Научная статья на тему 'Моделирование динамики структур гибридных систем'

Моделирование динамики структур гибридных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
53
25
Поделиться
Ключевые слова
ГИБРИДНАЯ СИСТЕМА / СТРУКТУРНОЕ ДВИЖЕНИЕ / СТРУКТУРНАЯ ОРБИТА / ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кириллов Александр Николаевич

Предлагается структурный подход к исследованию динамики гибридных систем. Вводятся понятия структурных движений и орбит, соответствующих различному объему информации о начальном состоянии системы. Рассмотрены геометрические методы описания динамики структур.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кириллов Александр Николаевич,

Modeling of Hybrid Systems Structure Dynamics

A structural approach to hybrid systems dynamics research is proposed. The notions of structural movements and orbits that correspond to different information volume of the system initial state are introduced. Geometric methods of structure dynamics are considered.

Текст научной работы на тему «Моделирование динамики структур гибридных систем»

УДК 517.977

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СТРУКТУР ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ

А. Н. Кириллов,

доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Предлагается структурный подход к исследованию динамики гибридных систем. Вводятся понятия структурных движений и орбит, соответствующих различному объему информации о начальном состоянии системы. Рассмотрены геометрические методы описания динамики структур.

Ключевые слова — гибридная система, структурное движение, структурная орбита, динамическая система.

Введение

Гибридные системы сочетают непрерывную и дискретную динамику. В последнее время моделирование и управление гибридными системами представляет собой активно развивающееся направление в теории управления. Повышение интереса к ним вызвано расширением области применения этого класса систем. Сюда можно отнести задачи управления коммуникационными сетями, информационными системами, транспортными и производственными потоками. На 16-м (2005 г.) Конгрессе Международной федерации по автоматическому управлению (ИФАК) среди важнейших проблем, стоящих перед научным сообществом, была отмечена необходимость развития теории гибридных систем. Различным вопросам моделирования и управления в этой области посвящены исследования отечественных и зарубежных ученых [1-9].

Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в исследовании конкретных задач и моделей, нет единого подхода к их исследованию, общая теория гибридных систем еще находится в стадии становления. В настоящей статье развивается структурный подход к моделированию и анализу сложных систем с переменными связями и составом. Их можно отнести к классу гибридных систем. Понятие структуры было введено и использовалось для моделирования линейных систем с переменным составом в работах [1012]. В данной статье продолжается исследование структурной динамики систем. Предлагаются различные типы структурных движений и орбит. Развиваемый аппарат позволит моделиро-

вать структурные изменения в различных прикладных задачах, возникающих при исследовании сложных динамических систем. Особенно это касается систем, в состав которых может входить большое количество подсистем со сложными взаимосвязями. В этом случае традиционные подходы к исследованию динамических моделей оказываются малопригодными в силу большой переменной размерности и нелинейности систем. Предлагаемые понятия внешней и внутренней структуры позволяют в этом случае дать хотя бы грубое описание динамики, а также прогнозировать и управлять поведением сложных систем.

Структурная полудинамическая система

Рассмотрим сложную динамическую систему 5. Пусть в процессе ее функционирования некоторые подсистемы, входящие в 5, могут отключаться или вновь подключаться к ней. При этом подсистемы ві, входящие в в, взаимодействуют между собой. Рассмотрим понятие структуры у(Ь) = (у1, ..., уп)єЯп системы в [10]. В состав в могут входить подсистемы из упорядоченного набора {в1, ..., вп}. Полагаем, что уі(ї) = 1, если подсистема ві в момент времени ї входит в в, уі(і) = 0, если подсистема ві в момент времени ї не входит в в.

Определение [10]. Вектор у(і) = (у1(і), ..., уп(ї))єЯп называется структурой системы в в момент времени ї.

Пусть Г — множество всевозможных структур системы в: уєГ. Можно считать, что Г — подмножество вершин единичного п-мерного куба 1п: Гс1п.

На множестве структур Г введем динамику, используя метрику Хэмминга

р(У(1), У(2)) = £ У!1} - У ;2) і = 1

у(Й= (у17),...,У(/)), /=1,2.

Определение. Общей структурной полудина-мической системой называется двухпараметрическое семейство преобразований 0(г, г0) множества структур Г в себя, удовлетворяющее условиям:

1) для любых уеГ, t0 eR определено множество 0(г, г0)(у) = 0(г, г0, у)сГ при г > г0, 0(г, г0, у) ф 0, 0(г0,

t0, У) = у;

2) для любого Пбв(г1, г0, у) определено множество в(г1, г0, п) такое, что в(г, гх, п) = 0(г, *0, у), где объединение берется по всем пев(г1, г0, у) при г > *1;

3) Нш р0(г, *о, У), У) = 0, где р0(г, *о, у), у) =

?——?о + 0

= тахр(п, у) по всем г\е0(г, г0, у).

Таким образом, 0(г, г0, у) — множество структур, которые 5 может иметь в момент времени г > г0, если в момент времени г0 система имела структуру у.

Ниже будет построена реализация общей структурной полудинамической системы. Пусть 5(у) — система 5, имеющая структуру у, М(у) — фазовое пространство динамической системы в(у). Предлагается следующая динамическая модель изменения структуры во времени. Пусть О(у) — подмножество соответствующего фазового пространства: О(у)сМ(у); 0%) — граница О(у), т. е. 0%) = Ос(у)\О (у), Ос(у) — замыкание О(у).

Определение. Множество О(у) будем называть фазовым подпространством динамической системы в(у).

Произведем разбиение фазового подпространства О(у): О(у) = ирЦ,(у), где Ор(у)пОд(у) = 0, р, #еР(у) — множество индексов, соответствующих структуре у.

Определение. Разбиением х(у) фазового подпространства О(у) называется множество х(у) = = Рр(у): О(у) = ^рОр(у), Ор(у)пОд(у) = 0, р, деР(у)}.

Определение. Системой в со структурными изменениями (ССИ) называется следующее множество {Г, О, ¥, т, Ф, Ф^, ©}, где:

Г — структурное пространство системы в, т. е. множество структур у, которые может иметь система в процессе функционирования: уеГ;

О = {О(у): уеГ} — множество фазовых подпространств;

¥ = {в(у): уеГ} — множество динамических систем в(у), заданных в фазовых пространствах О(у);

т = {т(у): уеГ} — множество разбиений фазовых пространств О(у);

Ф = {ф^ Р(У)^£(У*), 2(У*) = Ф*у(р(у)), р(у)еР(у), #(у*)еф(у*)} — множество отображений перехода

от системы в(у) к в(у*), -Р(у), ©(у*) — множества индексов, соответствующих структурам у, у*;

Ф = {ф/г^: О^(у)^О(у*)\О^(у*)} — множество отображений границ О^(у) фазовых подпространств О(у) во внутренности фазовых подпространств О(у*);

© = {9(у, у*)} — множество функций временных задержек при переходе от структуры у к у*.

Опишем, как происходит функционирование ССИ. Предположим, что в начальный момент времени г0 система имеет структуру у.

Пусть Х0(у) — вектор начального состояния системы в(у), Х0(у)еОр(у), а Х(г, г0, Х0(у)) — движение динамической системы в(у), причем Х(г0, г0, Хо(у)) = Хо(у).

Если найдется первый момент времени р > г0 такой, что состояние Хр(1 = X(^pq, г0, Х0(у))еО%), то отображение перехода ф*уу переводит состояние Хр^ в точку ф^Хрд^Од^О^у*), где д = д(у*) = = ф*у(р(у)). Далее, спустя время 9(р(у), д(у*) = 9(Х^, г0, Х0(у)) начинается движение Х(г, + 9(Х(гд, г0,

Х0(у)), Х(гд, г0, Х0(у))) динамической системы в(у*) в подпространстве О(у*) и процесс повторяется. Таким образом, происходит переход от структуры у к у*.

Если движение динамической системы в(у) не попадает на границу О^(у), то переключение структуры не происходит.

Определенная выше ССИ обладает как непрерывной, так и дискретной динамикой, поэтому ее можно отнести к классу гибридных систем. Предложенное понятие наиболее близко к определению гибридной системы, приведенному в работе [8].

Структурные движения и орбиты

Качественное исследование в общем случае функционирования ССИ представляется неразрешимой задачей в силу сложности поведения динамических систем в(у), их состыковки с помощью переходных отображений и т. д. Из определения ССИ следует, что процесс функционирования системы в порождает конечную или бесконечную последовательность структур {ук}, каждый член которой характеризует состав системы. В связи с этим более перспективным представляется изучение последовательностей структур, выделение классов систем с одинаковым в некоторых смыслах поведением этих последовательностей. Исследование динамики структур может сыграть важную роль при математическом моделировании сложных динамических информационных, эколого-экономических, производственных, энергетических систем.

Начальная структура, как следует из определения, не устанавливает однозначно последователь-

ность структур {ук}. Действительно, структура ук + 1 зависит не только от ук, но и от Ор(ук) — элемента разбиения т(ук), которому принадлежит начальное для динамической системы в(ук) состояние Х0(ук). В связи с этим предлагается рассмотреть следующие последовательности структур, различающиеся способом задания начальной структуры. В начальный момент времени можно задать один из трех элементов включения Хо(у0)еОр(у0)сО(у0).

1. Пусть задано ЗДу0) или у0, а само начальное состояние Х0(у0) и элемент Ц,(у°) разбиения неизвестны. Тогда процессу функционирования будет соответствовать последовательность множеств структур {Гк(у0)} такая, что Г°(у°) = У0 , т. е. Гк(у0) — множество всех структур, которые может иметь система в на тот момент времени, когда произошло к переключений структур, если задана ее начальная структура у0. Пусть Г(ї, ї0, у0) — множество всех структур, которые может иметь система в в момент времени ї > ї0, если в начальный момент времени ї = і0 задана лишь ее начальная структура у0.

Определение. Последовательность структур {Гк(у0)}, к = 0, 1, 2, ..., для которой Г°(у°) = у0, будем называть структурной орбитой.

Множество Г(ї, ї0, у0), где Г(ї0, ї0, у0) = у0, будем называть структурным движением.

2. Пусть задано множество ^р(у0) или индекс р(у0)єР(у0). При этом начальное состояние Х0(у0)єОр(у0) неизвестно. Тогда, как следует из определения ССИ, процессу функционирования системы будет соответствовать однозначно определенная последовательность структур{ук(р(у0))}. Пусть у(і, ї0, р(у0)) — множество структур, которые может иметь система в в момент времени ї > ї0, причем у(Ь0, і0, р(у0)) = у0. В этом случае у(ї, ї0, Р(У°)) — не единственная структура, поскольку от значения Х0(у0)єОр(у0) зависит момент переключения, временная задержка и начальное состояние следующей структуры. Следовательно, несмотря на то, что последовательность структур определена однозначно, в некоторый момент времени у(і, ї0, р(у0)) может иметь различные значения: у(г, #0, р(у0))є{ук(р(у0))}, к = 0, 1, 2, ... .

Определение. Последовательность структур {ук(р(у0))}, к = 0, 1, 2, ..., для которой у0(р(у0)) = у0, будем называть р-структурной орбитой.

Структура у(і, ї0, р(у0)) называется р-структур-ным движением.

3. Пусть задано начальное состояние Х0(у0)є єОр(у°) в начальный момент времени ї0. Тогда процессу функционирования системы будет соответствовать однозначно определенная последовательность структур {ук(Х0(у0))}. Пусть у(г°, і0, Х0(у0)) — структура, которую имеет система в момент времени і > і0, причем у(г°, і0, Х0(у0)) = у0.

Определение. Последовательность структур {ук(Х0(у0))}, к = 0, 1, 2, ..., для которой у0(Х0(у0)) = у0, будем называть Х-структурной орбитой.

Структура у(ї, ї0, Х0(у0)) называется Х-струк-турным движением.

Остановимся на различиях между введенными понятиями. Очевидно, р- и Х-структурные орбиты совпадают, если у них совпадают индексы р(у°) начальных элементов разбиений. Далее отметим, что у(ї, Х0(у0))єу(ї, р(у0)). При этом,

очевидно, у(ї, Х0(у0)) — однозначно определен-

ная структура. Начальное состояние Х0(у0)) однозначно определяет не только последовательность структур, но и промежуток Ыск существования каждой из них.

Построенная ССИ задает динамику структур и дает возможность развития общей теории путем переноса с соответствующими изменениями понятий теории динамических систем. Для примера рассмотрим понятие инвариантного множества. Множество структур Г*сГ можно назвать инвариантным по отношению к структурному движению Г(ї, у0), если из включе-

ния у0єГ* следует, что Г(ї, і0, у0)сГ* при всех ї Аналогично можно ввести понятия инвариантных множеств по отношению к X- и р- структурным движениям и орбитам. Таким образом, определенная выше ССИ позволяет реализовать структурную полудинамическую систему 0(Ь, и развить для нее соответствующую качественную теорию.

Геометрия структур

Структуру у можно назвать внешней, поскольку она характеризует состав системы в. Введем понятие внутренней структуры для описания взаимосвязей подсистем, входящих в состав в. Положим = 1(Ъ^ = 0), если подсистема ві воздействует (не воздействует) на подсистему Sj в то время, когда они обе находятся в составе в. Введем матрицу внутренней структуры В = {yiУjЪij}, і, j = 1, ..., п. Процесс функционирования системы в порождает последовательность {Вк} = {у кукЪ^}, где (ук, ..., у к) = ук. Далее, сопоставим каждой структуре два комплекса. Пусть в состав первого (Е) входят симплексы, вершинам которых соответствуют подсистемы, воздействующие на какую-то одну подсистему. В составе второго (Е*) — симплексы, вершины которых соответствуют подсистемам, на которые воздействует какая-либо одна подсистема. Эти комплексы можно назвать двойственными. Номера вершин считаем совпадающими с номерами подсистем. Тогда любой симплекс первого комплекса имеет номера вершин, равные номерам ненулевых элементов соответствующих столбцов матрицы В. Для второго ком-

плекса аналогичную роль играют номера ненулевых элементов строк. Зададим на каждом из введенных комплексов неотрицательные функции Н и Н*, принимающие на отдельных симплексах положительные значения. Смысл этих функций — плата за установление связей между подсистемами. Процессу функционирования соответствует последовательность двойственных комплексов, симплексы которых задаются матрицами Вк. Пусть Нк(р(у0)) (или Нк*(р(у0))) — значение функции Н (или Н*) на симплексе Ь, соответствующем структуре ук(р(у0)). Пусть Нк(р(у0)) = = 2ЬНк (р(У0)), где сумма берется по всем симплексам, входящим в комплекс R (ук(р(у0))), соответствующий ук(р(у0)). Аналогично определяем функцию Нк*(р(у0)) = ЕЬНк*(р(у0)). Можно высказать гипотезу, что естественные системы со структурными изменениями (экологические, биологические) функционируют так, чтобы функции Нй(р(у°)), Нк*(р(у0)) принимали по возможности меньшие значения. Для искусственных систем можно ставить задачу оптимального управления в смысле введенных плат за установление связей между подсистемами.

Можно рассмотреть случай, когда В зависит не только от конфигурации, но и от времени или от очередности вхождения подсистем в систему в.

Рассмотрим последовательность структур {ук(р(у0))}, т. е. р-структурную орбиту. Это наиболее информативная об изменении структуры последовательность при наименьшей возможной информации о начальных данных. Действительно, последовательность {ук(Х0(у0))}, т. е. Х-струк-турная траектория, также однозначно определяет последовательность структур, но при этом она требует знания начального состояния Х0(у°).

На основе определенной ССИ можно ввести оператор О: Г Г такой, что 0(ук(р(у0)) = ук + 1(р(у0)). Оператор О однозначно определяет последовательность структур, если задан начальный индекс р(у°). Каждому индексу р(у) поставим в соответствие вершину Лр(у) графа. Пусть из вершины Лр(у) ведет дуга в вершину Лд(у*), если д(у*) = = Ф*у(р(у)). При этом у = ук(р(у°)), у* = ук + 1(р(у0)) при ке{1, ..., п}. Таким образом, каждой р-структурной орбите{ук(р(у°))} системы в можно однозначно сопоставить ориентированный граф, отражающий ее структурную динамику. Итак, системе в сопоставлен ориентированный граф. Такое представление ССИ позволяет применять теорию графов к исследованию структурных орбит, сводя их исследование к исследованию геометрических свойств графов. В частности, можно использовать изоморфизм графов для реализации подхода к определению эквивалентности ССИ. Возникают следующие задачи: выделить класс операторов, для ко-

торых можно провести классификацию соответствующих им графов; по данному оператору построить ССИ, принадлежащую определенному классу (задача синтеза). Отметим, что в работе [13] с помощью графов представлялись разностные операторы для определения сложности конечной двоичной последовательности.

Приведем некоторые примеры процессов, при моделировании которых возникает ССИ и динамика структуры.

Пример 1. В работах [9, 14] рассмотрена динамическая сеть, представляющая информационную систему с переменными взаимосвязями и составом. В состав сети входят узлы трех типов: источники информации, трансляторы, потребители. В дискретные моменты времени гЬ, Ь = 0, ..., к происходит изменение состава и параметров сети. Задается динамическая система, определяющая изменение состояния узлов и моменты г. При этом у = 1, если Ь-й узел функционирует, у = 0 в противном случае. Таким образом, имеем пример ССИ, задающей динамику структуры у.

Пример 2. Рассмотрим процесс биологической очистки сточных вод активным илом. Переменными величинами, задающими состояние системы, являются плотности различных субстратов-загрязнителей и видов микроорганизмов, окисляющих соответствующие типы субстратов. Динамика задается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. При этом количество уравнений изменяется в процессе функционирования системы, поскольку количество видов, которые успевают закрепиться в аэ-ротенке, зависит от скорости подачи ила в аэро-тенк. Скорость рециркуляции ила и — управляющий параметр — подстраивается под нагрузку на входе в систему биоочистки. Можно положить у = 1, если Ь-й вид присутствует в системе, что соответствует определенному значению и, у = 0 в противном случае. В работе [15] представлена математическая модель стабилизации этого процесса с использованием ССИ.

Предлагаемый аппарат можно использовать при моделировании динамики больших групп роботов (динамика стаи), крупных производственных комплексов, транспортных сетей и т. д.

Заключение

Предложен структурный подход к математическому моделированию гибридных систем. Развивается понятийный аппарат, который может быть применен при построении конкретных моделей сложных динамических информационных, производственных, транспортных, энергетических систем с изменяющейся структурой.

Литература

1. Branicky M. C. Topology of hybrid systems // Proc. 32nd IEEE CDC. San Antonio, 1993. P. 2309-2314.

2. Куржанский А. Б., Точилин П. А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 11. С. 15231533.

3. Matveev A., Savkin A. Qualitative theory of hybrid dynamical systems. — Boston: Birkhauzer, 2000. — 348 p.

4. Travernini L. Differential Automata and Their Discrete Simulators // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1987. Vol. 11. N 6. P. 665683.

5. Branicky M. S., Borkar V. S., Mitter S. K. A Unified Framework for Hybrid Control: Model and Optimal Control Theory // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. Vol. 43. N 4. P. 475-482.

6. Nerode A., Kohn W. Models for Hybrid Systems: Automata, Topologies, Controllability, Observability // Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer, 1993. N 736. P. 317-356.

7. Collins P. Chaotic Dynamics in Hybrid Systems // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2008. Vol. 8. N 2. P. 169-194.

8. Brockett R. W. Hybrid models for motion control systems // Essays in control. H. L. Trentelman, J. C. Willems, eds. Boston: Birkhauser, 1993. P. 29-53.

9. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных динамических объектов. — М.: Наука, 2006. — 410 с.

10. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2006. Вып. 4. С. 127-131.

11. Кириллов А. Н. Динамические системы с переменной структурой и размерностью // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52. № 3. С. 23-28.

12. Кириллов А. Н. Метод динамической декомпозиции в моделировании систем со структурными изменениями // Информационно-управляющие системы. 2009. № 1. С. 20-24.

13. Арнольд В. И. Экспериментальное наблюдение математических фактов / МЦНМО. — М., 2006. — 120 с.

14. Москвин Б. В., Михайлов Е. П., Павлов А. Н., Соколов Б. В. Комбинированные модели управления структурной динамикой информационных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49. № 11. С. 7-12.

15. Кириллов А. Н. Моделирование динамики аэротен-ка // Устойчивость и процессы управления: Тез. докл. Всерос. конф. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2010. С. 71-72.