CC BY
29
Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2012. С. 18-21
УДК 517.977
УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ СО СТРУКТУРНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ
М. Е. Галахова1, А. Н. Кириллов2
1 Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров
2 Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН
Рассмотрена задача управляемости динамических систем со структурными изменениями. Предложен метод управления дискретным состоянием линейной последовательной системы.
Ключевые слова: управление, переменная структура, гибридная система.
M. E. Galakhova, А. N. Kirillov. THE LINEAR VARIABLE STRUCTURE SYSTEM CONTROL
The problem of controllability of variable structure dynamical systems is considered. A method for controlling the discrete state of a linear sequential system is proposed.
Key words: control, variable structure, hybrid system.
Введение
Проблема управляемости динамических систем является одной из наиболее важных в теории управления и далека от своего решения. Для линейных стационарных систем управления известен критерий полной управляемости Р. Калмана, а для нестационарных - достаточный признак Н. Н. Красов-ского при условии непрерывной дифференцируемости матриц коэффициентов вплоть до (п — 1)-го порядка, где п - порядок системы. Имеется критерий устойчивости линейных систем с аналитическими коэффициентами [4]. Для нелинейных систем известны результаты по локальной управляемости. Общих результатов, разрешающих проблему, как в линейном случае, нет и, скорее всего, их невозможно получить. Надо учитывать качественные свойства динамических систем, классификация
которых нереальна. Для гибридных систем, к которым относятся системы с изменяющейся структурой, даже в линейном стационарном случае результатов, сравнимых по завершенности с критерием Калмана, нет. Это связано со сложностью исследуемого объекта и продолжающимся формированием самого понятия гибридной системы. Неясно также, что понимать под управляемостью гибридной системы, сочетающей непрерывное и дискретное поведение. Некоторые результаты в этом направлении для линейных гибридных систем представлены в [3]. В настоящей статье рассмотрена задача управления дискретным состоянием линейной системы с переменной структурой. Предложен метод построения управления, целенаправленно изменяющего структуру системы.
Замечание 1. Авторы не стремятся к обобщающим построениям, поэтому не будет
рассматриваться громоздкая модель системы со структурными изменениями. Наоборот, специфика задач управляемости систем с переменной структурой будет показана на относительно простой модели гибридной системы.
Б-ЛИНЕЙНАЯ система
Сложные динамические системы, состоящие из подсистем, характеризуются тем, что их состав и взаимосвязи между подсистемами изменяются в процессе функционирования. В [1, 2] был предложен подход для описания динамики структурных изменений в системе. Предположим, что в состав системы 5 могут входить подсистемы £г е {51,..., £га}, подключаясь к 5 или отключаясь от нее. При этом подсистемы, входящие в 5, взаимодействуют между собой. Введем вектор 7(£) = (71,...,7„) такой, что 7г(Ь) = 1, если подсистема в момент времени Ь входит в 5, 7г(£) =0 -в противном случае. Вектор 7(Ь) называется внешней структурой системы 5 в момент времени Ь. Для задания динамики структуры 7(Ь) в [1] предложено понятие системы со структурными изменениями (ССИ), которую можно отнести к классу гибридных систем. При этом для реализации ССИ был разработан метод динамической декомпозиции. Суть его состоит в том, что для описания динамики системы, помимо фазовых переменных, вводятся дополнительные переменные, задаваемые дифференциальными уравнениями. При достижении этими переменными некоторых пороговых значений происходит отключение или подключение подсистемы к системе. Тем самым система переходит в другое фазовое пространство, возможно, не мгновенно, а через некоторое время. Если допустимы только структуры вида 7 = (1,..., 1, 0,..., 0), где первые к элементов вектора структуры равны 1, а остальные - 0, и переход между структурами происходит добавлением (к+1)-й единицы или исключением к-й единицы, то система 5 называется последовательной ССИ, или 5-системой. Если возможны произвольные структуры и переходы между ними, то 5 называется параллельной ССИ, или Р-системой. Будем говорить, что 5-система находится в состоянии 5(к), если она имеет структуру 7 = (1,..., 0,..., 0) с единицами на к первых местах. Рассмотрим линейную 5-систему [1], которая при условии
у(Ь) е Дк = (ук,ук+1) (1)
задается уравнениями
, у и (2)
где XT = (xi,...,xk) £ Rk - состояние системы, R э y(t) - эволюционное время [1], Ak -квадратная матрица порядка k с постоянными элементами а^, = (b1, ...,bk) £ Rk - посто-
янный вектор, u - управление, yk - заданные постоянные (пороговые значения), k = 1, ...,n, y1 = —ж, yn+1 = +ж. Система S, задаваемая уравнениями (1), (2), находится в состоянии S (k).
