CC BY
71
УДК 517.977
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СТРУКТУР ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ
А. Н. Кириллов,
доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник
Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН
Предлагается структурный подход к исследованию динамики гибридных систем. Вводятся понятия структурных движений и орбит, соответствующих различному объему информации о начальном состоянии системы. Рассмотрены геометрические методы описания динамики структур.
Ключевые слова — гибридная система, структурное движение, структурная орбита, динамическая система.
Введение
Гибридные системы сочетают непрерывную и дискретную динамику. В последнее время моделирование и управление гибридными системами представляет собой активно развивающееся направление в теории управления. Повышение интереса к ним вызвано расширением области применения этого класса систем. Сюда можно отнести задачи управления коммуникационными сетями, информационными системами, транспортными и производственными потоками. На 16-м (2005 г.) Конгрессе Международной федерации по автоматическому управлению (ИФАК) среди важнейших проблем, стоящих перед научным сообществом, была отмечена необходимость развития теории гибридных систем. Различным вопросам моделирования и управления в этой области посвящены исследования отечественных и зарубежных ученых [1-9].
Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в исследовании конкретных задач и моделей, нет единого подхода к их исследованию, общая теория гибридных систем еще находится в стадии становления. В настоящей статье развивается структурный подход к моделированию и анализу сложных систем с переменными связями и составом. Их можно отнести к классу гибридных систем. Понятие структуры было введено и использовалось для моделирования линейных систем с переменным составом в работах [1012]. В данной статье продолжается исследование структурной динамики систем. Предлагаются различные типы структурных движений и орбит. Развиваемый аппарат позволит моделиро-
вать структурные изменения в различных прикладных задачах, возникающих при исследовании сложных динамических систем. Особенно это касается систем, в состав которых может входить большое количество подсистем со сложными взаимосвязями. В этом случае традиционные подходы к исследованию динамических моделей оказываются малопригодными в силу большой переменной размерности и нелинейности систем. Предлагаемые понятия внешней и внутренней структуры позволяют в этом случае дать хотя бы грубое описание динамики, а также прогнозировать и управлять поведением сложных систем.
Структурная полудинамическая система
Рассмотрим сложную динамическую систему 5. Пусть в процессе ее функционирования некоторые подсистемы, входящие в 5, могут отключаться или вновь подключаться к ней. При этом подсистемы ві, входящие в в, взаимодействуют между собой. Рассмотрим понятие структуры у(Ь) = (у1, ..., уп)єЯп системы в [10]. В состав в могут входить подсистемы из упорядоченного набора {в1, ..., вп}. Полагаем, что уі(ї) = 1, если подсистема ві в момент времени ї входит в в, уі(і) = 0, если подсистема ві в момент времени ї не входит в в.
Определение [10]. Вектор у(і) = (у1(і), ..., уп(ї))єЯп называется структурой системы в в момент времени ї.
Пусть Г — множество всевозможных структур системы в: уєГ. Можно считать, что Г — подмножество вершин единичного п-мерного куба 1п: Гс1п.
На множестве структур Г введем динамику, используя метрику Хэмминга
р(У(1), У(2)) = £ У!1} - У ;2) і = 1
у(Й= (у17),...,У(/)), /=1,2.
Определение. Общей структурной полудина-мической системой называется двухпараметрическое семейство преобразований 0(г, г0) множества структур Г в себя, удовлетворяющее условиям:
1) для любых уеГ, t0 eR определено множество 0(г, г0)(у) = 0(г, г0, у)сГ при г > г0, 0(г, г0, у) ф 0, 0(г0,
t0, У) = у;
2) для любого Пбв(г1, г0, у) определено множество в(г1, г0, п) такое, что в(г, гх, п) = 0(г, *0, у), где объединение берется по всем пев(г1, г0, у) при г > *1;
3) Нш р0(г, *о, У), У) = 0, где р0(г, *о, у), у) =
?——?о + 0
= тахр(п, у) по всем г\е0(г, г0, у).
Таким образом, 0(г, г0, у) — множество структур, которые 5 может иметь в момент времени г > г0, если в момент времени г0 система имела структуру у.
