Условие неразорения в многопериодной задаче Марковица Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.856.2

А. И. СоловьеВ, Х. Гао2

УСЛОВИЕ НЕРАЗОРЕНИЯ В МНОГОПЕРИОДНОЙ ЗАДАЧЕ МАРКОВИЦА*

В работе рассмотрена многопериодная постановка оптимизационной задачи Марко-вица для дискретной по времени и числу сценариев модели финансового рынка. На основе оптимальной стратегии торговли ценными бумагами определен максимально возможный уровень ожидаемой конечной стоимости портфеля, при котором инвестор не разорится.

Ключевые слова: задача Марковича, квадратичное программирование, оптимизация инвестиционного портфеля, безарбитражные рынки, разорение.

1. Введение. Задача Марковича заключается в минимизации риска при фиксированной (или ограниченной снизу) ожидаемой конечной стоимости портфеля ценных бумаг. Риск определяется в виде среднеквадратичного отклонения стоимости портфеля. Классическая постановка задачи является однопериодной [1]. В данной работе будет рассмотрен ее многопериодный аналог, описанный ранее в работах [2, 3].

2. Описание модели и постановка задачи. На финансовом рынке обращаются d рисковых активов. Торги проводятся в детерминированные моменты времени t = 1 ,...,Т. Транзакцион-ные издержки отсутствуют, а объемы покупки и продажи активов ограничены только текущим капиталом инвестора. Будем считать, что на рынке отсутствует арбитраж.

Модель финансового рынка имеет структуру дерева сценариев (см. пример в [4, с. 393]). Множество всех состояний рынка (вершин дерева) Af разбито на попарно непересекающиеся подмножества Aft, содержащие состояния, в которых рынок может находиться в момент времени t = 0,..., Т. Каждой концевой вершине (листу) дерева пт € Мт соответствует единственный путь (сценарий) ш = {n$,ni,... ,пт), ведущий к ней из единственной корневой вершины щ. Эти пути образуют вероятностное пространство элементарных событий П. Множество Aft определяет разбиение пространства П на подмножества (события), каждое из которых определяется вершиной п £ Aft и состоит из всех содержащих ее путей. Это разбиение порождает алгебру Tt- При этом jf0 = {о, п} С Т\ С ... С Tti т. е. семейство множеств {Tt} является фильтрацией.

Вероятностная мера р = (рп, п € Мт) на П приписывает листьям дерева вероятности рп > О, ^ рп = 1. Считается, что мера р задает истинные (статистические) вероятности событий. п£Л/"т

Будем рассматривать согласованные с фильтрацией {Tt} процессы вида b = (ft(i)}, где случайная величина b(t) принимает значения Ьп, п € Aft, и следовательно, ^-измерима.

Доходность ценной бумаги j = 1,..., d в момент времени t = 1,... ,Т описывается случайной величиной R3{i). Предположим, что случайные величины R? (t) независимы, одинаково распределены и принимают с положительными вероятностями конечное число значений из множества TZ-'. Обозначим через R(t) = (i?1(i), • • •, Rd(t))' вектор доходностей в момент времени t = 1 ,...,Т. Ковариационная матрица доходностей бумаг считается известной и обозначена через S.

Опишем стратегию инвестора. Положим уп = (у^,..., у^), где у3п — объем средств, инвестируемых в рисковый актив j в состоянии п € Aft, i = 0,..., Т — 1. Стратегия инвестора — это случайный процесс у = (y(i)}, где случайная величина y(t) = (y1(i), • • •, yd(t)) принимает значения уп, п € Aft-Стоимость портфеля активов изменяется по следующему закону:

d

V(t+l) = V(t) + ^2Rj(t+l)yj(t), i = 0,... ,Т - 1, F(0) = v, __з=i

1 Факультет ВМК МГУ, математик 1-й кат., к.ф.-м.н., e-mail: alex.solo.88Qmail.ru

2 Колледж математики, университет г. Циндао, проф., e-mail: gaohongweiQqdu.edu.cn

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14-01-91163а, проекта международного сотрудничества и обмена NSFC № 71411130215.

т.е. она складывается из стоимости портфеля в предыдущий момент времени и его суммарного дохода по всем составляющим активам. Здесь через V обозначен объем средств, которые инвестор использует для формирования портфеля.

Сформулируем многопериодную задачу Марковича [2]:

тт Уагр У(Т),

О \У)

{Ер У{Т) ^ а,

л

и

где Уагр У(Т) = Ер (У(Т) — Ер У(Т))2 — дисперсия конечной стоимости портфеля, ЕРУ(Т) — ожидаемая конечная стоимость портфеля по мере р, а — ожидаемая конечная стоимость портфеля, устанавливаемая инвестором в начальный момент времени. Заметим, что задача содержательна при а > V. При остальных значениях а инвестору не имеет смысла вкладывать средства в рисковые бумаги.

