CC BY
49
2008
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 125
УДК 629.7.015
О ВЛИЯНИИ НАЧАЛЬНЫХ И КОНЕЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РАЗВОРОТА, ВЫПОЛНЯЕМОГО С МАКСИМАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ
М.А. КИСЕЛЕВ, А.М. КОСТИН, В.Р. ТЮМЕНЕВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Левицким С.В. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 07-08-00749.
В работе приводятся результаты исследований по оценке влияния высоты и скорости начала выполнения маневра, перегрузки и крена в начале и в конце маневра, а также инерционности двигателя и тормозного щитка (ТЩ) на оптимальные параметры разворота самолета на 180°, выполняемого в одной плоскости за минимальное время.
1. Постановка задачи и методика проведения исследований
Задача максимизации угловой скорости разворота относится к задачам оптимального управления и формулируется так:
- полет самолета описывается системой дифференциальных уравнений движения летательного аппарата как материальной точки;
- заданы ограничения на управляющие функции и фазовые координаты:
^мин £ V(t) < ^макс5 Нмин < H(t); n.
ya мин < nya < nya макс;
n
Уа
(t)
< n
ya макс з
a макс
- требуется найти допустимое управление (нормальную перегрузку пуа(1), режим двигателей аРУД(1;), крен Уа©, отклонение тормозного щитка (ТЩ) 8Тщ(1;) ), которое в кратчайшее время обеспечивает изменение направления полета самолета на противоположное и оценить влияние на управляющие функции высоты и скорости начала выполнения разворота, перегрузки и крена в начале и в конце маневра, а также инерционности двигателя и ТЩ.
Допущение №1. При выполнении разворота в одной плоскости крен является функцией угла наклона плоскости маневра ^, нормальной перегрузки пуа и угла поворота самолета в плоскости маневра т (рис. 1, где МГП - местная горизонтальная плоскость):
Л >Л
- arcsin
( \ cos h
V nya J
В частности, если
(1)
Ф 0о
и
n
y о, к
Рис. 1.
Ф 1, то в начале и в конце маневра угол крена не равен нулю. Для учета этого обстоятельства к общему времени разворота при моделировании добавлялось время, необходимое для создания (устранения) заданного угла крена с максимальной располагаемой угловой скоростью.
Допущение №2. При поиске оптимального управления режимом работы двигателя (РРД) и положением ТЩ ограничимся 2 участками, на каждом из которых РРД и положение ТЩ примем постоянными. Точку переключения будем определять через величину угла поворота самолета в плоскости маневра в момент переключения твкл. Выбор 2-х участков связан с тем,
что в задачах оптимального управления со свободным по скорости концом увеличение количества участков свыше 2-х не приводит к заметному уменьшению времени маневра.
Таким образом, сформулированную выше задачу оптимального управления можно рассматривать как задачу поиска экстремума функции нескольких переменных, в которой в качестве оптимизируемого функционала выступает время разворота 1разв, а в качестве оптимизируемых параметров - угол наклона плоскости маневра ^, РРД и положение ТЩ на первом и втором участках полета, угол поворота самолета в плоскости маневра твкл, при котором происходит переключение РРД и положения ТЩ:
1разв А(П, аРУД 1, 8тщ 1, аРУД 2, 8тщ 2, т вкл).
Решение этой задачи можно разделить на два цикла: внешний и внутренний. Исходные данные для внутреннего цикла: режим полета (высота и скорость в начале маневра, величины перегрузки и крена в начале и конце маневра), а также угол наклона плоскости маневра. В процессе работы цикла определяется необходимое для минимизации времени разворота управление двигателем и положением ТЩ. Для этого варьируется величина твкл. Для каждого значения твкл производится перебор возможных значений аРУД 1, 8Тщ 1, аРУД 2, 8Тщ 2 для нахождения такого их сочетания, при котором время разворота минимально. Во внешнем цикле изменяется угол наклона плоскости маневра ^ и режим полета. Таким образом, задача многопараметрической оптимизации сводится к последовательному решению двух задач одномерного поиска: определению экстремумов функций 1разв = А^л) и 1разв = И(твкл). Поиск экстремума зависимости 1разв = И(твкл) решается для каждого из возможных сочетаний РРД и положения ТЩ на первом и втором участках. В качестве метода поиска экстремума функции используется метод золотого сечения [5].
