CC BY
71
Лаухин А.С., Иванов М.К. УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ОСНОВЕ ИМИТАЦИОННОГО ПРОГНОЗА
Одной из фундаментальных проблем в финансовой теории и практике вот уже на протяжении нескольких десятилетий остается проблема управления портфелем ценных бумаг (optimal portfolio selection problem) [1, 3, 4, 5, 6, 7, 15].
Существуют различные подходы к решению данной проблемы.
В 1952 г. Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. Марковицем была опубликована фундаментальная работа [1], которая была посвящена проблеме оптимизации инвестиционных решений в условиях неопределенности. В ней была изложена концепция диверсификации, позволяющая за счет правильного подбора ценных бумаг уменьшить риск портфеля. Подход Марковица основывался на предположении о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность. С математической точки зрения эта задача относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях.
Развивая идеи Марковитца, Дж. Тобин предложил включить в анализ безрисковые активы (например, государственные облигации). У. Шарп на основе «модели оценки капитальных активов» (или САРМ - от английского capital asset pricing model) предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной [15] . Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. В 7 0-х годах ХХ в. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценки входящих в модель коэффициентов «альфа» и «бета» отдельных ценных бумаг и индекса рынка в целом привели к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.
Первые же публикации Г. Марковица вызвали большой поток работ, как в финансовой литературе, так и в литературе по теории исследования операций. Развитие подхода шло по целому ряду направлений [3, 4, 5, 6]. В ряде работ исследовались иные критериальные постановки, так как использование дисперсии противоречило несимметричности рациональной функции инвестиционной полезности [13, 15,
18]. Исследовалось влияние транзакционных издержек (финансового трения), определенные трудности вызывал и вопрос учета ограничений, качественно усложнявший задачу даже для простого требования неотрицательности активов (немаржинальной торговли). Очень сложным оказался вопрос обобщения модели Марковица и развитие подхода на случай многопериодного управления.
Но, пожалуй, самым сложных аспектом для подхода Марковица и последующих работ, нацеленных на построение оптимизационных инвестиционных стратегий, явился тот эмпирически выявленный факт, что доходности активов не подчиняются нормальному закону. Многочисленные статистические исследования, проводимые с 80-х годов, показали, что распределение доходности активов на финансовых рынках имеют так называемые «толстые» хвосты распределений и значительный эксцесс, а зачастую и отрицательную асимметрию. Кроме того выяснилось, что и временная структура волатильности не соответствует винеровскому процессу (так называемый коэффициент Херста часто существенно отличался от 0.5). Это означало, что оптимизация портфеля лишь по двум моментам распределения доходности являлась некорректной, так как лежащая в ее основе винеровская модель неадекватна. Между тем, именно модель управляемого процесса является основой всякого управления [10, 11]. При этом главное требование к экономико-математическим моделям заключается в том, что они должны обладать адекватностью. Конечно, понятие адекватности относительно и определяется содержательной (экономической, а не математической) постановкой задачи, так как по своему определению модель призвана отражать только существенные свойства реального объекта управления. Но именно этого винеровская модель не обеспечивала.
Было предложено много различных объяснений и моделей отмеченных эффектов. Широко исследовались возможности применения устойчивых распределений; подходы, основанные на использовании смеси нормальных распределений; распределение Тьюики; модели неоднородного случайного блуждания; смеси случайных процессов (диффузионного и пуассоновского); различные модели с использованием процессов Кокса (неоднородность биржевого времени); модели условной гетероскедастичности (GARCH-модели) и многие другие.
В результате был накоплен (и продолжает пополняться) огромный арсенал средств и методов прогнозирования, позволяющих в той или иной степени (вообще говоря, незначительной) снизить неопределенность процесса [2, 7, 8, 15]. Однако модель прогнозирования цен рисковых активов (как основа управляемой системы) нужна была не только и не столько сама по себе, сколько как основа для решения собственно задачи о портфеле, адекватная и желательно простая, предпочтительно линейная. Между тем, задача о портфеле по мере своего развития сильно усложнилась и как собственно оптимизационная задача. Даже в однопериодной постановке при учете финансового трения и важных для практики ограничений исходная задача представляла собой уже не оптимизационную задачу с квадратичным (или даже линейным критерием) и ограничением в форме равенства, а классическую стохастическую задачу нелинейного программирования. Что касается динамического случая, то в общей постановке задача представляла собой очень сложную многопериодную задачу стохастического программирования или задачу стохастического оптимального управления, относительный прогресс в решении которых достигнут только для отдельных классов моделей и процессов [9 - 12, 14, 17].
