Стабилизация многосвязной непрерывно-дискретной неавтономной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

торой вершины в центр, то есть маршрут и любой большей длины, который получается добавлением к данному пути указанной только что петли. Таким образом, полученное множество G с ростом допустимой длины маршрута не сокращается. Однако вычисления показывают, что с увеличением этой допустимой длины картина, изображенная на рис. 2, принципиально не меняется.

6. Заключение. Исследование области управляемости регулятора «предиктор-корректор» с ограничением на конец траектории является актуальной задачей, поскольку данный регулятор — один из наиболее широко применяемых методов управления с

прогнозом. Предложенный выше способ построения оценки области управляемости позволяет не только указать начальные значения, для которых заведомо существует допустимое решение оптимизационной задачи, но и построить это решение, которое можно использовать как начальное приближение к оптимальному управлению. При дальнейших исследованиях представляет интерес изучение зависимости величины области управляемости или ее оценки от накладываемых в оптимизационной задаче ограничений. Понимание этой зависимости позволит целенаправленно улучшать свойства регулятора настройкой его параметров.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М. : Наука, 1975. 496 с.

2. Пономарев А. А. О выборе параметров метода «предиктор-корректор» / А. А. Пономарев // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки [Саранск]. 2010. № 4. С. 124 132.

3. Camacho C. F. Model predictive control / C. F. Camacho, C. Bordons. L. : Springer-Verlag, 1999. 280 p.

4. Kwon W. H. Receding horizon control : model predictive control for state models / W. H. Kwon, S. Han. L. : Springer-Verlag, 2005. 380 p.

5. Maciejowski J. M. Predictive control with constraints / J. M. Maciejowski. Harlow : Prentice Hall, 2002. 331 p.

6. Mayne D. Q. Constrained model predictive control : Stability and optimality / D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao, P. O. M. Scokaert // Automatica. 2000. Vol. 36, № 6. P. 789 814.

7. Rossiter J. A. Model-based predictive control : a practical approach / J. A. Rossiter. CRC Press, 2003. 318 p.

Поступила 16.01.2012.

УДК 517.956

СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

Е. А. Лизина, Е. В. Щенникова

В статье рассматриваются многосвязные управляемые непрерывно-дискретные неавтономные системы с неперекрывающимися декомпозициями, для которых найдены кусочно-постоянные управляющие воздействия, стабилизирующие положения равновесия указанных систем.

Многие современные производственные, экономические, информационные, социальные и др. системы имеют сложную иерар-

хическую структуру и поэтому моделируются в виде многосвязных динамических систем. Для более удобного исследования их

© Лизина Е. А., Щенникова Е. В., 2012

обычно расчленяют на несколько более простых подсистем, т. е. выполняют декомпозицию.

Для упрощения исследования уравнения многосвязных динамических систем обычно расчленяют на несколько более простых, т. е. выполняется их декомпозиция. В данной статье будем рассматривать непрерывно-дискретную многосвязную систему, разбитую на д подсистем, т. е.

Х5 = А5 (£)х5 + Ь5 (Ь)и5 (рй) + Я _

+ Е А/ (Ох/, 5 = 1, я. 1=1 I*5

Здесь = (,

и

\Т

Лг, г < и,

, *

) ; Л (О

и Ау (О

функцио-

А (Ь) = А0 + АА5 (Ь), В5 (Ь) = В0 + АВ5 (Ь),

:(Рй) >

(3)

Т г т Т \ -

где с5 = (с51, ..., ), 5 = 1,д есть постоянный вектор. Кроме того, введем в рассмотре-

Т

ние непрерывные управления и5 = с5 х5, которые стабилизируют систему

(4)

:(Л» + Ь0СТ

) х5, 5 = 1,д.

(1)

нальные матрицы размерности соответственно п5 х п5 и п5 х п/; Ь5(Ь) — функциональный вектор-столбец размерности п5, Ь5 (Ь) =

= (¿^(0, ..., Ь^СО) ; у = 1,д. В качестве управления и5 выберем кусочно-постоянную функцию, зависящую от дискретных моментов времени, т. е. и5 (Ь) = и5 (рй), Ь е [рй; (р + 1) й]. Здесь й > 0 — шаг квантования, р = 0,1,2, ... ; х5 (0) = х50 — начальное условие (5 = 1, д), характеризующее начальное отклонение от программного режима. Здесь и далее индекс т означает транспонирование.

