Уклонение от группы инерционных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© Л.С. Чиркова

[email protected]

УКЛОНЕНИЕ ОТ ГРУППЫ ИНЕРЦИОННЫХ ОБЪЕКТОВ

Ключевые слова: групповое преследование, фазовые ограничения, уклонение от встречи

Abstract. It is proved the possibility of an escape of the group of pursuers from an evader in the third order differential game with the condition when all participants have same dynamic and inertial possibility.

Введение

В 1976 году Б.Н. Пшеничным в работе [1] были получены необходимые и достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в задаче простого преследования с равными возможностями всех участников. Было показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда вектор начальных позиций убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей. В работах [2,3,4] рассматривалась задача преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что все участники обладают равными возможностями, а закон движения каждого из участников -дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В работах [2,3] было получено достаточное условие уклонения от встречи при условии дискриминации преследователей. В работе [4] было получено достаточное условие поимки убегающего при условии его дискриминации. В данной работе получены достаточные условия уклонения от встречи при

условии, что все участники обладают равными возможностями, преследователи дискриминированы, закон движения каждого из участников - дифференциальное уравнение третьего порядка.

1. Постановка задачи

В пространстве Мк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра п + 1 лиц: п преследователей Р\,... ,Рп и убегающий Е. Закон движения каждого из преследователей имеет вид:

полученную заменой гг = хг — у.

Пусть N - множество натуральных чисел , N = {1,... ,д} , Ят = [г + 1,... ,г + т} ■ Обозначим через 1гйХ, дХ , соХ соответственно внутренность, границу и выпуклую оболочку множества X С мк.

Пусть 5 = {х € Мк | ||х|| ^ 1}.

Определение 1.1. Говорят, из начального состояния г0 = (г®, г®,г®,... , гП, гП,гП) в дифференциальной игре

(1.3) возможно убегание, если по любым измеримым функциям щ(; 0 < £ ^ щ(£) € Б, г € Nn, можно построить такую измеримую функцию ^(£), О ^ ^ +го, у(1) € Б,

что ||гг(£)|| ф 0 для всех г € £ ^0. При этом в момент

£ ^0 управление убегающего формируется па основе информации о состоянии г0 = (г1(«), г1(«), г1(«),... ,гп(в),гп(в),гп(в))

(1.1)

Х®(0) = Х®, Х®(0) = Х®, Х®(0) = Х®.

Закон движения убегающего имеет вид:

У = V, ||^|| ^ 1,

У(0) = у0, у(0) = у0, у(0) = у0.

(1.2)

Вместо систем (1.1), (1.2) рассмотрим систему:

(1.3)

при в ^ Ь и о значениях щ{Ь), і Є в тот же момент времени. Управление преследователей в момент Ь ^0 формируется па основе информации о состоянии г(Ь) дифференциальной игры

(1.3).

Обозначим данную игру через Г.

2. Решение задачи

Теорема 2.1. Пусть

0 Є со{0 % }.

г=1

Тогда в игре Г из начального состояния

„0 _ /„О „0 „0 „0 „0 „(Ь

„ , „I, „I, ■ ■ ■ , „п, „и, „и!

возможно убегание.

Доказательство. Пусть 0 € со{ У '£® }

П

у0 І

г= 1

На основании теоремы об отделимости выпуклых множеств существуют вектор р € дБ и число е > 0 такие, что

тах(^и,р) < -2 в. (2.1)

Введем обозначения:

т{^ = тт (\\ziit)У), т^)= тт (\\ziit)у),

1^.г^.гг ^22)

5 = тт{1, е, л/г?1(0), \/г]2(0)}.

