Управление беспилотными летательными аппаратами при решении нестационарной терминальной задачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.78:351.814.3

В. А. Афанасьев, Г. Л. Дегтярёв, А. С. Мещанов

УПРАВЛЕНИЕ БЕСПИЛОТНЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ

ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕРМИНАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, аэродинамическое качество, кабрирование, пикирование, закон управления, дифференциальные уравнения, аналитические решения, нестационарная терминальная задача, управляющие параметры, перехват.

Представлены результаты аналитического решения нестационарной терминальной задачи управления беспилотным летательным аппаратом (БЛА) в атмосфере при заданной структуре закона управления - это постоянная величина аэродинамического качества и величина угла скоростного крена, определяющего направление действия подъёмной силы: кабрирование - пикирование - кабрирование. Управляющими параметрами служат моменты переключения управления между режимами кабрирования и пикирования, которые определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений, полученных по аналитическим решениям дифференциальных уравнений кабрирования и пикирования. Их особенность - это аналитическое выражение для времени полёта, благодаря которому полученные результаты используются в построении законов программного управления попаданием БЛА в подвижную цель.

Keywords: unmanned flight vehicle, aerodynamic efficiency, pitchup, pitchdown, control law, differential equations, analytical solutions, time-dependent terminal problem, control parameters, interception.

We present results of analytical solution of a time-dependent terminal problem how to control an unmanned flight vehicle (UFV) in atmosphere at a given structure of the control law which has a constant value of the aerodynamic efficiency and a value of the velocity roll angle that determines direction of the lift action: pitchup - pitchdown - pitchup. Control parameters are time moments of switching of controlling between pitchup and pitchdown which are determined from a system of nonlinear algebraic equations obtained by using analytical solutions of the differential equations of pitchup and pitchdown. Their character is an analytical expression for the flight time because of that our results are used in construction of the program control laws to hit UFV in a removable target.

Введение

После схода с орбиты при спуске в атмосфере беспилотный летательный аппарат (БЛА) может решать различные терминальные задачи: приземление в точке поверхности с заданными координатами, полёт над заданной поверхностью с определённой скоростью, например, для радиолокационной коррекции решения навигационной задачи и др. Если, кроме координат положения и составляющих вектора скорости, задаётся время достижения терминальной точки, то терминальная задача становится нестационарной. К решению нестационарной терминальной задачи сводится задача перехвата БЛА другого летательного аппарата [1]. Её решение начинается с определения закона программного управления. Структура закона управления состоит из некоторого числа искомых управляющих параметров, определяющих моменты переключения управляющего воздействия на противоположное.

Математическая модель

Рассмотрим полёт БЛА, не выходящий из вертикальной плоскости, который описывается системой дифференциальных уравнений: 2

V =-CTpV - g sin6 , 9 = Кстр V cos у + ^ — - V | cos 6 ,

h = V sin 6, D = V cos6, pdh = -hedp ,

(1)

где V - скорость, 6 - угол наклона траектории, И

- высота, Б - дальность полёта, р - плотность атмосферы, g = 9,81 м/с2 - ускорение силы земного притяжения, г = Я + И , г - длина радиус-вектора, проведённого из центра Земли до центра масс ВКА, Я - радиус сферы Земли, у - угол скоростного

крена, К = Су / Сх - аэродинамическое качество, Сх - коэффициент силы лобового сопротивления, Су - коэффициент подъёмной силы, ст = СхБ /(2т)

- баллистический параметр, т - масса БЛА, £ -характерная площадь, Ие - константа экспоненциальной модели атмосферы.

Система (1) решается с начальными условиями: '='о, V('о) = V) * 0, 6(/с) = 6о = 0,

И(/о) = Ио, Б('о) = Бо, (2)

из которых видно, что в вертикальной плоскости перед началом перехвата БЛА совершает горизонтальный полёт.

Терминальная задача перехвата формулируется заданием конечных параметров движения:

' = 'к , И('к) = Ик , Б('к) = Бк, (3)

особенностью которых является заданное время достижения терминальной точки и отсутствие задания составляющих вектора конечной скорости, которое свидетельствует о безразличии к скорости встречи ВКА с целью.

В качестве управляющего воздействия рассматривается аэродинамическое качество К = Су / Сх,

представляющее собой отношение подъёмной силы к силе лобового сопротивления, направление дейст-

вия которого регулируется с помощью угла скоростного крена у .

