Варианты композиции оптических систем с апланатической коррекцией аберраций Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВАРИАНТЫ КОМПОЗИЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АПЛАНАТИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИЕЙ АБЕРРАЦИЙ И.А. Белокурова, О.В. Багдасарова, В. А. Зверев, Т.В. Точилина

Рассмотрены условия, при которых коррекцию аберраций тонкой линзы в видимой и ИК области спектра можно считать апланатической. Те же условия рассмотрены для линзы, одна из поверхностей которой имеет несферическую форму.

Вариант композиции оптической системы, сложность ее конструкции и качество образованного ею изображения определяются назначением оптической системы. Для оптимального построения оптической системы необходимо изучение элементной базы, которую составляют радиусы кривизны поверхностей, расстояния между ними, показатели преломления разделяемых ими сред, форма поверхностей, а также их сочетания.

В простейшем случае оптическая система объектива зрительной трубы состоит из одной бесконечно тонкой линзы в воздухе. Тонкой линзой будем называть линзу, для

которой lim h2 = lim(h-ad) = h1, т.е. такую, для которой можно принять h2 » hl. Для

d ®0 d ®0

такой линзы при a=0 (плоскость предмета расположена на бесконечно большом расстоянии) и при a'=1 имеем [1]: SI = hSPK = h(p + P2) = h P,

„ a3v (l-a)2 л ч 1 -(2 + v)a + (l + 2v)a2 1

где p =(V-l)2 +(1^(l - va) = -(1-V)-—, v—; Sn = ySPk - JSWk,

n

. 2.

гттг ттг Т1г ллт Т1г ап 1 -ал ч 1 -(1 + п)а _

= + Ж2 = Ш, при этом уу=--1--(1 - па) = —--— . Отсюда следует, что

п-1 1 -п 1 -п

1 -(1 - п)

а = —ь-Ж.

1 + п

Подставив это соотношение в выражение для Р, получаем

п + 2 тт.2 п П ,1Ч

Р=1-nW--- Ж +—2--. (1)

(п +1)2 (п +1)2 (п2 -1)2 ''

п3

При Ж=0 Р 0 = —-. При Р=0

Р 0 (п2 -1) Р

W= 1

2(n + 2)

1 ± 1 _ 4n2(n + 2)

(n _ 1)2

Легко видеть, что при п > 1 выражение принимает вид 1----—— < 0, т.е. Р^0.

4n2(n + 2) (n _ 1)

Взяв производную по W от уравнения (1) и приравняв ее нулю, получаем:

W й

2(n + 2) При этом

_ 2n +1 р = n(4n _ 1) aexh _ 2(и+~2) ' exh 4(2 + n)(n_ 1)2.

Легко убедиться, что lim Pexh_ 0, т.е. чем больше величина n, тем меньше величина Pexh. При a_ 0 величина l' __f 'ßj __ f'. Тогда J _ _n'a' f' __n'f'. При n' _ 1 J _ _ f'. Положив W=0, получаем

п3

5 = ГР0 = Г, 5а _ уРо + /'• о = уРо (п -1)

2 2

_ Гр о +2Г • 0 + Г ф_ Гр о + г , ? _ ф _ 1

- - ,, • п пГ

Положив у _ о (совместив входной зрачок с такой линзой), получаем Г'П , 1

5 _-(П^Л)2, 511 _0, _Г, _ПГ•

При этом сферическая аберрация третьего порядка в изображении бесконечно удаленной осевой точки равна

1 , 1 п3

' _ -1'3 _ -1 /' п 2 и'3 • 5 2 1 2 (п2 -1)2

Волновая аберрация в изображении точки определяется выражением [2]

и'

W= | (А5' -А' )и 'Уи ',

о

где А' - смещение плоскости изображения (продольная расфокусировка). При

А5 ' _ — 5g' получаем и'

1 3 1 1 3 1

1 -Т' п Гш1 А'„'2 _ 1 Г' п „'4 1 Л'„'2

о

кр

Ж _ -1Г ' 2п 2 [и '2ш'Уи'-1А 'и '2 _ -1Г' п 2 и'4 -1А 'и'2 • 2 (п2 -1)2 о 2 8 (п2 -1)2 2

Пусть при и ' _ икр: Ж _ о. Тогда

л' 1 / ' п и '2

А _--Г ----и кр ;

(п2 -1)2 р

и

Ж _ -1Г' п 2 и'4 +1Г ' п 2 и '2кри '2 _1Г' п 2 (и' 2кр - и' 2)и '2. Отсюда еле 8 (п2 -1)2 8 (п2 -1)2 Р 8 (п2 -1)24 Р ^

дует, что при-_ о имеем и ' _-и ' . При этом

' ехН ^ кр

УЖ п ' ->/2 '

-_ о имеем и ' , _ — '

Уи ' х 2

ттг 1 гг п . ,2 1 г 2ч 1 г2 1 п ,4

ЖехН Г , 2 1Л2(и кР ^икр Ъи кР Г , 2 т\2 и кР.

