Принцип включения и устойчивоподобные свойства «частичного» положения равновесия динамической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.925.51 А. В. Щенников

ПРИНЦИП ВКЛЮЧЕНИЯ И УСТОЙЧИВОПОДОБНЫЕ СВОЙСТВА «ЧАСТИЧНОГО» ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1. Введение. В настоящей работе проведено исследование устойчивоподобных свойств (УПС) «частичного» положения равновесия относительно всех и части фазовых переменных динамической системы, задаваемой в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с использованием идеи расширения фазового пространства исходной динамической системы. Полученные результаты являются продолжением и развитием результатов работ [1—11]. Здесь под УПС движений понимаются различные виды устойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим нелинейные динамические системы

в которых п-мерный вектор х(Ь) определяет фазовое состояние системы (1), а п-мерный вектор у(Ь) - фазовое состояние системы (2), причем п ^ п. Область задания и свойства векторных функций /і(Ь, х) и /2(і, х) уточним в п. 2. В дальнейшем будем пользоваться преобразованиями [1, с. 495]

где V - постоянная матрица размерности n х п, ранг которой равен числу ее столбцов (моник-матрица); U - постоянная матрица размерности n х п, ранг которой равен числу ее строк (эпик-матрица); E - единичная матрица размерности n х п.

Изучение УПС движений системы (1) относительно всех и части фазовых переменных проведем с применением принципа включения [1, гл. 8; 2-6]. Суть принципа включения состоит в построении расширенной системы (пусть это будет система (2)) и в определении условий, при выполнении которых УПС движений системы (1) будут

Щенников Алексей Владимирович — соискатель кафедры математики и теоретической механики Научно-исследовательского университета «Мордовский государственный университет имени

Н. П. Огарева». Количество опубликованных работ: 41. Научное направление: исследование динамических процессов в сердечно-сосудистой системе человека, кардиология. E-mail: [email protected].

© А. В. Щенников, 2011

(l)

(2)

y = Vx, x = Uy, UV = E,

(З)

ll9

следовать из соответствующих свойств движений системы (2). В дальнейшем покажем, каким образом строится система (2). Необходимо отметить, что при использовании принципа включения с целью анализа УПС движений нелинейных динамических систем по сравнению с линейными динамическими системами появляется больше ограничений. Основное условие при «переходе» к расширенной системе (2) состоит в том, чтобы положение равновесия системы (1) при линейном преобразовании (3) переходило в состояние равновесия у = уе системы (2), т. е. чтобы уе = Ухе являлось положением равновесия системы (2).

2. Исследование УПС «частичного» положения равновесия относительно всех и части фазовых переменных системы (1). Представим далее системы

(1) и (2) в следующих формах:

Л

(Іх^

Л

ей/1)

Л

СІуС2'1

Л

Д2)

/12\г,х (1) ,х (2)), : /2(1)(і,у(1),у(2)),

/22)М

У(2)).

(1) = (у

(і')

(і")

(2')

(2")

у

Здесь х(1) = (х1,хй)т, х(2) = (хи+1,..., хи)1

Уп)т, х = ((х(1))Т, (х(2))Т)Т, у = ((у(1))Т, (у(2))Т)

/(2) /(2))Т / = ((/(1))Т (/(2))Т)Т ^(1) = /(1)

(/1,к+1,. ..,/1п ) , /1 = ((/1 ) , (/1 ) ) , І2 = (/2

(2)

/1

21 , ■

(1)

,...,уі)1 = (/(1)

(2) =

11 ,

/(1))Т /(2) /к ) , /2

(уй + 1’ (1) (2)

у

(1) (2)

.,/1к ) , /1 —

= (/

(2)

2,к + 1’

/2>Пп )Т, /2 = ((/2(1))Т, (/2(2)))Т, верхний индекс Т означает транспонирование. Устойчивость относительно фазовых переменных х1,...,хк (у1,...,у;) в дальнейшем будем обозначать х(1) (у(1))-устойчивость.

Уточним условия на правые части систем (1) и (2) и соответственно систем (і'), (і'') и (2'), (2''). Будем считать, что системы (1) и (2) заданы соответственно в областях

^1 = {і, х(1), ^2 = {і, у(1),

с(2) : і е 1+,

(1)

(2)

< го},

у(2) : і е 1+, ||у(1)|| < Ь.2, ||у(2)|| < го},

где ^1 и Л-2 - положительные постоянные вещественные числа, а норма вектора евклидова, 1 + = {і : і ^ 0}. Следует указать, что нормы вектора и матрицы согласованы. Пусть правые части систем (1) и (2), как и систем (і'), (і'') и (2'), (2''), являются непрерывными соответственно в областях ^1 и ^2 и удовлетворяют условию единственности решения задачи Коши, а также решения системы (і'), (і'') ((2'), (2'')) х(2)(у(2)) - про-должимы (это означает, что каждое решение х(і, і0,х0) (у(і, і0, уо)) определено при всех і ^ іо ^ 0, для которых ||х(1)|| ^ Л-1 (|у(1)| < М).

Отметим, что при исследовании глобальных УПС движений указанных систем будем считать, что правые части систем заданы соответственно в областях

^1

Пусть хе

{і,

і Є •/+, ||ж|| < оо}, П2 = {і, у : і Є •/+, ЦуІІ < оо}.

