Использование параметров тонких компонентов для автоматизированной коррекции оптических систем Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ ДЛЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ КОРРЕКЦИИ ОПТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ А.В. Иванов

В работе исследуются проблемы выбора переменных для автоматизированной коррекции оптических систем, доказывается целесообразность применения параметров тонких компонентов в качестве варьируемых на этапах параметрического синтеза.

При использовании в процессе параметрического синтеза оптических систем методики тонких компонентов [1] выбор параметров автоматизированной коррекции аберраций в области реальных полей и апертур может осуществляться на альтернативной основе. Действительно, в этом случае применимы, по крайней мере, три различных подхода:

а) задавать в качестве параметров конструктивные элементы оптики и углы первого нулевого луча [2-5] (здесь и далее подразумевается, что те или иные переменные, входящие в состав параметров моделей, предварительно соответствующим образом нормируются [5-6]);

б) использовать поправки в вектор свободных членов линейной аберрационной модели, лежащей в основе методики тонких компонентов [1];

в) использовать параметры Р, Ж, С тонких компонентов [7-9].

Первый путь, очевидно, наиболее универсальный, но приводит к существенной нелинейности и полимодальности оценочной функции и других аберрационных характеристик. Именно поэтому конструктивные элементы оптики обычно применяются в качестве параметров на стадиях окончательной доводки (оптимизации) систем [5].

Второй путь прост в реализации, но также имеет ряд существенных недостатков. Дело в том, что, во-первых, подбор поправок в модельные уравнения может быть произведен либо эмпирически, либо нелинейным методом итераций, сходимость которого остается недоказанной; во-вторых, постоянные поправки в модельные уравнения способны привести к компенсации отдельных аберраций высших порядков всей системы в целом, но отнюдь не обязательно к устранению их по отдельным компонентам, что может отрицательно сказаться на интегральной оценке качества конструкции; в-третьих, каждому набору поправок может соответствовать не одно конструктивное решение, а несколько. В этом случае неясно, какому из вариантов следует отдать предпочтение, чтобы обеспечить автоматически сходимость общего процесса.

Третий путь выбора варьируемых параметров моделей представляет, на наш взгляд, наивысший интерес с позиций параметрического синтеза. Первоначально он использовался при пересчете одиночных тонких компонентов (см., например, работы [7, 10]), а затем был распространен и на случай многокомпонентных систем [9]. В статье [9] выбор параметров Р, Ж, С в качестве варьируемых параметров синтеза обоснован повышением чувствительности метода по сравнению с аналогами. Такое обоснование кажется нам достаточно спорным, и поэтому целесообразно остановиться на аргументах в пользу применения Р, Ж, С более подробно.

Вначале обратимся к линейной аберрационной модели центрированной оптической системы в зейделевой области. В общем виде она может быть представлена следующим образом:

8 = 8(0)+Л8Х, (1)

где X - вектор параметров, состоящий из элементов Р, Ж, С; Л8 - матрица коэффициентов при них; 8(0) - вектор оставшихся (свободных) членов в правых частях; 8 - вектор сумм Зейделя и хроматических сумм [1, 11]. В силу ряда предположений, определяемых непосредственно методикой синтеза, эта модель является вполне адекватной

лишь в зейделевой области аберраций. Тем не менее, выражения (1) могут быть использованы и для нахождения параметров оптической системы с учетом реальных полей и апертур, если в них ввести некоторые слагаемые-поправки [1]. Тогда, исправляя аберрации при 8 = 0, имеем:

Л8Х + 8(0) + А8 = 0 , (2)

где А8 - вектор поправок. Полученная система уравнений может быть использована в качестве базовой для синтеза. Обозначим В = -(8(0) + А8); тогда (2) преобразуется к виду

ЛД = В (3)

В уравнениях (3) вектор правых частей известен лишь с определенной степенью точности, так как значения поправок А8 до расчета конструкции системы и ее аберраций действительных лучей установить невозможно. Однако ограничение на норму вектора вычислить несложно, исходя из допустимых аберраций зейделевой области:

||А8|| < 5 (4)

(предполагается, что уравнения (3) предварительно преобразованы и отнормированы; при подходящей нормировке величина 5 может иметь смысл максимально допустимого среднеквадратического размера пятна рассеяния или максимально допустимой деформации волнового фронта в области Зейделя [11]). Поскольку вектор правых частей (3) известен с погрешностью, определяемой (4), задача (3) является некорректной по Тихонову. Ее решение, как следует из теории [12], необходимо искать на некотором множестве векторов, сопоставимых по точности с исходными данными (В), минимизируя при этом стабилизирующий функционал О(Х).