Ниже будет построена реализация общей структурной полудинамической системы. Пусть 5(у) — система 5, имеющая структуру у, М(у) — фазовое пространство динамической системы в(у). Предлагается следующая динамическая модель изменения структуры во времени. Пусть О(у) — подмножество соответствующего фазового пространства: О(у)сМ(у); 0%) — граница О(у), т. е. 0%) = Ос(у)\О (у), Ос(у) — замыкание О(у).
Определение. Множество О(у) будем называть фазовым подпространством динамической системы в(у).
Произведем разбиение фазового подпространства О(у): О(у) = ирЦ,(у), где Ор(у)пОд(у) = 0, р, #еР(у) — множество индексов, соответствующих структуре у.
Определение. Разбиением х(у) фазового подпространства О(у) называется множество х(у) = = Рр(у): О(у) = ^рОр(у), Ор(у)пОд(у) = 0, р, деР(у)}.
Определение. Системой в со структурными изменениями (ССИ) называется следующее множество {Г, О, ¥, т, Ф, Ф^, ©}, где:
Г — структурное пространство системы в, т. е. множество структур у, которые может иметь система в процессе функционирования: уеГ;
О = {О(у): уеГ} — множество фазовых подпространств;
¥ = {в(у): уеГ} — множество динамических систем в(у), заданных в фазовых пространствах О(у);
т = {т(у): уеГ} — множество разбиений фазовых пространств О(у);
Ф = {ф^ Р(У)^£(У*), 2(У*) = Ф*у(р(у)), р(у)еР(у), #(у*)еф(у*)} — множество отображений перехода
от системы в(у) к в(у*), -Р(у), ©(у*) — множества индексов, соответствующих структурам у, у*;
Ф = {ф/г^: О^(у)^О(у*)\О^(у*)} — множество отображений границ О^(у) фазовых подпространств О(у) во внутренности фазовых подпространств О(у*);
© = {9(у, у*)} — множество функций временных задержек при переходе от структуры у к у*.
Опишем, как происходит функционирование ССИ. Предположим, что в начальный момент времени г0 система имеет структуру у.
Пусть Х0(у) — вектор начального состояния системы в(у), Х0(у)еОр(у), а Х(г, г0, Х0(у)) — движение динамической системы в(у), причем Х(г0, г0, Хо(у)) = Хо(у).
Если найдется первый момент времени р > г0 такой, что состояние Хр(1 = X(^pq, г0, Х0(у))еО%), то отображение перехода ф*уу переводит состояние Хр^ в точку ф^Хрд^Од^О^у*), где д = д(у*) = = ф*у(р(у)). Далее, спустя время 9(р(у), д(у*) = 9(Х^, г0, Х0(у)) начинается движение Х(г, + 9(Х(гд, г0,
Х0(у)), Х(гд, г0, Х0(у))) динамической системы в(у*) в подпространстве О(у*) и процесс повторяется. Таким образом, происходит переход от структуры у к у*.
Если движение динамической системы в(у) не попадает на границу О^(у), то переключение структуры не происходит.
Определенная выше ССИ обладает как непрерывной, так и дискретной динамикой, поэтому ее можно отнести к классу гибридных систем. Предложенное понятие наиболее близко к определению гибридной системы, приведенному в работе [8].
Структурные движения и орбиты
Качественное исследование в общем случае функционирования ССИ представляется неразрешимой задачей в силу сложности поведения динамических систем в(у), их состыковки с помощью переходных отображений и т. д. Из определения ССИ следует, что процесс функционирования системы в порождает конечную или бесконечную последовательность структур {ук}, каждый член которой характеризует состав системы. В связи с этим более перспективным представляется изучение последовательностей структур, выделение классов систем с одинаковым в некоторых смыслах поведением этих последовательностей. Исследование динамики структур может сыграть важную роль при математическом моделировании сложных динамических информационных, эколого-экономических, производственных, энергетических систем.