= ((хі1 )Т, (хЄ2>)Т)Т

положение равновесия системы (1) ((1/), (1//)),

а уе = (Уе ' ,Уе ' У - системы (2) ((2/), (2//)). Будем считать, что они связаны соотношением уе = Ухе. При изучении х(1)-устойчивости положения равновесия х = хе

(у(1)Т ~(2)Т'Т

),

х

системы (1) ((1/), (1//)), как и положения равновесия у = уе системы (2) ((2/), (2//)), следует различать случаи:

а) х(1) = х^1 является «частичным» положением равновесия системы (1) ((1/), (1//)) [7-9], т. е. /(1)(г, х!1} , х(2)) = 0;

б) х(1) = хе1 не является «частичным» положением равновесия системы (1) ((1/), (1//)), т. е. /(1)(г,хе1} ,х(2)) = 0.

Заметим, что в случае единственности решений системы (1) ((1/), (1//)) множество М{х(1), х(2) : х(1) = х1е)} есть ее инвариантное множество [9; 12, § 5]. Помимо линейных преобразований (3) будем здесь также пользоваться линейными преобразованиями

у(1) = У]_х(1), х(1) = и1у(1), (4)

где У1 - моник-матрица размерности к х к; и - эпик-матрица размерности к х к; кроме того, ^1У1 = Е1, Е1 - единичная матрица размерности к х к. Не исключается при этом, что может быть к = /г, а У1 = Е1.

Введем далее необходимые определения.

Определение 1 [1, с. 495]. Будем считать, что система (2) включает систему

(1), если существуют две матрицы и и У, удовлетворяющие условию иУ = Е, такие, что для произвольных (го,хо) € 01 из уо = Ухо следует

х(г,го,хо) = иу(г,го,Ухо) (5)

при г ^ го ^ 0.

Определение 2. Примем, что система (2/) включает систему (1/), если имеет место включение системой (2) системы (1) и существуют две матрицы и1 и У1, удовлетворяющие условию и1У1 = Е1, такие, что для произвольных (го,х{^1)) € 01

(1) т/ (1)

из условия у0 = У1 х0 вытекает

х(1) (г,го,хо) = и1у(1)(г,го,Ухо) (6)

при г ^ го ^ 0.

Данное определение дополняет определение 1.

Таким образом, здесь рассматриваются системы, у которых при выполнении условия у е = Ухе выполняется и условие у(1) = У^е1.

Отметим, что для каскадных систем [13-16] нет необходимости осуществлять линейные преобразования (3). Достаточно при этом ограничиться преобразованиями (4) и требованием выполнения условия типа у(1) = У1х .

Будем в дальнейшем пользоваться не вполне корректным, хотя и общепринятым [1, с. 495], обозначением включения системой (2) ((2/)) системы (1) ((1/)), а именно:

(2) Э (1) ((2/) Э (Г)).

Приведем условия, при выполнении которых будут иметь место включения (2) Э

(1) и (2/) Э (1/). С целью получения условий включения (2) Э (1) в монографии [1, с. 496] вводится вспомогательная п-мерная векторная функция

Ь(г,у) = УЬ(г,иу) + гк (г,у), (7)

определенная на множестве О.2. Здесь т(г, у) - дополнительная векторная функция. С использованием функции (7) в монографии [1, § 8.4] доказана следующая теорема

о включениии (2) Э (1).

Теорема 1 [1, с. 496]. Если

т(Ь, Ух) = 0 (8)

при произвольных (Ь,х) € 01 или

ит(г, у) = 0 (9)

при произвольных (г,у) € П2, то (2) Э (1).

Доказательство. С учетом введенной функции (7) составим выражение

у - Ух = У [/1 (г, иу) — /1 (г, х)] + т(г,у). (10)

Отсюда и из условия (8) следует, что у — Ух = 0 является положением равновесия системы (10). Это означает, что из уо = Ухо вытекает у(Ь,Ьо,уо) = Ух(Ь,Ьо,хо), г ^ Ьо ^ 0, из чего, в свою очередь, следует справедливость условия (5).

Доказательство того, что (2) Э (1), если выполнено условие (9), проводится по аналогии с предыдущим. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь случай, когда х(1) = х^.() есть «частичное» положение равновесия системы (1) ((1/), (1//)), а у(1) = У^е1 - соответственно «частичное» положение

равновесия системы (2) ((2/), (2//)). При этом система (1) ((1/), (1//)) может иметь, а может не иметь положения равновесия.

Введем в данном случае также вспомогательную /г-мерную векторную функцию

/(1) (г, у) = У1/(1) (г,иу) + т (г,у(1)), (11)

которая определена на множестве ^2. Здесь т(г, у(1)) также является дополнительной /г-мерной векторной функцией.

Теорема 2. Если в (11) дополнительная функция удовлетворяет одному из условий

т 1(Ь,У1х(1) )=0 (12)

при произвольных г ^ Ьо ^ 0, ||х(1) || ^ Н1 или

и1 т 1 (г, у(1)) = 0 (13)

при произвольных г ^ Ьо ^ 0, ||у(1)|| ^ Н2, то (2/) Э (1/).