Случай 1. Пусть тах (х®,р) ^ 0, тах (х®,р) ^ 0. За-1т®тп 1т®ти

дадим управление убегающего следующим образом у^) = р,

t Є [0, + ж) . Тогда

„о , + ,о ;ь , fit-г)3

Zi(t) = Zi + t- Zi + — ■ zf + —---------(щ(т) - p)dT,

0

t

(Zi(t),p) = (zf,p)+t• (if,p) + — • (zf,p) + (2.3)

t

+ J ^ 3|T^ ' (Ui(r) — p,p)dr < 0,

о

так как (zi, p) ^ 0 и (Z® , p) ^ 0 в силу предположения,

(Zi, p) ^ —2є в силу неравенства (2.1), (иДт) — p,p) ^0 из опре-p

В случае 1 убегание доказано.

Случай 2. Предположим, что (Zf , p) > 0 для некоторого l Є Nn и (Zi, p) ^ 0 для любого i Є Nn \ {l} . При

этом max (zi , p) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантиру-

O^i^n

ющпй разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z0 .

Пусть

= = ^ + (2'4)

Справедливы неравенства ^i(O) > , %(0) > ^1- Положим

v(t) = p, t Є [0, ti), где ti либо момент, в который ||Zi(ti)|| = и (Zi( ti),p) > 0, либо +ж . Пусть t\ < + ж, тогда на полуинтервале [ti, ti + ті) управление v(s) будем выбирать специальным образом, а при t ^ t\ + т\ опять положим равным p. При так выбранном управлении убегающего E преследователь Pi, і Є Nn \ {l} , по существу не влияет па исход игры. Действитель-

т

(Zi(t),p) = (zi(t),p) +t • (Z°(t),p)+

+ Y • (Zi,p) + J ^ 3|T^ • (Иг(т) - v(r),p)dT =

0

= (z0,p)+t • (if(t),p)+

+ \ ■ i'ziiP) + J ^ 3|T^ • {Ui{r) — p,p)dr < 0 0

при любом t ^ 0 и любых управлениях u0{s), s € [0, +ж) , v(s), s € [ti,ti+ri) . На основе рассуждений, приведенных в случае 1, заключаем, что ||z0(t) || ф 0 при t ^ 0 , i € Nn \ {l} .

Так как (Zi(h),p) > 0, (Zi(h),p) < —6, то при любых управлениях щ(s), v(s) та отрезке [ti,ti+ri]:

(zi(ti+n),p) = (zi(ti),p) + ti • (Zi(h),p) +

*1 + n

• (k(ti),p) + J ^ + g1,——(ui(t)-v(t),p)<1t<

ti

^ _ їті (Ь + п-Ь)4

< І1Т1 “ *Т--------2~3!----= °-

Следовательно, в момент і = ^ + ті состояние дифференциальной игры (1.3) соответсвует рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению щ{в) можно построить управление у(в), в Є [і\, і\ + т\), такое, что ||гі(і)|| ф 0 при і Є [іі,іі + ті], то разрешимость задачи убегания из начального состояния г° будет доказана.

Предположим, что

(гі(Ь),ъ{Ь)) = -|МЬ)У ■ ||іі(Ь)у. (2.5)

Векторы гі(іі), їі{іі) линейно зависимы, поэтому существует вектор ф Є дБ такой, что

(гі( іі),ф) = (гі( іі),ф) = 0.

Пусть е\ € (0, т\) - некоторое число такое, что при произвольных управлениях щ(s), v(s) , s € [ti,h + ei], справедливо неравенство (Zi(ti + ei),p) > 0 . Покажем, что если на отрезке [ti,ti + ei] vs

^ ={ —; >1 м

то существует такое число Yi € [0, ei), что

izi{h + ъ),zi{h+Yi)) Ф — llziih+ъ) У • Pi(h + ъ)У- (2-7)

При t ^ t\ введем в рассмотрение функции h(t), hit) и

t

Mt) = (zi( t);$) = j (ui( s) — v(s);^)ds. (2.8)

t

Функции h{t), h{t), fy(t), t\ ^ t ^ t\ + e\ удовлетворяют системе уравнений:

М^ = Ы^; Ш = fW); ,29,

Ы$ = (М ^ — Н^;Ф)-

Причем fi(ti) = h{t^ = hiti) = 0. Из уравнений (2.9) следует, что f(t) ф 0 та отрез ке [ti,ti + ei]. Множество G = {t € (tl;tl + ei) h{t) Ф 0} непусто и открыто, поэтому представимо в виде G = {J(aj, j, где {(aj, j} - взаим-

j

но не пересекающаяся не более чем счетная система интервалов. Пусть (aj, @j) - некоторый интервал из этой системы. Тогда Maj) = h(fij) = 0, hit) ^0 на (aj Если f2{aj) ф 0, то h{t) = h(t) Ф 0 (в силу определения управления v ) на (aj, j

и hWj) последовательно, соотношение (2.7) выполнено при ti+Yi = fij . Если

(zi( ti),zi{ h)) ф —llzi( h)y • pi( h)||;

то полагаем ^ = 0 .

Итак, управление у (в) убегающего Е па [£ь£1 + 71) выбираем в соответсвии с правилом (2.6) и в момент £1+71 выполнено (2.7). Далее полагаем у(в) = щ{в) при 8 € [£1 + 71, £1 + 71) . Тогда

при £\ ^ ^ £1 + п , следовательно, Цг^£) || ф О .

Таким образом, по любой измеримой функции щ{в),щ(в) € Б, можно построить такую измеримую функцию у (в) € Б, что ||гг(£)|| ф 0 при £ € [£ь£1 + п] . Возможность убегания в случае 2 доказана.

Случай 3. Предположим, что (гг° ,р) > 0 для некоторого I € Мп и (г® ,р) ^ 0 для люб ого г € Мп \ {1} . При этом тах (г® ,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния

Справедливы неравенства ^х(О) > £1, ^(0) > £1 . Положим ь(£) =Р; £ € [0,£1), где £1 либо момент, в который ||гг(£1)|| = £1 и (г[( £\),р) > 0, либо +ж. Пусть £± < + ж, тогда па полуинтервале [£]., £1 + п) управление у(в) будем выбирать специальным образом, а при £ ^ £1 + п опять положим равным р. При так выбранном управлении убегающего Е преследователь Р®, г € Мп \ {1} , по существу не влияет па исход игры. Это показано в случае 2.

Так как (гг(£\),р) > 0, (гг(£\),р) < 0, то при любых управлениях П1{ в), у (в) та отрезке [£ъ£1+Г1] имеет место

І-ІІ-71

о

Пусть

(2.10)

(гі(£\+п),р) = (гі(£і),р) + п ■ (гг{£\),р) +

2 *1+ П 3

~у • (Нк),р) + / ^ + ^1—-{щ{т)-у{т),р)(1т<

г-4

^ 5 . 1±. _ _а_ = 0.

ч ч

2 2-3!

Следовательно, в момент £ = £\ + т\ состояние дифференциальной игры (1.3) соответствует рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению щ{в) можно построить управление у(в), в € [£ь£1 + п), такое, что Цг^£)|| ф 0 £ € £ , £ т г

Построим управление у (в), в € [£\, £1+п), таким же образом, как в случае 2. Все рассуждения при построении управления Е

Случай 4а. Предположим, что {г® ,р) > 0 для некоторого I € Мп и (г® ,р) ^ 0 для люб ого г € Мп \ {1} . При этом (г® ,р) > 0 для некоторого ] € Мп \ {1} и (г® ,р) ^ 0 для любого г € Мп \ {]} . Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния г

___е _ А (п)4_____________£ п (п)3

1 - 22’ 51-5^+2^:Т2~¥' ^2_5У+2Т¥- ( }

Справедливы неравенства щ,2(0) > £1 , щ,2(0) > £2 •

Определим у(£) = р, £ € [0, £1), где £± либо момент, в который ||гг(£\)|| = £1 и (гг(£1),р) > 0, либо +ж. Пусть £\ < + ж, тогда на полуинтервале [£г,Ь+п) управление ^в) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Р® . Если та полуинтервале [£±, £± + т\) не выполнено равенство ||г®(£) || = £2 , то управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 3. Затем положим у (в) = р, в ^ £1 + т\, до тех пор, в < £ £

||г®(£2)II = £2 ; £2 < + ж . Управление у в этом случае нужно

£

нужно взять £2 . Далее положить у(в) = р, в ^ £^ + т\.

