CC BY
145
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
УДК 535.31
ОСОБЕННОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХРОМАТИЗМА ПОЛОЖЕНИЯ ПРИ ОПТИЧЕСКОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ЛИНЗОВЫХ ОБЪЕКТИВОВ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Владимир Львович Парко
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, аспирант кафедры наносистем и оптотехники СГГА, тел. 8952-926-10-33, e-mail: Vladimir-Parko@yandex.ru
В статье рассмотрены способы вычисления хроматизма положения при оптическом проектировании линзовых объективов телескопических систем. Указаны области применения этих способов, их достоинства и недостатки.
Ключевые слова: хроматические аберрации, хроматизм положения, вторичный спектр, методика Слюсарева, теория хроматизма.
THE FEATURES OF CALCULATION
OF LONGITUDINAL CHROMATIC ABERRATION
AT OPTICAL DESIGNING OF LENSES OF TELESCOPIC SYSTEMS
Vladimir L. Parko
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., graduate student, tel. 8952-926-10-33, e-mail: Vladimir-Parko@yandex.ru
The article deals with methods for calculating the chromaticity of the optical design of lenses of telescopic systems. The areas of application of these methods, their advantages and disadvantages are presented.
Key words: chromatic aberration, longitudinal chromatic aberration, secondary spectrum, Slyusarev methods.
Все оптические материалы обладают неотъемлемым свойством, называемым дисперсией. Из-за него оптические системы, содержащие хотя бы один преломляющий элемент и работающие в некотором спектральном диапазоне, отягощены хроматическими аберрациями. Особенно велик вклад хроматических аберраций в ухудшение оптических характеристик объективов у приборов, обладающих большими величинами фокусных расстояний и малыми угловыми полями, т. е. объективов телескопических систем: астрономических телескопов, геодезических приборов, зрительных труб и т. п.
Хроматизм оптических систем впервые был экспериментально исследован И. Ньютоном, который, однако, пришел к ошибочному выводу, что в линзовых системах хроматизм устранить невозможно. Это утверждение было опровергнуто Леонардом Эйлером, а первый ахроматический объектив телескопа рассчитал по собственной методике и изготовил Честер Холл в 1733 г. С тех пор созданы различные способы и методики расчета аберраций оптических систем вообще и хроматических аберраций в частности.
81
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
Так, общеизвестна формула для нахождения хроматизма положения dS’ одиночной линзы [1]:
где f’ - фокусное расстояние линзы, мм;
v - коэффициент средней дисперсии материала линзы.
Следует отметить, что формула (1) справедлива для бесконечно удаленного от оптической системы предмета, т. е. типичного для объективов телескопических систем случая. Все дальнейшие формулы настоящей статьи также удовлетворяют этому условию.
Формула (1) получена методом дифференцирования формулы фокусного расстояния тонкой линзы и обеспечивает высокую точность при расчете хроматизма положения. Исторически коэффициент средней дисперсии v является одним из основных характеристик оптических материалов, так как количественно показывает, какую часть от фокусного расстояния линзы будет составлять хроматизм ее положения в спектральном диапазоне, для которого этот коэффициент был рассчитан.
Например, для линзы из стекла К8 (ve = 63,87, спектральный диапазон от линии F’ до линии С’) с фокусным расстоянием 1 000 мм хроматизм положения составит от него 1/63,87 часть, равную 15,66 мм.
Достаточно проста, удобна и точна формула для вычисления хроматизма положения тонкого объектива, состоящего из двух склеенных линз (рис. 1, а) [1]:
где f’ - заднее фокусное расстояние системы, мм;
Ф1 - оптическая сила первой линзы, дптр;
Ф2 - оптическая сила второй линзы, дптр;
v1 - коэффициент средней дисперсии материала первой линзы;
v2 - коэффициент средней дисперсии материала второй линзы.
(1)
dS =-(Я
(2)
а
б
Рис. 1. Двухлинзовые объективы телескопических систем: а - склеенный; б - расклеенный
82
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
При разработке телескопических оптических систем широко используются двухлинзовые склеенные компоненты малой толщины, в том числе объективы (рис. 1, а), для расчета которых Г.Г. Слюсаревым была создана специальная методика. Методика Слюсарева расчета конструктивных параметров объектива заключается в вычислении основных параметров Р, W и С, зависящих от заданных аберраций объектива и его конструктивных параметров, при этом система предполагается тонкой. Расчет по этой методике выполняется с помощью специальных таблиц, позволяющих выбрать такие пару стекол объектива и радиусы линз, при которых можно исправить хроматизм положения, сферическую аберрацию и меридиональную кому или получить их требуемые значения для компенсации указанных аберраций других компонентов системы [2].
К сожалению, ни по методике Слюсарева, ни по формуле (2) невозможно достаточно точно рассчитать или устранить хроматизм положения двухлинзового расклеенного объектива, представленного на рис. 1, б.
Аналогично формуле (2) методом дифференцирования можно вывести формулу для вычисления хроматизма положения расклеенного двухлинзового объектива телескопической системы [3]:
где d-расстояние между линзами, мм.
Формулы (2) и (3) также позволяют рассчитать вторичный спектр системы путем замены коэффициентов средних дисперсий материалов линз коэффициентами частных дисперсий.
Для расчета и устранения хроматических аберраций более сложных оптических систем, состоящих из некоторого количества поверхностей m, в начале ХХ века германским оптотехником Ланге была разработана теория хроматизма. Эта теория основана на понятии о нулевых лучах, позволившем придать формулам хроматизма удобный для практических вычислений вид [4].
Хроматизм положения сложной оптической системы может быть рассчитан по следующей формуле:
где nm - показатель преломления среды;
as - тангенс угла образованного лучом с осью;
hs - высота луча на главной плоскости преломляющей поверхности, в мм,
(3)
К h U)
m+1 a m+1
(4)
где:
hs+i = hs-a s+1 ■ ds;
s
(5)
83
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
ds - расстояние между вершинами преломляющих поверхностей s и s + 1,
мм;
Us - вспомогательная величина для каждой поверхности системы, вычисляемая по формуле:
JJ _аs+1 ~аs .(1 _^s+1 _ 1 ~^s
Vs+1 _П s
V V s+1
V s
(6)
где ^s - обратная величина показателя преломления среды;
vs - коэффициент основной средней дисперсии среды.
Формулы (4), (5) и (6) позволяют рассчитать хроматизм положения и вторичный спектр любой линзовой системы. Однако следует обратить внимание на параметр hs в формуле (4). Чаще всего расчет ведется для объективов, в которых можно пренебречь различием параметров hs между поверхностями, что позволяет в конечном итоге получить простые и удобные для расчета хроматизма оптической системы формулы. Таких объективов достаточно большое количество, например объектив Пецваля, рассчитанный с применением этой теории апохроматический объектив геодезической трубы (рис. 2), традиционные двухлинзовые (рис. 1) и трехлинзовые объективы телескопических систем и т. д.
Рис. 2. Апохроматический объектив геодезической трубы
Вместе с тем, расчет хроматизма положения трехкомпонентной схемы астрономического объектива (рис. 3) с применением указанной теории затруднителен.
Компоненты этой оптической системы значительно различаются по диаметру между собой, и пренебрежение параметрами hs ведет к недопустимо большим погрешностям в вычислениях, ставя под сомнение их целесообразность вообще. Напротив, учет этих параметров делает математическую модель этой системы в рамках теории хроматизма настолько громоздкой, что практически невозможен расчет хроматизма положения данного объектива.
84
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
Рис. 3. Оптическая трехкомпонентная схема астрономического объектива
Для расчета хроматизма положения такой системы удобнее всего использовать следующий алгоритм. Сначала проводится габаритный расчет системы -выясняются оптические силы компонентов и расстояния между ними. После этого вычисляется задний фокальный отрезок системы S’e, по формуле [1]:
S'
Фз •
----1 Ф1 •dl---г- - d2
Ф1+ Ф2-Ф1 -Ф2 • d1 2
----1-Ф1'd1---г- - d2
Ф1+ Ф2-Ф1 Ф2 • d1 2
л
+ 1
(7)
где d1 - расстояние между первым и вторым компонентами системы, мм;
d2 - расстояние между вторым и третьим компонентами системы, мм;
Ф1, Ф2, Ф3 - оптические силы для линии e, соответственно для первого, второго и третьего компонентов системы.
Далее задаются используемые в системе марки стекол и выбираются соотношения оптических сил линз в компонентах системы.
Общеизвестно, что разница между задними фокальными отрезками S’F’ и S’C’ для линий спектра F’ и C’ соответственно есть численное значение хроматизма положения оптической системы в видимом диапазоне спектра, а разница задних фокальных S’F’ (S’C) и S’e - ее вторичный спектр.
Задние фокальные отрезки S’F’ и S’C’ определяются по формулам, аналогичным (7), в которых оптические силы компонентов системы рассчитываются соответственно для показателей преломления для линий F’ и C’.
Проведенное исследование такой системы по описанному алгоритму позволило установить, что для получения апохроматической коррекции остаточного хроматизма достаточно использовать всего две марки дешевого оптического стекла без особого хода дисперсии в них [5].
У каждого из рассмотренных в статье способов и методик расчета хроматизма есть свои достоинства и недостатки. Однозначно можно утверждать лишь то, что даже несмотря на всеобщее внедрение автоматизированных программ расчета оптических систем, все они не потеряли актуальности и в настоящее время активно используются на этапе предварительных расчетов или выбора исходной оптической системы, каждая в своей области применения.
85
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Прикладная оптика / А.С. Дубовик и др.; под ред. А.С. Дубовика. - М.: Недра, 1982.-612 с.
2. Шрёдер Г., Трайбер Х., Техническая оптика. - М.: Техносфера, 2006. - 426 с.
3. Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. - Л.: Машиностроение, 1975. - 640 с.
4. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. - Л.: Машиностроение, 1968. - 383 с.
5. Парко В.Л., Хацевич Т.Н. Алгоритм выбора апохроматических пар стекол в многокомпонентном астрономическом объективе // Вестник СГГА (Сибирской государственной геодезической академии): науч.-технич. журн. / учредитель ГОУ ВПО «СГГА». -Вып. 2(13). - Новосибирск: СГГА. - 2010. - С. 69-73.
Получено 28.02.2012
© В.Л. Парко, 2012
86
