CC BY
16
УДК 512.54
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).61-66
ОДНОРОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
(посвящается 70-летию профессора Виталия Анатольевича Романькова) А. А. Мищенко, В. Н. Ремесленников, А. В. Трейер
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 15.03.2018
Дата принятия в печать 29.03.2018
Дата онлайн-размещения 25.06.2018
Ключевые слова
Абелевы группы, однородные группы, универсальные классы абелевых групп
Финансирование
Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 1.1.1.4 в рамках научного проекта № 0314-2016-0004
Аннотация. Получено описание однородных групп для произвольных периодических абелевых групп и произвольных абелевых групп без кручения, а также для случая, когда периодическая часть T(A) группы A разлагается в конечную прямую сумму примар-ных компонент. Кроме того, описаны однородные группы из главного универсального класса из Ар, где Ap - класс абелевых групп A, периодическая часть которых T(A) является р-группой.
HOMOGENEOUS ABELIAN GROUPS
(paper dedicated to Professor Vitaly Anatol'evich Roman'kov on the occasion of his 70th birthday)
A. A. Mishchenko, V. N. Remeslennikov, A. V. Treier
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia
Abstract. We obtain a description of homogeneous groups for arbitrary periodic abelian groups and arbitrary torsion-free abelian groups, and also for the case when the periodic part T(A) of group A splits into a finite direct sum of primary components. In addition, homogeneous groups from the principal universal class in Ap are described, where Ap is the class of abelian groups A whose periodic part T(A) is a p-group.
Available online 25.06.2018
Keywords
Abelian group, homogeneous group, universal class of abelian groups
Acknowledgements
The reported study was funded by the Fundamental Research Program of SB RAS № I.1.1.4 according to the project № 0314-2016-0004
Article info
Received 15.03.2018
Accepted 29.03.2018
1.Введение
Группа А называется однородной, если любой изоморфизм между ее конечно порожденными подгруппами продолжается до автоморфизма всей группы А. Заметим, что В. Ходжес в своей книге [1] такие группы называл ультраоднородными (ultra-homogeneous), объясняя это тем, что в его книге термин «однородные группы» уже используется в другом значении. В этой заметке мы описываем однородные группы для произвольных периодических абелевых групп и произвольных абелевых групп без кручения. Ситуация для смешанных абелевых групп является более трудной, так как для них отсутствует хорошая структурная теория. Поэтому в данном случае наше описание касается только ситуации, когда периодическая часть Т(А) группы А разлагается в конечную прямую сумму примарных компонент. Кроме того, мы описываем структуру однородных групп для главных универсальных классов К из Wp, где Wp - класс абелевых групп А, периодическая часть которых Т(А) является р-группой. В этом случае для описания структуры однородных групп мы используем результаты о главных универсальных классах абелевых групп и их свойствах, полученные нами в предыдущих работах [2-4].
2. Предварительные сведения
В данной работе мы будем свободно пользоваться результатами теории абелевых групп, которые можно найти в монографии Л. Фукса [5; 6].
Пусть А - абелева группа, через Т(А) будем обозначать периодическую часть группы А, Т(А) = фТр(А), где р пробегает множество простых чисел Р и Тр(А) - р-примарная компонента группы А. Xерез Щ будем обозначать класс абелевых групп в сигнатуре L = {+, -, 0}, через Wp - подкласс абелевых групп А, периодическая часть которых Т(А) является р-группой, где р - фиксированное простое число. Класс всех абелевых групп без кручения обозначим через Щ0. В работе [2] показано, что для любого р 6 Р U {0} класс Wp является универсальным классом.
Также еще одним важным понятием, используемым в данной работе, является понятие главного универсального класса. Универсальный класс абелевых групп К называется главным универсальным классом, если существует такая абелева группа А, что класс К порождается группой А как универсальное замыкание группы А, т. е. К = ucl(^), где под универсальным замыканием ucl(^) мы понимаем множество всех моделей универсальной теории
Тку(А) группы А. Кратко вышесказанное можно записать так: ис1(4) = {В | Тк^(В) 3 Пч(А)}.