Отметим, что ни одна из компонент вектора х5 не является одновременно компонентой какого-либо вектора Xj другой подсистемы, т. е. рассматривается случай неперекрывающихся декомпозиций [1].

Будем предполагать, что матрицы А5(Ь) и векторы В5(Ь) могут быть представлены в виде

Докажем, что система (1) стабилизируема кусочно-постоянным управлением (3).

Подставив управления и5 и и5 в систему (1), получим

Х5 = [ А5 (0х5 + Ь5 (0и5 ] - Ь5 (О (и5 - и5 ) + Я _

+ Е Л/ (*)х/, 5 = 1, я

1=1, 1

или с учетом условий (2.1) будем иметь X = [ А0 + Ь0сТ ] X + [АА5 (Ь) + АЬ5 (Ь) сТ ] X -

Я _

- Ь5 (Ь)сТ (X - X (РЬ)) + Е 4у (Ь) ХР 5 = 1 Я-

1=1,

В качестве функции Ляпунова для системы (1) выберем векторную функцию [6, гл. 2, 5]

V(х) = (у (, V (х2), ..., Уд (хд))Т ,

где У5 (х5) — функции Ляпунова, решающие вопрос об асимптотической устойчивости систем (4). Данные функции являются квадратичными формами [5] и удовлетворяют условиям Н. Н. Красовского [3, гл. 3]

(2.1)

где А» и В» — постоянные матрицы и векторы, а ДА5 (Ь) и ДВ5 (Ь) функциональные матрица и вектор, такие, что для всех Ь >

\\АА5 (£)\\ < е15 и ||АВ5 (Ь)|| < е25, (2.2)

где е15 > 0 и > 0 — достаточно малые числа, 5 = 1, д. Далее пусть управления и5 формируются на основании измерения переменных х5. Тогда и5 (5 = 1, д) зависят только от х5(рй), и формируются по правилу

|Р < У (Х5 ) < | 2 ' ^У ()

Эх5 (У (Х5 )

(И

< тс х5

< -к5 ||х5|| , 5 = 1, д.

(5)

(4)

Здесь с5 и к5 — положительные

постоянные числа, 5 = 1, д. Тогда производную функции Ляпунова в силу системы (1) можно записать в виде:

(Х5) = ¿У8 (х5)

(1)

(х5 ))Т х

(д4 (t) + Dbs (t) cT )xs + Z Asj (t) xj

j=1 j*s

- bs (t) cT (xs - xs (Ph))

s = 1, q.

dV dt

С учетом неравенств (5) получаем:

^ -ks ||xs|2 - gs ||xs|| ■ I|xs - xs (Ph 1 +

(1)

q II у ||

+ llxs|| Z Asj (t 1 ■ xj

j=1 j*s

dzs = A0 dt

ЛЧ + DAs (t) Z +

d Vs (zs)

dt

(7 )

zT (A+ A0 )zs +

zT (даТ (t) + ДAs(t))zs

(As (t) + bs (t) c*T )(ph ) +

(6)

где 0 < < к - т* ||аА* (Ь) + АЬ* (Ь) с^Ц,

0 <75 = т5 ■ ||Ь5 (Ь| ■ сТ> ^ = 1, д.

Найдем далее оценки разностей ||х5 - хх (рй)||; 5 = 1, д. Для этого введем переменные = х5 - х5 (рй); 5 = 1, д. Тогда система (1) принимает вид:

q q

+ Z As (t) zs + Z Asy (t) Xj (Ph) j=1, j=1, l* s j* s

(As (t) + Vf ) (ph) + Z (As; (t) )T + j=1, j*s

+ I (Л; ) х; (Рй))

1=1,

Осуществим в (8) преобразование р* = V*12 (г*), из которого с учетом вида функций V (г5) следует р5 = ||г5||, * = 1, д. Введем в рассмотрение оценки

|a° + A°T| + ||dAJ (t) + ДА5 (t)|| < 11A0 + A°T| +

+ 2e1 = 28s, ||As (t) + bs (t)CsT| < ||As0 + fesVl + ei + S2CsT = = ms> ||Asj (t| < msj>

+ (а (Ь) + (Ь) с*Т)х5 (рй) + (7)

я Я _

+ Е Лу (ь) гу + Е Лу (Ь) ху (), 5 = 1, я.

