Управление двухступенчатой динамической системой при решении задачи встречи с подвижным объектом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.7.015

УПРАВЛЕНИЕ ДВУХСТУПЕНЧАТОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ВСТРЕЧИ С ПОДВИЖНЫМ ОБЪЕКТОМ*

М.А. КИСЕЛЕВ

В работе рассматриваются законы управления двухступенчатой динамической системой, обеспечивающие ее встречу с подвижным объектом за минимальное время.

Ключевые слова: система, законы управления, объект, методика решения.

Введение

Задача встречи двухступенчатой динамической системы «самолет - управляемая ракета» представляет собой классическую задачу перехвата. В настоящее время программа (профиль) полета на перехват в вертикальной плоскости определяется [1]:

- базовой программой набора высоты и скорости;

- значением программной скорости, при достижении которой производится сход с базовой программы и выполнение набора высоты при постоянной скорости (числе Маха);

- программой снижения на высоту атаки цели.

Базовая программа формируется на основе оптимальной программы, обеспечивающей быстрое или экономичное (с минимальными затратами топлива) накопление полной механической энергии. Базовая программа состоит из участков с постоянными параметрами (приборной скорости, числа Маха, высоты полета), что упрощает ее реализацию в полете, но ухудшает интегральные параметры набора высоты по сравнению с оптимальной программой. Однако используемые при построении оптимальной, а значит и базовой программ критерии (время накопления энергии или расходуемое при этом топливо) только косвенно характеризуют эффективность решения задачи перехвата. В статье описывается методика, обеспечивающая решение задачи перехвата с использованием критерия, который напрямую определяет эффективность перехвата. А именно критерия «время перехвата» - время от момента обнаружения до момента поражения цели. Приводятся результаты, подтверждающие работоспособность предлагаемой методики, а также результаты оценки влияния дальности обнаружения цели на характеристики перехвата.

1. Постановка задачи

Пусть движение двухступенчатой динамической системы «самолет - ракета» и движение объекта (цели) описывается системой дифференциальных уравнений движения материальной точки в вертикальной плоскости

-Г = §Ка - вШ 0) ш

^ = *(п а! V

ёх„

уа

сов 0),

а! аУ

а!

ёш

а!

% _

= V вт 0,

-с

* Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МД - 01.10.2011г.

где V - скорость самолета; 0 - угол наклона траектории; хё,уё - координаты самолета в нормальной земной системе координат; g - ускорение свободного падения; пуа, пха - нормальная скоростная и тангенциальная перегрузки, рассчитываемые так:

п

РV2

Рсо8(а + фдв) - Сха^Б

с

Уа

п

2

Б + р 8Ш(а + фдв)

mg mg

где а - угол атаки; фдв - угол установки двигателя; Р=/^,Н) - тяга силовой установки, суа=Да) -коэффициент подъемной силы; сха= сха(суа) - коэффициент лобового сопротивления; т - масса самолета; с8 - секундный расход топлива. В качестве управляющих функций используются величины пуа, аРУД.

Заданы ограничения на управляющие функции и фазовые координаты

ГV < v(t) < V

мин V у макс ’

Уg(t) ^ Уg мин,

п..

< Пу,0) < Пу

уа мин уа V / уа макс ’

уа(0| £ П уа макс •

Приняты допущения о постоянстве режима работы силовой установки самолета (аРУД=соп81) и неизменном режиме полета цели (Н, У)ц=еот1

Необходимо определить управление самолетом и(1), обеспечивающее минимальное время перехвата цели

Х (^ ) = Хо

X(Iк)е Хп

и

иєИ1

(t):

(

g

х.

:(to )

^Хя

dt

= 0

х

(t к )- Х ц (t к )<е

г пер ® М1п

где х (г), хц (г), хур (г) - траектории движения самолета, цели, управляемой ракеты.

2. Методика решения задачи перехвата

Алгоритм решения задачи (рис. 1) включает:

- варьирование условий пуска управляемой ракеты по цели;

- варьирование траектории выхода истребителя в условия пуска;

- моделирование полета истребителя, цели и ракеты;

- оценку эффективности перехвата;

- определение оптимальных по времени перехвата условий пуска и траектории выхода в указанные условия.

В основу методики решения задачи перехвата положена предложенная Киселевым М.А. модификация прямого вариационного метода типа Ритца-Галеркина [2]. Напомним, что прямые методы типа Ритца-Галеркина априори предполагают известным вид решения задачи оптимального управления: уравнение экстремали х(г) представляется линейной комбинацией опорных функций

п

х (г )=Еа^ (1 ),1=1-п.

1=0

Начальные условия перехвата

{Х}ИсТр>{Х}ц,п=3 '

Траектория полета истребителя на перехват {V}

Моделирование перехвата истребителем воздушной цели

Результаты перехвата истребителем воздушной цели >

Блок оптимизации

Поиск оптимальной траектории перехвата:

Увеличение количества опорных точек траектории: п=п+1

Оптимальная траектория полета на перехват

»■ } опт

Блок оптимизации

Формирование новой траектории перехвата: {У}-> уаг

Рис. 1

Это предположение позволяет свести проблему синтеза оптимального управления к задаче поиска экстремума функции многих переменных, т.е. к задаче многопараметрической оптимизации. Действительно, при таком виде уравнения экстремали оптимизируемый функционал

становится функцией произвольных постоянных {а1}

1 [Х (1; (ао,а1>к ,ап ) •

Основную проблему применения прямых вариационных методов для решения задач оптимального управления составляет учет ограничений на управления и фазовые координаты. От-

личия в существующих модификациях прямых методов [3; 4; 5], используемых для решения задач динамики полета, обусловлены способом задания траекторий полета, методом поиска экстремума функции многих переменных и механизмом учета ограничений на управляющие функции. Рассмотрим основные особенности используемой модификации прямого вариационного метода.

2.1. Способ задания траектории полета

Траекторию полета истребителя на перехват сформируем сплайн-функцией [6] или, другими словами, набором стыкующихся между собой в опорных точках полиномов 3-й степени. Варьирование положения опорных точек обеспечит поиск наилучшей траектории перехвата. Необходимую точность решения (потребную степень приближения найденной траектории к оптимальной) в соответствии с теоремой Вейерштрасса [6] обеспечим посредством увеличения числа опорных точек п, определяющих траекторию полета. Увеличивать п будем до стабилизации значения минимизируемого функционала (времени перехвата).

Таким образом, траектория полета на перехват определится:

- скоростью, углом наклона траектории и нормальной скоростной перегрузкой в начале

полета Хо (^ 0о = 0<\ пуао =1);

- углом наклона траектории и нормальной скоростной перегрузки в конце полета Хк (0„ = О'.Пу* = 1);

- координатами опорных точек траектории У1 (хё1,уё1), 1 = 0,...,п. Заметим, что из всех

опорных точек только одна начальная имеет фиксированное положение, положение остальных точек варьируется.

На участке между опорными точками У1 и У1+1 траектория описывается параметрическим уравнением вида

У,УМ (т) = (1 -3х+ 2т2)У, + (3т2 -2т5)Ум + (т-2т2 + Т)К-(т2-т3)К„,, (1)

где те[0 . . . 1], а векторы К1,_, Кт определяются из решения матричного уравнения

1 4 1 1 К о 1 т 0 со 1 1 1 1

1 4 1 К1 -3 0 3 У1

1 4 1 Кп-1 -3 0 3 Уп-1

1 4 1 _ Кп _ -3 0 3 _ Уп _

2.2. Метод поиска экстремума функции многих переменных

Численный метод отыскания экстремума функции многих переменных состоит из метода глобальной оптимизации и метода локальной оптимизации. Поиск экстремума функции производится в два этапа: на первом этапе на основе использования статистической модели целевой функции определяется область, в которой находится глобальный экстремум, а на втором - поиск в этой области экстремума методом покоординатного спуска с применением метода золотого сечения.

Использование статистической модели целевой функции позволяет гарантированно определить область нахождения глобального экстремума, но требует относительно больших вычислительных затрат. Применение метода покоординатного спуска позволяет прогнозировать потребные

вычислительные затраты для уточнения решения задачи с заданной точностью. Для построения статистической модели целевой функции Г(Х) используется так называемое ^-преобразование [7], в основе которого лежит понятие интеграла Лебега. По сути ^-преобразование - это определение вероятности того, что исследуемая функция превысит некую заданную величину £

^(0 = Р(Г(Х) >СХ где Х = {х1,...,хп} .

Из этого простого определения следует несколько важных выводов1:

- ^-функция является функцией одной переменной;

- ^-функция является непрерывной и монотонно-убывающей;

- аргумент ^-функции при ее равенстве нулю соответствует величине глобального экстремума преобразуемой функции Г(Х).

Таким образом, задача отыскания глобального экстремума функции многих переменных трансформируется в задачу поиска нуля монотонно убывающей функции одной переменной. Главная сложность при этом - получить ^-образ оптимизируемой функции.

К сожалению аналитические возможности ^-преобразования ограничены рядом простейших функций. Поэтому для решения практических задач используют статистическую модель ^-функции

т

Е Р(Х) -£]'

У(0 = /Е - / р(£, Х) -0(Х)ёх = ^------,

„ ' (1, если Г (Х) >с

где р(£,Х) = [Г(Х)-£] , 1 = 1,2,...; 0(Х) = \ ; т - количество испытаний,

[0, если Г(Х) < £

в которых {(Х) > £ ; б - общее количество опытов.