Группа А называется однородной, если любой изоморфизм между ее конечно порожденными подгруппами продолжается до автоморфизма всей группы А. Через Кк будем обозначать класс однородных групп из класса К, через Ка - класс делимых групп из К, через Т(К) - класс периодических групп из К, через Тр(К) - класс периодических абелевых p-групп из К, где р - простое число.
Напомним некоторые факты о структуре делимых абелевых групп [5; 6]. Пусть А - делимая абелева группа, тогда группа А имеет вид:
А = ®реРсар(р™)тр,
где С(рт) - квазициклическая группа, ^ - аддитивная группа рациональных чисел, Р - множество простых чисел, и ар и р - произвольные кардиналы.
Пусть А - р-группа, В - базисная подгруппа группы А. Тогда верны следующие структурные результаты:
Теорема 2.1 [5; 6]. Пусть А р-группа, В - базисная подгруппа группы А. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. В - прямая сумма циклических р-групп.
2. В - сервантная подгруппа в А.
3. А/В - делимая р-группа.
4. Если В - ограниченная группа, то В выделяется прямым слагаемым в А.
Напомним, что группа В называется ограниченной, если существует такое натуральное число т, что тВ = 0.
Все другие используемые в статье факты об общих свойствах абелевых групп содержатся в книгах [5; 6], а факты об универсальных классах абелевых групп - в статьях [2-4].
3. Однородные группы
В данном параграфе мы рассмотрим несколько случаев, в зависимости от класса К, и в каждом из случаев опишем устройство однородных групп.
3.1. Однородные группы в классе всех абелевых групп
В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда однородная группа А является либо абелевой группой без кручения, либо периодической абеле-вой группой.
Теорема 3.1.1. Пусть К = Щ0 - класс абелевых
групп без кручения. Тогда Кк совпадает с классом .
2. Пусть К = Г(ЭД) - класс периодических абеле-вых групп и А = фТр(А). Группа А Е К является однородной тогда и только тогда, когда Тр(А) - однородная группа для всех р Е P и Тр(А) является либо делимой р-группой, либо Са(рп), где а - произвольный кардинал, п Е И.
Доказательство. Докажем пункт 1 теоремы. Докажем включение Щд — Пусть А - ненулевая делимая абелева группа без кручения ранга г > 1 и В - конечно порожденная подгруппа, которая является свободной группой ранга s <г. Пусть Bd - делимое замыкание подгруппы В в А. Тогда А = Bd®C, где С - делимая группа ранга г — s. Если D - другая свободная подгруппа в А ранга s и Dd -ее делимое замыкание, такое, что А = Dd®E, где Е - делимая группа ранга г — s. Используя эти два разложения группы А в виде прямых сумм, нетрудно построить автоморфизм ß: А ^ А, который продолжает а: В ^ D.
Докажем обратное включение. Пусть А - однородная группа без кручения. Покажем, что А - делимая группа. Предположим, что это не так, тогда существует а Е А и простое число р, такое, что уравнение рх = а неразрешимо в группе А. Рассмотрим две бесконечные циклические подгруппы В = < а > и С = < ра > и изоморфизм а\В^С, а (а) = ра. Данный изоморфизм должен продолжаться до изоморфизма всей группы, что противоречит неразрешимости уравнения рх = а.
Перейдем к доказательству пункта 2 теоремы. Сперва покажем, что группа А однородная тогда и только тогда, когда Тр(А) - однородная группа для всех простых р. Пусть В, С - конечные подгруппы в А,такие, что изоморфизм а:В ^ С продолжается до автоморфизма ß группы А. Так как В = фТр(В) и С = фТр(С), то очевидно, что а = фар, где ар -это проекция а на Тр(В). Если а продолжается до автоморфизма ß, то понятно, что ар продолжается до ßp. Поэтому если А однородная, то Тр(А) Е Е Тр(Щ°. И наоборот, если Тр(А) Е Тр(Щ° для всех простых р, то и А однородная.
