Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.1

Е. А. Лизина, В. Н. Щенников

СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОСВЯЗНОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ ГИБРИДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕПЕРЕКРЫВАЮЩИМИСЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯМИ

Аннотация. Исследуются многосвязные управляемые гибридные динамические системы с неперекрывающимися декомпозициями, для которых найдены кусочно-постоянные управляющие воздействия, стабилизирующие положения равновесия указанных систем. Здесь под гибридными системами понимаются системы дифференциальных уравнений, в которых управление является кусочно-непрерывным.

Ключевые слова: многосвязная управляемая гибридная динамическая система, асимптотическая устойчивость, стабилизация.

Abstract. Multivariable controlled hybrid dynamic system with don’t overlap decomposition, for which the piecewise-constant controllers stabilizing positions of balance of specified systems are found, are investigated. Here hybrid systems are understood as systems of differential equations in which controller is piecewise continuous.

Key words: multivariable controlled hybrid dynamic system, asymptotic stability, stabilization.

Рассмотрим линейную управляемую гибридную динамическую систему

кретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функ-

ns X ns ; Asj - постоянные матрицы размерности ns X nj; bs - постоянный

dt

(1)

где x е ^, u е ^, г < п; A - постоянная матрица размерности п х п ; Ь - постоянный вектор размерности п (пх1). Управление u здесь зависит от дис-

цию, т.е. и () = и(pH), tе [pH; (р + 1)И] . Здесь И > 0 - некоторая постоянная, р = 0,1,2,...; х(0) = Хо - начальное условие, характеризующее начальное отклонение от программного режима.

Допустим, что система (1) допускает представление

q ____

xs = Asxs + bsus {ph) + £ Asjxj, s = 1,q,

(2)

j=1 j *s

где

постоянные матрицы размерности

вектор-столбец размерности п5; и5 (pH) - кусочно-постоянное скалярное

управление; bs = (1,..., Ьщ ) ; 5, у = 1, q . Здесь и далее индекс Т означает транспонирование.

Матрица А5 отражает динамические свойства 5-подсистемы

= А5X5 + Ь3и3 (pH), (3)

q

а слагаемые ^ А3]х у содержат все остальные фазовые переменные

У=1,

У *5

Ху, 5 = 1, q и указывают на связи между подсистемами. Матрицы А5у называют матрицами связей. Отметим, что ни одна из компонент вектора х5 не является одновременно компонентой какого-либо другого вектора Ху другой подсистемы. Такого рода подсистемы называют подсистемами с неперекры-

q

вающимися декомпозициями. Для них ^ п5 = п .

5=1

Рассмотрим случай, когда управляющие воздействия (управления) «действуют» только на подсистемы (3) системы (2). В этом случае управления и5 (5 = 1,q) зависят только от х5 (pH), т.е.

и5 = кТх5 (pH), (4)

где к'Т = (1,..., кщ ) - постоянный вектор, 5 = 1,q .

Подставив равенства (4) в систему (2), получим

q ___

Х* = ( + ЬАТ)х5-ЬАТ ( -х5^)) + 2 Ауху, 5 =1,q. (5)

у=1,

У * 5

Здесь управления и5 = к'Тх5 являются стабилизирующими управлениями систем

Х^ = (Ад + Ьк) х5, 5 = 1, q. (6)

С целью доказательства возможности стабилизации с помощью кусочнопостоянного управления положения равновесия х = 0 системы (2) воспользуемся методом векторных функций Ляпунова [1, гл. 2 и 5].

В качестве функции Ляпунова для системы (2) выберем векторную функцию

V (х ) = ( ((, ((х2),..., Уч ( ) ,

где У5 (х5) - функции Ляпунова, решающие вопрос об асимптотической

устойчивости систем (6). Так как подсистемы (6) суть линейные системы, то функции Ляпунова для подсистем являются квадратичными формами вида [2]

у (хО = хТс.х, 5 =1 q,

и удовлетворяют условиям Н. Н. Красовского [3, гл. 3]:

1Ы |2 < у (хО <х2 5 1Ы |2;

ду (х5)

дх„

< сЛхЛ;

(х^)

л

<~-з хЛ , 5 = 1, q.

(7)

(6)

Здесь , А25, с5 и -5 - положительные постоянные числа, 5 = 1, q . Тогда, учитывая неравенства (7), будем иметь

-У5 (хО

Л

(5)

< ||х5112 + 2(а У (х5) )Т х

х

у=1,

V у *5

5 = 1, q.