Таким образом, корректный подход к решению (3) состоит в вычислении вектора X*, доставляющего минимум О(Х) при ограничении ||Л8Х + 8(0)|| < 5 .

Вид стабилизирующего функционала обычно связывается с содержанием задачи. В нашем случае уместно положить:

О(Х) = ^[(/г(Х)-f(0))5(0)]2 = Ет(ХЖХ) , (5)

г

где / (Х) - отдельные аберрации действительных лучей или коэффициенты аберраций высших порядков; f(0), 5f(0) - их заданные значения и нормы; Г(Х) - вектор так называемых минимизируемых (оптимизируемых) функций, а значок "т" означает транспонирование.

Из сказанного можно сделать вывод о том, что с точки зрения теории некорректных задач использование линейной модели (1) объективно приводит к необходимости минимизации функционала О, связанного с характеристиками оптической системы в реальной области аберраций, по переменным Р, Ж, С. Отметим, что ограничение на переменные (вида |Л8Х + 8(0) | < 5 ) позволяет в известном смысле контролировать зональные величины аберраций; этот факт весьма благоприятно сказывается на работе методов нелинейного программирования, поскольку данное ограничение является линейным по Р, Ж, С.

Важным аргументом в поддержку использования тех или иных варьируемых параметров при решении задач автоматизированной коррекции аберраций считается «хороший» рельеф оценочной функции, «удобство» которого определяется отсутствием локальных минимумов и близостью корригируемых функций к линейным [6, 13]. С этой точки зрения применение параметров Р, Ж, С по сравнению с конструктивными элементами оптики также часто бывает предпочтительным.

Чтобы продемонстрировать это, сравним зависимости продольной сферической аберрации А$' одиночной тонкой линзы в воздухе от ее прогиба (угла а2 первого нулевого луча) и от параметра Р при заднем фокусном расстоянии /' = 100 мм и относительном отверстии 1:2. Предмет будем считать расположенным в бесконечности.

АБ', АБ',,,

а

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Рис. 1. Исследование зависимости реальной сферической аберрации (1) и сферической аберрации третьего порядка (2) от прогиба линзы

Результаты исследования зависимости А^ '(а2) (см. рис. 1) показывают, что она в первом приближении может быть описана полиномом второй степени:

А?'(а2) « а1а22 + а2а2 + а3 , (6)

где коэффициенты а1, а2, а3 нетрудно вычислить с помощью методов аппроксимации [14]. С другой стороны, для одиночной линзы в воздухе

Р(а2) = Ъха1 + Ь2а2 + Ъз, (7)

где Ъ1, Ъ2, Ъ3 - известные постоянные [1]. Пользуясь (6) и (7), имеем: д(А?') _ 2а1а2 + а2

дР 2Ъ1а2 + Ъ2

Если стационарные точки кривых А?' (а2) и Р(а2) совпадают, то, очевидно, д(А?')

(8)

дР

= еот1,

т.е. зависимость продольной сферической аберрации от параметра Р в этом случае становится линейной. На практике экстремальные значения функций (6) и (7) достигаются не в одной, а в довольно близко расположенных точках (см. рис. 1). В подобной ситуации А?' (Р) является уже нелинейной функцией, однако ее нелинейность существенно

сказывается лишь в окрестности точки ветвления а2 (Р) . По мере удаления угла а2 от

значения а^ =-Ь2/(2Ь1) первая производная Ая '(Р) приближается к постоянной а1 / Ь1, а производные высших порядков стремительно уменьшаются по абсолютной величине. Например, вторая производная убывает пропорционально кубу смещения а2

относительно а

(0).

2

д 2(АЯ)

а1Ь2 - а2 Ь1

дР2 4Ь13 (а2 -а^0))3' третья производная - пропорционально пятой степени смещения и т.д. Поэтому на значительной части области определения зависимость Ая '(Р) с точностью до аппроксимации (6) должна быть близка к линейной. Данный вывод подтверждается результатами прямого построения кривых Ая '(Р) для обеих ветвей а2(Р) (см. рис. 2).

