CC BY
66
Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской
Федерации в рамках государственного контракта 11.519.11.6014.
Литература
1. ZEMAX 12 OpticalDesignProgramUser'sManual, May 10, 2012 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.radiantzemax.com/en/support/downloads/zemax.aspx, свободный. Яз. англ. (дата обращения 18.10.2012).
2. Sokolova E. Simulation of Mechanically Ruled Concave Diffraction Gratings by Use of an Original Geometric Theory // Appl. Opt. - 2004. - V. 43. - № 1. - P. 20-28.
3. Sokolova E., Kruizinga B., Valkenburg T., Schaarsberg J. Recording of concave diffraction gratings in coun-terpropagating beams using meniscus blanks // J. Mod. Opt. - 2002. - V. 49. - № 11. - P. 1907-1917.
4. Hutley M.C. Diffraction Gratings. - London: Academic Press, 1982. - 330 p.
5. Hutley M.C. Concave diffraction gratings. - NPL report MOM 77. - Oct. 1985. - 28 p.
6. Пейсахсон И.В. Приближенная оценка эффективности отражательных дифракционных решеток // Оптический журнал. - 1997. - Т. 64. - № 11. - С. 53-57.
7. Kotov A., Golubenko I. PC Grate Series, ver. 3.0 // User's Manual, St. Petersburg, Russia, 1999. - P. 5-11.
8. Голубенко И.В. Численный анализ свойств голограммных отражательных дифракционных решеток: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Гос. оптич. ин-т. им. С.И. Вавилова, 1987. - 183 с.
Васильев Владимир Николаевич -
Воронцов Дмитрий Николаевич -
Драгунов Александр Иванович
Лившиц Ирина Леонидовна
Соколова Елена Алексеевна
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, член-корр. РАН, ректор, Vasilev@mail.ifmo.ru Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, инженер, dimitrion@hotbox.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, студент, AlexDragunov27@yandex.ru
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ст. научный сотрудник, зав. лабораторией, Ecenter-optica10@yandex.ru Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, ст. научный сотрудник, elena@scarlet.nl
УДК 535.317
АБЕРРАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОМПОЗИЦИИ ТОНКОГО ОПТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА С КОНЦЕНТРИЧЕСКИМ МЕНИСКОМ В.В. Ежова, В.А. Зверев, Т.В. Точилина
Показано, что в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкой линзы и концентричного входному зрачку мениска конечной толщины, принципиально можно достичь плананастигматической коррекции аберраций. Однако при этом возникает проблема выбора материала линз. Подобный анализ коррекционных возможностей оптической системы выполнен и в том случае, когда тонкий компонент состоит из двух тонких линз, оптическая сила которых имеет разный знак.
Ключевые слова: изображение, оптическая система, тонкий компонент, аберрация, концентрическая система, входной зрачок.
Введение
Теоретическую базу композиции оптических систем, удовлетворяющих требованиям современных оптических устройств, составляют результаты исследования аберрационных свойств оптических поверхностей, отдельных линз и их сочетаний. Эти исследования определяют суть научной школы вычислительной оптики в СПб НИУ ИТМО, основы которой были заложены трудами профессора М.М. Русинова и его учеников [1-4]. Предлагаемая работа посвящена исследованию аберрационных свойств тонкого компонента с концентрическим мениском конечной толщины, цель которого определяется потребностью в развитии теории композиции оптических систем соответствующего типа и в решении задач оптимизации их параметров.
Постановка задачи
Если расстояния между поверхностями сколь угодно сложной системы не являются коррекцион-ными параметрами, в первом приближении их можно принять равными нулю. Такую систему будем называть тонким компонентом. При этом равным нулю будет и расстояние между главными плоскостями системы. Тонкий компонент можно считать простейшей структурной единицей при построении любой
оптической системы. В параксиальной области тонкий компонент будем характеризовать его оптической
т
силой ф. Оптическая сила тонкого компонента равна фк = ^ фг , где фг - оптическая сила /-ой линзы
г =о
тонкого компонента. Параметры тонкого компонента позволяют получить апланатическую коррекцию аберраций в образованном изображении, т.е. коррекцию аберраций широких пучков лучей. Для коррекции аберраций узких пучков лучей необходим дополнительный компенсатор, в качестве которого можно применить второй тонкий компонент, расположенный на конечном расстоянии от первого. Однако известно, что главные плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны поверхностей мениска. Таким образом, при конечном расстоянии между главными плоскостями тонкий компонент и концентрический мениск могут располагаться в непосредственной близости друг к другу. По этой причине важно выяснить возможность коррекции осевых и полевых аберраций в изображении, образованном такой достаточно компактной системой.
Анализ возможной коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины
При нормировке величин п' = 1, а' = 1, = 1 выражения, определяющие коэффициенты сферической аберрации, комы и астигматизма третьего порядка изображения, образованного тонким компонентом, можно представить в следующем виде:
^ = /'РШ ,
5П = Рш + /' Wa,, (1)
siii _
/
J К
z Р РО + 2 zp W /'.
(2)
Wk /
тО
Peu tttUJ w
и W - основные параметры тонкого компонента; zp - расстояние от осевой точки тонкого компонента до осевой точки входного зрачка.
Положив zp = 0, получаем SI = /к'Р° ; Sn = /к'W° ; SIn = /к'. При Рш = 0 и WО = 0 независимо от положения входного зрачка имеем SI = 0 ; SII = 0 ; SIII = /. Пусть SII = 0 и SIII = 0 . Тогда из соотношений (1) и (2) находим, что
рО =
( л2 f
JY.
V zP У
> 0, W° =-/к- .
Вполне очевидно, что чем меньше абсолютная величина параметров Рш и Wш, тем больше должна быть абсолютная величина отрезка 2р, необходимая для компенсации остаточных комы и астигматизма изображения. В общем случае выражение (2) можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной величины . Решая это уравнение, получаем
W О
■ / '
к
1 ±. 1 -
Wa
( S \
1 - _SI
/'
к
Это уравнение имеет вещественное решение при соблюдении условия 1 - -
2
SIII = 0 это условие принимает вид: W° - РО > 0. Основные параметры РО и W°
i S \ 1 - _Ж
/'
к
(3)
> 0. При
линзы в воздухе взаимосвязаны соотношением [5]:
РО = Р0° +
1 -
1
где
(n +1)2 (4n -1)
W
1
одиночнои тонкой
(4)
4 (2 + n )(n-1)2
(n +1)2
+ _ n I — 2
2 1 W.. ,42
2 (2 + п)
Это соотношение можно преобразовать к виду
2
Г7 2
Условию Wш - Рш > 0 соответствует выражение
4(n -1)2
Wc
2
1 | 1 I П +1 | ^ ш + —п I >—I-I п . Отсюда следует, что величина параметра W должна удовлетворять усло-
2 ) 41 п -1)
p
со
РО =
0
виям Wj >
; W2°° > --
^ •. При значениях параметра Wш, удовлетворяющих этим условиям, и при
п -1 п -1
расстоянии до входного зрачка, определяемом формулой (3), в изображении, образованном тонкой линзой в воздухе, будут отсутствовать кома и астигматизм третьего порядка. Однако при этом параметр
Рш Ф 0 ; следовательно, не будет равен нулю и коэффициент ^ , определяющий остаточную сферическую аберрацию изображения.
Дополним тонкий компонент мениском, поверхности которого концентричны центру входного зрачка, расположенному в переднем фокусе тонкого компонента, как показано на рисунке. Главные плоскости концентрического мениска совмещены и проходят через центр кривизны его поверхностей. В результате получаем оптическую систему, у которой оптическая сила и задний фокальный отрезок равны
ф = фм +Фк -Фм Фк л; , _(1-Фм Л )
Лр'
Ф
где Л - расстояние от задней главной точки мениска до осевой точки тонкого компонента.
Вх. зр. 1 фк
F
TCV
1 г
Рисунок. Схема оптики объектива
При Л _ /к оптическая сила системы ф _фм + фк - фм _фк, а задний фокальный отрезок •' _ (ф _ /'(1-/'фм). При п' _ 1, а' _ 1, _ 1 и 2р _ - /к _ - /' имеем соотношения
Ф
SI = SI м + hK Рк ,
Sii = Siiм + як P - JWk = Siiм - f' (Р - WK ), Siii = Siiiм + г-Рк - 2f— W + f ',
hK hK
где hK = s'F, = f' (1- f'фм). В рассматриваемом случае выражения, определяющие коэффициенты SIIм и
SI
III м
удобно представить в виде
Sii м = X hp ;
i =1
2
SIII м = X hiPi
i+1 ^-i f ßi+j - ß; ^
V^i+1 ^i у
При входном зрачке, расположенном в центре кривизны поверхностей концентрического мениска, углы ßj = ß2 = ß3. Вполне очевидно, что при этом SIIм = SIIIм = 0 . Тогда
S = Siм + hKРк, (5)
SII = - f (Pk - Wk ), (6)
f' 2
Siii = h- (Рк - 2Wk ) + f '.
(7)
2
i=i
Из выражений (6) и (7) следует, что при £тт = 0 параметр Рк = , а коэффициент
= / '
Г (/' I I
1 -
К
= / '
Г (/' I I
V V к/
1 -
Рк
V V "К/ у
Пусть £т = 0 . Тогда Рк = -| |. При этом коэффициент
^ттт = / '
Г Г /' I 1
1+
к
Sт
1м
(8)
V V / у
Концентрический мениск определим углами осевого виртуального [6] (нулевого) луча с оптической осью в виде
а1 = 0
п1 = 1
а2 = ам ё = ём п2 = пм
2 м м 2 м
аз =ам п = 1.
Толщина мениска ём = г1 - г2. Приближенно можно принять г2 = /к' = -/'. Тогда г1 = ём - / '.
Применив формулу пг+1а/+1 - п аг = -'-
находим значение угла ам :
, пм -1 пм -1 1 а„ = К —-= —--.
м1
пм Г пм ём ф-1
Угол ам = К!фм = У'фм . Оптическая сила мениска
фм =(пм - 1
При этом
1 1
(пм - 1)2 ём = пм - 1 ёмф2
пм Г1Г2
пм ёмф-1
м м т
пм -1 ём ф пм -1 а' = --= -+ а„ .
м 7 1 м
пм ём ф-1 пм
Коэффициент £тм определим выражением
^м = ^Р + К2р2 = /Р + Кр2 , Р ГДа!2 л
где Р = | — I Лау ;
V ЛУ У
/„ „ ' У" ' У" ' ™ \ у" ' пм - фём
Кк = ' = / (1 - / фм ) = / —т;-тт.
пм (1 -фём )
Полученные соотношения позволяют выражение (11) преобразовать к виду
■пм - 1 фём
= / ' "
(фём -1)3
2 л2
пмф "м -
м т м
п,3. -1
1 (фём -1)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Вполне очевидно, что при ём = 0 коэффициент £тм = 0 . При этом в соответствии с формулой (8) коэффициент = /', что и следовало ожидать. Кривизна поверхности изображения, образованного системой тонкого компонента с концентрическим мениском, определяется коэффициентом £ту , равным ^ту = ^тУм + ^тУк. В рассматриваемом случае коэффициенты £тУм и £тУк удобно определить формулами
= V-1~-L; ^тУк = V —- . Используя полученные соотношения, находим, что £тУм = фм. При этом
/=1 пг+1пгГг г =1 пг
фг
>^тУ =фм + .
Приближенно принимаем « — = — . Тогда £ту = фм . Применив формулу (10) и выра-
пг пк
п
зив линейные величины в масштабе фокусного расстояния системы, т.е. при ф = 1, при = п полу-
чаем
м
к
л _ Пм (ту -л) м 1 + пм (у -Я-1)'
Полученные соотношения позволяют представить выражения (9), (12) и (13) в виде (Пм -1).
ам _ 5ТУ -л-
Кк _ -5ТУ + л + 1;
5Тм _ '
( л)з пм -1 (ту -л)2 + пм -1 5ту-л (-л) _+ _____
(Пм -1)2 пм (Пм -1)
при этом в соответствии с формулой (8)
_ 1 +
Тм
\ 2 '
(1 + л-5ту )2
Из выражения (18) следует, что коэффициент _ 0 при условии
(1 + л-5,у )2 +5,м _ 0 .
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Для тонкого компонента в виде одиночной линзы параметр л_ —. Пусть пк _ пм. При этом вы-
пк
ражения (14)-(18) принимают вид
, _ пм 5ТУ -1 . "м _
(ту -1) 1;
1 - пм (ту - 1) ;
ам _ 5ТУ 1 ;
К _
5Тм _
ч3 пм - 1 ^2 п„ - 1
(пм -1)
5п _ 1 + -
-(V -1)3 +-
пм
м
(ту -1)3
—5ту ;
пм -1
"5ТУ .
(пм - 1)2 [1 - пм (,у -1)]2 1 - пм (ТУ - 1) Легко убедиться, что при 5ТУ _ 0 коэффициент _ 0 при пм и 1,905 .
В табл. 1 для ряда значений коэффициента 5ТУ приведены численные значения показателя преломления материала мениска и тонкой линзы в воздухе при _ 0 .
5ТУ 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
пм м 1,9052 1,8313 1,7606 1,6932 1,6290 1,5678
Таблица 1. Зависимость пм _ пм (5ТУ) при пк _ пм
Из табл. 1 следует, что для построения оптической системы объектива рассматриваемой конструкции при плананастигматической коррекции аберраций в видимой области спектра необходимо решить проблему выбора материала линз. При неполной коррекции кривизны поверхности изображения построение такой системы вполне возможно.
В соответствии с формулой (5) коэффициент 5Т _ 0 при значении параметра
Р _-
5 2
"т.
К 1 + л- £п
(19)
Из формулы (6) следует, что коэффициент £п _ 0 при Рк _ Щ. В общем случае взаимосвязь этих параметров с основными параметрами тонкого компонента определяется выражениями [5]
Рк _ (а ' - а)3 Ркш + 4а (а ' - а)2 Wкco +а(а' - а) [2а(2 + л) - а' ] , (20)
Щ _ (а'-а)2 Wкco+а(а'-а)(2 + л). (21)
Здесь угол а ' _ 1, а угол а' _ ам. Параметр Р^1 тонкой линзы в воздухе определяется выражением (4), которое можно представить в виде
п
м
п
м
м
р;= Р0к +а(- wок )2, (22)
где Р» = пк (4пк -1) =_1_ а = пк (2 + пк )
где Р0к = . . . ,2 , (0к - , \ , а = , ч2 .
4 (2 + пк )(( -1)2 2 (2 + пк ) (пк +1)2
п Б
Заменив параметр Р^ в выражении (20) выражением (22), при Рк =----, где пк = пм,
1 + пк (ту - 1)
получаем квадратное уравнение относительно величины параметра . Подставив значение параметра (кш, полученное в результате решения этого уравнения, в выражение (21), найдем значение параметра . В общем случае №гк ф Рк. Тогда, дополнив рассматриваемую систему такой же, получим симметричную систему, формирующую изображение с поперечным увеличением V = -1х. Для перехода от симметричной системы к системе, формирующей изображение бесконечно удаленного предмета, можно применить метод сохранения углов излома луча осевого пучка, предложенный в [7]. В результате получим значения конструктивных параметров оптической системы объектива типа «Планар», которые можно рассматривать в качестве исходных для последующей оптимизации по критерию качества изображения.
Если одиночную положительную линзу тонкого компонента дополнить тонкой отрицательной линзой, то жесткая взаимосвязь основных параметров тонкого компонента Р^ и нарушается. В этом случае коррекция первичной комы изображения, сформированного образованной системой, вполне возможна.
Подставив выражение (17) в формулу (18), получаем
Б = 1 - пм (7Г-Бту)3 + пм^! 1 -пм (1 + ^-БтУ) (23)
ттт (пм -1)2 (1 + ТС- Бту )2 пм (пм -1)2 (1 +^-Бту )2 '
Для системы двух тонких линз из кронового и флинтового стекол, имеющих средние значения показателя преломления и коэффициента дисперсии, в общем случае в первом приближении величину п можно принять равной 0,7. При этом в соответствии с выражением (23) при Бту = 0 коэффициент Бттт = 0 при пм и 2,37 . При применении кроновых стекол марок СТК и флинтовых стекол марок ТФ величину п можно принять равной 0,55. В этом случае при Бту = 0 коэффициент Бттт = 0 при пм и 1,98 . В оптических системах, предназначенных для работы в инфракрасной области спектра, применяют материалы, показатели преломления которых могут принимать значения от п = 1,4 (например, флюорит) до п = 4 (например, германий). При этом параметр п может оказаться равным примерно 0,4. В табл. 2 при трех значениях параметра п для ряда значений коэффициента Бту приведены численные значения показателя преломления материала мениска при Бттт = 0 .