(8)

Введем преобразование р5 = У12 , 5 = 1, q, из которого с учетом оценок (7) следует |Ы| < -1., р5, ЦхЛ > -1., р5 . Тогда из системы неравенств (8) получим

- р5 с,,

—— <-----------5—р н-------—

- 2ЛУ2 5 2Х12

25

Л И„-

ру

ТII -

5 | х5 ■х5

у

V у *5

, 5 = 1, q. (9)

В этих неравенствах не определены оценки разностей х5 - хх (pH); 5 = 1,q . Найдем их. Для этого введем переменные г5 = х5 - х5 (pH); 5 = 1,q . Тогда система (2) примет вид

^ q q ___

+ ( + Ь5кТ )х5 ^ ) + 2 А^у + 2 АЛ/ ^ ), 5 = 1, q. (10)

у=1, у=1,

у*5

Системы

-г

5 = А3г3, 5 = 1, q,

учитывая постановку задачи стабилизации [4; 5, гл. 1; 6, гл. 7], не являются асимптотически устойчивым. Будем считать их неустойчивыми.

В качестве функции Ляпунова для системы (10) выберем векторную функцию

V (гь..., ^ ) = ( (( ( (г2 ^ (гд)) ,

где К (г* ) = гЬ*; 5 = 1я •

Найдем далее

)

&

(10)

= ( + А* )г* + /

А5 + Ь5кТ) хГ (pH) + 2 ' А] +

І=1,

I **

2 ХХГ (РН )А

І =1, І * *

+

І =1, І * *

І =1, І * *

• (11)

Осуществим в (11) преобразование р5 = К12 ), из которого с учетом

вида функций (^) следует р5 =||г^|, 5 = 1, q . Введем в рассмотрение

оценки

,т

0 < 20* =

А + а]

, 0 <ц * =

А + Ь8к8

2 Ах (рн )

І=1, І * *

<

q Ц ___

21ІА/1 Iх/ (рн)||=2 \хі (рн)||, *=1,я. (12)

І=1, І **

І =1, І * *

С учетом обозначений (12) и преобразования р5 = К12 ) система

(11) «перейдет» в систему дифференциальных неравенств:

q q ___

; 05 р5 + И ||Х5 (Рк | + 2 р У + 2 ^ ||ХУ (рк ^ р5 (Рк ) = 0 5 = 1 ^

<

&

І=1, І **

І=1, І **

или, в векторно-матричной форме:

&р < Ар+мх (pH),

где

' 01 ^12 - . Ц1я ^ ' и ^12 . . Ия ^ ' х1 (рн )

А = М* 21 02 . 2 , м = ^21 ^2 - 2. , х(рн) = х2 (РН)

ч ^ Я1 2 . 0я V ч ^?1 2 .. ^ V ,хя (РН)

Р (р1,. ., рq).

Система сравнения для данной системы неравенств будет иметь вид ёы

— = Аы + МХ(pH), ы(pH) = 0.

(13)

Общее решение системы (13) на промежутке [pH; (р +1)^ запишем в форме Коши, т.е.

_ г _

ы(г) = еА(г рН)(pH)+ | еА(г 'ТМХТ (pH)ёт. pH

Следовательно,

\\ы(г)Ц< еАР+е)г Р^|ы(pH)|| + а| е

г

А((3+е)(г-т)

pH

Здесь, как известно [7, с. 57],

А( - pH)

< а( е)

ХТ( pH)

,( Р+е) ( г -

ё т. (14)

а

( е)> 0,

е>0, Р = шахЯеАу( А). Интегрируя неравенство (14) (вернее, второе слагаемое), получим

|ы( г )||<ае

( Р+е)( г - РH)

ы( РH )|| + -

М • ХТ( pH)

Р + е

1 -е- ( Р+е) ( г - РH)

При г = ( p + 1) это неравенство примет вид

( II. ,11 „т,

(( ( p+1)/г )||

< ае

( Р+е)

ы( РH )|| + -

М• хт (pH)

Р + е

Согласно теореме сравнения [8, с. 190] получим неравенство

|р(( Р + 1)(е(Р+е). -1),

из которого следует

а

Х( ^ )|| (е (Р+е) ( г - pH) -1),

Р + е

или

■\г )|<-

а

Х( Р!')