Постановка задачи

Требуется сформировать закон программного управления аэродинамическим качеством К = К (?),

обеспечивающий переход БЛА из начального состояния (2) в терминальное состояние (3) согласно системе (1), описывающей такой переход.

Выберем структуру закона управления, показанную на рис.1.

k Kcosv Kcos0=K

t

t0 t1 Kcosn=-K t2 t3

Рис. 1 - Структура закона управления

Управление полётом БЛА начинается в момент t = to созданием подъёмной силы, направленной на кабрирование: у = 0, Kcos0 > 0, K = const > 0. В момент t = ti происходит переключение управления на пикирование: у = 0, K cos л < 0 . По достижении момента времени t = t2 управление опять переключается на кабрирование: у = 0, Kcos0 > 0 , которое действует до заданного момента t = tk. Моменты tj и t2 , называемые управляющими параметрами, необходимо выбрать такими, чтобы в заданный момент времени t = tk получить заданные параметры h(tk) = hk и D(tk) = Dk. Соответствующая трёхсо-ставная программная траектория полёта БЛА «кабрирование - пикирование - кабрирование» показана на рис.2.

h

терминальная точка кабрирование

hi ho

Рис. 2 -Трёхсоставная программная траектория полёта БЛА в атмосфере

Решение

Поставленную задачу решаем методом аналитического конструирования программной траектории из трёх типовых составляющих движений: кабрирование, пикирование, кабрирование [2]. Аналитическое конструирование состоит в получении аналитических решений дифференциальных уравнений, описывающих полёт на каждой из трёх типовых составляющих. Конечные параметры движения на предыдущей составляющей траектории принимаются за начальные условия уравнений, описывающих полёт на последующей составляющей. Чтобы сделать каждую из трёх составляющих типовой, т.е. допускающей получение решений соответствующих дифференциальных уравнений движения, пренебрежём гравитационными составляющими ускорения в первом и втором уравнениях и центробежной составляющей во втором уравнении системы (1).

1. Решение уравнений первого кабрирования: t £ [t0, tj). При у = 0 и принятых допущениях второе уравнение системы (1) принимает вид:

0 = KapV . (4)

Деление первого уравнения (1) на второе и разделение переменных 6 и V дает новое уравнение:

dV = _d0

V " K ' ( )

Величина угла 6 монотонно возрастает на отрезке [00, 6j], её выбираем в качестве переменной интегрирования. Получаем выражение для текущей скорости кабрирования:

6_60

V = V>e~ K . (6)

По окончании кабрирования скорость определяется выражением:

61 _60

Vi = V0 e" K , (7)

где 6j - неизвестный угол наклона траектории, при

котором осуществляется переключением подъёмной силы с режима кабрирования на режим пикирования. Это не основной параметр движения, потому что он не входит в структуру закона управления.

Второе уравнение системы (1) при кабрировании имеет вид:

d6 = KaVpdt. (8)

Из третьего и пятого уравнений системы (1) получаем уравнение:

dcos6 = Kahedp . (9)

Обе переменные интегрирования cos 6 и p на полуинтервале t £ [t0, tj) убывают, ни одну из них нельзя использовать как переменную интегрирования. Интегрирование проведём в обратном направлении, т.е. на отрезке, определяемом изменением переменных от cos6j до cos60 и от pj до Р0 . В интегралах с переменным верхним пределом решение уравнения (9) записывается:

cos 6 = cos 61 + Kahe (p _p1).

В конце отрезка интегрирования, совпадающем с началом первой типовой составляющей составной траектории, получаем соотношение:

cos60 = cos61 + Kahe (p0 _p1), из которого выразим величину cos 61 и ее выражение подставим в предпоследнее уравнение. Приходим к выражению для косинуса текущего угла наклона траектории кабрирования:

cos 6 = cos 60 + Kahe (p_p0). (10)

Из (10) запишем выражение для текущей плотности атмосферы:

p = p0 +

cos6 _ cos60

Kahe

(11)

В конце кабрирования величина косинуса угла наклона траектории равна:

cos 61 = cos 60 + Kahe (p1 _p0). (12)

Из соотношения (8) запишем выражение для дифференциала времени:

dt = . (13)

KoVp

Выражение (13) вместе с выражениями для скорости (6) и плотности (11) подставим в четвертое уравнение системы (1):

dD =-

he cos 6

-d6,

Kohep0 _ cos 60 + cos 6 Интегрирование последнего уравнения даёт:

D = D0 + ht

6_

2a0

"Ja0 _1

Vao _1tg 6 1

a0 +1

arctg-

где а0 = КаИеро~со560 . Решение для дальности

2 1

получено в предположении а0 > 1, что означает достаточно большую величину К , необходимую для перехвата.

