Математические модели для обеспечения условий конструктивности оптической системы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

математические модели для обеспечения условии конструктивности оптической системы

А.В. Иванов

Предложены универсальные математические модели оптических систем для применения на этапах параметрического синтеза и оптимизации с целью достижения конструктивности системы. Модели обеспечивают разовое или постепенное введение толщин в тонкие компоненты с одновременной коррекцией зей-делевых аберраций, а также контроль прохождения лучей за «острым краем» линз.

Теория тонких компонентов [1] имеет широкое применение в практике аберрационного расчета центрированных оптических систем. Однако для того, чтобы полученные на ее основе конструкции могли быть физически реализованы, толщины линз и воздушные промежутки (di) должны получить такие значения, которые были бы приемлемы с позиций производства и эксплуатации. В первом приближении, для этого необходимо решить систему неравенств:

disign(nM) - dmin > 0, i = 0,...,p , (1)

где i - номер поверхности, p - число поверхностей, sign(ni+1) - функция знака показателя преломления среды, следующей за поверхностью с номером i, d™" > 0 - минимально допустимые абсолютные величины осевых расстояний, которые устанавливаются на основании требований нормативных документов [2] по результатам параксиального синтеза и расчета радиусов поверхностей бесконечно тонких компонентов. При этом через d0 и dp обозначены осевые промежутки от первой поверхности до предмета и от

последней поверхности до изображения.

Погрешность приближения определяется тем обстоятельством, что величины dгШ1П

не обеспечивают строгий контроль конструктивности с учетом реальных габаритов пучков, а также в условиях непрерывно изменяющихся параметров оптической системы - как в процессе решения самих неравенств, так и в процессе реализации других этапов параметрического синтеза. Поэтому значения dimin нередко назначают с некоторым запасом, что не всегда оправдано.

Понятно, что задачу решения (1) нельзя рассматривать саму по себе, в отрыве от общего контекста габаритного и аберрационного расчета оптики. Из этого тезиса вытекает, что модели для обеспечения конструктивности должны включать требования к гауссовым и зейделевым характеристикам оптической системы или ее отдельных частей. В частности, Г.Г. Слюсаревым было предложено при введении толщин сохранять фокусные расстояния компонентов, а также все «внутренние» углы с осью первого параксиального луча [1]. Описанные условия позволяют оставлять неизменными многие гауссовы характеристики системы (и ее элементов), а также, в известной степени, поддерживать коррекцию аберраций третьего порядка и хроматизма.

Вместе с тем ясно, что способ Слюсарева не дает гарантии сохранения зейделевых аберраций в необходимых пределах и поэтому требует определенной модификации.

С этой целью предлагается при обеспечении конструктивности оптической системы осуществлять минимизацию аберраций зейделевой области, т. е. решать задачу:

минимизировать <(X) = FT (X)F (X)

при ограничениях: disign(ni+1) -d®m > 0, i = 0,...,p , (2)

где F(X) - вектор взвешенных аберраций третьего порядка и хроматизма, X - вектор параметров Р, W, С компонентов (связанных только с углами первого нулевого луча по известным формулам [1], независимо от толщин линз и воздушных промежутков).

Решение (2) может быть найдено на основе двух различных подходов. Суть первого заключается в установлении внутренних толщин компонентов на границе допустимого множества (2) и последующей минимизации ср(X). Осевые расстояния между компонентами при этом могут перевычисляться с целью сохранения параксиальных характеристик системы либо, при нарушении ограничений, могут быть также зафиксированы.

Описанный подход крайне прост, не требует больших компьютерных ресурсов и позволяет осуществлять активный контроль за состоянием конструктивности системы. Недостатком его является резкое изменение di, которое может необратимо разрушить

достигнутую ранее коррекцию аберраций, а также отсутствие использования переменных внутри допустимой области.