АЭ', АЭ'ш

-10

-20

-30

-40

-50

-60

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Р

Рис. 2. Исследование зависимости реальной сферической аберрации (1) и сферической аберрации третьего порядка (2) от параметра Р для двух вариантов

конструктивных решений

Глобальное или локальное снижение нелинейности минимизируемых функций при использовании параметров Р, Ж, С характерно не только для случая сферической аберрации в одиночной линзе. Интересным примером, подтверждающим сказанное, является зависимость астигматизма склеенного тонкого дублета от параметра Р при фиксированном параметре Ж. На рис. 3 эта зависимость построена для сочетания стекол К8/Ф1; основная длина волны - Б; входной зрачок расположен на расстоянии + 15 мм от дублета; первый нулевой луч пересекает тонкий компонент на высоте 25 мм и образует углы в пространстве предметов и изображений, равные а1 = 0, а4 = 0.25 ;

параметр Ж= - 0.2. Построение произведено для одного из множества вариантов конструктивных решений.

2

1

Рис. 3. Исследование зависимости реального астигматизма (1) и астигматизма третьего порядка (2) склеенного дублета от параметра Р

Как видно из графика, на значительном диапазоне изменения Р функция астигматизма близка к линейной, а нелинейный участок имеет монотонный характер. В то же время зависимость исследуемой аберрации от угла первого нулевого луча а3 при заданных углах а1 = 0, а2 = -0.2, а4 = 0.25 имеет две стационарных точки (см. рис. 4). Вследствие этого, попытка устранения астигматизма за счет итерационного изменения угла а3 будет обречена на неудачу при многих начальных значениях параметра: процесс будет сходиться в локальном минимуме, не являющемся решением задачи. Скажем, при старте со значения а3 = 0.45 любой метод нелинейного программирования,

обеспечивающий минимизацию квадрата астигматизма, сойдется в точке а3 « 0.38463,

в которой астигматизм составляет -3.41 мм.

Таким образом, применение параметров Р, Ж, С при решении задачи нелинейного программирования часто является предпочтительным по сравнению с использованием традиционных переменных. Однако следует заметить, что переход от Р, Ж, С к конструкции осложнен неоднозначностью отыскания неизвестных конструктивных переменных. Неправильный отбор корней может привести к потере сходимости итерационного процесса решения задачи автоматизированной коррекции аберраций. Поэтому параллельно с методикой применения Р, Ж, С должна существовать и методика однозначного определения конструктивных элементов по этим параметрам в процессе их непрерывного изменения.

2'т - 2'в, 2'т -

\ " 1 \

\

\ „

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

а 3

Рис. 4. Исследование зависимости реального астигматизма (1) и астигматизма третьего порядка (2) склеенного дублета от угла а3

Литература

1. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машино строение, 1969. 672 с.

2. Бездидько С.Н. Автоматизация проектирования оптических систем: Аналит. обзор за 1945-1980 гг. / ЦНИИ информ. и техн.-экон.исслед. М., 1982. 99 с.

3. Вороненская Т.С. Оптимизация оптических систем: Аналит. обзор за 1957-1981 гг. / ЦНИИ информ. и техн.-экон.исслед. М., 1983. 47 с.

4. Грамматин А.П. Использование углов первого параксиального луча с осью в качестве коррекционных параметров // Тр./ Ленингр. ин-т точн. механики и оптики. Л., 1960. С. 12-24.

5. Родионов С.А. Автоматизация проектирования оптических систем. Л,: Машиностроение, 1982. 270 с.

6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с.

7. Апенко М.И., Запрягаева Л. А., Свешникова И.С. Задачник по прикладной оптике. М.: Недра, 1987. 310 с.

8. Волосов Д. С. Методы расчета сложных фотографических систем. Л., М.: ОГИЗ; Гос-техиздат, 1948. 396 с.

9. Зверев В.А., Сакин Л.И. Применение теории основных параметров для расчета оптических систем // Опт.-мех. пром-стъ. 1984. № 12. С. 25-29.

10. Вычислительная оптика: Справочник / Русинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. и др.; Под общ. ред. Русинова М.М. Л.: Машиностроение, 1984. 423 с.

11. Иванов А.В. Математический аппарат синтеза оптических систем из тонких компонентов // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1986, № 1. С. 78-82.

12. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

13. Родионов С. А. Теория и методы автоматизированного проектирования оптических систем: Дис. на соиск. учен. степ. д-ра техн. наук / Ленингр. ин-т точн. механики и оптики. Л., 1984. 473 с.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.