Доказательство теоремы 2 проводится по тому же плану, что и теоремы 1. В самом деле, с учетом (4), (11) и (12) получим

у(1) — У1х(1) = У1[/1(1)(Ь, и1у) — /(()(Ь,х)] + т 1(Ь, у(1)). (14)

Тогда из условия (12) и системы (14) следует, что у(1) — У(х(1) = 0 есть положение равновесия системы (14). А это означает, что из = У(хо() и уо = Ухо вытекает равенство у(1)(г,го, уо) = У(х(1) (г, го,хо), из которого, в свою очередь, следует справедливость равенства (6).

По аналогии с этим доказывается утверждение теоремы и при выполнении условия (13). Теорема доказана.

Перейдем далее непосредственно к решению поставленной задачи, т. е. к исследованию УПС движений системы (1) с использованием принципа включения. В частности, будем изучать УПС «частичного» положения равновесия системы (1) ((1/), (1//)) относительно всех и части фазовых переменных.

Как уже отмечалось, в отличие от линейных систем, для нелинейных систем [1, с. 496] необходимо требовать, чтобы «частичное» положение равновесия системы (1/), (1//) при линейных преобразованиях (3) и (4) в расширенной системе (2) ((2/), (2//)) сохранилось в смысле определений 1 и 2. Следовательно, если /((Ь,хе) = 0, Ь ^ Ьо ^ 0, то необходимо, чтобы выполнялось и условие

/2 (г, Ух е) = 0, Ь > Ьо > 0,

т. е. чтобы у е = Ухе было положением равновесия системы (2). Это, согласно теореме 1, имеет место тогда и только тогда, когда т (Ь,Ухе) = 0 при г ^ Ьо ^ 0.

Аналогичное утверждение справедливо и относительно «частичного» положения равновесия х(1) = х^ системы (1) ((1/), (1//)), т. е. если /((1)(Ь,хе\х(2)) = 0 при г ^ Ьо ^ 0, то должно иметь место и тождество /2()(Ь, У1 хе1, у(2)) = 0 при г ^ Ьо ^ 0. Это тождество выполняется при выполнении условия (12).

Предположим, что (хе1^ ,хе^) ((у(1),у(2))) является положением равновесия системы (1) ((2)), а хе1 (у(1)) - «частичным» положением равновесия системы (1) ((1/), (1//)) ((2) ((2/), (2//))) и при этом выполняются условия уе = Ухе и у(1) = У(хе1.

Определение 3. «Частичное» положение равновесия х(1) = х^ системы (1)

((П, (1//)):

а) устойчиво, если для каждого е > 0 и произвольного Ьо ^ 0 существует такое 5(е,Ьо) > 0, что из ||хо() — хе1 У < 5, ||хо2)|| < те следует ||х(1)(Ь, Ьо,хо) — хе^Ц < е при Ь > Ьо > 0;

б) равномерно х(1) -устойчиво, если указанная величина 5 зависит только от е;

в) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и для каждого е > 0 и произвольного Ьо ^ 0 существует такое 5((е,Ьо) > 0, что для любого решения х(Ь,Ьо,хо) системы (1) ((10, (1//)) выполняется равенство

Иш ||х(1)(Ь,Ьо,хо) — х(е( || = 0, (15)

ь—

как только 11Жд() — хе1|| < 5(, ||хо2)| < те;

г) эквиасимптотически устойчиво, если для каждого Ьо ^ 0 существует такое 52(Ьо) > 0, что равенство (15) выполняется равномерно относительно х^ из области 11Жд() — хе^Ц < 5(; при этом 11Жд2)| < те;

д) равномерно асимптотически устойчиво, если оно равномерно устойчиво и величина 5( не зависит от Ьо, а равенство (15) выполняется равномерно относительно Ьо, хо() при Ьо ^ 0 и ||хо() — х^ || < 5(; при этом ||хо2)|| < те;

е) асимптотически устойчиво в целом, если оно устойчиво и равенство (15) справедливо при произвольных £о ^0 их о €

ж) равномерно асимптотически устойчиво в целом, если оно равномерно х^ -устойчиво и равенство (15) справедливо при произвольных £о ^ 0, жо € Ох равномерно относительно Ьо и х^ из области Ьо ^ 0, (хо() — х2) € Кх(1), где Кх(1) -произвольный компакт х(1)-пространства; при этом ||хо2)|| < те;

з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво, если существуют положительные постоянные 52, М и а, такие, что для каждого решения х(Ь,Ьо,хо) системы (1) ((1/), (1//)), для которого ||хо() — хе()|| < 52, ||хо2)|| < те, при Ь ^ Ьо ^ 0 справедливо неравенство

|х(1)(Ь,Ьо,хо) — х^Ц < М||хо() — (16)

(||х(1) (Ь,Ьо,хо) — х(е( || < М||хо() — х(е( II (Ь — Ьо + 1) “); (17)

и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво в целом, если существуют такие положительные постоянные 62, К и а, что неравенство (16) ((17)) справедливо при Ь ^ Ьо ^ 0 и произвольных Ьо ^ 0 и (жо — хе) €

Замечание! Помимо известных определений [7-9] различных видов устойчивости «частичного» положения равновесия системы (1) ((1/), (1//)) здесь даны определения устойчивости «частичного» положения равновесия системы (1) ((1/), (1//)) по степенному закону.

Замечание 2. Аналогично определяются и УПС «частичного» положения равновесия у(1) = у(1) относительно всех и части фазовых переменных системы (2/), (2//). Отличие состоит лишь в том, что нужно будет при этом рассматривать норму разности

||у(1)(Ь,Ьо,уо) — У1хе1} ||.

Для большей ясности приведем определения устойчивости и асимптотической устойчивости «частичного» положения равновесия у(1) = у(1) системы (2) ((2/), (2//)).

Определение 4. Если для каждого 5 > 0 и произвольного Ьо ^ 0 существует 5(Ьо,5) > 0 такое, что из неравенств ||уо() — У1 хе1|| < 5(Ьо,5), ||у(^2)| < те вытекает ||у(1)(Ь,Ьо,уо) — У1 х^Ц < 5 при Ь ^ Ьо ^ 0, то «частичное» положение равновесия у(1) = у(1) называется устойчивым.

Если же, кроме того, найдется 5(Ьо,е) > 0 такое, что из ||у(1) — У^е^Н < 5, ||у(2)| < те следует Иш—То ||у(1)(Ь,Ьо,уо) — У^е^Н = 0, то «частичное» положение равновесия у(1) = у(1) будет асимптотически у(1)-устойчивым.

Здесь вместо У(хе1 можно писать у(1), так как выполняется условие у(1) =

Введем обозначения: = ((х^)Т, (х^)Т)Т, уМ = ((у^)т, (у^)т)т, г = 1,2.

Положим г = 1.

Снова предположим, что х(1) = х( 1) является «частичным» положением равновесия системы (1) ((1/), (1//)) и, кроме того, правые части системы (1) ((1/), (1//)), как и системы (2) ((2/), (2//)), непрерывны и удовлетворяют условию единственности соответственно в областях

0,3 = {Ь,х^\ ж*-2-1 : Ь ^ Ьо ^ 0, Цж*-1-11| ^ Цж*'1'11| < оо, Цж*-2-11| < оо},

^4 = ^,у(1),у(2) : t > to > 0, ||у(1)|| < /12, ||Р(1)|| < оо, ||у(2)|| < оо},

а также (ж*^, ж*-2)), (у^, у ^^-продолжимости соответствующих решений.

Определение 5. «Частичное» положение равновесия х(1) = хе() системы (1)

((10, (П):

а) хМ'1 -устойчиво, если для каждого е > 0 и произвольного Ьо ^ 0 существует

такое 5{е, Ьо) > 0, что из Цжд1^ — х^ || < 8, Цжд2'11| < оо следует || (^, Ьо, жо) — х^ || < е

при всех Ь ^ Ьо ^ 0;

б) равномерно -устойчиво, если величина 6 зависит только от е;

в) асимптотически хМ'1 -устойчиво, если оно хМ'1-устойчиво и для каждого Ьо ^ 0 существует такое 5((е,Ьо) > 0, что для любого решения системы (1) ((1/), (1//)) выполняется соотношение

Ит ||ж(1)(г,г0,жо) - ж^Н =о, (18)

ь—

как только ||хо() — хе1|| < 5(, ||хо2)| < те;

г) эквиасимптотически хМ'1-устойчиво, если для любого £о ^ 0 существует такое 62(Ьо) > 0, что соотношение (18) выполняется равномерно относительно х^ из области ||хо() — х^Ц < 52; при этом ||хо2) || < те;

д) равномерно асимптотически хМ'1 -устойчиво, если оно равномерно хМ'1 -устойчиво и £( = 5((е), а соотношение (18) выполняется равномерно относительно Ьо, х^ при Ь > Ьо > 0, ||хо() — х^Ц < ^1 и ||хо2) || < те;

е) асимптотически хМ'1 -устойчиво в целом, если оно хМ'1-устойчиво и соотношение (18) справедливо при всех Ьо ^ 0, 11Жд() — х^Ц < те, ||хо2)| < те;

ж) равномерно асимптотически хМ'1-устойчиво в целом, если оно равномерно аК1)-устойчиво и соотношение (18) справедливо равномерно относительно Ьо их о при

всех Ьо ^ 0 и (хо() — хе1) € Кх(1), где Кх(1) - произвольный компакт х(1)-пространства;

(2)

при этом ||хо )|| < те;

з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически хМ'1 -устойчиво, если существуют положительные постоянные д2, М и а такие, что для каждого решения системы (1) ((!), (1//))? для которого Цхд1^ — х^\\ < 62, ||жо2')|| < оо; при Ь ^ Ьо справедливо неравенство

||ж(1)(^о,жо)-х(^)\\ < М\\х^ - х^\\е~а^~го) (19)

(||ж(1)^^0,ж0)-х^Ц < М\\х^-х^'ЧКЬ-to + 1)_“, а>0); (20)

и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически хМ'1 -устойчиво в целом, если существуют такие положительные постоянные К и а, что неравенство (19) ((20)) справедливо при Ь ^ Ьо ^ 0 и произвольных Ьо ^ 0 и (хо — хе) €

Замечание 3. Аналогично определяются УПС «частичного» положения равновесия у(1) = у(1) относительно части фазовых координат переменных системы

(2) ((2/), (2//)). Например, «частичное» положение равновесия у(1) = у(1) называется у1-устойчивым, если для каждого 5 > 0 и произвольного Ьо ^ 0 существует такое 5(Ьо,е) > 0, что при ||уо() — У(х^ || < 5(Ьо,е), ||ус^2)| < те и Ь > Ьо > 0 выполняется

||у(1)(Мо,Уо) - Т/1ж£1) || < е.