8У (п2 -1)2^ кр 2 кр ^2 3/ (п2 -1)2

Будем считать, что максимальная волновая аберрация в пределах зрачка не пре-

1 гг ТТГ 1 I 2

вышает —. !огда при угехк < — получаем и кр <— 4 4 4 п ^

1

2—п(п2 -1)2 . При этом диафраг-

менное число равно гУ >

п . ,_/ ' _ 1

44

2 ^п(п2 -1)2 ' ^ * 2икР

г

п

При Г' _ 25о мм: гУ > -

4\1Т25 п(п2 -1)2

При Г ' _ 25о мм и 2 _ о,5 •Ю-3: гУ >

п 25п

У л /о,2^ л-3 , 2 1ч2 4/4СоП(п2 -1)2 '

44 —--1о 3п(п2 -1)2 4 '

V 125

Полученная формула определяет минимальное диафрагменное число для бесконечно тонкого компонента. При этом угол параксиального луча с осью при Ж _ о равен п

а _

п +1

В табл. 1 (для бесконечно тонкого компонента) сведены результаты расчета угла а, образованного первым параксиальным лучом с оптической осью, и диафрагменного числа гУ в зависимости от показателя преломления п. Для удобства сравнительного анализа будем считать, что/'=25о мм для всех линз.

и для видимой области для ПК области

Гу а Гу а

1,5 6,777 о,6 3,811 о,6

1,75 5,923 о,636 - -

2,о 5,428 о,667 3,о52 о,667

2,25 5,о95 о,692 - -

2,5 4,851 о,714 2,728 о,714

2,75 4,66 о,733 - -

3,о 4,5о5 о,75 2,534 о,75

3,25 4,376 о,765 - -

3,5 4,265 о,778 2,389 о,778

3,75 4,168 о,789 - -

4,о 4,о85 о,8 2,296 о,8

4,5 - - 2,214 о,818

5,о - - 2,146 о,833

Таблица 1. Зависимость а(и) и г у (и)

При 2 _ 5 •Ю-3

Г >

и и 2,5и

^о-3п(п2 -1)2 <ф,4 • 1о-4п(п2 -1)2 4/о,4п(п2 -1)2 '

Поскольку расчет был выполнен для бесконечно тонких компонентов, вполне очевидно, что для линз с конечной толщиной результаты расчета будут отличаться. Тогда, воспользовавшись программным комплексом БЛЯО, мы можем рассчитать линзу конечной толщины.

В табл. 2 сведены результаты расчета одиночной линзы конечной толщины, имеющей различный показатель преломления, а также различные диафрагменные числа, соответствующие этим показателям преломления.

Также будем придерживаться условия, что волновая аберрация не должна превышать критерий 1. Хорошо видно, что относительное отверстие и светосила линзы увеличивается по мере роста показателя преломления, при и _ 1,5 относительное отверстие равно 1:9, а при и _ 4 относительное отверстие равно1:6.

п для видимой области для ИК области

Гй Гй

1,5 9,39 5,31

1,75 8,21 -

2 7,52 4,24

2,25 7,06 -

2,5 6,72 3,79

2,75 6,46 -

3 6,24 3,52

3,25 6,06 -

3,5 5,9 3,33

3,75 5,77 -

4 5,65 3,19

4,5 - 3,08

5 - 2,99

Таблица 2. Зависимость (п)

Здесь прослеживается та же тенденция, что и для видимой области, при п = 1,5 относительное отверстие 1:5, при п = 5 относительное отверстие 1:3. Однако, как видно, при переходе в ИК область относительное отверстие может быть увеличено. Например, при п = 2 относительное отверстие, в видимой области 1:7, ав ИК области 1:4.

В общем случае для исправления сферической аберрации можно, например, первую сферическую поверхность заменить несферической поверхностью вращения второго порядка. При этом

р + + = 1 -(2 + у)а + (1 + 2у)д2 .

1 1 2 (1 -у)2 1 у(1 -у)2

Из условия Р=0 находим

= у-у(2 + у)а + у(1 + 2у)а2 = п - (2п + 1)а + (п + 2)а2

а1 = 3 = 2 3 .

а па

п

При W=0 а =-. При этом

1 + п

(1 + п)3 (2п +1)(1 + п)2 п + 2 1 + п 1 „ „ 2 2 „ 1 + п

а = —+ ±—^^—^------= —(1 + 2п + п2 -п2 -2п-п-2) =--—.