В конце первого кабрирования, раскрывая коэффициент а0, получаем следующую формулу для определения дальности: В = Во + Не [01-

■2(1/(p° ) aarctg^VT^ tg-

V1_2/(cp 0) I

2

(14)

где х = КстНе.

Чтобы получить решение для времени, в уравнение (13) подставим выражения для скорости (6) и плотности (11):

Не ехр(0 / К)

dt = ■

-d6 .

Уо (ХРо -сов0о + с^0) Экспоненту представим рядом Тейлора, оставив два члена разложения, приходим к интегралам:

t = t0 + -

к

V0

d6

I xp0 _cos 60 + cos 6

- J---

K 60 -p 0 _ cos 6 0 + cos 6

d6

Используя разложение cos 6 «1 _ 6 /2 во втором интеграле, вычисляем интегралы и определяем продолжительность кабрирования:

t1 =10 +

he

V0

2

(

Vxp 0 (xp 0 _ 2)

arctg

1 _

2 61 -p 0 2

Л

+ ±ln

K

2xp0

.(15)

2ХР о -01

Выражения (14) и (15) определяют два обязательных параметра ^ и В}, входящих в постановку задачи перехвата, а параметр ^ также входит в структуру закона управления. Получили два нелинейных алгебраических уравнения (14) и (15) с тремя неизвестными: В1, р1.

2. Рассмотрим пикирование на второй типовой составляющей траектории перехвата, t е [/1, /2), у = л . Начальными условиями для интегрирования системы (1) являются выражения (7) для скорости, (12) для угла наклона траектории, (14) для дальности полёта и (15) для времени. Интегрируя соответствующие уравнения пикирования, получим выражение для дальности В2 по окончании второй типовой составляющей траектории:

В2 = В + Не |02 - ШЧ

2[1 + 1/(x(2p1 _p 0 ))],

л/1 + 2/(x(2p1 _p 0))' arctg.

1 6

xp0 2

Л

2 + _ -(2p1 _p0) 2

_arctg

2 +1 -(2p1 _p0) 2

(16)

и выражение для соответствующей продолжительности:

t2 = t0 +-

V0

1

V-p0 (-p0 _ 2) 2-p 0

arctg

, 2 6, 1--^

-p0 2

Л

+ exp

+ — ln

K 2-p0 _62

261 _6p 1 he I

K J V0 U-(2p1 _p0)(2 + -(2p1 _p0))

arctg

(

_ arctg

2 +1 eL -(2p1 _p0) 27

2 + 1 tg 62'

-(2p1 _p 0) 2

+ — ln

K

2-(2p1 _p0 )+62

2-(2p1 _p0 ) + 6i2

(17)

+

x

2

e

+

2

x

+

Неизвестный угол 61 выражается в функции плотности Р1, а неизвестный угол 62 - в функции плотностей Р1 и р2 :

61 = агссоБ^ОБ6о + КстИе( -ро)], 62 = агссо8[со8 6о + КстИе (-р2 + 2р1 -ро )]. (18) 3. Наконец интегрируем уравнения кабрирования на третьей типовой траектории с начальными условиями: '2, Б2, V2, 62, р2. Получаем выражение для полной дальности траектории БЛА:

Бк = Бо + Ие ^63 -

2(1 - 1/(ро))

V1 - 2/(ро)

2[1 + 1/(х(2р1 -ро))],

л/1 + 2/(с(2р1 -ро))

агс1,

1 1, |

хрс 2

Л

агс,

(

2 +1 е1 х(2р1 -р о) 2

2

6 2

- ^№2^ +^Т

2(1 -1/(2р2 -2р1 +ро)))х -2/(2р2 -2р1 +ро))

агс,

1-

2 63 Х(2Р2 -2Р1 +Ро) 2 ,

(

- агс1,

1 -

2

62

х( - 2р1 +ро) 2

(19)

и полной продолжительности полёта:

'к = 'о +

Ие

2

(

V0 [л/хро (хро - 2)

агй,

1 -

2

6,

хро 2

+

К

2хр с

2хр о-6!