Решение задачи в терминах оптимального управления было получено Р. Мертоном, который рассмот-
рел оптимальное инвестирование в непрерывном времени на рынке без операционных издержек (без трения) с двумя активами: безрисковым, в качестве которого принимался экспоненциально растущий бан-
ковский счет, и некоторым рисковым активом, развивающимся по закону геометрического броуновского движения. Оптимальная стратегия управления ИП выбирается из условия максимума некоторой интегральной функции полезности [13, 15], при этом динамика ИП описывается в агрегированном виде
(уравнением капитала портфеля в целом), а в качестве управляющих воздействий использовались доли вложений общего капитала в тот или иной актив. Подход Мертона получил широкое теоретическое развитие, благодаря применению мощного математического аппарата теории управления стохастическими
процессами и мартингальных методов. С другой стороны использование мартингальных методов требует
точного знания вида распределения, что существенно ограничивает практическое применение данного подхода. В рамках теории оптимального стохастического управления аналитическое решение задачи удается получить лишь для весьма ограниченного набора критериев, моделей динамики системы и, как правило, без учета либо с упрощенным учетом финансового трения.
Стохастическое программирование является другим мощным подходом к синтезу динамических инвестиционных стратегий. Основной подход состоит в генерировании множества сценариев реализации случайных параметров в виде дерева и выборе управлений в вершинах дерева. Приобретенный к настоящему времени опыт позволяет решать весьма реалистичные многопериодные задачи на рабочих станциях с
использованием высокоэффективных алгоритмов математического программирования [4, 9]. Лимитирующим
фактором подхода является выбор сценариев на основе стохастической модели, так как число переменных, участвующих в решении, нарастает экспоненциально. Вычислительные издержки при решении задач с четырьмя и более этапами настолько высоки, что метод оказывается практически неприемлемым для большинства пользователей.
Существуют подходы, основанные на получении и/или обосновании решающих правил (или решающих распределений), в основном методами стохастического программирования или оптимального стохастического управления, с последующим их использованием для оперативного решения задачи [4, 17].
Представленные подходы имеют в своем арсенале целый спектр методов и направлений, которые активно исследуются применительно к задаче о портфеле. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Некоторые из отмеченных выше недостатков существенным образом ограничивают применение этих подходов на практике. Поэтому в настоящее время помимо традиционных методов оптимизации или управления менеджеры и аналитики используют методы, основанные на генетических алгоритмах, нечеткой логике, а также экспертные системы, нейронные сети [2 - 8].
В результате вышеуказанного в практике управления портфелем возник ряд существенных противоречий.
Во многих существующих системах принятия решений (СППР) применяются подходы и методы портфельной теории, основанные на винеровской модели, адекватность которой давно поставлена под сомнение. Сложность учета издержек управления и ограничений приводит к тому, что часто в оптимизационных алгоритмах они либо не учитываются, либо учитываются упрощенно. В то же время именно корректный учет издержек и ограничений во многом определяет практическую полезность получаемых результатов. Особенно актуально для активного стиля, который становится все более востребованным при современных динамичных условиях.
Как правило, как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях приходится всегда чем-то «жертвовать»: либо вычислительной эффективностью, либо полнотой и адекватностью
модели (или границами и областью ее применения), либо качеством управления. Так, А.Ф. Ерешко в работе [4] отмечает, что при практическом решении задач оптимального управления в стохастической постановке существует два крайних направления действий:
при простой политике управления улучшать качество представлений о стохастическом процессе изменения цен;
при простом (и не очень точном) описании стохастического процесса улучшать, насколько это возможно, качество управления.
По изложенным выше причинам, как теоретические исследования, так и практические приложения тяготеют именно к этим крайностям. Такая ситуация, естественно, не может быть признана удовлетворительной.