Далее, пусть при попадании траектории системы (1), (2) из области Rk х Дк на плоскость y = yk в некоторый момент времени tk происходит переход из состояния S(k) в состояние S(k — 1), 2 ^ k ^ n, а при попадании на плоскость y = yk+1 в момент времени tk+1 происходит переход в состояние S(k + 1), 1 ^ k ^ n — 1. При этом отображения ^>k,k±1, осуществляющие переход из S(k) в S(k + 1), имеют вид:
^k,k-1 : Zk ^ C(k — 1, k)Zk + Ek-1(—
где Zk = (x1,...,xk ,yk )T, Ek_1(-e) =
(0,..., 0, —e)T, —e) на k-ом месте, причем
0 ^ e < mink (yk+1 — yk), k = 1,..., n — 1,
C(k — 1,k) - матрица размерности k х (k + 1) c постоянными элементами Cj, причем Ck,k+1 — 1 ck,j — 0, j — l^..^^ Ci,k+1 — 0, i = 1, ..., k — 1,
^k-1,k : Zk-1 ^ D(k k — 1)Zk-1 + Ek1(e)
где D(k, k — 1) - матрица размерности (k + 1) х k, с элементами dj, dk+1,k = 1, dk+1,j = 0, j = 1,..., k — 1, di,k = 0, i = 1,..., k. При этом <^k,k-1(Zk), <£k-1,k(Zk-1) - начальные данные для систем Sk, Sk-1, соответственно, а переключение происходит мгновенно.
Задача: построить управление u, переводящее систему S за конечное время из состояния Sk в состояние Sm, k = m, k, m = 1,..., n.
Замечание 2. Рассмотренная задача отличается от традиционной задачи управления, состоящей в переводе системы из одного фазового состояния в другое. Данная система характеризуется как непрерывным состоянием (Xk,y), так и дискретным - S(k). Управление происходит по дискретному состоянию.
Управление
Ниже будет предложен алгоритм построения допустимого управления вида u = P1X + ... + Pk(i)Xk(i), для которого коэффициенты p будут определяться в явном виде. Здесь k(t)-
0
целочисленная функция, принимающая значения из множества {1,...,п}. Перейдем к построению управления. Надо показать, что с помощью допустимого управления траектория может из любой начальной точки Мк0 = (Хк0,у0), такой, что у0 € Дк, попасть на гиперплоскость у = ук или у = ук+ь Тогда, переходя от к 5к±1, придем к терминальной системе £т.
Будем полагать, что Хк = 0 - единственное асимптотически устойчивое положение равновесия системы Хк = АкХк. Тогда ЛеТАк = 0. Пусть Хко = 0. Подставив допустимое управление в (2), получим
У = (&1 + Р1)х1 + ... + (Ьк + рк )хк. (3)
Нетрудно показать [2], что система (1), (3) имеет интегральные плоскости 0:1X1 + ... + «кЖк + ак+1У = с, где а € М, («1, ...,«к+1) -ненулевое решение системы
а1га1 + ... + акгак + (Ьг + рг)ак+1 = ° (4)
где г = 1,..., к. Если 0к+1 = 0, то, в силу условия ЛеТАк = 0, получим 0г = 0, г = 1,..., к, поэтому в ненулевом решении Ок+1 = 0. Идея построения управления, решающего задачу, состоит в нахождении вектора (р1,...,рк), обеспечивающего такое положение интегральной плоскости, при котором она пересекала бы ось У при у > ук+1 (или при у < Ук). Тогда в силу асимптотической устойчивости положения равновесия системы (1) траектории, приближаясь к нему, пересекут плоскость у = ук+1 или у = ук .В результате произойдет переход к системе £к+1 (или £к).
Пусть у = у при Хк = 0. Тогда из уравнения интегральной плоскости
О1Ж1 + ... + Ок Жк + 0к+1у =
= О1Ж10 + ... + 0к жк0 + Ок+1у0
получаем
у = у0
1
0к+1
Из системы (4) находим
0г — 0к+1
(01Ж10 + ... + Ок Жк0). (5)
^е^Акг ЛеТАк ’
где Акг - матрица, полученная из Ак заменой в ней г-го столбца на —(Ь1 + р1 ,... , Ьк + рк)т. Тогда из (5) получаем
Далее
к
ЛеТАкг = — ^ (Ь' + Р' )А(к_1),г0' ^
'=1
где ^4(к-1),г(^) - алгебраическое дополнение элемента j-й строки, г-го столбца матрицы Акг или, что то же самое, матрицы Ак, к — 1 - порядок соответствующего минора. Тогда из (5) получаем
1к
у = у0 + леТА X] (Ь' + Р')А(к_1),г(j)жг0. (7)
¿,'=1
у = у0
1
ЛеТА,
-(ЛеТАк1Жю + ...+ЛеТАккЖк0). (6)
Предположим, что следует перейти из состояния 5к в £к+ь Для этого надо найти решение р1,...,рк неравенства
1к
у0 + ЛеТА 2 (Ь' + Р')А(к_1)Д.?)жг0 > Уk+1,
к г'=1
которое сводится к неравенству
кк
^ А(к_1),гС?)жг0 >
'=1 г=1
кк
> ЛеТАк(ук+1 — у0) — А(к_ 1),г (j )жг0.