Начальная структура, как следует из определения, не устанавливает однозначно последователь-
ность структур {ук}. Действительно, структура ук + 1 зависит не только от ук, но и от Ор(ук) — элемента разбиения т(ук), которому принадлежит начальное для динамической системы в(ук) состояние Х0(ук). В связи с этим предлагается рассмотреть следующие последовательности структур, различающиеся способом задания начальной структуры. В начальный момент времени можно задать один из трех элементов включения Хо(у0)еОр(у0)сО(у0).
1. Пусть задано ЗДу0) или у0, а само начальное состояние Х0(у0) и элемент Ц,(у°) разбиения неизвестны. Тогда процессу функционирования будет соответствовать последовательность множеств структур {Гк(у0)} такая, что Г°(у°) = У0 , т. е. Гк(у0) — множество всех структур, которые может иметь система в на тот момент времени, когда произошло к переключений структур, если задана ее начальная структура у0. Пусть Г(ї, ї0, у0) — множество всех структур, которые может иметь система в в момент времени ї > ї0, если в начальный момент времени ї = і0 задана лишь ее начальная структура у0.
Определение. Последовательность структур {Гк(у0)}, к = 0, 1, 2, ..., для которой Г°(у°) = у0, будем называть структурной орбитой.
Множество Г(ї, ї0, у0), где Г(ї0, ї0, у0) = у0, будем называть структурным движением.
2. Пусть задано множество ^р(у0) или индекс р(у0)єР(у0). При этом начальное состояние Х0(у0)єОр(у0) неизвестно. Тогда, как следует из определения ССИ, процессу функционирования системы будет соответствовать однозначно определенная последовательность структур{ук(р(у0))}. Пусть у(і, ї0, р(у0)) — множество структур, которые может иметь система в в момент времени ї > ї0, причем у(Ь0, і0, р(у0)) = у0. В этом случае у(ї, ї0, Р(У°)) — не единственная структура, поскольку от значения Х0(у0)єОр(у0) зависит момент переключения, временная задержка и начальное состояние следующей структуры. Следовательно, несмотря на то, что последовательность структур определена однозначно, в некоторый момент времени у(і, ї0, р(у0)) может иметь различные значения: у(г, #0, р(у0))є{ук(р(у0))}, к = 0, 1, 2, ... .
Определение. Последовательность структур {ук(р(у0))}, к = 0, 1, 2, ..., для которой у0(р(у0)) = у0, будем называть р-структурной орбитой.
Структура у(і, ї0, р(у0)) называется р-структур-ным движением.
3. Пусть задано начальное состояние Х0(у0)є єОр(у°) в начальный момент времени ї0. Тогда процессу функционирования системы будет соответствовать однозначно определенная последовательность структур {ук(Х0(у0))}. Пусть у(г°, і0, Х0(у0)) — структура, которую имеет система в момент времени і > і0, причем у(г°, і0, Х0(у0)) = у0.
Определение. Последовательность структур {ук(Х0(у0))}, к = 0, 1, 2, ..., для которой у0(Х0(у0)) = у0, будем называть Х-структурной орбитой.
Структура у(ї, ї0, Х0(у0)) называется Х-струк-турным движением.
Остановимся на различиях между введенными понятиями. Очевидно, р- и Х-структурные орбиты совпадают, если у них совпадают индексы р(у°) начальных элементов разбиений. Далее отметим, что у(ї, Х0(у0))єу(ї, р(у0)). При этом,
очевидно, у(ї, Х0(у0)) — однозначно определен-
ная структура. Начальное состояние Х0(у0)) однозначно определяет не только последовательность структур, но и промежуток Ыск существования каждой из них.
Построенная ССИ задает динамику структур и дает возможность развития общей теории путем переноса с соответствующими изменениями понятий теории динамических систем. Для примера рассмотрим понятие инвариантного множества. Множество структур Г*сГ можно назвать инвариантным по отношению к структурному движению Г(ї, у0), если из включе-
ния у0єГ* следует, что Г(ї, і0, у0)сГ* при всех ї Аналогично можно ввести понятия инвариантных множеств по отношению к X- и р- структурным движениям и орбитам. Таким образом, определенная выше ССИ позволяет реализовать структурную полудинамическую систему 0(Ь, и развить для нее соответствующую качественную теорию.
Геометрия структур
Структуру у можно назвать внешней, поскольку она характеризует состав системы в. Введем понятие внутренней структуры для описания взаимосвязей подсистем, входящих в состав в. Положим = 1(Ъ^ = 0), если подсистема ві воздействует (не воздействует) на подсистему Sj в то время, когда они обе находятся в составе в. Введем матрицу внутренней структуры В = {yiУjЪij}, і, j = 1, ..., п. Процесс функционирования системы в порождает последовательность {Вк} = {у кукЪ^}, где (ук, ..., у к) = ук. Далее, сопоставим каждой структуре два комплекса. Пусть в состав первого (Е) входят симплексы, вершинам которых соответствуют подсистемы, воздействующие на какую-то одну подсистему. В составе второго (Е*) — симплексы, вершины которых соответствуют подсистемам, на которые воздействует какая-либо одна подсистема. Эти комплексы можно назвать двойственными. Номера вершин считаем совпадающими с номерами подсистем. Тогда любой симплекс первого комплекса имеет номера вершин, равные номерам ненулевых элементов соответствующих столбцов матрицы В. Для второго ком-
плекса аналогичную роль играют номера ненулевых элементов строк. Зададим на каждом из введенных комплексов неотрицательные функции Н и Н*, принимающие на отдельных симплексах положительные значения. Смысл этих функций — плата за установление связей между подсистемами. Процессу функционирования соответствует последовательность двойственных комплексов, симплексы которых задаются матрицами Вк. Пусть Нк(р(у0)) (или Нк*(р(у0))) — значение функции Н (или Н*) на симплексе Ь, соответствующем структуре ук(р(у0)). Пусть Нк(р(у0)) = = 2ЬНк (р(У0)), где сумма берется по всем симплексам, входящим в комплекс R (ук(р(у0))), соответствующий ук(р(у0)). Аналогично определяем функцию Нк*(р(у0)) = ЕЬНк*(р(у0)). Можно высказать гипотезу, что естественные системы со структурными изменениями (экологические, биологические) функционируют так, чтобы функции Нй(р(у°)), Нк*(р(у0)) принимали по возможности меньшие значения. Для искусственных систем можно ставить задачу оптимального управления в смысле введенных плат за установление связей между подсистемами.
Можно рассмотреть случай, когда В зависит не только от конфигурации, но и от времени или от очередности вхождения подсистем в систему в.
Рассмотрим последовательность структур {ук(р(у0))}, т. е. р-структурную орбиту. Это наиболее информативная об изменении структуры последовательность при наименьшей возможной информации о начальных данных. Действительно, последовательность {ук(Х0(у0))}, т. е. Х-струк-турная траектория, также однозначно определяет последовательность структур, но при этом она требует знания начального состояния Х0(у°).
На основе определенной ССИ можно ввести оператор О: Г Г такой, что 0(ук(р(у0)) = ук + 1(р(у0)). Оператор О однозначно определяет последовательность структур, если задан начальный индекс р(у°). Каждому индексу р(у) поставим в соответствие вершину Лр(у) графа. Пусть из вершины Лр(у) ведет дуга в вершину Лд(у*), если д(у*) = = Ф*у(р(у)). При этом у = ук(р(у°)), у* = ук + 1(р(у0)) при ке{1, ..., п}. Таким образом, каждой р-структурной орбите{ук(р(у°))} системы в можно однозначно сопоставить ориентированный граф, отражающий ее структурную динамику. Итак, системе в сопоставлен ориентированный граф. Такое представление ССИ позволяет применять теорию графов к исследованию структурных орбит, сводя их исследование к исследованию геометрических свойств графов. В частности, можно использовать изоморфизм графов для реализации подхода к определению эквивалентности ССИ. Возникают следующие задачи: выделить класс операторов, для ко-
торых можно провести классификацию соответствующих им графов; по данному оператору построить ССИ, принадлежащую определенному классу (задача синтеза). Отметим, что в работе [13] с помощью графов представлялись разностные операторы для определения сложности конечной двоичной последовательности.
