Ультраоднородные абелевы группы (посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).33-36

УЛЬТРАОДНОРОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

(посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова) А. А. Мищенко, А. В. Трейер

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия

Дата принятия в печать 17.10.2018

Дата онлайн-размещения 14.12.2018

Ключевые слова

Абелевы группы, ультраоднородные группы

Финансирование

Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследований СО РАН № I.1.1.4 в рамках научного проекта № 0314-2016-0004

ULTRAHOMOGENEOUS ABELIAN GROUPS

(paper dedicated to professor Vladimir Nikanorovich Remeslennikov on the occasion of his 80th birthday)

A. A. Mishchenko, A. V. Treier

Sobolev Institute of Mathematics of Siberian Branch of RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia

Article info Abstract. A group A is called ultrahomogeneous if any isomorphism between its finitely gen-

Received erated subgroups extends to an automorphism of the whole group A. This article fully de-

11.09.2018 scribes ultrahomogeneous abelian groups.

Accepted 17.10.2018

Available online 14.12.2018

Keywords

Abelian group, homogeneous group

Acknowledgements

The reported study was funded by the Fundamental Research Program of the SB RAS № I.1.1.4, according to the research project № 0314-2016-0004

Информация о статье

Дата поступления 11.09.2018

Аннотация. Группа A называется ультраоднородной, если любой изоморфизм между ее конечно порожденными подгруппами продолжается до автоморфизма всей группы A. В данной статье полностью описаны ультраоднородные абелевы группы.

■ ISSN 1812-3996

1.Введение

Основная цель работы заключается в описании ультраоднородных абелевых групп. Перед определением понятия ультраоднородной группы отметим, что У. Ходжес в своей книге [1] использовал термин «ультраоднородный» вместо «однородный», так как термин «однородный» уже использовался им в других значениях. Мы же употребляем термин «ультраоднородный» вместо «однородный», чтобы избежать путаницы с однородными абелевыми группами, определенными в книге Л. Фукса [2]. Итак, группа А называется ультраоднородной, если любой изоморфизм между ее конечно порожденными подгруппами продолжается до автоморфизма всей группы А.

Интерес к исследованию ультраоднородных групп вызван рядом их полезных свойств. Например, по следствию 8.4.2 из [1], полная теория, порожденная конечной группой А, допускает элиминацию кванторов тогда и только тогда, когда группа А ультраоднородна.

Основным результатом статьи является следующая теорема, полностью описывающая ультраоднородные абелевы группы.

Теорема 3.7. Абелева группа А является ультраоднородной тогда и только тогда, когда имеет место один из следующих случаев:

1) А = ФреРСар(ркр), где кр либо натуральное число и тогда С(ркр) - циклическая группа порядка ркр, либо кр = <х и тогда С(рт) - квазициклическая группа, ар - кардиналы;

2. А - делимая группа.

2. Предварительные сведения и обозначения

Пусть А - абелева группа, через Т(А) будем обозначать периодическую часть группы А, Т(А) = фТр(А), где р пробегает множество простых чисел Р, и Тр(А) - р-примарная компонента группы А.

Через ^ будем обозначать класс делимых групп из К, - класс периодических групп из К, Tp(K) - класс периодических абелевых р-групп из К, где р - простое число.

Напомним некоторые факты о структуре делимых абелевых групп [2; 3]. Пусть А - делимая абелева группа, тогда она имеет вид:

А = ®реРСар(р™)®ЦР,

где С(рт) - квазициклическая группа, ^ - аддитивная группа рациональных чисел, P - множество простых чисел и ар и р - произвольные кардиналы.

Группа В называется ограниченной, если существует такое натуральное число т, что тВ = 0.

Подгруппа В абелевой группы А называется сервантной, если для любого элемента Ь Е В и любого натурального числа п из разрешимости уравнения пх = Ь в группе А следует его разрешимость в подгруппе В. Даже для примарной группы не всякая сервантная подгруппа выделяется прямым слагаемым. Однако если В является ограниченной периодической сервантной подгруппой, то В выделяется прямым слагаемым.