В решаемой задаче оптимизируемый функционал - это время перехвата, варьируемые параметры - координаты опорных точек траектории, за исключением начальной.

2.3. Механизм учета ограничений на управляющие функции

Потребная для реализации заданной траектории полета перегрузка определяется путем решения обратной задачи динамики полета

V20/ „ „

n = —, + cos 0 , где 0 = arcsln

ya потр потр потр

, 0 =

y ■ x - y ■ x ■ x

g g g g g

g

I /2 . /2 ^ "потр I /2 ^ ( ,3/2 >

gVxg + yg w xg + yg J (xg + yg ) cos 0

xg, yg, xg, yg находятся дифференцированием (1) по безразмерному параметру t.

Если в полете не удается выдержать потребную перегрузку nya потр (например, требуется nya потр > nya макс), самолет сходит с базовой траектории. Возникшее при этом рассогласование

компенсируется позднее при появлении запаса (избытка) по управлению посредством создания перегрузки большей потребной для движения по заданной траектории. Поскольку траектория полета определяется2 высотой, углом наклона траектории и перегрузкой, величины рассогласования по этим параметрам и задают потребное изменение значения управляющего параметра

Anya зад = kH AH + k П А0 + Дпа .

ya зад nya nya ya

Полученный закон формирования управляющей перегрузки позволяет реализовать ограничения

1 Для случая, когда преобразуемая функция і(хь... ,хп) измерима, выпукла, без симметричных разрывов первого рода

2 На текущей дальности, при текущей скорости и заданном режиме работы двигателей

как на ее величину, так и на темп ее изменения. Коэффициенты кн и к П зависят от режима

пук пук

полета и аэродинамических характеристик самолета и могут рассчитываться при помощи различных методов, исходя из обеспечения заданного качества переходного процесса. Например, при использовании метода стандартных коэффициентов [8] к^ и к П рассчитываются так

где У“ = с^^, а ЛТрег - время регулирования. В исследованиях принято ЛТрег = 6с.

3. Результаты решения тестовой задачи

Начальные условия задачи:

- цель обнаружена на удалении 200 км;

- высота полета цели 20 км, скорость соответствует числу М=1.58;

- истребитель в момент обнаружения цели летит на высоте 1 км со скоростью, соответствующей числу М=0.4;

- характеристики истребителя, его оборудования и вооружения соответствуют уровню, достигнутому на истребителях 4-го поколения.

Требуется рассчитать время перехвата цели в зависимости от высоты и скорости истребителя в момент пуска, обеспечив выход в условия пуска за минимальное время. Сравнить результат с решением, полученным посредством разработанной методики.

Для решения задачи воспользуемся следующим алгоритмом:

1) все пространство «высота-скорость» разобьем на узловые точки с дискретностью ЛН=1км, ЛМ=0.1. Из указанных точек сформируем множество конечных условий полета истребителя на перехват (начальных условий пуска). Кроме того, обеспечим в указанных точках выполнение условий горизонтального полета (0=0°, пуа=1);

2) определим траектории, обеспечивающие минимальное время выхода в каждую из узловых точек;

3) промоделируем пуски ракет из каждой узловой точки по цели. В случае поражения цели из указанных условий рассчитаем время перехвата;

4) на основе полученной информации построим зависимость минимального времени перехвата от высоты пуска и определим траекторию, обеспечивающую минимальное время перехвата;

5) сравним полученный результат с решением, найденным посредством предлагаемой методики.

Понятно, что указанный алгоритм решения является достаточно трудоемким и требует значительных вычислительных затрат. Однако в то же время он позволяет, во-первых, оценить влияние высоты и скорости полета на время перехвата воздушной цели. Во-вторых, оценить точность, а значит, и работоспособность разработанной методики.

Результаты решения тестовой задачи представлены на рис. 2 - 4.

На рис. 2 показано влияние высоты и скорости пуска на относительное время перехвата. На рис. 3 представлена зависимость минимального относительного времени перехвата для данной высоты полета от высоты полета. Там же точкой показан оптимальный режим полета, обеспечивающий минимальное время перехвата, найденный на основе разработанной методики. На рис. 4 в координатах «высота - относительное время» представлен оптимальный профиль полета истребителя на перехват, а также траектории полета ракеты и цели.