'=1 г=1
Лемма 1. Существует j € {1,..,к} такое, к
что X) А(к_1),гС?)жг0 = 0-
г=1
Доказательство. Очевидно, к
X] А(к-1),г(^' )жг0 = ЛеТАк (¿),
г=1
где матрица Ак(j) получена из Ак заменой ее ^’-й строки строкой Хкд. Доказательство проведем от противного. Предположим, что ЛеТАк(j) = 0 при всех j = 1,..,к. Тогда, раскладывая определители ЛеТАк (j) по j-й строке каждый, получаем систему равенств
к
^ А(к_1),г0')жг0 = 0, j = 2, ...,к. (8)
г=1
Поскольку по условию Хк0 = 0, то найдется компонента ж^0 = 0. Не умаляя общности, будем считать, что ж10 = 0. Далее, раскладывая ЛеТАк по первому столбцу и выражая алгебраические дополнения, входящие в это разложение из равенств (8), получаем
к
ЛеТАк = ^ а'1А(к_1)1(;) =
'=1
1 к к
=-У'' жг0 У'' а;ДА(к_1)гО’) = 0.
жю .л
г=2 '=1
Последнее равенство нулю обязано свойству "фальшивого разложения" определителей: сумма произведений элементов одного столбца квадратной матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов других столбцов равна нулю. Поскольку по предположению ЛеТАк = 0, то получили противоречие, доказывающее лемму. □
Далее, пусть при некотором j = I имеем к
А(0 := £} А(к_1),г(1)жг0 = 0. Тогда для разре-
г=1
шимости неравенства, предшествующего лемме, достаточно, чтобы рг удовлетворяло неравенству
Рг > ~к------1------------(ЛеТАк(ук+1—у0)—£1-£2)
А(к_1),г(1)жг0
г=1
(9)
если А(1) > 0, где
к
£1 = X] жг0А(к_1),г°^
г,'=1 кк £2 = ^ Р'^ жг0^4(к— 1),г(0^
'=1,'=г г=1
или противоположному неравенству, если А(1) < 0. Переход от £к к 5к_1 осуществляется аналогично, с той разницей, что неравенства (9) в случаях А(1) > 0 и А(1) < 0 берутся противоположными. Получаем окончательный результат.
Теорема 1. Пусть Хк = 0 - единственное асимптотически устойчивое положение равновесия системы (1) при к = 1,...,п. Тогда управление и = р1ж1 + ... + ркжк, где коэффициенты рг удовлетворяют (9), обеспечивает
переход системы из состояния Sk в Sk+i при любом начальном Xk = 0. Если же выполняются противоположные неравенства (при A(l) > 0 и A(l) < 0, соответственно), то происходит переход от Sk к Sk-i.
Замечание 3. В силу неоднозначности значений коэффициентов pi управления можно поставить задачу оптимальной стабилизации структуры в смысле некоторого критерия.
Заключение
Предложен метод решения задачи управляемости линейной последовательной системой со структурными изменениями. При этом поставлена нетрадиционная задача управления дискретным состоянием системы, а не ее фазовым вектором. Строится соответствующее управление в виде линейной обратной связи.
Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках реализации стратегического развития ПетрГУ.
Литература
1. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. № 4. С. 127-131.
2. Кириллов А. Н. Задача оптимального управления в системе со структурными изменениями // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 9. С. 2-7.
3. Куржанский А. Б., Точилин П. А. Слабоинвариантные множества гибридных систем // Дифференциальные уравнения. 2008. № 11. С.1523-1533.
4. Chang А. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans. Autom. Control. 1965. № 1. P. 112-114.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
Галахова Мария Евгеньевна
аспирантка
Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров ул. Ивана Черных, 4, Санкт-Петербург, Россия, 198095 эл. почта: secretgate@mail.ru тел.: (8812) 7712780
Кириллов Александр Николаевич
ведущий научный сотрудник, д. ф.-м. н.
Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: kirillov@krc.karelia.ru тел.: (8142) 763370
Galakhova, Mariya
State Technological University of Plant Polymers 4 Ivan Chernykh St., 198095 Saint-Petersburg, Russia e-mail: secretgate@mail.ru tel.: (8812) 7712780
Kirillov, Alexandr
Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences
11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia
e-mail: kirillov@krc.karelia.ru tel.: (8142) 763370