Оптимальное решение задачи равно [3, теорема 5.3]

хт-г-1 *

у*(г) = П^-^Е-^^Е"1/,, * = 0,...,Т-1, (1)

8=1

где ц = (/Д...,/)', цЭ = Ер Б? (¿), ] = \,...,й, 8 = ц'Ъ~1ц + \.

3. Исследование вопроса неразорения. Представляет интерес анализ тех значений параметра а, при которых оптимальная портфельная стратегия (1) не приведет инвестора к разорению. Предварительно докажем лемму.

Лемма. При любых с € Ж и (#1,...,хп) € К™ справедливо равенство

ВП{Х) = 2 СП~кХк д (с - Хг) = СП^ Ц(С - Хг).

к-1

к=1

i=l

г=1

Доказательство леммы проводится индукцией по п. Теорема. Стратегия (1) не приводит к разорению при

'Ж 1 _ , _ I _1, гт1

а ^ V-где ж= тах о-^Е г) .

и — о1 г&ггх...хпй

Доказательство. Инвестор становится банкротом, если Уп < 0 при некотором п € Я. Необходимо определить значения параметра а, при которых Уп ^ 0 для всех состояний п € М, причем по условию отсутствия арбитража достаточно потребовать У(Т) ^ 0 (см. [4, с. 389]). Из закона изменения стоимости портфеля и формулы (1) получаем

Т-1 й ¿=0 3 = 1

= V -

а — V

Т-1

¿=0

2 +

3 = 1

8=1

Из симметричности матрицы Е следует

й

-^укЦг +1) = (Е-^ущг +1) = ¿¿'Е-1^ +1).

3 = 1

Тогда по лемме

У*(Т) = V

а — V

т

8=1

9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

Условие неразорения V(T) ^ 0 эквивалентно неравенству min Vn ^ 0. Далее, справедливы

паМт

соотношения

г г

П(£-/*'Е-1ВД) < TT max max (5 - /i'S"1r)T = x,

S=1 S=1

причем найдется вектор доходностей бумаг, при котором данное неравенство обращается в равенство, так как случайная величина доходности R(t) принимает конечное число значений с положительными вероятностями. Таким образом, имеем

5Т - ж

V(T) + v)-^-- ^ 0.

о — 1

Отсюда следует утверждение теоремы.

Покажем, что нахождение величины ж не представляет сложности. Так как на рынке отсутствует арбитраж, то ни на одном сценарии изменения рынка невозможен единовременный рост цен всех активов, равно как и падение цен, поэтому случайная величина доходности R->(t) принимает хотя бы по одному положительному и отрицательному значению с положительными вероятностями. Тогда при нечетном Т

- V

arg max (S — /х'Е 1r)T ) = arg max \гЦ

r£K1X...Xlld ) ri£Ki 1 1

среди г-', таких, что (S_1/i)'Jr'J < 0- При четном T для каждого j = 1,..., d определим r3_ = arg max \гЦ , среди всех г' G TV, таких, что (ХР1 < 0, = arg max |rJ'| , среди всех г' G TV, таких, что (ХР1 > 0.

Равенство

max (S — //S_1r)T = max {(5 ^ //S_1r_)T, (S - /i'S"1r+)T}

re1Z1x...xTZd позволяет просто вычислить ж.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Markowitz Н. М. Portfolio selection // J. Financ. 1952. 7. P. 77-91.

2. Li D., Ng W. Optimal dynamic portfolio selection: multiperiod mean-variance formulation // Math. Financ. 2000. 10. N 3. P. 387-406.

3. Lorenz J. M. Optimal trading algorithms: Portfolio transactions, multiperiod portfolio selection and competitive online search. PhD. Switzerland, ETH Zürich, 2008.

4. Harrison J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets // J. Econ. Theory. 1979. 20. P. 381-408.

Поступила в редакцию 11.09.15

BANKRUPTCY PREVENTION IN MULTIPERIOD MARKOWITZ OPTIMIZATION PROBLEM

Soloviev A. I., Gao H.

The paper deals with a multiperiod version of the Markowitz optimization problem. The proposed financial market model is discrete in time and it has a finite number of market scenarios. The authors derive an upper bound for the expected final portfolio value which does not lead to bankruptcy. The result is obtained basing on analytical form of optimal investment strategy in the original problem.

Keywords: Markowitz problem, quadratic programming, portfolio optimization, arbitrage-free markets, bankruptcy.