Отметим еще одну очень существенную проблему, которая из-за фундаментальной сложности основных подзадач - прогнозирования и управления - обычно остается в тени. Проблема заключается в сложности и/или неоднозначности этапа подготовки исходных (прогностических) данных для решения оптимизационной задачи. Так, при использовании оптимального управления результаты прогнозирования необходимо «загнать» в некоторые формальные рамки - представить в виде дифференциальной или конечноразностной модели [5, 10, 11, 12]. Методология такого подхода основывается на существовании вза-
имно-однозначного соответствия между параметрами корреляционных функцией случайных процессов и соответствующих им дифференциальных уравнений. Но, даже не вдаваясь в детали относительно границ применимости такого подхода, отметим, что «загнав» искомый прогноз в требуемые математические формы имеется существенный риск потери полезной информации, особенно если учитывать, что над выбором модели довлеет сложность последующего решения задачи. При использовании стохастического программирования необходимо сгенерировать множество сценариев реализации случайных параметров и сформулировать детерминированный эквивалент задачи на основе некоторого компромисса между точностью и сложностью, так как при многошаговом управлении число переменных, участвующих в решении, нарастает экспоненциально [4]. При этом генерирование сценариев представляет собой отдельную сложную и трудоемкую задачу, так как необходимо учесть взаимосвязь различных параметров модели в динамике, сценарии должны быть логически последовательны и непротиворечивы и пр. При такой ситуации огромный арсенал средств и методов прогнозирования, накопленный к настоящему времени, зачастую остается маловостребованным. В подтверждение достаточно сказать, что основным инструментом портфельного инвестирования на практике продолжает оставаться модель оценки капитальных активов (САРМ), в первую очередь благодаря своей простоте.
В то же время, существует, подход, который потенциально мог бы снять или ослабить многие из отмеченных противоречий и проблем.
Речь идет об интеграции оптимизации и имитационного моделирования. Интеграция оптимизации и имитационного моделирования заключается в совместном использовании имитационной модели (ИМ) сложной системы и алгоритма оптимизации. С помощью ИМ рассчитывается значения отклика для различных комбинаций значений факторов, которые предлагает алгоритм оптимизации. Поисковый алгоритм оптимизации, в свою очередь, используя значения отклика, пытается улучшить решение. Совместное использование ИМ и методов глобальной оптимизации потенциально представляет собой чрезвычайно мощный, но сложный и трудоемкий подход, так как требует серий многократных прогонов ИМ, поэтому в экономических приложениях он встречается довольно редко.
В то же время, практические приложения подхода могут быть существенно расширены при учете специфики задачи и использовании алгоритмов оптимизации, написанных под конкретное приложение. Исходная посылка состояла в том, что действия конкретного инвестора не оказывают влияния на рынок. Ситуации, когда это не так, встречаются достаточно редко, и обычно рассматриваются в игровых постановках. При такой посылке задача декомпозируется на две независимые подзадачи: прогнозирование цен рисковых активов и решение оптимизационной задачи. Соответственно, отпадает необходимость в серии многократных прогонов имитационной модели для каждого набора оптимизируемых параметров, которые предлагает поисковый алгоритм. Достаточно сымитировать динамику цен рисковых активов, сохранить результаты, и далее использовать их в качестве исходных данных в оптимизационных алгоритмах.
Методология имитационного моделирования за счет своей универсальности является мощным инструментом решения первой подзадачи - прогнозирования динамики цен рисковых активов [16]. Имитационные системы позволяют изучать реальные процессы и явления во всей их сложности, не «втискивая» их в модели, удобные для применения тех или иных математических методов. При этом, какова бы ни была имитационная прогностическая система, - от элементарной до очень сложной - на выходе ее мы имеем массив цен рисковых активов (в координатах: инструмент, время, испытание). В свою очередь, наличие унифицированной прогностической информации в качестве исходных данных дает возможность созда-
ния специальных оптимизационных алгоритмов, написанных под конкретное приложение. Очень трудоемкий и/или неоднозначный этап подготовки исходных данных, необходимый при использовании многих существующих подходов, оказывается ненужным. Подход позволяет расширить класс используемых для управления портфелем прогностических систем и моделей динамики цен рисковых активов и повысить оперативность подготовки исходных данных для решения оптимизационной задачи.
При этом имеется принципиальная возможность непосредственного использования результатов имитационного моделирования цен при решении задачи управления портфелем. Суть заключается в следующем. На выходе имитационной прогностической системы мы имеем трехмерный массив цен (актив, время, испытание). В задаче управления портфелем под состояниями системы понимается стоимость входящих в портфель отдельных активов. Если расширить фазовое пространство (добавить подпространство испытаний) , то вместо конкретного значения стоимости актива мы будем иметь конечномерный (по числу имитаций) ансамбль состояний (фактически плотность распределения стоимости актива), который, тем не менее, при заданной динамике цен будет полностью определяться начальными условиями и приложенными управлениями. Следовательно, оптимизационная задача в такой постановке может быть решена.
