Универсальная модель для автоматизированного параметрического синтеза центрированных оптических систем в гауссовой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УНИВЕРСАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЦЕНТРИРОВАННЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ГАУССОВОЙ ОБЛАСТИ

А.В. Иванов

В статье описана математическая модель оптической системы на основе полилинейных функций, предназначенная для автоматизации параметрического синтеза в гауссовой области. Модель отличается универсальностью, простотой и позволяет практически полностью автоматизировать процесс составления модельных уравнений и неравенств.

Габаритный расчет, или параметрический синтез, оптической системы в гауссовой области является важным и ответственным этапом ее проектирования [1]. Данный этап состоит в определении ряда параметров схемы, таких как оптические силы компонентов, расстояния между ними, положение предмета и входного зрачка, исходя из требуемых значений параксиальных характеристик системы или ее части. Для достижения общности термин «параксиальные» мы будем здесь и далее применять условно ко всем функциям, которые получаются расчетом нулевых лучей [2] либо вообще не требуют расчета никаких лучей, т.е. выражаются непосредственно через параметры (в этом смысле, например, характеристика длины вдоль оптической оси и отдельные коэффициенты аберраций низших порядков - кривизны Петцваля, хроматизма положения системы тонких линз - также являются параксиальными).

С позиций формального подхода к параметрическому синтезу мы будем сводить задачу габаритного расчета к проблеме составления и решения систем уравнений и неравенств вида

X (X) = N1

, (1)

N2'" < N. (X) <

где X - вектор независимых переменных; ^(Х), ^(Х) - векторы параксиальных функций оптической системы (или ее части), - известные векторы целе-

вых значений и ограничений.

Несмотря на кажущуюся простоту, указанная проблема до сих пор не решена универсальным образом с использованием средств автоматизации. Для этого существуют, по крайней мере, две причины.

Первая причина состоит в том, что выражения для параксиальных функций зависят от структуры оптической системы и способа отбора параметров. Поясним сказанное на примере. Известно, что задний фокальный отрезок системы двух бесконечно тонких компонентов s'F, связан с оптическими силами компонентов (, (2 и расстоянием между ними d следующим образом:

V =

1 -

(1 +(2 d

Если в качестве переменной х выбрать оптическую силу первого компонента, то функция заднего фокального отрезка имеет вид

а + «2 х

М х) = -——,

а3 + а4 х

где а1 = 1; а2 = -d; а3 = (2; а4 = 1 - (2d . Если же в качестве переменной взять оптическую силу второго компонента, то выражение для функции изменяется:

х) = Ъ

Ъ2 + Ъ3 х

где Ъ1 = 1 ё; Ъ2 = ^1; Ъ3 = 1 ё . Понятно, что если использовать в качестве параметра расстояние между компонентами либо ввести в систему еще один компонент, то значения коэффициентов дробно-линейной функции (х) вновь станут другими. Поэтому, ввиду огромного многообразия возможных вариантов структуры и способов выбора переменных, уравнения типа (1) практически всегда составляются конструктором «вручную», под конкретную схему и набор параметров.

Вторая причина низкого уровня формализации и автоматизации процедуры габаритного расчета оптических систем связана с тем, что ^(Х), ^(Х), как правило, представляют собой дробно-рациональные функции или полиномы нескольких переменных, вследствие чего уравнения и неравенства (1) являются нелинейными и с трудом поддаются решению. Для нахождения корней обычно пытаются одни переменные выразить через другие, использовать подстановки или другие аналогичные приемы. Однако эти операции трудно формализуемы и, кроме того, не могут быть применены к любым типам уравнений.

К счастью, обе сформулированные проблемы могут быть успешно решены за счет использования особых свойств, присущих функциям координат нулевых лучей от параметров X. Как доказано автором в работе [3], выходные координаты нулевых лучей представляют собой полилинейные функции [4]:

п п-1 п

у ' ^ Х2 ,...,> х„) = « +Е ах +Е Е ачХх] +

2=1 2 =1 /=2+1

п-2 п-1 п

+ЕЕ Е аг]кхгх}хк + ... + а

Шх х^ ...х

...п 1 2 п

1=1 /=!+1 к = /+1 ч

, (2)