З а м е ч а н и е 4. Здесь не приводятся определения различных видов устойчивости положения равновесия системы (10), которые общеизвестны и их можно найти, например, в замечательной обзорной статье В. И. Воротникова [9].

Теорема 3. Пусть (2) Э (1), (2/) Э (1/) и при этом уе = Ухе, где х = хе - положение равновесия системы (1) ((1/), (1//)), является положением равновесия системы (2) ((2/), (2//)), а у(1) = У^е1, где х(1) = хе1 - «частичное» положение равновесия системы (1) ((1/), (1//)), есть «частичное» положение равновесия системы (2) ((2/), (2//)),

т. е. / (Ь,уе ),у(2)) = 0. Тогда:

1) если положение равновесия уе = Ухе системы (2) ((2/), (2//)): а) устойчиво, б) равномерно устойчиво, в) асимптотически устойчиво, г) эквиасимптотически устойчиво, д) равномерно асимптотически устойчиво, е) асимптотически устойчиво в целом, ж) равномерно асимптотически устойчиво в целом, з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво, и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво в целом, то положение равновесия х = х системы (1) обладает соответственно теми же УПС, что и положение равновесия у = уе системы (2) ((2/), (2//));

2) если «частичное» положение равновесия у(1) = У(хе1 системы (2) ((2/), (2//)): а) устойчиво, б) равномерно устойчиво, в) асимптотически устойчиво, г) эквиасимптотически устойчиво, д) равномерно асимптотически устойчиво, е) асимптотически устойчиво в целом, ж) равномерно асимптотически устойчиво в целом, з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво, и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически устойчиво в целом, то «частичное» положение равновесия х(1) = хе1 системы (1) ((1/), (1//)) обладает соответственно теми же УПС, что и «частичное» положение равновесия у(1) = У^е1 системы (2) ((2/), (2//));

3) если «частичное» положение равновесия у(1) = У(хе1 системы (2) ((2/), (2//)):

) -(1) - гг) -(1) - ) -(1) -

а) Уе -устойчиво, о) равномерно уе -устойчиво, в) асимптотически уе -устойчиво,

) -(1) - д) -(1) -

г) эквиасимптотически уе -устойчиво, о) равномерно асимптотически уе -устои) -(1) - ) чиво, е) асимптотически уе -устойчиво в целом, ж) равномерно асимптотически

у^е^-устойчиво в целом, з) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически у^ -устойчиво, и) экспоненциально (по степенному закону) асимптотически у^-устойчиво в целом, то «частичное» положение равновесия хМ'1 = х^ системы (1) ((1/), (1//)) обладает соответственно теми же УПС, что и «частичное» положение равновесия у^ = Уху^ системы (2) ((2'), (2")).

Доказательство. Докажем асимптотическую устойчивость положения равновесия х = хе системы (1) ((1/), (1//)) при выполнении условий п. 1) теоремы. Пусть положение равновесия у = уе системы (2) ((2/), (2//)) асимптотически устойчиво, т. е. для каждого е > 0 и произвольного Ьо ^ 0 существует £(Ьо,е) > 0 такое, что из ||уо — уе|| < £(Ьо,е) следует ||у(Ь,Ьо,уо) — уе|| < £ при Ь > Ьо и, кроме того, для каждого Ьо ^ 0 и любого 6 > 0 существует такое £((Ьо,е) > 0, что для произвольного решения системы (2) ((2/), (2//)) выполняется соотношение

Иш ||у(Ь, Ьо, уо) — уе|| =0, (21)

ь—

как только ||уо — уе|| < £1 (Ьо,е).

Для доказательства асимптотической устойчивости положения равновесия х = х системы (1) ((1/), (1//)) воспользуемся условиями теоремы. Задаем е > 0 и Ьо ^ 0. В соответствии с определением устойчивости положения равновесия у = у е по Ьо ^ 0 и числу е = \\и|| ~1 е находим соответствующее значение 6 > 0. Пусть 6 = \ \У||_ 16. Тогда при ||хо — хе || < 6 справедливо неравенство

||уо — уе|| < ||У || • ||хо — х е|| < 6. (22)

Из выполнения (22) следует, что Цу(Ь, Ьо, уо) — уе|| < £ при Ь ^ Ьо. Значит,

||х(Ь,Ьо,хо) — хе|| < ЦП|| • ||у(Ь,Ьо,уо) — уо|| < Ци||6 = е. (23)

Таким образом, для любых е > 0 и Ьо ^ 0 существует такое 6 > 0, что если ||хо —хе|| < 6, то при всех Ь ^ Ьо имеет место оценка (23). А это означает, что положение равновесия х = х е системы (1) устойчиво.

Сходимость решений системы (1) ((1/), (1//)) к х = хе непосредственно вытекает из равенства (21). Следовательно, утверждение теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия х = хе системы (1) ((1/), (1//)) доказано. Все остальные утверждения п. 1) теоремы доказываются по этому же методу.