Возникающая при таком подходе оптимизационная задача является, в общем случае, задачей нелинейного программирования [14] . Отметим, что попытки свести задачу к специальным постановкам в рамках, к примеру, линейного или квадратичного программирования, приводят к существенному ограничению области применения подхода, страдает экономическое содержание задачи. Учет издержек управления, особенно при маржинальной торговле, а также важных для практики ограничений приводит к сложной, негладкой нелинейной задаче. В то же время, в новых координатах задача изначально является детерминированной, при этом за счет дополнительного измерения полностью сохраняется стохастическая природа задачи.
Для однопериодного управления получено фактически универсальное решение. Разработан эффективный алгоритм решения задачи для аналитически заданной дважды дифференцируемой функции цели. Для имитационного прогноза использовались модели, традиционно применяемые финансовой математикой для описания эволюции цен рисковых финансовых активов, в том числе винеровская, GARCH-модель и некоторые другие. Кроме того, была разработана имитационная модель, позволяющая моделировать ценовой процесс с требуемыми корреляционными свойствами и заданными законами распределения компонентов. Это позволило исследовать чувствительность результатов к этим факторам. Эффективность алгоритма обусловлена оптимальным сочетанием использования классических градиентных методов второго порядка и специальных приемов, обоснованных для решения конкретной поставленной задачи. Отметим, что решение задачи о портфеле в одношаговой постановке продолжает играть определенное самостоятельное научное и практическое значение (для пассивной стратегии, динамической многошаговой стратегии с упреждением на один шаг, выработки решающих правил, для исследовательских целей и пр.).
Решение задачи в динамической постановке оказалось намного сложнее. Резко возросла чувствительность процесса поиска решения к точности начального приближения. Поэтому применялся подход, успешно зарекомендовавший себя при поиске оптимальных управлений сложных (технических) систем. Сначала получалось глобальное (или магистральное) решение для максимально простой модели портфеля, а затем осуществлялось целенаправленное изменение (усложнение) математической модели исследуемого объекта (последовательно добавлялся учет операционных, маржинальных издержек, некоторых типов ограничений), и решение постепенно «загонялось» в рамки некоторого оптимального (или квази-оптимального) решения при заданных ограничениях. При таком подходе удалось получить искомое решение, но, в отличие от статического случая, в динамической постановке алгоритмы требует определенной настройки под каждую целевую функцию.
Вычислительные эксперименты показали, что зависимость оптимальной структуры портфеля от набора влияющих факторов носит сложный характер. Результаты расчетов показывают, что отказ от предположения о нормальности распределения доходностей активов, учет финансового трения и других факторов в комплексе приводит к отличиям в распределении активов в портфеле до 20 и более процентов в зависимости от функции полезности и уровня неприятия риска инвестора. В свою очередь это означает возможность повышения итоговой доходности портфеля от долей до единиц процентов.
Таким образом, полученные к настоящему времени результаты позволяют судить о перспективности создания новых продуктов портфельного менеджмента, основанных на применении методологии имитационного моделирования для прогнозирования динамики цен и непосредственного использования этих результатов при решении задачи оптимального управления портфелем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7 March. P. 77-91.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974 г.
3. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов //Автоматика и телемеханика, 2003, №7, с. 77-87.
4. Ерешко А.Ф. Методы декомпозиции и локально-оптимальные стратегии в задачах управления портфелем ценных бумаг. М.: Вычислительный центр РАН, 2002. - 80 с.
5. Жижилев В.И. Оптимальные стратегии извлечения прибыли на рынке FOREX и рынке ценных бумаг. М.: Финансовый консультант, 2002. - 279 с.
6. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. СПб: Сезам, 2002. -
181 с.
7. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчёт и риск. М.: Инфра-М, 1994.
8. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и
изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. - 333 с.
9. Пугачёв В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985.
10. Справочник по теории автоматического управления. //Под ред. А.А.Красовского. М.: Наука,
1987. - 712 с.
11. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. Перевод с английского. Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1972. - 544 с.
12. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. //Под. ред. К. Леондеса, пер. с англ. М.: Мир, 1980 г.
13. Фишберн П.С. Теория полезности для принятия решения. М.: Наука, 1978. - 298 с.
14. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. - 534 с.
15. Шарп У. Ф., Александер Г., Бэйли Д. В. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2004. - 1028 с.
16. Шеннон Р.Ю. Имитационное моделирование систем - наука и искусство. //Под ред. Е.К. Масловского. М.: Мир, 1978. - 310 с.
17. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики. Теория вероятностей и её применения, 1994, том 39, вып. 1.
18. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука, 1989. - 316 с.