Описанный выше алгоритм реализован в разработанной авторами математической модели. В качестве примера, подтверждающего работоспособность модели, на рис. 2 - 7 представлены параметры оптимального по времени разворота со следующими исходными данными: высота начала выполнения разворота Н = 4 км; приборная скорость в начале маневра Упр = 800 км/ч; темп изменения перегрузки ограничен 2 ед/с, крена - 100 °/с; угол наклона плоскости л= -31°; до и после окончания маневра самолет совершает горизонтальный полет. Время выполнения разворота с учетом времени, потребного на создание начального угла крена, составило 12,3 с. До момента переключения двигатель работал на режиме МГ (аРУД 1 = МГ), ТЩ находился в положении выпущен (при моделировании установлено, что положение ТЩ связано с РРД: если аРУД = ПФ, то ТЩ убран, если аРУД = МГ, то ТЩ выпущен; поэтому на рисунках показано изменение только одного параметра РРД). Во второй половине маневра двигатель перешел на режим ПФ (аРУД 2 = ПФ), ТЩ - в положение убран. Переключение произошло на угле разворота в плоскости маневра твкл = 33° на 3,3-й с. В тес совершался полет с максимальной эксплуатационной перегрузкой Пу макс , а в течение ~3 с - на максимально допустимом угле атаке адоп. Средняя приборная скорость Упр.ср = 690 км/ч маневра несущественно отличается от скорости, на которой реализуется максимальная мгновенная угловая скорость Уш макс » 670 км/ч - минимальная скорость, на которой располагаемая перегрузка самолета равна максимальной эксплуатационной перегрузке.
2. Оценка влияния высоты и скорости на оптимальные параметры разворота
На рис. 8 - 9 показано влияние режима полета на следующие характеристики:
- угловую скорость разворота ю, рассчитываемую как отношение угла разворота в плоскости маневра (в данном случае 180°) к времени выполнения разворота;
- радиус разворота, вычисляемым как половина расстояния между точками начала и окончания разворота К
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
Fi, 10
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
1
—
H 2 ■ м Н=4км Н=6км
/ / /
/ ✓
/ / у
h ОПТ
град
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
t, с
— 1 1 — - Н=2км Н=4км /
//
У'
У
1
- з
Рис. 8.
200 600 1000 Vnp,KM/4
Рис. 9.
200 600 1000 Vnp,KM/H
Рис. 10.
Все представленные результаты получены при условии, что на протяжении всего маневра величина перегрузка равна располагаемой, а величина угла крена соответствует значению, необходимому для выполнения разворота в одной плоскости. Как следует из рисунков, минимальное время разворота реализуется в диапазоне скоростей Упр = 700 км/ч 800 км/ч. Минимальные габариты маневра достигаются на других режимах полета, а именно, на скоростях Упр < 700 км/ч. Следует отметить, что изменение скорости полета за разворот линейно убывает с увеличением скорости начала разворота и практически не зависит от высоты начала выполнения разворота. До скорости Упр ~ 500 км/ч самолет разгоняется при выполнении разворота, на больших скоростях - тормозится. Следовательно, длительное маневриро-
вание с максимальной угловой скоростью невозможно. На рис. 10 показан угол наклона плоскости, обеспечивающий минимальное время разворота. Видно, что до Упр = 840 км/ч 900 км/ч оптимальным маневром является переворот (Лопт = -90°). Далее с ростом скорости |лопт| уменьшается и становится равным 0° при Упр ~ 1150 км/ч. На больших скоростях Лопт достигает величин от 10° до 50° в зависимости от высоты начала разворота. Чем больше высота начала разворота, тем больше скорость, с которой начинается уменьшение |Лопт|, и тем меньше максимальное значение Лопт. Увеличение угла наклона плоскости связано с тем, что, как уже отмечалось ранее, максимальная мгновенная угловая скорость достигается при вполне определенной скорости полета Уш макс » 670 км/ч - минимальной скорости, на которой располагаемая перегрузка самолета равна максимальной эксплуатационной перегрузке. Чем больше скорость полета превышает Уш макс, тем интенсивнее должно быть торможение на маневре для приближения текущей мгновенной угловой скорости разворота к максимальной. Последнее достигается за счет увеличения угла наклона плоскости маневра. Использование Лопт обеспечивает весомый выигрыш. Для примера на рис. 11 представлена зависимость выигрыша от использования оптимального управления по сравнению с разворотом под заданными углами л = -60°; 0°; +60°. Видно, что величина выигрыша может превышать 30 %.