Приведем некоторые примеры процессов, при моделировании которых возникает ССИ и динамика структуры.
Пример 1. В работах [9, 14] рассмотрена динамическая сеть, представляющая информационную систему с переменными взаимосвязями и составом. В состав сети входят узлы трех типов: источники информации, трансляторы, потребители. В дискретные моменты времени гЬ, Ь = 0, ..., к происходит изменение состава и параметров сети. Задается динамическая система, определяющая изменение состояния узлов и моменты г. При этом у = 1, если Ь-й узел функционирует, у = 0 в противном случае. Таким образом, имеем пример ССИ, задающей динамику структуры у.
Пример 2. Рассмотрим процесс биологической очистки сточных вод активным илом. Переменными величинами, задающими состояние системы, являются плотности различных субстратов-загрязнителей и видов микроорганизмов, окисляющих соответствующие типы субстратов. Динамика задается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. При этом количество уравнений изменяется в процессе функционирования системы, поскольку количество видов, которые успевают закрепиться в аэ-ротенке, зависит от скорости подачи ила в аэро-тенк. Скорость рециркуляции ила и — управляющий параметр — подстраивается под нагрузку на входе в систему биоочистки. Можно положить у = 1, если Ь-й вид присутствует в системе, что соответствует определенному значению и, у = 0 в противном случае. В работе [15] представлена математическая модель стабилизации этого процесса с использованием ССИ.
Предлагаемый аппарат можно использовать при моделировании динамики больших групп роботов (динамика стаи), крупных производственных комплексов, транспортных сетей и т. д.
Заключение
Предложен структурный подход к математическому моделированию гибридных систем. Развивается понятийный аппарат, который может быть применен при построении конкретных моделей сложных динамических информационных, производственных, транспортных, энергетических систем с изменяющейся структурой.
Литература
1. Branicky M. C. Topology of hybrid systems // Proc. 32nd IEEE CDC. San Antonio, 1993. P. 2309-2314.
2. Куржанский А. Б., Точилин П. А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 11. С. 15231533.
3. Matveev A., Savkin A. Qualitative theory of hybrid dynamical systems. — Boston: Birkhauzer, 2000. — 348 p.
4. Travernini L. Differential Automata and Their Discrete Simulators // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1987. Vol. 11. N 6. P. 665683.
5. Branicky M. S., Borkar V. S., Mitter S. K. A Unified Framework for Hybrid Control: Model and Optimal Control Theory // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. Vol. 43. N 4. P. 475-482.
6. Nerode A., Kohn W. Models for Hybrid Systems: Automata, Topologies, Controllability, Observability // Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer, 1993. N 736. P. 317-356.
7. Collins P. Chaotic Dynamics in Hybrid Systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2008. Vol. 8. N 2. P. 169-194.
8. Brockett R. W. Hybrid models for motion control systems // Essays in control. H. L. Trentelman, J. C. Willems, eds. Boston: Birkhauser, 1993. P. 29-53.
9. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных динамических объектов. — М.: Наука, 2006. — 410 с.
10. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2006. Вып. 4. С. 127-131.
11. Кириллов А. Н. Динамические системы с переменной структурой и размерностью // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52. № 3. С. 23-28.
12. Кириллов А. Н. Метод динамической декомпозиции в моделировании систем со структурными изменениями // Информационно-управляющие системы. 2009. № 1. С. 20-24.
13. Арнольд В. И. Экспериментальное наблюдение математических фактов / МЦНМО. — М., 2006. — 120 с.
14. Москвин Б. В., Михайлов Е. П., Павлов А. Н., Соколов Б. В. Комбинированные модели управления структурной динамикой информационных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49. № 11. С. 7-12.
15. Кириллов А. Н. Моделирование динамики аэротен-ка // Устойчивость и процессы управления: Тез. докл. Всерос. конф. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2010. С. 71-72.