Дадим определение базисной подгруппы, следуя книге [3]. Пусть А - р-группа, подгруппа В группы А называется базисной, если выполнены следующие три условия:

1) В - прямая сумма циклических групп;

2) В - сервантная подгруппа в А;

3) факторгруппа А/В является делимой группой.

Отметим, что если базисная подгруппа В ограничена, то В выделяется прямым слагаемым в А.

Все другие используемые в статье факты об общих свойствах абелевых групп содержатся в книгах [2; 3].

3. Абелевы ультраоднородные группы

Данный параграф посвящен доказательству теоремы 3.7 о структуре абелевых ультраоднородных групп. Для начала мы докажем несколько технических лемм.

Лемма 3.1. Пусть В - абелева группа, в которой есть элемент 0 Ф Ь Е В бесконечного порядка такой, что уравнение рх = Ь, где р - простое число, не имеет решения в группе В. Тогда группа В не является ультраоднородной.

Доказательство. Пусть (Ь) и (рЪ) - две бесконечные циклические группы и а: (Ь) ^ (рЪ) - изоморфизм. Если существует автоморфизм группы В, который продолжает а, то уравнение рх = Ь будет иметь решение в группе В, что противоречит условию. □

Лемма 3.2. Пусть А - абелева группа без кручения. Группа А ультраоднородная тогда и только тогда, когда А делимая.

Доказательство. Пусть А - ультраоднородная группа, тогда в силу леммы 3.1 для произвольного элемента а Е А и произвольного простого числа р уравнение рх = а имеет решение в А. Тогда для любого натурального п уравнение пх = а имеет решение в группе А, следовательно, А является делимой.

Покажем обратное. Пусть А - ненулевая делимая абелева группа без кручения ранга г и В - конечно порожденная подгруппа, которая является свободной абелевой группой ранга б < г. Пусть Ва -

ISSN 1812-3996-

делимое замыкание подгруппы В в А. Тогда А = Bd ф С, где С - делимая группа ранга г — s. Если D - другая свободная абелева подгруппа в А ранга s и Dd - ее делимое замыкание, то А = Dd ф Е, где Е - делимая группа ранга г — s. Используя эти два разложения группы А в виде прямых сумм, нетрудно построить автоморфизм, который продолжает а.В^В на группу А. □

Лемма 3.3. Пусть В - периодическая группа, В = фТр(В). Группа В будет ультраоднородной тогда и только тогда, когда для всех простых р группа Тр (В) будет ультраоднородной.

Доказательство. Доказательство леммы основано на факте, что в абелевой р-группе нет конечно порожденных подгрупп, порядок которых отличается от степени числа р. Исходя из этого, если Тр(В) ультраоднородная группа для всех простых р, то и В = еТр(В) является ультраоднородной группой, так как автоморфизм группы В может быть построен покомпонентно из автоморфизмов групп Тр(В) для всех простых р. Обратно, если для конкретного числа р найдется компонента Тр(В), которая не является ультраоднородной, то и вся группа В не будет ультраоднородной. □

Лемма 3.4. Пусть В - абелева р-группа и С -ее базисная подгруппа, С Ф 0. Группа В является ультраоднородной группой тогда и только тогда, когда В = С и существует натуральное число к такое, что В = Cw(pk), где w — кардинал.

Доказательство. Если в группе С есть две сер-вантные подгруппы разных порядков С(рк) и С(рп) такие, что п> к, то существует вложение С(рк) в С(рп), которое нельзя продолжить до автоморфизма группы В. В этом случае В не является ультраоднородной группой. Если С = Cw(pk), то поскольку С ограниченная, то она выделяется прямым слагаемым, то есть В = С ф D, где D - делимая группа. Если D Ф 0, то в В выделяются прямыми слагаемыми подгруппы С(рк) и С(рт), следовательно, существует вложение С(рк) в С(рт), которое нельзя продолжить до автоморфизма группы В, значит, в этом случае В не будет ультраоднородной.

Очевидно, что группы указанного вида являются ультраоднородными. □

Лемма 3.5. Пусть В - абелева р-группа и С -ее базисная подгруппа. Если С = 0, то В - делимая р-группа и В является ультраоднородной группой.

Доказательство. По свойству базисной подгруппы фактор-группа В/С - делимая р-группа, следовательно, так как С = 0, то В - делимая р-группа.

По теореме о структуре делимых абелевых р-групп В = Сш(рт), где ж - произвольный кардинал. Любая конечно порожденная подгруппа группы В является конечной. Рассмотрим изоморфизм а между двумя конечными подгруппами Е1 и Е2. Группы Е1 и Е2 вкладываются в конечную подгруппу вида Сп(р1) группы В. По лемме 3.4 группа Сп(рь) ультраоднородная, следовательно, а продолжается до автоморфизма /3 подгруппы Сп(ркоторый в свою очередь естественным образом продолжается до автоморфизма группы В. □

Лемма 3.6. Смешанная абелева группа А ультраоднородная тогда и только тогда, когда А делимая.

Доказательство. Пусть А - смешанная ультраоднородная группа такая, что Т(А) Ф 0. Рассмотрим бесконечную циклическую подгруппу В = (Ь). Если уравнение 2!х = Ь неразрешимо в группе А, то по лемме 3.1 группа А не является ультраоднородной. Получаем, что подгруппа В содержится в подгруппе В2 = (Ь2), где Ь2 - корень предыдущего уравнения. Далее рассмотрим Ь3 - корень уравнения 3!х = Ь2, если Ь3 не существует, то по лемме 3.1 группа А не является ультраоднородной. Подгруппа В2 содержится в подгруппе В3 = (Ь3). Продолжая действовать подобным образом, мы получим в А цепочку подгрупп В < В2 < В3 < •••. Объединение подгрупп этой цепочки есть группа изоморфная Другими словами, мы показали, что в А есть делимая подгруппа без кручения.

Пусть В - максимальная делимая подгруппа без кручения в А. Как показано выше, В Ф 0, тогда А = А±ф В. Пусть Е - максимальная делимая периодическая группа в А1, тогда А = А2 ф Е ф В. Если А2 Ф 0, то существует элемент а Е А2 такой, что уравнение рх = а не имеет решения для некоторого простого р. Пусть 0 Ф Ь Е В, тогда элемент а + Ь имеет бесконечный порядок и уравнение рх = а + Ь не имеет решения в А. Следовательно, по лемме 3.1 группа А не является ультраоднородной.

Обратно. Пусть А - делимая группа, тогда она имеет вид

А = ®РЕрСаР(рт)®0^, где ар,р — кардиналы. По лемме 3.5 и лемме 3.3 периодическая часть Т(А) группы А является ультраоднородной. По лемме 3.2 группа О? является ультраоднородной. Рассмотрим изоморфизм а между двумя подгруппами Е1 и Е2. Этот изоморфизм продолжается до автоморфизма покомпонентно для

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 33-36

-ISSN 1812-3996

периодической части и для части без кручения, значит, группа А является ультраоднородной. □

Доказательство Теоремы 3.7. Если абелева группа А является смешанной, то по лемме 3.6 группа А делимая.

Если группа А не является смешанной, то А либо периодическая, либо без кручения. Если А пе-

риодическая группа, тогда по лемме 3.3 все компоненты Тр(А) являются ультраоднородными р-груп-пами, и по лемме 3.4 и лемме 3.5 Тр(А) либо имеет вид Сш(рк), где ж - кардинал, либо является делимой группой, то есть имеет вид Сш(рт), где № - кардинал, для каждого простого р.

Если группа А является группой без кручения, то по лемме 3.2 А - делимая группа. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hodges W. Model Theory. Cambridge University Press, 1993. 788 p.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М. : Мир, 1977. 146 c.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М. : Мир, 1974. 336 с.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Мищенко Алексей Александрович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: alexei.mishenko@ gmail.com.

Трейер Александр Викторович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: [email protected].

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Мищенко А. А., Трейер А. В. Ультраоднородные абелевы группы // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 33-36. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).33-36.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Mishchenko Alexei Aleksandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: [email protected].

Treier Alexander Viktorovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Sobo-lev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: alexander.treyer@ gmail.com.

FOR GTATIONS

Mishchenko A.A., Treier A.V. Ultrahomogeneous abe-lian groups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 33-36. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).33-36. (in Russ.).

зб