Перейдем к доказательству второй части пункта 2 теоремы. Пусть А - однородная периодическая абелева р-группа, рассмотрим базисную подгруппу В в А. Покажем, что В - ограниченная подгруппа. Если это не так, то по теореме 2.1 В раскладывается в прямую сумму конечных циклических р-групп, а значит, такие подгруппы будут иметь бесконечно возрастающие порядки. Такая группа не будет однородной, так как если в ней есть подгруппы С(рп) и C(pm), n < m, то можно построить вложение
из С(рп) в С(рт), которое не продолжается до автоморфизма группы В. Следовательно, мы показали, что В - ограниченная группа. Тогда по теореме 2.1 А = ВфС, где В раскладывается в прямую сумму циклических р-групп, С - делимая группа (С = Са(рт), где а - произвольный кардинал). Если обе подгруппы В и С не равны 0, то можно построить вложение из конечной циклической подгруппы В в квазициклическую подгруппу из С, которое не продолжается до автоморфизма группы А. Это противоречит однородности группы А. Следовательно, только одна группа В или С может быть ненулевой. Если С Ф 0, то в этом случае мы показали, что А будет делимой р-группой.
Рассмотрим случай, когда В Ф 0. Группа В раскладывается в прямую сумму циклических групп. Предположим, что среди ее компонент будут группы разного порядка, к примеру С(рп) и С(рт), при условии п < т. Можно построить вложение из С(рп) в С(рт), которое не продолжается до автоморфизма группы В. Следовательно, все компоненты разложения должны иметь одинаковый порядок, значит в этом случае А = (рп), где р -произвольный кардинал, п £ й.
3.3. Смешанные абелевы группы
Напомним, что через Жр мы обозначаем класс абелевых групп А, периодическая часть которых Т(А) является р-группой, где р - фиксированное простое число.
Лемма 3.2. Если абелева группа А является однородной группой, тогда и Т(А) тоже является однородной группой.
Доказательство. Рассмотрим две конечно порожденные подгруппы В1 и В2 группы Т(А) и изоморфизм а\В1^В2. Так как А однородная, то а продляется до автоморфизма А. Ограничение а на Т(А) будет автоморфизмом Т(А).
Напомним одну очень важную теорему про смешанные абелевы группы, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Теорема 3.3. (Теорема 100.1 из работы [6].) Периодическая группа Т обладает тем свойством, что всякая смешанная группа с периодической частью Т расщепляется в том и только в том случае, когда Т является прямой суммой делимой и ограниченной групп.
Структура однородных групп из класса Жр дается в следующей теореме.
Теорема 3.4. Пусть К = Жр, где р - простое число и А £ Кк. Тогда группа А имеет один из следующих видов:
, где a,ß - произвольные , где a,ß - произвольные
1. А = Са(р° кардиналы.
2. А = Са(рп кардиналы и т Е Ш.
Доказательство. Пусть А - однородная группа из класса ЭДр. По лемме 3.2 Т(А) тоже будет однородной группой. По теореме 3.1 группа Т(А) либо ограниченная, либо делимая. Следовательно, по теореме 3.3 Т(А) выделяется прямым слагаемым: А = Т(А)фБ, где Б - делимая группа без кручения. Из теоремы 3.1 следует, что группа Б имеет вид , где р - произвольный кардинал.
Покажем, что Т(А) имеет указанный в формулировке леммы вид. Предположим, что это не так и в группе Т(А) выделяется прямым слагаемым циклическая группа В = С(рп)®С(рт), такая, что п < т (заметим, что одно из чисел, п или т, может быть равно символу го, это будет означать, что соответствующая ему группа будет квазициклической С(рт)). Циклическая группа С(р) вкладывается как в первую компоненту С(рп), так и во вторую С(рт). Таким образом, группа В содержит две изоморфные подгруппы С(р), но изоморфизм между ними нельзя продолжить до изоморфизма группы В. Следовательно, если в группе Т(А) выделяется прямым слагаемым конечные циклические группы, то они будут иметь один порядок. И если компонента Т(А) не ограничена, то это случай 1 формулировки леммы, а если Т(А) ограниченная, то это случай 2.
Теорема 3.4 допускает простое обобщение для частного случая смешанных групп, когда множество простых чисел, для которых Тр(А) Ф 0, является конечным множеством.
Следствие 3.5 Пусть А - смешанная однородная абелева группа, такая, что I = {р | Тр(А) Ф0} -конечно. Тогда А = Т(А)фБ, где В - делимая группа без кручения, а Т(А) = фТр(А), где Тр(А) -либо делимая р-группа, либо Са?(рп), где ар - произвольный кардинал, п Е Ш.
3.3 Однородные группы в главных универсальных классах X из
Однородные группы для класса К в случае, когда К = Щр, описаны в теореме 3.4. Поэтому здесь мы рассмотрим только ситуацию, когда класс К не совпадает с Щр.
В работе [3] для главного универсального класса К определены универсальные инварианты Ш(^) и доказано следующее свойство: два главных универсальных класса 'К1 и К2 универсально эквивалентны тогда и только тогда, когда ) = Ш(^2).
После доказательства этого результата в работе [3] с помощью универсальных инвариантов UI(^) однозначно с точностью до изоморфизма определена каноническая группа С. Далее с использованием канонической группы С определяется квазиканоническая группа С*. В этом параграфе мы кратко дадим определения данных понятий, за более подробной информацией рекомендуем читателю обратиться к статьями [2-4].
Для абелевой группы А определим элементарный инвариант yPjk(А) следующим образом:
YP,kW =
_ (dim(pk-1A[p]) ,если эта размерность конечна; { го, в противном случае.
Определим примарный универсальный инвариант UIp(^) для главного универсального класса К QWp следующим образом:
UIp(K) = (ö(K),maxA ек (урЛ(А)), шахА ек (уР,2(А)),-),
если р Ф 0;
Ш„СЮ = S(K), где р - простое число, а инвариант 5(К) определяется следующим образом: 5(К) = 0, если существует такое число m, что для любой группы А Е К выполнена формула V а Е А та = 0, и 5(К) = 1 иначе.
Инвариант UIp = (S,yp1,yp2, называется допустимым, если S Е {0,1}, урк Е М U {0, го} и для любого к выполнено урк > ур>к+1.
По допустимому примарному универсальному инварианту UIp построим примарную каноническую группу С из класса Щр. Для этого последовательность значений примарного инварианта урк разделим на три непересекающихся интервала (некоторые из интервалов могут быть пустыми). Это разделение будет определять три числа: а, b Е М U {0} и I Е М U {0, го}. Введем эти параметры следующим определением:
1. Параметр i Е Ми{0,го} определим как I = lim YP,k.
2. Если I = го, то а = b = 0.
3. Если I Е М U {0}, то параметры а и b определяются следующим образом:
- параметр b = min{i|y„; = I}, в этом случае
L
урк = I для всех к > Ь;
- параметр а = max{ilypi = го}, если {ЦуР:1 = го} = 0, тогда а = 0.
Опираясь на значения этих трех параметров а, b и I, построим примарную каноническую группу С следующим образом:
С = С«°(ра)®Т®С1(рт)т, (1)
где - первый счетный кардинал, группа Т = ®a<t<bCWt(pt), где wt = Yp,t — Yp,t+i и группа В либо Ъ, при 1 = 0 и S = 1, либо В = 0 в остальных случаях. Обратим внимание, что если I = го, то в этом случае примарная каноническая группа будет иметь вид С = С*0(рт). Определение квазиканонической группы повторяет определение примарной канонической группы за одним отличием: в формуле (1) вместо Х0 используется произвольный бесконечный кардинал w.
Далее, используя определенные выше понятия квазиканонической группы, инварианта S и параметров а и I для главного универсального класса, можно сформулировать теорему с описанием структуры однородных групп из главного универсального класса.