Рассмотрим теперь управление двигателем и ТЩ, обеспечивающее минимизацию времени разворота. Для большей наглядности остановимся на результатах, касающихся одной высоты начала выполнения разворота, так как на других высотах управление каких-либо особенностей не имеет. На рис. 12 представлена зависимость РРД от скорости полета для Н=4 км. Индексом "1" обозначено управление до точки переключения, индексом "2" - после. Видно, что до скорости примерно Упр = 740 км/ч управление на обоих участках одинаково и соответствует режиму работы двигателя ПФ (аРУд 1 = аРУд 2 = ПФ) и убранному положению ТЩ. На больших скоростях на первом участке (линия РУД1) аРУд 1 = МГ, ТЩ выпущен, на втором (линия РУД2) - аРУд 2 = ПФ, ТЩ убран. Таким образом, до скоростей Упр = 720 км/ч 740 км/ч управление при совершении разворота постоянно, точки переключения нет. На больших скоростях во время первой половины маневра самолет стремится за счет выпуска ТЩ и уменьшения РРД до МГ к уменьшению скорости полета до скоростей, на которых мгновенная скорость полета близка к максимальной. Во второй половине маневра за счет уборки ТЩ и включения ПФ самолет стремится ограничить дальнейшее снижение скорости, поддерживая тем самым большие значения угловой скорости разворота. Зависимость угла поворота в плоскости маневра двкл, при котором происходит переключение управления от скорости полета, представлено на рис. 13. Как из него следует, на скоростях полета Упр > 950 км/ч твкл практически не зависит от скорости и составляет ~90°. Изменение режима работы двигателя на маневре и управление положением ТЩ обеспечивает выигрыш от 7 % до 10 % в зависимости от высоты начала выполнения разворота и скорости полета по сравнению с постоянным управлением (рис. 14). Причем чем больше высота начала разворота, тем больше выигрыш и тем меньше скорость разворота, на которой реализуется максимальная его величина.
3. Оценка влияния перегрузки в начале и в конце маневра на оптимальные параметры разворота
На рис. 15 представлена зависимость угловой скорости разворота от скорости полета при высоте начала выполнения маневра 4 км для различных значений перегрузки в начале и в конце маневра: случай I - %а о = %а расп, %а к = %а расш ; случай II - %а о = 1, %а к = %а расп ; случай
Ш - пуа о = пуа расп пуа к = 1 ; случай ГУ - Пуа о = 1 пуа к = 1 .
Рис. 11.
Рис. 12.
Рис. 13.
ю,
град/с
20
18
16
14
12
10
/ % Л- град
/ \
4 \ 30
1 Ч 0
ч ^ч -30
V
-60
-90
/7^
— -1 -II
III IV (
200
600
1000 Упр,км/ч
Рис. 14.
Рис. 15.
200 600 1000 Vпр,км/ч
Рис. 16.
Видно, что уменьшение перегрузки в начале или (и) в конце маневра или, что одно и то же, уменьшение средней перегрузки маневра приводит к заметному снижению угловой скорости разворота. Так, например, на 16 % уменьшается максимальная угловая скорость при перегрузке, равной 1 в начале или в конце маневра. А при реализации перегрузки, равной 1 в начале и в конце маневра, угловая скорость падает уже на 28 %. При этом отличие в протекании ю(Упр)ГГ от ю(Упр)ш проявляется в основном до скоростей 720 км/ч 740 км/ч, когда оптимальным с точки зрения скорости выполнения маневром является переворот (рис. 21). На больших скоростях, когда оптимальный угол наклона плоскости маневра начинает увеличиваться, зависимости ю(Упр)ГГ от ю(Упр) ш практически совпадают. Это объясняется тем, что при Упр < 670 км/ч располагаемая перегрузка ограничена величиной максимально допустимой перегрузки пу доп, которая растет пропорционально квадрату скорости. На больших скоростях пуа расп = пуэмакс. На участке, где пуа расп = ДУпр), средняя перегрузка маневра пуа ср зависит от того, в начале или в конце маневра реализуется пуа= 1. Там же, где пуа расп не зависит от скорости полета пуа ср ГГ » пуа ср ш, а значит, и Югг » Юш. Потери скорости практически не изменяются при изменении перегрузки - они линейно возрастают с увеличением скорости начала разворота.
Остановимся теперь на влиянии перегрузки на управляющие параметры - угол наклона плоскости (рис. 16) и угол поворота в плоскости маневра твкл, при котором происходит переключение управления (рис. 17). Видно, что по управлению схожи случаи I и II, а также случаи III и !У, в отличие от зависимостей ю(Упр), когда близки случаи II и III. Это, в частности, видно и из табл. 1, в которой приведены значения скорости полета, начиная с которых угол наклона плоскости маневра начинает расти.
Уменьшение средней перегрузки на маневре в случае !У по сравнению с I требует для более интенсивного торможения при скоростях начала выполнения маневра Упр >> Ую макс
больших углов наклона плоскости маневра. Отличие в управлении для случаев II и III объясняется тем, что интенсивность торможения определяется как текущей перегрузкой, так и скоростью полета (точнее, квадратом скорости). Поэтому неравенство перегрузки в начале маневра вносит столь существенное отличие в характер протекания зависимости Лопт(Упр) при Упр >> Уш макс. Следует отметить существенное уменьшение выигрыша от наличия точки переключения на маневре в случаях III, ГУ по сравнению со случаями (рис. 18). Так, если
Д^ах » 8 %, то Д1тах ПЦУ » 2.7 % 3.7 %.
Таблица 1
I II III IV
пуа о пуа расп; пуа о 1; пуа о пуа расп; пуа о 1;
пуа к пуа расп пуа к пуа расп пуа к 1 пуа к 1
Упр вад км/ч 760 660 740 640
4. Оценка влияния величины крена в начале и в конце маневра на оптимальные параметры разворота
Как уже отмечалось выше, при выполнении плоского разворота в большинстве случаев в начале и конце маневра угол крена не равен нулю. Зависимости у0(л) + Ук(л) для ряда перегрузок (пуао = пуак = 1; 1,1; 1,5; 3; 5; 9) в начале и конце маневра представлены на рис. 19. Как следует из рисунков, при малых перегрузках в начале и в конце маневра угол наклона плоскости маневра оказывает существенное влияние на величину необходимого угла крена. Увеличение перегрузки приводит к резкому ослаблению этой зависимости. Если необходимо начинать выполнение разворота с нулевым углом крена, а также требуется обеспечить в конце маневра отсутствие крена, то к общему времени маневра необходимо добавить дополнительные временные затраты:
У , |Ук|
Д1 +
«хорасп «хкрасп
где юхорасп, юхкрасп - располагаемые угловые скорости в начале и конце маневра. Следовательно, в случае выполнения разворота с небольшими значениями перегрузки в начале и в конце маневра реализация требования по отсутствию крена в начале и конце маневра существенно повлияет на характер протекания зависимости Лопт(Упр). В случае же умеренных и больших значений перегрузки в начале и конце маневра введение требования по отсутствию крена в начале и конце маневра не будет влиять на характер протекания зависимости Лопт(Упр) из-за незначительного влияния л на Д^. Этим и объясняется характер протекания зависимостей Лопт(Упр), представленных на рис. 20 для случая I (Пуа о = %а расп; Пуа к = Пуа расп) и на рис. 21 случая IV (пуа о = 1; пуа к = 1). Отметим также, что выполнение требования по устранению угла крена приводит к снижению угловой скорости разворота. Потери в угловой скорости зависят от перегрузки в начале и в конце маневра. Для случая I (пуа о = пуа расп; пуа к = пуа расп) эти потери максимальны и составляют от 11 % до 18 %, а для случая IV (пуа о = 1; пуа к = 1) потери минимальны и составляют от 0 % до 11 % (рис. 22).
5. Оценка влияния инерционности двигателя и изменения положения тормозного щитка на оптимальные параметры разворота
Представленные выше результаты получены при условии мгновенного изменения РРД и положения ТЩ. На практике же для изменения РРД, например, от МГ до М требуется от 4 с до 6 с (для двигателя РД-33, установленного на самолете МиГ-29). Для оценки влияния
инерционности двигателя и ТЩ на оптимальные параметры разворота были проведены дополнительные исследования. Переходные процессы при изменении РРД и положения ТЩ моделировались апериодическим звеном первого порядка. Время изменения РРД от МГ до ПФ принято равным 4 с, от ПФ до МГ - 3 с. Время выпуска, уборки ТЩ - 3 с. Как показали результаты моделирования, инерционность не повлияла на общие показатели маневренности. Так, например, изменения в угловой скорости составили менее 1 %. Основные изменения затронули величину твкл. На тех режимах, где необходимо изменять РРД при выполнении маневра, твкл уменьшился в среднем на 12° 15°, т.е. для компенсации инерционности
изменения РРД и положения ТЩ стали начинаться раньше.
М-вкл,
град
80
60
40
20
0
а
- I
.
Д^,%
200 600 1000 Упр,км/0
Рис. 17
200 600 1000 Vпр,км/ч
Рис. 18
20
0
1.1
5
1.5
■9
1 Г
X
I I
-90 -60 -30 0
Рис. 19
Т
30 Г|,ФаД
Дш,%
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
¿г\
/ \ V
\ -|- IV
-
Рис. 20
Рис. 21
200 600 1000 Vпр,км/ч
Рис. 22
6
3
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Федунов Б.Е. Проблемы разработки бортовых оперативно-советующих систем // Изв. РАН. ТиСУ. 1996.
№ 5.
2. Федунов Б.Е. Конструктивная семантика антропоцентрических систем для разработки и анализа спецификаций бортовых интеллектуальных систем // Изв. РАН. ТиСУ. 1998. № 5.
3. Федунов Б.Е. Семантический облик базы знаний бортовых оперативно-советующих экспертных систем // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. № 1.
4. Левицкий С.В. Системный анализ ближнего воздушного боя для разработки базы знаний бортовой оперативно-советующей экспертной системы // Изв. РАН. ТиСУ. 2002. № 6.
5. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство: Пер. с англ. - М.: Мир, 1982.
6. Авиация ПВО России и научно-технический прогресс: Боевые комплексы и системы вчера, сегодня, завтра / Под ред. Е. А. Федосова. Монография. 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004.
7. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Наука, 1967.
ABOUT INFLUENCE OF INITIAL AND FINAL CONDITIONS ON OPTIMUM PARAMETERS OF THE TURN WHICH IS CARRIED OUT WITH THE MAXIMAL ANGULAR SPEED
Kiselev M.A., Kostin A.M., Tumenev V.R.
This paper summarizes the results of the investigation devoted to the estimation of flight and altitude influence in the beginning of the maneuver, as well as g-loads and roll influence in the beginning and end of the maneuver on the optimal aircraft turn by 180o, carried out in a single plane for a minimal time. The influence of the engine inertia characteristics and of the ground spoiler also been studied.
Сведения об авторах
Киселев Михаил Анатольевич, 1973 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1997), кандидат технических наук, доцент, старший преподаватель кафедры динамики полета ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 40 научных работ, область научных интересов - динамика полета, оптимальное управление.
Костин Андрей Михайлович, 1981 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2003), младший научный сотрудник кафедры динамики полета ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 6 научных работ, область научных интересов - динамика полета.
Тюменев Вадим Ринатович, 1981 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2004), адъюнкт кафедры динамики полета ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 2 научных работ, область научных интересов - динамика полета.