-ехр

261 -6 о К

( Г х агс,

V V (

- агс,

Л/Х(2Р1 -Р о)[2 + Х(1 -Р о)]

2 +1 е^ Х(2Р1 - ро ) 2

2 +1 01 Х(1 -р о) 2

//

+ — 1п

К

2х(2р1 -ро ) + 62

2х(2р1 -ро ) + 612

0

Л/х(2Р2 -2Р1 +Ро)[Х(2Р2 -2Р1 +Ро)-2]

агй,

1-

Х(2Р2 - 2р1 +ро)

(

- агс1,

1__2 02

х(2р2 - 2р1 +ро) 2

ЛЛ

--1п

К

2х(2р2 -2р1 +ро)-61

2х(2р2 -2р1 +ро)-62

где 63 = ЭТ^Ф + Х(рк - 2р2 + 2р1 - ро )].

При заданных значениях Бк , 'к, р к, подставляя выражения для углов наклона вектора скорости 61, 62, 63 в уравнения (19) и (20), получаем два нелинейных алгебраических уравнения с двумя неизвестными управляющими параметрами р1 и р2. Они определяются одним из приближённых численных методов и устанавливают искомый закон управления в решении нестационарной терминальной задачи управления спуском БЛА в атмосфере: 0, кабрирование при ' е ['0, /1); у = <л, пикирование при ' е['1, '2); (21) 0, кабрирование при ' е [2, 'к ];

Выражение для скорости в конце трёхсоставной траектории имеет вид:

Vз = Vо ехр

-63 + 262 - 261 +6с К

(22)

Вычисления по формуле (22) носят справочный характер, поскольку величина скорости не участвует в формировании закона управления (21).

Пример. Пусть БЛА с аэродинамическим качеством К = 20 и баллистическим параметром —4 2

ст = 0,5 -10 м /кг совершает горизонтальный полёт в атмосфере на высоте Ио = 10 км, на которой плотность стандартной атмосферы составляет ро =0,4135 кг/м3. Требуется решить нестационарную терминальную задачу перехвата, который начинается при скорости Уо = 5 км/с, такой, чтобы за время 'к = 0,5977 с на высоте Ик = 11,4 км (рк = 0,3419 кг/м3) дальность полёта БЛА составила Бк = 2465,5 м. Постоянную примем равной Ие = 7000 м. Вычислим х = КстИе = 7 м3/кг.

Подставляя выражения для 61, 62, 63 и решая систему из двух нелинейных алгебраических уравнений (19) и (20) при заданных Бк , 'к, рк , получаем следующие значения управляющих параметров искомого закона управления: р1 = 0,38 кг/м3 и р2 = 0,37 кг/м3. Вычисления по формулам (12), (14), (15), определяют кинематические параметры в первой точке переключения: '1 = 0,3540 с, Б1 = 1598,0 м, 61 = 40,05° (высота И1 = 10,7 км). Вычисления по формулам (16), (17), (18) дают значения параметров движения во второй точке переключения: '2 = 0,42325 с, Б2 = 1849,1 м, 62 = 33,33° на

высоте И2 = 10,9 км. В конце полёта наклон состав-

х

+

X

X

+

2

X

+

2

х

х

ной траектории равен: 63 = 5о,3°. В правильности полученных результатов можно убедиться, выполнив с ними вычисления по формулам (19) и (20).

Заключение

Таким образом, методом аналитического конструирования составной траектории полёта в атмосфере решена задача попадания БЛА в нестационарную терминальную точку. Полученный закон программного управления аэродинамическим качеством составляет основу решения задачи перехвата.

Работа выполнена при финансовой поддержке

РФФИ в рамках научного проекта № 14-08-00424-а.

Литература

1. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Модельная задача перехвата летательного аппарата в однородной атмосфере // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2010. - № 2. - С.118-121.

2. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Аналитическое конструирование траекторий полета возвращаемых космических аппаратов // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2010. - № 4. - С.161-170.

© В. А. Афанасьев, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики и ракетодинамики филиала Южно-Уральского научно-исследовательского ун-та в г. Миасс, Челябинская область, ava46@mail.ru; Г. Л. Дегтярев, д-р техн. наук, проф., зав. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, lugovaja.au@yandex.ru; А. С. Мещанов, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. той же кафедры, mas41@list.ru.

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, ava46@mail.ru; G. L. Degtyarev, Doctor of Science, professor, manager of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, lugovaja.au@yandex.ru; A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru.