оба случая:

1) с момента попадания траектории на множество X— - 0 динамика системы £ задается уравнениями (5); таким образом, происходит отключение подсистемы ;

2) после попадания траектории на плоскость у— - у/ из области у— < у/ полагаем, что динамика системы £ задается уравнениями

Xki = fk\,1...,km (Xk1,..., Xki ,■■■, Xkm ), i = 1,..., m; yl = g+1,..., km (Xk1,..., Xkj ,■■■, Xkm ), l = 1,..., n,

(8)

где функции /-+ ' кт, gkl кт обеспечивают существование и единственность решения^ Пусть

gZ,т(Хк1(4/),•••,X/(1к]),•••,ХктСк)) * 0, (9)

gкt••,кт (Хк 1 (4/ ),•••, Хк/' ),•••, Хкт ('к/' )) > 0

При этом функции g+k' обладают свойством положительного скачка: гарантируют попадание траектории на плоскость у-- = У - + 5+-, после чего динамика системы 8 задается уравнениями (1). Это означает, что отключения подсистемы не произошло („ложная тревога").

Подключение . Пусть динамика 8 задается системой (5), и в некоторый момент времени 1-- имеем у-- (1+) = У -. При этом полагаем

,...,-(--1),к(-+1)..,кт (Хк1 ),...,Хк(--1) (-),Хк(-+1) ),..., Хкт )) > 0.

Далее, при 1 - - динамика 8 задается системой (8), для которой, помимо условия (9) и свойства положительного скачка для g+lk , до момента попадания траектории на плоскость у-- = у- + 5+- выполняется условие

I fk\!.,km ^кЬ-^ Х к- ^^ Х кт ) 1> а+ > 0,

где а+ — заданная постоянная.

В результате динамика 8 задается системой (1). Происходит подключение подсистемы .

Определение. Будем называть построенную выше математическую модель системой с переменной размерностью (СПР) с разрывным или непрерывным изменением структуры.

Траектория СПР состоит из участков, соответствующих временным интервалам, на которых структура системы не изменяется. При этом каждый участок траектории порождает

последовательность структур у(к), т.е. структурную траекторию. Задача стабилизации заданной структуры в случае линейной системы решается в работе [8].

Пример. Рассмотрим систему т связанных между собой твердых тел Р-, уравнения

движения которых имеют вид: (ю-, юк, ук, V-, ик) = 0, где ю-, V- — абсолютные угловая скорость к-го тела и скорость относительно неподвижной точки О-; и- — управляющий момент сил, приложенных к к-му телу. Пусть в каждом теле выделен орт г-, а в пространстве задана совокупность ортов dk. Задача состоит в стабилизации системы тел, т.е. в построении управлений и-, при которых г- ^ d- при 1 ^го. Введем дополнительное непрямое управление у, такое что У = М - (| и1 | +...+ | ит |) , где М = М(1) — пороговая кусочно-постоянная функция, | ик | — модуль вектора и-. Пусть задана бесконечная совокупность постоянных : < у;+1, г = 1, 2,... Будем полагать, что при у е (у-,у-+1) в состав системы входят тела Р1,...,Р-. При достижении переменной значения у- происходит отключение тела Р-, а при достижении значения ук+1 — подключение тела Рк+1 . Переменная у характеризует запас энергии, имеющейся в распоряжении управляющего органа системы и затрачиваемой на стабилизацию. Если этот запас достаточно велик, то подключается дополнительный объект, в противном случае отключается один из объектов. Таким образом, построена саморазвивающаяся механическая система с двухуровневым управлением: посредством управления и- решается задача стабилизации, а посредством параметра у изменяется структура системы в зависимости от наличия энергии, значение которой может регулироваться изменением функции М, зависящей, в свою очередь, от параметров, характеризующих движение системы.

Предложенный подход, который можно назвать методом динамической декомпозиции, позволяет аналитически исследовать сложные системы с переменной структурой и размерностью, используя на различных стадиях их функционирования более простые, по сравнению с исходной, модели.

список литературы

1. Кириллов А. Н. Динамическая декомпозиция и устойчивость структур // Математический анализ и его приложения: Сб. / Под ред. В. В. Мазалова. Чита: Изд-во Читинск. пед. ин-та, 1996. Вып. 2. С. 20—24.

2. ШильякД. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994. 576 с.

3. Груйич Л. Т., Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев: Наукова думка, 1984. 473 с.

4. Матросов В. М., Маликов А. И. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических систем со структурными изменениями // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 1998. Вып. 2. С. 47—54.

5. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управление структурной динамикой сложных динамических объектов. М.: Наука, 2006. 410 с.

6. Москвин Б. В., Михайлов Е. П., Павлов А. Н., Соколов Б. В. Комбинированные модели управления структурной динамикой информационных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 11. С. 7—12.

7. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.

8. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестн. СПбГУ. Сер. 10. 2006. Вып. 4. С. 127—131.

Сведения об авторе

Александр Николаевич Кириллов — канд. физ.-мат. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный

технологический университет растительных полимеров, кафедра высшей математики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

высшей математики 18.09.08 г.