Второй путь к решению (2) заключается в том, что внутренние толщины тонких компонентов, наряду с Р, Ж, С, рассматриваются в качестве варьируемых параметров задачи нелинейного программирования. Это позволяет осуществлять постепенный ввод di в допустимую область при использовании методов внешней точки [3]. При таком

подходе изменения di не будут сильно ухудшать достигнутое качество коррекции оптической системы, поскольку их влияние будет компенсироваться вариацией других параметров. Более того, ввиду возможности изменения переменных и внутри допустимой области, значения отдельных аберраций нередко могут даже улучшаться.

Рассмотренный путь решения (2) довольно трудоемок, однако обладает большими потенциальными возможностями.

Удовлетворение ограничений (2) часто не противоречит задаче сохранения оптических сил (Ф;.) компонентов и углов нулевых лучей (а}-) между ними, сформулированной Г.Г. Слюсаревым [1]. Поэтому условная минимизация ср( X) может быть нередко осуществлена при наличии дополнительных ограничений-равенств вида:

ф = ф0

1 ; , (3)

а = а

где через Ф0, а0 обозначены величины Ф^, а} в оптической системе, содержащей бесконечно тонкие компоненты. Для реализации (3) Слюсарев предложил универсальную модель, которая основана на вычислении положения главных плоскостей оптических элементов и последующей корректировке осевых расстояний между смежными поверхностями соседних компонентов. Анализ модели Слюсарева показывает, что она может обладать значительной вычислительной погрешностью при больших фокусных расстояниях компонентов и, кроме того, сводит процесс пересчета осевых расстояний к методу простой итерации, обладающему медленной и негарантированной сходимостью [4]. В условиях итерационного процесса решения задачи (2) эти недостатки сказываются весьма ощутимо. Поэтому и модель Слюсарева, как нам представляется, требует определенной переработки.

Обозначим через а}, а' углы первого вспомогательного нулевого луча с осью до

и после прохождения им у-го компонента, имеющего реальные толщины линз и воздушных промежутков; п, п' - показатели преломления оптических материалов, окружающих у-й компонент. Тогда, исходя из известного соотношения гауссовой оптики, имеем:

К"ф 1 =*п -ап , (4)

где Ф- оптическая сила компонента, а к1^1 - высота первого нулевого луча на его главных плоскостях (будем считать, что кФ 0 ). Применим (4) для другого нулевого луча, имеющего на входе угол с осью а}- = 0, высоту к}ш = 1, а на выходе - угол с осью а', равный

Ф; = а']П] (5)

Можно показать, что при фиксированных (вычисленных по Р, Ж, С) углах первого нулевого луча и расстояниях между поверхностями компонента величина а' является

функцией высоты (обозначим ее через х) первого нулевого луча на первой поверхности: а' = а' (х). Подставляя (5) в (4) и принимая кГ = Щ (Щ - высота пересечения первого нулевого луча бесконечно тонким компонентом), получаем:

а' (х)Щ - а' + а} (п} / п') = 0 (6)

Выражение (6) может быть рассмотрено как уравнение относительно параметра х. Отыскав его решение, несложно определить требуемое положение компонента в оптической системе.

Поскольку уравнение (6) позволяет вычислить х с высокой степенью точности и различными численными методами, описанная модель представляется значительно более гибкой, нежели аналог у Слюсарева.

Проиллюстрируем использование предложенных в настоящем разделе моделей на конкретном примере. Пусть требуется ввести конечные толщины в компоненты телеобъектива, конструктивные элементы которого приведены в таблице 1.

Таблица 1

Оптическая система из бесконечно тонких компонентов

я й По Марка стекла

1

59.80 0 1.5181 КФ4

-42.72 0 1.6475 ТФ1

-148.33 50.0 1

74.54 0 1.5163 К8

30.50 1

/' = 200,0 ; 4, = 100,0

Первоначально воспользуемся первым подходом к обеспечению конструктивности. Вводя толщины в линзы в соответствии с нормативными документами [2], имеем (относительное отверстие 1:10, угол поля зрения 2°): ё1 = 3.81; й2 = 2.18; й4 = 1.32 . Если сохранить углы с осью первого нулевого луча и оптические силы компонентов, то исходный пересчет й3 с помощью уравнения (6) дает значение й3 = 45.61. Будем далее

корригировать аберрации третьего порядка: сферическую (Д''п ), неизопланатизм (пш), астигматизм (г'тш - г'ш) и хроматизм положения ( Д^ ). В качестве варьируемых параметров целесообразно использовать Р1, Ж1, Ж2. Всего один шаг итерационного процесса решения задачи нелинейного программирования приводит к результату:

Л4 =-0.05 мм, Пш =-0.014%, г'тш - г'ш = 0.019 мм, Л4р =-0.12 мм. Параметры объектива описаны в таблице 2.