у=1, У=1,

у*5

В качестве функции Ляпунова для системы (7) выберем векторную функцию

V (21, ..., 2д) = (VI (21) , V (22) , ..., Уд (2д))Т ,

где V (г* ) = г*; * = 1, д. Найдем производную функции Ляпунова в силу системы (7)

q

Z As (t) xj (Ph)

j=i, j*s

q

< Z ||Asj (t)|| ||x;- (ph)|| <

j=1, j* s

- Е ту ху () > 5 =1 я.

У=1,

У* 5

С учетом этих обозначений и преобразования р* = V12 (г* ) система (8) преобразуется в систему дифференциальных неравенств

dps

dt

q

< QsPs + ms ||xs (Ph)||

q

(8)

+ Е т5уру + Е ту ||ху ()|>

У=1, у=1,

у* 5 у

Р5 (рй) = 0, 5 = 1, я или в векторно-матричной форме dр

dt

< p + MX (ph),

где

A

M =

ei M-12 M-21 q2

vmq1 mq2

mi mi2 ■ m2i m2 ■

miq m2q

л

e

X( ph) =

mq1 mq2 Xi (ph) ^

x2 (Ph )

miq m2q

ma

л

V q

(Ph)

P = (Pi> ■■■> Pq )■

которого следует

ф)|| < a||M|1 +Xg ((e(P+e)h - 1)

ß + s

t e [ph; (p + 1) h],

где а (e) > 0, e > 0, ß = max Re 1j (A), j = 1, q.

Величина

ß + e

dPs < _ + ms

dt 2lK2 21-22

h ^ Р j

, alN1 К (Ph)|| (e(ß+e)Ä - 1)

ß + s

где Р5 = У1/2 (X), - 1К11 - Г^' 5 = 1, ч, или в векторно-матричной форме dp

dt

< Ap + L (ph), t s [ph, (p + 1) h]. (11)

В неравенстве (11)

ji mimi2

Al

Используя результаты [4], получаем

||р ((р + 1) А)| - а||М||-ДХ (^ (в(М* - 1), из

_ _ mimiq

2lVi -

- Ф2 2122

mqmq1

2iqqiqi2

jq

L (ph) =

(9)

21g , .an (e(ß+s)h _ l) xi

ß + s V 1

■11 Л1_

^.dM ^ _ 1) xq (ph)||

_11»_1_, ß+s

;(р+е)й _ 1) при достаточно малом h может быть оценена следующим образом: 0 < (е(р+е)А _ 1) < 2^, где X > 0 Р + Е V )

и не зависит от h, h < h1, ^ > 0 [2, с. 101]. Тогда

\\г (t)|| < 2X^1 |М|| ■ ||х (рй)|| (10)

при t е [рй; (р + 1)h], h < hl > 0,

р = 1, 2, ... .

Учитывая неравенство (9), перепишем систему (6) в виде системы неравенств

За счет выбора коэффициентов усиления

с^ (5 = 1, д) линейной управляемой системы

всегда можно обеспечить ее асимптотическую устойчивость [2, гл. 1]. Это означает,

что коэффициенты усиления с5 (5 = 1, д) должны быть выбраны так, чтобы матрица А удовлетворяла условиям Севастьянова — Котелянского [1, с. 206]. Будем считать, что

коэффициенты с^ такие, что Re 7j (А) < 0,

7, ] = 1, д. Система сравнения для системы дифференциальных неравенств (11) имеет вид:

dv dt

■■ А v + L (ph),

откуда

v (t) = eA(t_ph)v (ph) + j eA(t_x)L (ph) dx. ph

Используя оценку || L (ph )|| < h\X (ph)|| < < 1*1 V (ph) , где 1* = min {11s}, <

< 21^ b + e (e 1)' S _ 1q РеШа

ем данное уравнение

||v (t)|| < ate(b< +e<)(t_ph) || v (ph)|| x

i +_3_( _ e_(bi +<4 )(t-Ph) )|

l* (bi + ei

t e [ph; (p + 1) h]

или, при t = (p + l) h,

||v ((p + 1) h)|| < a1e(bi +ei)(t_ph) || v (h)|| x

1 +

( _ e_(bl +ei )h )

l*(bl + ei)

По теореме сравнения [1, с. 191] получим ||р ((p + 1) h)|| < a1 ||р (ph)| x

e(bi +ei )h + .