1ук

23.04 • т , 0 18 • т • V

____________ к =___________________

Лт2 • уа пук лТ • У“

рег рег

1,

1пер

отн

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

0.93

0.9

/

/ ■

• / г

А к

У

— —Н=9 км ♦ Н=11 км -С-Н=13 км ^НН=15 км

1.1 1.3

Рис. 2

1.5

М

1пер

отн

0.96

0.94

0.92

0.90

0.88

0.86

0.84

^^набор Н и V за tмv^н о перехват за1мин

5 8 11 14 Н, КМ

Рис. 3

Н, км

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

__ —_

✓

— ИСК эебите ЛЬ / /

“^“Цел ь 1ТЯ / 9

/ /

/

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 *

отн

Рис. 4

Из представленных данных следует, что:

- на каждой высоте существует оптимальная скорость пуска;

- с увеличением высоты величина оптимальной скорости пуска уменьшается;

- пуск ракеты с больших высот по сравнению с оптимальной высотой пуска увеличивает время перехвата в данной задаче примерно на 9%;

- разработанная математическая модель обеспечивает высокую точность автоматизированного формирования оптимальной программы перехвата воздушной цели.

4. Исследование влияния дальности обнаружения цели на характеристики перехвата

Начальные условия задачи соответствуют условиям тестовой задачи за исключением того, что дальность обнаружения цели в данной задаче варьируется. Результаты исследований представлены в относительных параметрах на рис. 5-8.

0.8

0.6

0.4

0.2

— -Кэтн 1.0ТН

Л // г /

1

у / / /

/у //

0.2 0.4 0.6

Рис. 5

■обн отн

Рис. 7

Рис. 6

0 0.2 0.4 0.6 и

Рис. 8

На рис. 5 в относительных координатах представлены зависимости дальности и времени перехвата от дальности обнаружения цели. Как следует из представленных данных, перехват цели обеспечивается в достаточно большом диапазоне дальностей обнаружения цели: от дальности Бшах, максимальной по возможностям локатора до дальности примерно 0.2 Вшах. При уменьшении дальности обнаружения цели уменьшается высота пуска управляемой ракеты. Это видно из рис. 6, на котором представлена зависимость оптимальной высоты пуска управляемой ракеты в зависимости от относительной дальности обнаружения цели. Из рис. 6 следует, что минимальная дальность обнаружения цели, при которой еще возможен ее перехват, ограничена максимально допустимым принижением ракеты относительно цели в момент пуска (в исследованиях величина АИмакс принята равной 10 км).

Интересно заметить, что если не варьировать высоту пуска ракеты, осуществляя стрельбы с высот, близких к высоте полета цели, то время и рубеж перехвата ухудшатся, примерно, до 10%

(рис. 7-8). Кроме того, при этом практически в 2 раза уменьшится интервал дальностей обнаружения цели, при которых возможен ее успешный перехват.

В целом, представленные результаты свидетельствуют о работоспособности предлагаемой методики и возможности ее использования для формирования программ полета на перехват для вновь разрабатываемых истребителей, а также для оценки эффективности программ перехвата существующих боевых авиационных комплексов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авиация ПВО России и научно-технический прогресс: Боевые комплексы и системы вчера, сегодня, завтра: монография / под ред. Е.А. Федосова. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004.

2. Киселев М.А., Костин А.М., Тюменев В.Р. К оптимизации управления траекторным движением самолета // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность. - 2008. - С. 138-144.

3. Тараненко В.Т., Момджи В.Г. Прямой вариационный метод в краевых задачах динамики полета. - М: Машиностроение, 1986.

4. Алехин Д.В., Якименко О.А. Подходы к расчету оптимального маршрута при наличии сложного поля ПВО // Научно-методические материалы по вопросам динамики полета и боевого маневрирования. - М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1996. - Ч. II.

5. Нелюбов А.И. Летные характеристики и боевое маневрирование летательных аппаратов. Математические методы расчета боевых маневров, взлета и посадки самолетов с поворотом вектора тяги двигателей. - М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986. - Вып. 2.

6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1986.

7. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. - М.: Наука, 1983.

8. Михалев И.А., Окоемов Б.Н., Чикулаев М.С. и др. Системы автоматического управления самолетом. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1987.

CONTROL OVER TWO-STAGE DYNAMIC SYSTEM IN THE COURSE OF COLLISION WITH A MOVING OBJECT

Kiselev M.A.

This paper deals with laws of control over two-stage dynamic system to ensure its collision with a moving object in a minimum of time.

Key words: system, control laws, the object, the method of the solution.

Сведения об авторе

Киселев Михаил Анатольевич, 1973 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1997), доктор технических наук, профессор, заместитель начальника кафедры аэромеханики, систем безопасности и динамики полета ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор более 60 научных работ, область научных интересов - динамика полета, формирование облика ЛА, оптимальное управление.