Р+е

, (Р+е)H -

при ге [pH; (р + 1)] . Величина Р““_(е(Р+е) -1) при достаточно малом H может быть оценена [5, с. 101] следующим образом:

0 <-°-(е(Р+е) -1)< 2YH, (16)

Р + е \ /

где у > 0 и не зависит от H. Тогда

:(і )||< 2ун|М|| ^ Х(РН )||

(17)

при іє [pH; (р + 1)Н], Н < Н1, Н1 > 0, р = 1, 2,...

Тем самым найдена искомая оценка. Учитывая неравенство (15), перепишем систему (9) в виде, где р* = V]12 (х*), -Р|- <||хЛ ^ , 5 = 1, я . По-

х12 -II ^ ^ Л2* дЬ

лучим следующую систему неравенств:

(

&Р* < Р*. + с

л~ 2х2?

2 и р. + “^ЛМЫ рн ) и р+е)н _ 1

Р + Є

* = 1,

или, в векторно-матричной форме: ё р

— < Ар + ЦрН), і є [рН,(р + 1)Н],

(18)

где

А =

с1^12

с1^1я

2*2?

ся

2ЙЗД2

яя д1

2Х22

2

Ц РН ) =

1х1 _ х1( рН Я

Ь кТ с ч ч Ч

2хУ2

1

хя _ хя( РН )

Т

р = ( р1, . ., ря ) .

ёх -—

Так как системы вида-------= А5х5 + Ь5ы5, 5 = 1^, управляемы, то за счет

ёг

выбора коэффициентов усиления (5 = 1, q) всегда можно обеспечить асимптотическую устойчивость [5, гл. 1] системы. То есть коэффициенты усиления к5 ( 5 = 1, q) должны быть выбраны так, чтобы матрица А удовле-

творяла условиям Севастьянова - Котелянского [8, с. 206]. Таким образом, будем считать, что здесь коэффициенты к] (* = 1, я) такие, что

Яе Xі (А) < 0, І = 1,я . Система сравнения для системы дифференциальных

неравенств (18) имеет вид

— = Ау + Ь( pH),

&і у '

откуда

у( і) = еА( А рН)у( pH)+ | еА(і т)Х( pH)&т. pH

Известно [7, гл. 1], что

АА_рН) <а1 ( е)е(Р1+£1 )Г_pH); а1(Е1 )> 0, £1 > 0, Р = тах ЯеX. ( А) выберем так, чтобы Р1 + £1 < 0 . Тогда

||у( і)<а1е(р +£1 )і_рН)||у( pH)|| + а1е(р +£1 Xі_рН)Ь(pH)|| |е-(Р +£1 )т_рН)&т,

pH

или

Иг )<а1е( Р1+е1 )(Г pH)v(pн )+а1е Р1+е—Iz(pн )||(1

Учитывая оценку (16), получим неравенство

IX (рн )||<у| х ^ )||<л*-| х (рн )||,

Л

где Л* = ШШ {Л^ }, с учетом которого будем иметь

_е-(р1+£1 )(т_ Рк)

||у(і)|| < о^е^ +£ )(і рН^Цу(pH)

( . ^ 1 _е-((1+£1 )(т_ рн)

1+-

х*(А + £1)

при і є [pH; (р + 1)Н] . Пусть і = (р + 1)Н, тогда неравенство (19) примет вид

(19)

||у(р + 1)Н)|| < а1еА +£1 ^А рН^Цу(Н)||

1 + ■

Х*(А + £1)

1 _ е-(р1 +£1 )Н

Учитывая приведенные оценки, получим

|р((р + 1)Н )||<а1 \р(рН )

е(р1 +£1 )Н

Х*(А +£1)

1 +£1 )Н _.

или окончательно

||р(і )|<| |х (pH А А _ е((1+£1)).

Величина П = (Х*е^Р1+£^Н +ї(1 _еА +£ )Н )) оценивается при достаточ-

но малом H следующим образом:

0 <П<1 -ЕЪ, (20)

где Е = (,..., eq ) (е5 > 0, 5 = 1, q) не зависит от величины H. По теореме

сравнения [8, с. 190], учитывая оценки (20), будем иметь

||р(г )<(1 - EH|X(PH|. (21)

Положим г = (р +1), тогда

||р((р +1))||< (1 - EH)||Х{pH)||, или ||р((р + l)H)||< (1 - EH)р ||х(0)||. (22)

Из неравенств (21) и ||х5|| < р52 получим

ЛЬ

IIх(г)<{РH)|| . (23)

Л

Этим мы показали, что все траектории попадают при выбранном управлении в окрестность нуля.

Перейдем к доказательству асимптотической устойчивости положения равновесия системы (2). В силу неравенств (22) и (23)

х:"

где

IIх (і )1<А1^ IIх (0 )< 4х (0) •

с = -1*- (1 - я|Р,

Л р^х

откуда при 8(е) = е/ с и ||Х(0)Ц < 8 будет ||Х(г)Ц < е при всех г > 0 .

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Если выполняются следующие условия:

1) векторы Ь, АЬ,..., Ап-1Ь линейно независимы;

2) существуют коэффициенты усиления к^т (5 = 1, q) такие, что

яе лУ (А)<0,

то нулевое решение многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями (2) при H < Ho (^ > 0 - достаточно малое) будет асимптотически устойчивым.

Пример. Рассмотрим многосвязную управляемую систему:

х = х + ы1 (pн) + а1 y, у = у + Ы2 (pH) + а2х.

Т Г1 0 ^ Ш т , , . . .ч

Здесь а = А = , Ь = , ы = ( (pH), Ы2 (pH) - кусочно-

постоянное управление, зависящее от дискретных моментов времени pH, где н - некоторая постоянная, р = 0,1,2,... Напомним, что управляющие воздействия влияют только на подсистемы (3) системы (2). Пусть

ы1 = С1 х (pH),

ы2 = с2 У (Рн ).

Здесь С1, С2 - коэффициенты усиления. По условию управления ы1 = С1х(pH), ы2 = С2у (pH) являются стабилизирующими управлениями систем (6):

х = (1 + С1) х,

• л ^ (25)

У = (1 + С2) У.

Это означает, что для коэффициентов усиления С1, С2 должно выполняться условие С1 <-1, С2 <-1 .

В качестве функции Ляпунова для системы (24) выберем векторную

функцию V(х) = ( (х), К2 (у))Т , где V (х) = хТх, К (у) = уТу - функции Ляпунова, решающие вопрос об асимптотической устойчивости систем (25) и удовлетворяющие неравенствам (7), в которых Л^ =Л25 =(1,1 )Т , С5 = 2, =-2 (1 + С5), 5 = 1,2 . Оценки (12) в примере будут иметь следующие значения:

Л1 =Л2 = ^ И =(1 + С1), ^2 =(1 + С2), М12 = а1^ ^21 = а2.

Тогда

А=Г1+С1 а1 ^

V а2 1 + С2,

Положим

С1 =-2-I

С2 =-2 -IIа2|.

При данных значениях С1, С2 выполняются все условия теоремы, а значит, нулевое решение системы (24) будет асимптотически устойчивым. Таким образом, подбирая коэффициенты усиления и величину шага н

так, чтобы матрица А удовлетворяла условиям Севастьянова - Котелянского, возможно стабилизировать нулевое решение гибридной системы (2).

Список литературы

1. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под. ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова. - М. : Наука, 1987. - 312 с.

2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1950. - 471 с.

3. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. _ М. : Физматлит, 1959. _ 22 с.

4. Красовский, Н. Н. Проблемы стабилизации / Н. Н. Красовский // Малкин, И. Г. Теория устойчивости (добавление 4) / И. Г. Малкин. - М. : Наука, 1966. - 530 с.

5. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. _ М. : Наука, 1975. _ 496 с.

6. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления. / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. - М. : Высшая школа, 1998. - 573 с.

7. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. _ М. : Наука, 1967. _ 472 с.

8. Воронов, А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем /

А. А. Воронов. _ М. : Наука. 1985. _ 352 с.

Лизина Елена Александровна старший лаборант, соискатель, кафедра дифференциальных уравнений, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)

E-mail: du@math.mrsu.ru

Щенников Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)

E-mail: du@math.mrsu.ru

Lizina Elena Alexandrovna Senior laboratoty technician, applicant, sub-department of differential equations, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov (Saransk)

Shchennikov Vladimir Nikolaevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of differential equations, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov (Saransk)

УДК 517.977.1 Лизина, Е. А.

Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина,

В. Н. Щенников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 14-23.