l* (bi + ei)

(e(bi +ei)h _ i)

или окончательно

||р((p + 1)h)|| < (1 _ Eh)\\X(ph)||

или ||p ((p + 1) h)|| < (1 _ Eh)p ||X (0)|. (14)

Из неравенств (14) и ||xJ < -^Sr следует, что

li 2

||xs (ph) ^ 0 при p — ж. Следовательно,

|xs(t)|| — 0 при t — ж, так как, используя оценку (10),

||xs(t) < ||xs(ph) + ||xs(t) _ xs(ph) < < ||xs(ph) + 2Xh |M|| ■ ||xs(ph) = (15)

= (1 + 2X Mil h)||xs(ph) .

В силу неравенств (13), (14), (15) и неравен-

II и Ps

ства xs < —172 получим ^ls

,, , ч|| (l + 2Х|Mil h)(1 - Eh)p ,,

IX (t I <1—-- IX (°)ll <

< С X (0),

1 + 2X1 Mil h ,

и и _

p-

где c _-^—v— lim (1 _ Eh)p , h < h0

||р (ь)|| < ||х (М)|| (1*е(р1 +£1+ у (1 - е(р1 +£1)).

Величина П = (^ + у (1 - ))

оценивается при достаточно малом h как

0 <П < 1 - Ек, (12)

где Е = (е., ..., ) , е5 > 0, (з = 1,ц) — постоянные, не зависящие от величины h, h < h2, h2 > 0. Учитывая оценки (12), будем иметь:

||р (Ь)|| < (1 - Ек)||Х (рк)||. (13) Положим Ь = (р + 1) Ъ, тогда

1

= min(hl, h2). Следовательно, при 3 (е) = е/ с и ||Х (0)|| < 3 будет ||Х (£)|| < е при всех Ь > 0 и, как было показано выше, ЦхДОЦ ^ 0 при

Ь ^ да. Таким образом, условия асимптотической устойчивости выполнены и имеет место следующая теорема.

Теорема. Если для нестационарной многосвязной системы (1), коэффициенты которой удовлетворяют условиям (2.1) — (2.2), выполняются условия: 1) векторы Ь0, А°Ь°, ..., (А0) Ь0 линейно независимы; 2) существуют коэффициенты усиления

ст (5 = 1, q) такие, что система (4) асимптотически устойчива и Ие 1 у (А) < 0, то нулевое

решение управляемой гибридной системы с неперекрывающимися декомпозициями (1) будет при h < /¡о асимптотически устойчивым.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А. А. Воронов. М. : Наука, 1985. 352 с.

2. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М. : Наука, 1975. 496 с.

3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. М. : Физматлит, 1959. 222 с.

4. Лизина Е. А. Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2011. № 4 (20). С. 14 24.

5. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М. ; Л. : Гос-техиздат, 1950. 471 с.

6. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред. А. А. Воронова, В. М. Мат-росова. М. : Наука, 1987. 312 с.

Поступила 28.01.2012.

УДК 517.972

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ*

В. И. Зубов, И. В. Зубов

В данной статье исследуются вопросы существования периодических решений у систем дифференциальных уравнений в частных производных и вопросы о существовании периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре.

Исследуем вопрос о существовании периодических решений у систем дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим сначала систему уравнений

+ £

& k=l дгк

Л

£ с%х, + £ А+ gk (ь) 0'=1 }=1

£ А)*, + £ , + й (ь), г = 1, ...,

(1)

)=1

)=1

Будем считать, что матрицы А размерности п х п, В размерности п х т, С размерности т х п, А размерности т х т, векторные

функции / = (/ь йп), д = (дъ дп)

являются 2я-периодическими функциями независимой переменной Ь. Наша задача будет заключаться в установлении условий, при

которых у системы (1) существует 2я-перио-дическое по Ь решение

X (ь, г) (2)

и в построении этого решения. Наша задача будет решена, если будет найдена кривая Х0 = Х0 (г), или в параметрической форме

х0 = х (ь), г = г (ь),

которая, являясь начальным условием задачи Коши для системы (2), определяет 2я-пе-риодическое решение (2).

Введем в рассмотрение векторы

Х = (х1, ..., ХП, г1, ..., гт) ,

ф = (йъ ^ дъ дт)*

и рассмотрим линейную систему

© Зубов В. И., Зубов И. В., 2012

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00624).