Теорема 3.6 Пусть К с где р - простое число, С* - квазиканоническая группа класса К. Тогда однородная группа А Е Kh в зависимости от параметров класса К будет иметь следующий вид:
1. Если S(K) = 0.
- Если а = 0, тогда А = Ст(рп), где числа т и п такие, что Ст(рп) - подгруппа С*.
- Если а Ф 0, тогда либо А = Са(рп), где п < а, а - произвольный кардинал, либо А = Ст(рп), где п > а, и числа т и п такие, что Ст(рп) - подгруппа С*.
2. Если S(K) = 1 и S(T(K)) = 0, тогда возможен один из случаев:
- А = Ca(pn)®Qß, где п < а и a,ß - произвольные кардиналы.
- А = Ст(рп)ф^^, где @ - произвольный кардинал и числа т и п такие, что Ст(рп) - подгруппа С*.
3. Если 5 (К) = 1 и 5(Т(К)) = 1, тогда возможен один из случаев:
- А = Ст(рт)^Р, где т < I и 0- произвольный кардинал.
- А = Са(рп)®0,Р, где п<а и а,0 - произвольные кардиналы.
- А = Ст(рп)ф<0>Р, где 0 - произвольный кардинал и числа т и птакие, что Ст(рп) подгруппа С*.
Доказательство является не очень сложным, но длинным, так как связано с разбором многих случаев.
4. Открытые проблемы
В предыдущих параграфах нами было описано строение однородных периодических абелевых групп и однородных абелевых групп без кручения. Мы формулируем проблему общего характера: описать структуру однородных групп в классе смешанных абелевых групп. К сожалению, структура смешанных абелевых групп является очень сложной и в общей ситуации отсутствуют структурные результаты. Это основное препятствие для решения проблемы выше. Так как однородных групп в рассмотренных выше случаях не так много и они имеют простую структуру, то есть надежда успешно решить проблему описания структуры однородных смешанных абелевых групп.
Если эта проблема окажется сложной в общей ситуации, то мы формулируем задачу описания однородных групп для хорошо известных (по книге [6]) классов смешанных абелевых групп. Таких классов несколько, в них уже существует теоремы общего характера.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Hodges W. Model Theory. Cambridge University Press, 1993. 788 p.
2. Мищенко А. А., Ремесленников В. Н., Трейер А. В. Канонические и экзистенциальные группы в универсальных классах абелевых групп // Доклады академии наук. 2016. Т. 467, № 3. С. 266-270.
3. Мищенко А. А., Ремесленников В. Н., Трейер А. В. Универсальные инварианты для классов абелевых групп // Алгебра и логика. 2017. Т. 56, № 2. С. 176-201.
4. Мищенко А. А., Ремесленников В. Н. Канонические и экзистенциально замкнутые группы в универсальных классах абелевых групп // Алгебра и логика. (Принята к печати).
5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М. : Мир, 1974. 336 с.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М. : Мир, 1977. 146 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Мищенко Алексей Александрович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: [email protected].
Ремесленников Владимир Никанорович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией комбинаторных и вычислительных методо алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: [email protected].
Трейер Александр Викторович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории комбинаторных и вычислительных методо алгебры и логики, Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Омский филиал, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: alexander. [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Мищенко А. А., Ремесленников В. Н., Трейер А. В. Однородные абелевы группы // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 61-66. DOI: 10.25513/1812-3996.2018. 23(2).61-66.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Mishchenko Alexei Aleksandrovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher of the Laboratory of Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: [email protected].
Remeslennikov Vladimir Nikanorovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Laboratory of Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 13, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: [email protected].
Treier Alexander Viktorovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher of the Laboratory of Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Omsk Branch, 3, Pevtsova st., Omsk, 644099, Russia; e-mail: [email protected].
FOR QTATIONS
Mishchenko A.A., Remeslennikov V.N., Treier A.V. Homogeneous abelian groups. Vestnik Omskogo universi-teta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 61-66. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).61-66. (in Russ.).
