К оптимизации управления траекторным движением самолета Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность

№ 125

УДК 629.7.015

К ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЕТА

М.А. КИСЕЛЕВ, А.М. КОСТИН, В.Р. ТЮМЕНЕВ Статья представлена доктором технических наук, профессором Левицким С.В.

В работе приводится описание модификации прямого вариационного метода, разработанного для решения широкого круга задач динамики полета. Приводится пример его использования для минимизации времени снижения самолета.

Прямые вариационные методы давно и успешно применяются для решения широкого круга задач динамики полета, таких, например, как:

- построение программ набора высоты и скорости полета [1];

- решение маршрутных задач [2];

- решение задач оптимизации боевого маневрирования при атаке наземной цели [3].

Отличия в существующих модификациях прямых методов обусловлены способами задания траекторий полета, методами поиска экстремума функции многих переменных и механизмами учета ограничений на управляющие функции. Так, для решения задач, требующих построения протяженных траекторий (выход на заданный режим полета, полет по маршруту) наибольшие успехи достигнуты при использовании в качестве опорных функций сплайнов, задаваемых в функции безразмерного времени т. В этом случае необходимая гибкость траектории, в соответствии с теоремой Вейерштрасса [4], достигается за счет увеличения количества промежуточных точек, определяющих траекторию полета. Вместе с тем, в этих случаях значительную трудность представляет решение проблемы учета ограничений на управляющие функции, например, нормальную скоростную перегрузку. По существу, на сегодняшний день не разработаны эффективные механизмы решения этой проблемы. Единственный практически применяемый способ - это отбрасывание при поиске оптимальной траектории таких траекторий, на которых перегрузка превышает свое допустимое значение.

Учет всех общепринятых ограничений на сегодняшний день реализуется только в методе, разработанном Нелюбовым А.И. и основанном на сочетании положений прямого вариационного метода с алгоритмом автоматического отслеживания базовой траектории по производным потребных ускорений [3]. Базовая траектория в этом методе определяется полиномом 6 порядка в функции времени 1. С использованием этого метода проведены широкие исследования по оптимизации боевого маневрирования при атаке наземной цели.

В статье описана модификация прямого вариационного метода, разработанная М.А. Киселевым, в которой предпринята попытка объединить достоинства представленных выше подходов: в качестве базовых траекторий использованы кубические сплайны, позволяющие добиться необходимой гибкости траектории, а учет ограничений осуществляется на основании предложенного автором алгоритма автоматического отслеживания базовой траектории.

Рассмотрим особенности метода на примере решения задачи минимизации времени снижения современного маневренного самолета в вертикальной плоскости:

- движение самолета описывается системой дифференциальных уравнений:

dV г • m

— = g • (пХк - sin 0),

dt

d0 g { 0 л = v •(п™- cos 0)-

— = V • cos 0, dt

dH 0

— = V • sin 0, dt

dm =

"dT = -Cs'

заданы ограничения на управления и фазовые координаты:

V < V(t) < V

мин _ V / — т макс

(1)

H(t) > 0

-n

ya макс

< nya(t) < П

(2)

ya макс

Пya(t)

< П

ya макс

принято допущение о постоянстве режима работы силовой установки:

P ° const, (3)

- среди допустимых траекторий, удовлетворяющих уравнениям движения самолета в вертикальной плоскости (1), заданным начальным и конечным условиям (по высоте, скорости, углу наклона траектории и нормальной скоростной перегрузке), ограничениям на фазовые координаты и управления (2), допущению (3), техническим характеристикам самолета и силовой установки определить траекторию, на которой время снижения минимально.

Формирование траектории полета

Базовая траектория полета определяется:

- координатами опорных точек (высота-дальность): Xi (х;,И;), i = 0,..., n ;

- углом наклона траектории в начальной и конечных точках: 0О, 0n

На участке от Xi до Xi+1 траектория описывается параметрическим уравнением вида:

XiXi+i(t) = (1 -3t + 2t2)Xi + (3t2 -2t3)Xi+i + (t-2t2 +t3)Ki -(t2 -t3)Ki+i (4)

где те [0, 1], а векторы K1,_, Kn определяются из решения матричного уравнения:

1 4 і 1 K О і і т 0 т 1 1 1 X о і

1 4 1 K1 т ' • ° .* т 1 X1

1 4 1 Kn -1 -3 0 3 X n 1

1 4 1 1 n Kn 1 1 3 0 3 - 1 1 n Xn 1

Алгоритм автоматической реализации траектории

Алгоритм автоматической реализации траектории предполагает расчет в каждый момент времени полета значений управляющих параметров, необходимых для реализации базовой траектории. Поскольку в современных истребителях автоматический способ управления реа-

лизуется с помощью автопилотной части САУ [6], включающей контуры автоматической отработки заданных команд по перегрузке nyзад и крену узад, в качестве управляющего параметра будем использовать нормальную скоростную перегрузку (для полета в вертикальной плоскости крен принимаем равным 0° при искривлении траектории вверх или 180° при искривлении траектории вниз). Реализация базовой траектории при заданном режиме работы силовой установки требует создания вполне определенной (из решения обратной задачи динамики полета) величины управляющего параметра:

_ w 0

Пукпотр _ I /2 2 +C0S 0,

gVx + H

.-------- н^ '2 h^ ' '

где sin 0_ H' Wx'2 + H'2 , 0'_ —-x /0X X , а величины x/,H/,x//,H// получаются диф-

(x'2 + H )32 cos 0

ференцированием выражения (4) по безразмерному времени t. Если в полете не удается выдержать потребную перегрузку пукпотр (например, требуется пукпотр > пукмакс), самолет сходит с базовой траектории. Возникшее рассогласование можно компенсировать, если, начиная с момента, когда появится запас по управлению, создавать перегрузку, большую, чем пукпотр,

т.е. если перераспределить ресурсы управления самолетом по траектории. Поскольку траектория полета определяется высотой (на текущей дальности, при текущей скорости и заданном режиме работы двигателей), углом наклона траектории и перегрузкой, величины рассогласования по этим параметрам и могут задать потребное изменение значения управляющего параметра:

Апукзад _ k— ДН + кП Д0 +Дп .

укзаД пук пук ук

Полученный закон формирования управляющей перегрузки позволяет реализовать ограничения как на ее величину, так и на темп ее изменения. Коэффициенты к— и кп зависят

от режима полета и аэродинамических характеристик самолета и могут рассчитываться при помощи различных методов исходя из обеспечения заданного качества переходного процесса. В нашем случае коэффициенты получены методом стандартных коэффициентов [5]:

, н _ 23.04• m , 0 _ 18• m• V 1

кп —-----~- кп —-----------1,

пук дт2 • Va пук ДТ • Va рег рег

где Ya _ caaqS, а ДТрег - время регулирования. В расчетах принято ДТрег _ 6c.

Численный метод отыскания экстремума функции многих переменных

Численный метод отыскания экстремума функции многих переменных состоит из метода глобальной оптимизации и метода локальной оптимизации. Поиск экстремума функции производится в два этапа: на первом этапе на основе использования статистической модели целевой функции определяется область, в которой находится глобальный экстремум, а на втором - поиск в этой области экстремума методом покоординатного спуска с применением метода золотого сечения. Использование статистической модели целевой функции позволяет гарантированно определить глобальный экстремум, но требует относительно больших вычислительных затрат. Применение метода покоординатного спуска позволяет прогнозировать потребные вычислительные затраты для решения задачи с заданной точностью. Для построения статистической модели целевой функции f(X) используется так называемое Y-преобразование [7], в основе которого лежит понятие интеграла Лебега. По сути

^-преобразование - это определение вероятности того, что исследуемая функция превысит некую заданную величину £:

У(0=р«х) >0,

где Х ={х1,...,Хв } .

Из этого простого определения следует несколько важных выводов (для случая, когда преобразуемая функция Г(хь.. ,,хп) измерима, выпукла, без симметричных разрывов первого рода):

- ^-функция является функцией одной переменной;

- ^-функция является непрерывной и монотонно-убывающей;

- аргумент ^-функции при ее равенстве нулю соответствует величине глобального экстремума преобразуемой функции ^Х),

Таким образом, задача отыскания глобального экстремума функции многих переменных трансформируется в задачу поиска нуля монотонно убывающей функции одной переменной, Главная сложность при этом - получить ^-образ оптимизируемой функции, Пример, иллюстрирующий ^-преобразование функции одной переменной, имеющей два локальных экстремума, представлен на рис. 1 и 2.