п4 п2 п2 п2 п п3 п3

Итак, изображение образованное тонкой линзой, первая поверхность которой -эллипсоид вращения, а вторая поверхность - сферическая, имеет апланатическую коррекцию аберраций. При этом имеем:

^ = 0,

БП = 0,

= / '2Ф = /' ,

V = Ф = 1 п п•/

При асферизации одной из поверхностей одиночной линзы можно добиться еще большего увеличения относительного отверстия. Придерживаясь алгоритмаю, приведенного выше для расчета одиночной линзы со сферическими поверхностями, рассчитаем одиночную линзу, у которой первая поверхность - асферическая. Полученные результаты сведены в табл. 3.

и для видимой области для ИК области

Гу Гу

1,5 2,671 1,791

1,75 2,о73 -

2 1,729 1,194

2,25 1,5о2 -

2,5 1,338 о,923

2,75 1,214 -

3 1,116 о,783

3,25 1,о35 -

3,5 о,966 о,685

3,75 о,9о9 -

4 о,86 о,616

4,5 - о,562

5 - о,52

Таблица 3. Зависимость г, (и)

Таким образом, мы можем видеть, что в видимой области можно добиться относительного отверстия 1:о,9, тогда как при сферических поверхностях только 1:6;. в ИК области 1:о,5, тогда как при сферических поверхностях только 1:3. Для наглядности результаты всех этих расчетов отражены графически (рис. 1, 2).

г 1о 8 -6 -4 -2 -

Т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-Г-

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Рис. 1. Зависимость показателя преломления отдиафрагменного числа

в видимой области

-•—Ряд 1 Ряд 2

Ряд 3

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Рис. 2. Зависимость показателя преломления от диафрагменного числа

вИК области

о

п

г

п

Здесь ряд 1 - диафрагменное число для бесконечно тонких компонентов; ряд 2 -диафрагменное число для линз со сферическими поверхностями; ряд 3 -диафрагменное число для линз с асферическими поверхностями.

Таким образом, при технологической возможности изготовления и незначительной роли хроматизма можно использовать простую одиночную линзу с асферическими поверхностями.

Мы исследовали, как изменяется относительное отверстие в зависимости от изменения показателя преломления при сохранении для всех линз фокусного расстояния 250 мм. Теперь рассмотрим, как изменяется относительное отверстие при изменении фокусного расстояния. Возьмем диапазон изменения фокусного расстояния от 1000 мм до 1 мм. Как и раньше, будем учитывать, что волновая аберрация не должна превышать 7JA. Результаты исследований отражены в табл. 4 и на рис. 3.

/', мм I'd

1000 12,346

750 11,503

500 10,373

250 8,741

100 6,954

75 6,477

50 5,869

25 4,941

10 3,937

1 3,342

Таблица 4. Зависимость rd(f')

R

2 -

0 Н-1-1-1-1-1-1-1-1-1—

1000

Рис. 3. Зависимость относительного отверстия от фокусного расстояния

Хорошо видно, что чем меньше фокусное расстояние, тем больше относительное отверстие линзы. Так, при/'=1 мм можно получить относительное отверстие 1:3. Такие короткофокусные светосильные объективы могут быть использованы для записи информации на компакт-диск.

При необходимости исправления хроматизма приходится усложнять систему. Так появляется двухлинзовый склеенный объектив, где существует дополнительный радиус склейки для исправления хроматических аберраций. При расчете таких объективов можно воспользоваться методом, предложенным Г.Г. Слюсаревым [1]. Расчет всех объективов производится с одинаковыми параметрами /' = 250, 1:5, 2(3 = 6'36'. Рассчитав

двухлинзовый склеенный объектив со сферическими поверхностями, получаем, что максимальная волновая аберрация в пределах зрачка составляет -о,Ю2. В тех случаях, когда требуется получить относительное отверстие большее, чем то, которое может дать двухлинзовый склеенный объектив, применяют систему состоящую из двух одинаковых склеенных объективов, поставленных вплотную друг к другу, или комбинацию двухлинзового склеенного компонента с простой положительной линзой. Здесь возможно исправление комы, сферической и хроматической аберраций. Рассчитав такую систему из двух одинаковых склеенных объективов, получаем, что максимальная волновая аберрация в пределах зрачка составляет о,оо59, а кома о. При расчете объектива, состоящего из двухлинзового склеенного компонента с простой положительной линзой, получаем, что максимальная волновая аберрация в пределах зрачка составляет

0.0032. а кома о.

Использование той или иной системы обусловлено рядом требований - как экономических, так и технологических. Например, если есть возможность изготовления линзы с асферическими поверхностями и требуется как можно более простая конструкция, вполне можно воспользоваться объективом, состоящим из простой одиночной линзы с асферическими поверхностями. Когда нет необходимости использовать светосильную систему, возможно использование такой же одиночной линзы со сферическими поверхностями.

Литература

1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.

2. Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. М.-Л.: Машиностроение, 1966. 564 с.