Докажем утверждения п. 2). Так как «частичное» положение равновесия у(1) = у(1) асимптотически устойчиво, то для каждых £ > 0 и Ьо ^ 0 существует £(е,Ьо) такое, что из ||уо() — у(1)|| < £ следует ||у(1)(Ь,Ьо,уо) — у(1)\\ < £ при всех Ь > Ьо > 0 и \\y02)\\ < те и, кроме того, существует такое £1(Ь(,е) > 0, что для каждого решения системы (2) ((2/), (2//)) с ||у(1) — у(1)\\ < £( при произвольных значениях у(2) справедливо равенство

Иш \\у(1)(Ь,Ьо,хо) — у(1)\\ = 0. (24)

ь—

Задаем е > 0 и Ьо ^ 0. В соответствии с определением устойчивости «частичного» положения равновесия у(1) = у(1) системы (2) ((2/), (2//)) по Ьо ^ 0 и числу 6 = \\и1\\-1е выбираем соответствующее значение 6 > 0. Пусть 6 = \\ У( \\— 16.

Используя оценки

\\у(1) — у(1)\\ < \|У1| \ • 1|хо() — х (е1} \\, \|хо() (Ь,Ьо,хо) — х(е)\ \ < \\и1\ \ • \\у(1) (Ь,Ьо,хо) — У(1)\\,

получаем: для е > 0 и Ьо ^ 0 нашлось такое 6 > 0, что из \\хо() — хе1 \\ < 6 вытекает неравенство \\х(1)(Ь,Ьо,хо) — х^е^Ц < е при Ь ^ Ьо и \\хо2)\\ < те. Это означает, что «частичное» положение равновесия системы (1/), (1//) устойчиво.

Сходимость решений системы (1) ((1/), (1//)) к «частичному» положению равновесия х(1) = хе1 следует непосредственно из условия (24) при произвольных значениях

х(2)

х0.

Таким образом, установлена асимптотическая устойчивость «частичного» положения равновесия системы (1) ((1/), (1//)).

Остальные утверждения данного пункта, а также утверждения п. 3) доказываются аналогичным образом.

Замечание 5. Следует отметить, что утверждения п. 1) теоремы 3 восполняют утверждение теоремы 8.26 [1, с. 497-498]. Отметим, что в теореме 8.26 доказана устойчивость положения равновесия исходной системы с использованием факта устойчивости положения равновесия расширенной системы.

З а м е ч а н и е 6. Из условий теоремы 3 следует, что х = х и у = у - положения равновесия соответственно систем (1) и (2), а х(1) = х^е() и у(2) = у(1) - «частичные» положения равновесия соответственно систем (1/) и (2/). Если же системы (1) и (2) не имеют положения равновесия, а только «частичные», то в этом случае в условиях теоремы будут только матрицы П и У(, причем П(У( = Е(, структура которых будет совпадать со структурой матриц и и У.

Рассмотрим далее систему дифференциальных уравнений

— =Ах^\ (25)

ё,Ь

где х € Еп; А - постоянная матрица размерности п х п, определитель которой не равен нулю; х(м) = (х^,..., хП)т, М = 3, 5, 7,... . Изучим вопрос об асимптотической устойчивости положения равновесия х = 0 данной системы.

С целью использования перекрывающихся декомпозиций необходимо осуществить расширение фазового пространства системы (25). Система (25) является существенно

нелинейной. Поэтому, как уже упоминалось, необходимо, чтобы положение равновесия

у е = 0 расширенной системы

I = <“>

в которой у Є Нп, А - постоянная матрица размерности п х п, у(^ = (у^, ... ,уП)т, в процессе преобразований вида (3) «переходило» из хе = 0 в уе = 0. В этом случае принято говорить [1, гл. 8], что расширенная система (26) содержит положение равновесия хе = 0 системы (25).

Будем предполагать, что вектор х(^ состоит из трех компонент, т. е. х(^ = ((х^ )т,

(х2м) )т, (х^ )т)т,

х^] Є Еп

(в = 1, 2, 3), и\ + П2 + пз = п.

Из трех компонент вектора состояния х образуем две перекрывающиеся компоненты у|м) = ((х1м) )т, (х^м) )т)т и у2м) = ((х2м) )т, (х^м) )т)т. Воспользуемся ими с целью формирования нового вектора у(^') = ((у[и'))т, (у2м))т)т и произведем перекрывающуюся декомпозицию матрицы А по пунктирным линиям, т. е.

А

Ап А\2\ Аіз \

А21 \А22 А23 ) , (27)

А31 А32 А33 )

подматрицы А^ которой имеют соответствующие размерности.

Вектор у связан с х, как и вектор у(м) с вектором х(и,), посредством преобразований

у(р) = Ух(и), х(р) = иу(и), V = 1,/л. (28)

Преобразования (28) являются обобщением преобразований (3). Матрица А задается в виде

А = УАи + М, (29)

где М - постоянная дополнительная матрица размерности п х п. Здесь

М

а Е\, Е-2, Ез - единичные матрицы, размерности которых совпадают с размерностями компонент хх,х2 и хз вектора х. Матрица V = (УтV)-1Ут выбирается как псевдооб-ратная к V [1, с. 458].

Из равенства (29) получим Ау^ — УАИу(м) = Му(и,). Отсюда следует равенство (7), где т (у) = Му(и,). За счет выбора матрицы М произведение Му(^') =0. И тем самым обеспечивается выполнение условий теоремы 1 применительно к системе (26), а следовательно, положение равновесия системы (25) «переходит» в положение равновесия расширенной системы.

Из преобразований (28) и формулы (29) вытекает, что матрица А расширенной системы имеет структуру

0 5^12 ~\А 12 0 ( Е1 0 0 \

0 5^22 -7^22 0 , У = 0 Е2 0

0 — \А22 5^22 0 0 Е2 0

0 -5А32 \Аз2 0 0 0 Ез )

А =

( Ап А12І 0 А13 \

А21 А22 1 0 А23

А21 0 1 А22 А23

\ А31 0І А32 А33 )

(30)

С учетом структуры матриц (27) и (30) следует, что преобразования (28) не меняют перекрывающиеся диагональные блоки благодаря наличию в (29) матрицы М. Таким

образом, свойство инвариантности расширения важно, так как в матрице -А сохраняется расположение перекрывающихся подсистем, которые можно рассматривать теперь как неперекрывающиеся. Преимущество представления расширенной матрицы А в виде

(30) проявляется тогда, когда удается установить связь между решениями х(Ь, Ьо,хо) и у(Ь,Ьо,уо) соответственно систем (25) и (26).

На основании теоремы 1 (26) Э (25), если выполняется условие (8). В случае системы (25) условие (8) выполняется, так как Му(м) = 0. Итак, непосредственной проверкой (см. теорему 1) удается показать, что из уо = Ухо и того, что иУ = Е, следует х(Ь, Ьо,хо) = иу(Ь, Ьо, уо) при всех Ь ^ Ьо ^ 0. Данный результат указывает на то, что и является проекцией пространства состояний системы (26) на пространство состояний системы (25), что означает: система (26) по теореме 1 включает систему (25). При этом УПС движений системы (25) на основании теоремы 3 следуют из соответствующих УПС решений системы (26).

Покажем на конкретном примере, что для доказательства асимптотической устойчивости положения равновесия системы (25) с помощью векторных функций Ляпунова удается применять перекрывающиеся декомпозиции в случае, когда использование неперекрывающихся декомпозиций не дает результата.

Пример 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Функцию Ляпунова для системы (32) выберем в виде У\(х\, х2) = (х^ + х|)/4, для уравнения (33) - как У2(хз) = х3/4, а для системы (31) -

Заменой £ = х3, п = х3 форма Ш\(х\, х2) приводится к квадратичной.

Согласно критерию Сильвестра, функция Ш\(х\,х2) является определенно-отрицательной. Функция ^(хз) также определенно-отрицательная. Полная производная по времени функции Ляпунова (34) на решениях системы (31) имеет вид

(31)

Здесь перекрывающиеся подсистемы обозначены пунктирными линиями. Выпишем далее неперекрывающиеся подсистемы системы (31)

(32)

и

(33)

У (хі ,х2,х3) = У1 (хі,х2) + У2(х3).

Очевидно, что

(34)

I(з 1) — — ~\~ 2хгх2 — 4ххх3 — х2 ~\~ 2x2^3 — (*^ 1 ? *^2■) Х3)•

Функция Ш(жі,ж2,ж3) - однородная форма шестого порядка. Однако заменой £ = хі, п = х3,, 7 = ж3 она приводится к квадратичной форме. Применяя критерий Сильвестра, получаем, что форма Ш(жі,ж2,жз) не является знакоопределенно-отри-цательной. Таким образом, с использованием неперекрывающихся подсистем и функции Ляпунова (34) не удается установить асимптотическую устойчивость системы (31).

Для того чтобы выявить асимптотическую устойчивость системы (31) с помощью перекрывающихся декомпозиций, декомпозируем систему (31) по пунктирным линиям. Эта декомпозиция соответствует перекрывающейся декомпозиции (см. систему (31)) фазового вектора состояний ж = (жі,ж2,жз)т системы (31) на два фазовых вектора состояний у = (ут,ут)т, уі = (жіі, жі2)т, У2 = (ж2і,ж22)т. Для удобства дальнейших преобразований здесь введены обозначения жц ::= жі, жі2 ::= ж2, ж2і ::= ж2, ж22 ::= жз. При такой декомпозиции матрицы V и и предстают в виде

V =

( 1 0 0 \

0 1 0

0 1 0

\ 0 0 1 )

и =

10 0 0

0 \ \ 0 І , 17У = Е.

0 0 0 1

(35)

Преобразования (28) здесь следующие: у(^ = Vж(v), ж(^ = иу(^, V = 1, 3. Система (31) «переходит» в расширенную систему

/ гіжц \

сИ

<ІХ 12

сИ

<ІХ 21

СІІ

СІХ 22 СІІ

/

/ -2 1| 0 -1 /

=11 _0 _2

1 0| -1 2

\ -3 0| 0 -2

з

жіі

з

жі2

жз

ж2і

з

22

ж

(36)

с неперекрывающимися подсистемами.