Рис. 1.

і^іакс — їм

Рис. 2.

К сожалению, аналитические возможности ^-преобразования ограничены рядом простейших функций. Поэтому для решения практических задач используют статистическую модель ^-функции:

т

Е[<ХХ) -С]'

У (С) = |Е -| Р(С, X) -в(х)ёх = ^-------,

где Р(С,X) = Р(Х)-С]', ' = 1,2,...; 0(Х) =

Г1, если Г (X) > С

0, если Г(X) < С ’ торых {(X) > С , в - общее количество опытов.

; т - количество испытаний, в ко-

Пример практического применения метода

Результаты решения задачи минимизации времени снижения современного маневренного самолета в вертикальной плоскости получены при следующих условиях:

- начальные условия: Н0 = 11 км, М0 = 0.9, 0О = 0, пук0 = 1 ;

- конечные условия: Нк = 2 км, Мк = уаг, 0к = 0, пукк = 1;

- режим работы двигателей - полетный малый газ;

- ввод в пикирование при снижении выполняется переворотом, поэтому угол крена меняется от 0° до -180°. Изменение угла крена происходит релейно.

Параметры движения самолета Н(х), Упр(1:), т(1:), пуа(1), 0(1) представлены, соответственно, на рис. 3 - 7 для оптимальной и базовой траекторий. Как из них следует, для выполнения снижения с высоты 11 км до высоты 2 км с реализацией всех предъявленных ограничений самолету необходимо затратить около 37 с. При этом дальность полета составляет 5,4 км, максимальный угол наклона траектории достигает 87°, а на вводе и выводе около 4 с самолет движется с предельным темпом изменения перегрузки и около 5 с - с максимальной располагаемой перегрузкой.

0

2

4 х, кім

Рис. 3. Зависимость высоты от дальности полета

Рис. 4. Зависимость приборной скорости от времени полета

град

-100

оптимальная базовая

1

10

15

20

25

30

35

Ї, с

Рис. 5. Зависимость крена от времени полета

0

5

Рис. 6. Зависимость нормальной Рис. 7. Зависимость угла наклона

скоростной перегрузки от времени полета траектории от времени полета

Из анализа траекторий следует, что использование алгоритма автоматической реализации траектории за счет перераспределения ресурса управления позволяет выдержать все заданные начальные и конечные условия, а также ограничения на темп и величину перегрузки.

n

ЛИТЕРАТУРА

1. Киселев М. А. Расчет программной траектории набора высоты и скорости полета // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых "Современные проблемы аэрокосмической науки" / ЦАГИ. 1998.

2. Алехин Д.В., Якименко О.А. Подходы к расчету оптимального маршрута при наличии сложного поля ПВО // Научно-методические материалы по вопросам динамики полета и боевого маневрирования. Часть II / ВВИА, 1996.

3. Нелюбов А.И. Летные характеристики и боевое маневрирование летательных аппаратов. Выпуск 2. // Математические методы расчета боевых маневров, взлета и посадки самолетов с поворотом вектора тяги двигателей / ВВИА. 1986.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1986.

5. Михалев И.А. и др. Системы автоматического управления самолетом. - М.: Машиностроение, 1971.

6. Авиация ПВО России и научно-технический прогресс: Боевые комплексы и системы вчера, сегодня, завтра / Под ред. Е. А. Федосова - М.: Дрофа, 2001.

7. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

TO OPTIMIZATION OF TRAJECTORY MOVEMENT MANAGEMENT OF THE PLANE

Kiselev M.A., Kostin A.M., Tumenev V.R.

The description of updating of the direct variational method developed for the solution of many problems of dynamics of flight is presented in the work. An example of its use to minimize the time of descending of the plane is given in it.

Сведения об авторах

Киселев Михаил Анатольевич, 1973 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1997), кандидат технических наук, доцент, старший преподаватель кафедры динамики полета ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 40 научных работ, область научных интересов - динамика полета, оптимальное управление.

Костин Андрей Михайлович, 1981 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2003), младший научный сотрудник кафедры динамики полета ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 6 научных работ, область научных интересов - динамика полета.

Тюменев Вадим Ринатович, 1981 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2004), адъюнкт кафедры динамики полета ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор 2 научных работ, область научных интересов - динамика полета.