Таблица 2

Оптическая система с компонентами конечной толщины (вариант 1)

Я й По Марка стекла

1

57.71 3.81 1.5181 КФ4

-43.61 2.18 1.6475 ТФ1

-160.04 45.51 1

68.84 1.32 1.5163 К8

29.31 1

/' = 200.0; 4, = 100.6

Воспользуемся теперь вторым подходом к обеспечению конструктивности. Установим нижние допустимые границы толщин линз равными 4.2 и 1.3 мм. Параметры задачи нелинейного программирования сохраним такими же, как при реализации первой модели, а к минимизируемым функциям добавим кривизну изображения третьего порядка. Осевое расстояние й3 будем постоянно пересчитывать с целью удержания оптических сил компонентов и углов первого нулевого луча.

Решение задачи НЛП выполняется за три итерации и дает: Л4 = 0.04 мм, Пш = 0.01%, ¿тш - г'аШ = 0.015мм, 0,5(¿тш + г'ш) = 0.01 мм, Лэ'хр = -0.01 мм. Конструктивные элементы объектива приведены в таблице 3.

Таблица 3

Оптическая система с компонентами конечной толщины (вариант 2)

Я й По Марка стекла

56.63 -36.72 -141.83 24.98 2.00 32.76 1 1.5181 1.6475 1 КФ4 ТФ1

77.04 1.30 1.5163 К8

30.74 1

/' = 200.0; 4, = 100.6

Сравнительный анализ результатов показывает, что изменение внутри допустимой области позволяет достигнуть лучшей коррекции аберраций во второй модели, нежели в первой.

Как указывалось ранее, неравенства (1) обеспечивают конструктивность системы только в первом приближении, поэтому они обычно используются самостоятельно лишь на начальных этапах синтеза. В процессе выполнения последующих этапов необходимо обеспечить контроль за толщинами линз как вдоль оптической оси, так и по

краю. В противном случае заданные габариты пучков, характеристики поля и апертуры системы могут быть соблюдены далеко не всегда (ввиду срезания лучей оправами линз).

С целью обеспечения полного контроля за конструктивностью оптической системы следует использовать неравенства вида:

\й^(пм) - йтш > 0, г = 0,...,р [й?ИЕп(рм) -й*™ > 0, г = 0,...,р ,

где й*р' - толщины линз или воздушных промежутков по краю (на световых диаметрах), а <рлшп > 0 - их минимально допустимые абсолютные значения. Величины й*р. можно получить расчетным путем:

йкр = й + С г+ - с ,

где сг, +1 - стрелки прогиба поверхностей с номерами г и (г+1) на световых диаметрах (знаки стрелок прогиба и радиусов кривизны совпадают), а за с0 и ср+1 принимаются

стрелки прогиба поверхностей предмета и изображения. При параметрическом синтезе для определения световых диаметров возможно ограничиться прогонкой крайних лучей всех пучков, так как точный учет поперечных габаритов необходим лишь на этапе тонкой доводки системы, т.е. на этапе оптимизации. При возникновении опасности прохождения лучей «за краем» линз в этой ситуации просто следует увеличить значения йтт. и .

Отметим, что модель (7) включает в себя неявные нелинейные функции от многих переменных. Поэтому для решения системы неравенств могут быть использованы только специализированные методы нелинейного программирования.

Литература

1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.

2. Вычислительная оптика: Справочник / Русинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. и др.; Под общ. ред. Русинова М.М. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.