Матрица системы (36) сформирована в соответствии с формулой А где дополнительная матрица

VAU + М,

М =

0 0 0

0 0 0

\0 0 0 0/

При этом нетрудно убедиться, что Му(3) = 0. Подсистемы системы (35) имеют вид

Зж її о о

— = -2ж11 + ж12,

^ж12 з 3 Зі

іі

і2

(37)

2і

Зі

(ІЖ22

Зі

2і

— 2ж22.

2ж:

22,

и

з

Здесь VI = (Эж4! + ж^)/4 есть определенно-положительная функция для системы (37), а V = ж|1 /4 + ж|2/Э - для системы (38).

Для системы (36) выберем определенно-положительную функцию Ляпунова

1 / ~ А А А 4

У(хц ,Ж12, Ж21,Ж22)

(Зж11 + ж12 + ж21 + 0 ж22 ) *

Найдем

I _ і д з з , з з у з з 6 , о з з

Л 1(35) «Ж11 ^Ж11Ж12 “Г Ж11Ж21 <Ж11Ж22 Ж12 ' ^Ж12Ж22

8

— ж21 + 2ж|1ж|2 — дж22 = ж12, Ж2Ъ ж2г)-

Функция ^2(Ж11 ,Ж12 ,Ж21, Ж22) является однородной формой шестого порядка, ко-

3333 торая заменой П1 ::= ЖЗ1, П2 ::= Ж12, Пз ::= Ж21, П4 ::= ЖЗ2 сводится к квадратичной.

С помощью критерия Сильвестра нетрудно проверить, что полученная таким образом квадратичная форма определенно-отрицательна. Значит, система (36) асимптотически устойчива. На основании теоремы 3 (см. п. 1)) из этого следует асимптотическая устойчивость системы (31).

Пример 2. Рассмотрим систему

/ -2 ^1 -1 0 \

Зж 1=11 2| 0

сМ 3 1-0 =2.1 0

\ 1 2 -3 2 )

Ж3

Ж34

(39)

в которой представим вектор фазовых переменных в виде ж = ((ж(1))т, (ж (2)))Т, Ж(1) = (ж1 , Ж2, жз)т, ж(2) = Ж4. Система (39) имеет положение равновесия ж = (0,0, 0, 0)т. В качестве «частичного» положения равновесия системы будем считать ж(1) = (0,0, 0)т. Здесь перекрывающиеся подсистемы обозначены пунктирными линиями. Введем обозначение

Л,

-2

1

^3

-1|

11 “І 2

0 -2

Приведем еще одну систему дифференциальных уравнений

/

Зж

сМ

Л1

~2

Ж3

+

Ж34

0 0 0

і2

(40)

\і2 /

|0 |0

__________1_ 0

у 1 2-32/

Она не обладает положением равновесия, а «частичное» положение равновесия имеет ж(1) = (0, 0, 0)т.

Системы (39) и (40) с помощью преобразований у(^) = Vж(v), ж(^) = иу(^), V = 1, 3, и матрицы Л1 приводятся соответственно к расширенным системам. Здесь V, и, М, Л1 - того же вида, что и при рассмотрении системы (36).

Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые касались установления асимптотической устойчивости положения равновесия системы (31), получим асимптотическую устойчивость «частичных» положений равновесий соответственно систем (39) и (40).

Ж

Ж

1. Шильяк Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами / пер. с англ.; под ред.

B. М. Матросова, С. В. Савастюка. М.: Мир, 1994. 576 с. (Siljak D. D. Decentralized Control of Complex Systems. Cambridge, MA: Academic Press, 1991.)

2. Ikeda M., Siljak D. D., White D. E. An inclusion principle for dynamic systems // IEEE Transactions. 1984. Vol. AC-29. P. 244-249.

3. Ikeda M., Siljak D. D. Overlapping decompositions, expansions and contractions of dynamic systems // Large Scale Systems. 1980. Vol. 1, N 29. P. 29-38.

4. Ikeda M., Siljak D. D. Generalized decompositions and stability of nonlinear systems // Proc. of the 18th Allerton Conference. Monticello, 1980. P. 726-734.

5. Мартынюк А. А. Расширение пространства состояний динамических систем и проблема устойчивости // Прикл. механика. 1986. Т. XXII, № 12. С. 10-25.

6. Мартынюк А. А. Принцип включения для стандартных систем // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 1. С. 34-37.

7. Воротников В. И. Два класса частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости // Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 1. С. 47-51.

8. Воротников В. И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия нелинейных динамических систем // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 3. С. 332-337.

9. Воротников В. И. Частичная устойчивость и управление: состояние, проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3-32.

10. Косов А. А. Исследование устойчивости сингулярных систем методом вектор-функций Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 4. С. 123-129.

11. Кириллов А. Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестн.

C.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 4. С. 127-131.

12. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 c.

13. Panteley E., Loria A. Crowth rate conditions for uniform asymptotical stability of cascaded time-varying systems // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 645-651.

14. Su W, Fu M. Robust stabilisation of nonlinear cascaded systems // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 645-651.

15. Chaillet A., Loria A. Nesessary and sufficient conditions for uniform semiglobal partical asymptotic stability application to cascaded systems // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 1899-1906.

16. Chaillet A., Angeli D. Integral input to state stable systems in cascade // Systems & Control Letters. 2008. Vol. 57. P. 519-527.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.

Статья принята к печати 19 мая 2011 г.