п п-1 п

V '(х^ хп ) = Ъ0 +Е Ъгхг +Е Е Ъг/хгх/ +

1=1 2 =1 /=2+1

п-2 п-1 п

+ЕЕ Е Ъг/кхгх/хк + ... + Ъ123...пх1

2=1 /=г+1 к=/+1

где х1, х2,...,хп - переменные оптические силы, промежутки, расстояния до предмета и входного зрачка; ас, а\, а2,..., ап, а\2,...., а\2...п, Ъс, Ъ\, Ъ2,..., Ъп, Ъ\2,...., Ъ\2.,п - постоянные коэффициенты; п - количество параметров; у - высота нулевого луча на произвольной поверхности; V' - оптический направляющий косинус нулевого луча - произведение показателя преломления соответствующей среды и угла наклона к оптической оси после произвольной поверхности. Следует подчеркнуть, что формальный вид полилинейных функций (2) является универсальным (за исключением систем со связанными параметрами), зависящим только от числа переменных. Структура оптической системы и выбор конкретных параметров влияют не на форму, а на числовые значения коэффициентов указанных функций.

Если система содержит бесконечно тонкие компоненты, модель (2) не изменяется, но варьируемые параметры и коэффициенты могут получить иной смысл. В частности, в качестве переменных при габаритно-силовом синтезе удобно использовать оптические силы тонких компонентов (суммы оптических сил входящих в них поверхностей). Сохранение модели при этом обеспечено свойствами элементарных матриц переноса и преломления [5].

Полилинейность функций выходных координат нулевых лучей позволяет привести практически все широко используемые параксиальные уравнения, входящие в (1), к обобщенному виду:

п п-1 п

/(х) = /х2,...Хп) = с0 + Хсгхг + Х X с1]х1х] +

г=1 г=1 ;=г'+1 (3)

п-2 п-1 п 5

+ ХХ X Сг]кХгХ}Хк + ... + С123...пХ1 Х2...Хп = 0

г=1 ] =г +1 к=] +1

где: /(X) - полилинейная функция п переменных; X - вектор варьируемых параметров Х1,Х2,...,Хп ; с0, С1, с2,..., сп, С12,..., С12...п - коэффициенты полилинейной функции.

Рассмотрим конкретные варианты (типы) преобразований известных параксиальных уравнений к виду (3).

1. Исходное уравнение представляет собой равенство заданному значению координаты нулевого луча (линейной либо угловой) для какой-либо поверхности.

В этом случае преобразования к виду (3) тривиальны. Наглядным примером может служить уравнение оптической силы. Пусть, скажем, требуется, чтобы оптическая сила системы или ее части ф(Х) была бы равна заданному значению р, т.е. р (X) - р = 0. Положим у=1, У=0 для первой поверхности. Тогда оптическая сила системы или ее части равна р(X) = V'(X) . Согласно (2) функция V' полилинейна, следовательно, функция /(X) = р(X) - р * также полилинейна.

Другими примерами аналогичных уравнений могут служить уравнения для обеспечения телецентрического хода главного луча, совпадения с заданной поверхностью промежуточного изображения или выходного зрачка.

2. Исходное уравнение представляет собой равенство заданному значению алгебраической суммы координат нулевых лучей.

Очевидно, что сложение нескольких полилинейных функций одних и тех же переменных дает в результате полилинейную функцию (с коэффициентами, равными алгебраической сумме исходных коэффициентов соответствующих мономов). Этот факт обеспечивает возможность преобразования исходной формы к виду (3).

Примером уравнений данного типа являются функциональные равенства поперечных габаритов поверхностей, размеров промежуточных изображений, апертур.

3. Исходное уравнение задает равенство требуемому значению линейной комбинации параметров.

Линейная форма представляет собой частный случай полилинейной, и преобразования исходного уравнения к виду (3) являются тривиальными.

К уравнениям данного типа относятся, например, требования устранения кривизны Петцваля, хроматизма положения в системе тонких линз, условия для обеспечения заданных продольных габаритов (или длины) линзовых и зеркально-линзовых блоков.

Пусть, скажем, требуется, чтобы расстояние между первой и последней поверхно-

«-1

стями линзовой системы / было равно /*. В этом случае имеем: /(X) = X Х., где ^ - ко-

г=1

личество оптических поверхностей, Хг - расстояния вдоль оптической оси между поверхностями г и (г+1). Очевидно, что /(X) - /* есть линейная функция и отвечает форме (3).

4. Исходное уравнение представляет собой равенство заданному значению отношения координат нулевых лучей.

Если в знаменателе дроби находится входная (известная) координата, то исходное уравнение преобразуется к виду (3) подобно уравнениям первого типа.

Если в знаменателе дроби находится выходная координата, то, умножая на нее обе части равенства и приводя подобные члены, получим уравнение в виде (3).

К равенствам данного типа относятся уравнения, обеспечивающие заданное положение изображения или выходного зрачка относительно последней поверхности системы, требуемые значения поперечного и углового увеличения, заднего фокусного расстояния, относительного центрального экранирования в осевом пучке и другие.

Потребуем, например, чтобы поперечное увеличение 0(Х) репродукционной системы было равно 9*. Это означает, что V/V' = 6*, или V - V9* = 0 (у=0, V=1 для поверхности предмета; предмет и изображение в воздухе). Поскольку V'(X) есть полилинейная функция, то / (X) = V - V' (Х)6 * также есть полилинейная функция.

Пусть далее необходимо, чтобы расстояние я' от последней поверхности системы до плоскости Гаусса было равно я'*. Чтобы обеспечить это условие, положим у=0, V=1 для плоскости предмета. Тогда я ' = у' / V' для последней оптической поверхности, откуда получаем уравнение я ' * V' - у' = 0. Функция /(X) = я ' *V'(X) - у' (X) является полилинейной как линейная комбинация полилинейных функций.

5. Исходное уравнение устанавливает соответствие заданному значению взвешенной суммы параметров и отношения координат нулевых лучей.

Подобные уравнения преобразуются к виду (3) только при соблюдении определенных условий. Таковыми могут являться: использование неполного набора параметров; введение дополнительных переменных; использование комбинаций уравнений; возможность изменения типа уравнений. Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.

Пусть требуется обеспечить заданное расстояние от предмета до изображения, которое складывается из расстояния от первой поверхности до предмета, собственной длины системы и расстояния до изображения от последней поверхности. Если рассматривать последнее как дробь я ' = у' / V' (см. четвертый тип преобразований), то исходное уравнение в общем случае не может быть приведено к полилинейному виду, поскольку длина оптической системы и знаменатель дроби зависят от одних и тех же параметров (осевых промежутков). Для получения уравнения (или уравнений) в виде (3) можно воспользоваться следующими приемами:

• использовать в качестве параметров только оптические силы;

• определить в системе два параметра, одним из которых является расстояние до изображения от последней поверхности, и потребовать, чтобы первый (апертурный) нулевой луч пересекал плоскость изображения на нулевой высоте, а сумма осевых расстояний между поверхностями, включая предмет и изображение, была равна заданной (в этом случае вместо одного полилинейного уравнения образуются сразу два);

• задать дополнительное условие для обеспечения равенства поперечного увеличения системы заданному значению (6*) и заменить функцию V' в выражении для я' на константу V / в * (здесь также формируются два полилинейных уравнения);

• задать дополнительно величину поперечного увеличения системы, направить из осевых точек предмета и изображения два нулевых луча навстречу друг другу (с согласованными по увеличению углами наклона к оптической оси) и обеспечить их «стыковку» (равенство линейных и угловых координат) внутри системы посредством двух полилинейных уравнений.

Продемонстрированные пять типов преобразований наглядно показывают, что подавляющее большинство параксиальных уравнений без особых трудозатрат и вмешательства конструктора оптической системы может быть представлено в общей форме (3). Аналогичным образом выполняется преобразование неравенств, входящих в (1)

(заметим, что при этом отдельные неравенства могут приводить к совокупности систем полилинейных неравенств).

Таким образом, система (1) приводится к виду:

(£ (X) = 0 г = 1,2,..., р

\/}.(X) > 0 ] = р +1,р + 2,...,т, ()

где все функции являются полилинейными.

Универсальность и математические свойства полученной модели порождают возможность полной автоматизации процесса вычисления коэффициентов при неизвестных путем применения простейшего алгоритма. С целью его построения заметим, что численные значения любого из многочленов XX) при любых фиксированных величинах параметров могут быть найдены посредством прямого расчета нулевых лучей (либо использования матрицы Гаусса системы) и выполнения ряда элементарных арифметических операций. Это позволяет применить для вычисления неизвестных с0, с1, с2,...., сп, с12,...., с12...п метод неопределенных коэффициентов, являющийся своеобразной разновидностью интерполяции [6]. Полилинейные свойства XX) подсказывают при этом оптимальный по трудоемкости и точности выбор узлов как комбинаций нулевых и единичных значений переменных.

Рассмотрим основные принципы работы алгоритма интерполяции.

A. Положим хг = 0 для всех индексов г и вычислим XX) с помощью прямой трассировки нулевых лучей. Тогда коэффициент с0 равен значению функции.

B. Для каждого г от 1 до п положим хг = 1 и х1 = 0 для всех индексов I, I ^ г, и вычислим XX). Коэффициент сг может быть определен как разность между значением функции и с0 .

C. Для каждого г от 1 до (п -1) и] от (г+1) до п положим хг=1, х}=1, XI =0 для всех индексов I, I ^ г , I ^ ] и вычислим XX). Коэффициент с^ может быть вычислен через

значение функции, с0, , с1.

Б. И так далее, вплоть до нахождения всех коэффициентов.

В качестве иллюстрации работы метода рассмотрим следующий пример. Пусть требуется рассчитать в гауссовой области панкратический объектив с механической компенсацией, имеющий перепад фокусного расстояния от 10 до 160 мм, задний фокальный отрезок - 37 мм. Предмет располагается в бесконечности.

Выберем за основу для синтеза схему, содержащую 4 компонента, из которых два «внутренних» являются подвижными. Синтез будем осуществлять, исходя из заданного положения компонентов в крайних состояниях. Осевые расстояния заимствуем из работы [7]:

X' ё1 ёз

10 15 92 68

160 97 19 59

Таблица 1. Исходные осевые расстояния между компонентами для синтеза вариообъектива

В качестве переменных будем использовать оптические силы компонентов. Для нахождения неизвестных составим и приведем к полилинейной форме систему четырех уравнений, обеспечивающих требуемую оптическую силу и задний фокальный отрезок объектива в двух крайних состояниях. Для этого первоначально примем все оптические силы равными нулю и осуществим расчет нулевых лучей в двух состояниях объектива,

принимая угол в пространстве предметов равным нулю, а высоту на первой поверхности равной 1. По координатам лучей на выходе из системы несложно определить значения полилинейных функций вида

f1 ( Х1 , Х2 , Х4 ) = V ( Х1 , Х2 , X3, Х4 ) — V * ,

f2 ( Х1, Х2 , Х3 , Х4 ) = S * V ( Х1 , Х2 , Х3 , Х4 ) — У ( Х1 , Х2 , Х3 , Х4 )

Полученные значения непосредственно определяют свободные члены полилинейных функций (коэффициенты типа c0 в (3)). Далее присвоим единичное значение оптической силе первого компонента, сохраняя силы остальных компонентов равными нулю. Выполнив расчет f1(Х1,Х2,Х3,Х4), f2(Х1,Х2,Х3,Х4), несложно найти коэффициенты

при переменной Х1 как разности значений функции и свободного члена. Продолжая подобным образом, приходим к следующей системе уравнений:

-0.1 + Х1 + Х2 + Х3 + Х4 -15Х1Х2 -107хХ3 -175Х1Х4 - 92Х2Х3 --160x2x4 - 68x3x4 +1380хx2x3 + 2400x1 x2x4 + + 7276x1x3x4 + 6256x2x3x4 -93840x1 x2x3x4 = 0 -0.00625 + х + x2 + x3 + x4 - 97x1x2 -116x1x3 - 175х1x4 -19x2x3 -

- 78x2x4 - 59x3x4 + 1843х1x2x3 + 7566x1x2x4 + + 6844x1 x3x4 + 1121x2x3x4 -108737x1 x2x3x4 = 0

1 - 212x -197x2 -105x3 - 37x4 + 2955x1 x2 + 11235х1 x3 +

+ 6475x1 x4 + 9660x2x3 + 5920x2x4 + 2516x3x4 -144900x x2x3 -

- 88800xx2x4 - 269212x x3x4 - 231472x2x3x4 + 3472080x x2x3x4 = 0 1 - 212x - 115x2 - 96x3 - 37x4 +11155x x2 +11136x x3 +

+ 6475x x4 +1824x2x3 + 2886x2x4 + 2183x3x4 - 176928x1 x2x3 -

- 279942x x2x4 - 253228x x3x4 - 41477x2x3x4 + 4023269x x2x3x4 = 0

При этом все коэффициенты при переменных находятся в автоматическом режиме только лишь путем многократного расчета оптической силы и заднего отрезка при изменении узлов интерполяции.

Приведенный пример демонстрирует высокую эффективность предложенной модели оптической системы и метода ее построения.

Литература

1. Русинов М.М. Габаритные расчеты оптических систем. М.: Госгеолтехиздат, 1963. 400 с.

2. Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1966. 546 с.

3. Ivanov Andrey V. Generalized method for first-order lens layout // Proc. SPIE, vol. 3780, 1999, p. 199-206.

4. Бурбаки Н. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М.: Физматгиз, 1962. 516 с.

5. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л.: Машиностроение, 1982. 270 с.

6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

7. Kryszczynski T. Analysis of four-component zoom systems with mechanical compensation. Warsaw: SPIE Polish chapter, 1996. 84 p.