п Бту
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
0,70 2,380 2,240 2,100 1,970 1,841 1,716
0,55 1,970 1,841 1,716 1,596 1,482 1,370
0,40 1,596 1,480 1,370 1,274 1,185 1,110
Таблица 2. Зависимость пм = пм (Бту, тс)
Приведенные в табл. 2 величины могут служить ориентиром для выбора материала концентрического мениска по показателю преломления пм при соответствующих значениях параметра п и коэффициента Бту. Выполнив подстановки в соотношение (14), находим толщину ём мениска. Формула (17) позволяет вычислить значение коэффициента Бтм. Применив формулу (19), можем определить значение параметра Рк, а следовательно, и параметра = Рк. Решив систему уравнений (20) и (21), находим значения основных параметров Р^ и , которые позволяют оценить требуемую сложность конструкции тонкого компонента и вычислить его конструктивные параметры.
МОДЕРНИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС СИНТЕЗА И ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Заключение
Выполненные исследования позволили показать возможность коррекции аберраций в изображении, образованном оптической системой, состоящей из тонкого компонента и концентрического мениска конечной толщины, а числовые исследования подтвердили такую возможность. Применив полученные аналитические соотношения, можно определить параметры рассматриваемой системы. Получена оптическая система объектива с вынесенным входным зрачком при телецентрическом ходе главных лучей в пространстве изображений. Показано, что при SI = 0 и Sn = 0 значение коэффициента Sin не зависит от положения входного зрачка. В связи с этим в частном случае входной зрачок можно совместить, например, с первой поверхностью мениска.
Литература
1. Русинов М.М. Композиция оптических систем. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1989. -383 с.
2. Зверев В.А. Идеи композиции как принцип построения рациональной конструкции оптической системы // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). - 2002. - Вып. 5. - С. 56-71.
3. Грамматин А.П., Демидова Е.А., Зверев В.А., Романова Г.Э. Аберрационные свойства оптической системы из двух отражающих поверхностей сферической формы с компенсатором // Оптический журнал. - 2004. - № 4. - С. 11-15.
4. Бронштейн И.Г., Лившиц И.Л., Kim Young-Gi, Kim Tae-Young, Jung Phil-Ho. Выбор оптической схемы и расчет малогабаритных объективов для мобильных телефонов // Оптический журнал. - 2009. -Т. 76. - № 5. - С. 25-31.
5. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1969. - 672 с.
6. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. - 218 с.
7. Русинов М.М. Техническая оптика: Учебное пособие для вузов. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отделение, 1979. - 488 с.
Ежова Василиса Викторовна Зверев Виктор Алексеевич Точилина Татьяна Вячеславовна
- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, evv_foist@mail.ru
- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, post_vaz@rambler.ru
- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tvtochilina@mail.ru
УДК 535.421
МОДЕРНИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС СИНТЕЗА И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГОЛОГРАММ-ПРОЕКТОРОВ ФРЕНЕЛЯ С.Н. Корешев, А.Д. Громов, О.В. Никаноров
Представлен модернизированный вариант специализированного программного комплекса синтеза и восстановления голограмм-проекторов Френеля. Примененный алгоритм основан на новом методе синтеза голограмм-проекторов, заключающемся в разбиении объекта на типовые элементы его структуры. Достоинством метода является обеспечиваемая им возможность существенного сокращения объема требуемых вычислений. Проведена оценка производительности предлагаемого метода. Приведены результаты экспериментальной проверки работоспособности модернизированного комплекса.
Ключевые слова: голографическая проекционная фотолитография, голограмма-проектор, синтез голограмм, цифровое восстановление голограмм, алгоритм, программный комплекс.
Введение
В современной литературе имеются сведения о разработках голографических фотолитографических систем на основе практически всех известных видов голограмм, в частности, голограмм Френеля [1, 2], голограмм сфокусированного изображения [3, 4]. Особый интерес вызывает возможность использования синтезированных голограмм [5, 6]. Наиболее перспективными представляются системы, основанные на использовании отражательной рельефно-фазовой синтезированной голограммы-проектора Френеля (ГПФ), рассчитываемой с помощью компьютера и отображаемой на носителе с помощью лазерного или электронно-лучевого генератора изображения.