Рассмотрим ситуацию, когда сближение с ] -тым преследователем происходит раньше, чем с I -тым. Положим у(£) = р, £ € [0, £1), где £1 либо момент, в ко торый ||г®( £\) || = £2 и (г®( £г),р) > 0, либо +ж. Пуст ь £х < + ж, тогда па полуинтервале [£1, £\ + тх) управление ^в) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя р . Если па полуинтервале [£х, £х + тх) не выполнено равенство ||гг(£)|| = £х, то управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2. Затем положим у(в) = р, в ^ £х + тх, до тех пор, пока в < £2 , где £2 - момент, в который выполнено равенство ||гг(£2) || = £х, £ < ж у

££

Далее положить у(в) =р, в ^ £2 + т\ .

Пусть £2 € (£х, £х + тх) • Полагаем у(£) = р, £ € [0,£\), где £х либо момент, в который ||гг(£х)|| = £х и (гг(£\),р) > 0, либо +ж . Пусть £\ < + ж , тогда та полуинтервале [£1,Ь+т1) управление ув

пия преследователя Р® . Сначала та полуиптервале [£\,£^ + тх) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 3, до в < £ £

венство ||г®(£2)|| = £3 , £2 < + ж и (г®(£2),р) > 0. Управление у£

££

£3 = £ Ц- + . Далее, когда встречи с 1 -м преследователем уда-

у

3, что позволит избежать поимки I -тым преследователем. Затем р

По ходу доказательства ясно, что если ] и I поменяем местами, то все маневры по обходу ^ -того преследователя нужно делать сначала в соответствии со случаем 2. Затем за период т2 нужно г'обойтиб I -того преследователя. Для этого на-

£

£4 = £^2—I- Йп ■ А- после того, как маневр с /-преследователем будет завершен, выбирать управление как в случае 3. Затем положить равным р.

Покажем маневр уклонения в случае = £2 • Полагаем = Р; £ € [0,£1), где момент, в который ||гг(У = £1 и (гг(Ь),р) > 0. Сначала та полуинтервале +п) управле-

ние нужно выбирать так, как это сделано в случае 3, до тех пор, пока не наступит момент Ь!2 ; такой, что Ь2) У = £5 • Управление V после того, как настал момент нужно выбирать таким

же образом, что и в случае 2. Только вместо £1 нужно взять , тз

£5 ! £5 = £•■§■ + 2^3! ’ а Сам маневР осуществим за время 7"2 = ^ • Далее, когда встречи с ] -м преследователем удалось избежать, выбрать управление V в соответствии со случаем 3, что позволит избежать поимки I -тым преследователем. Затем положить р

Остальные преследователи, кроме I -того и ] -того, при так выбранном управлении не влияют на исход игры.

Случай 46. Начальные условия здесь такие же, что и в предыдущем случае, только I = ,] . Пусть вначале управление = р, Ь < = Ь2 ■ Для доказательства убегания в данном

случае возьмем такие £1, £2 , что

___^ с _1(,Т1 , (Т1)\ Г _1^Т1 |

п - 22, £1 - + атзг)» 52 - 2^2 + 2^3!( }

Тогда на интервале [Ь\,Ь\ + т\) выполнено

{гг{ Ь+п),р) = (гг( Ь),р) + т1 ■ {гг{ Ь),р) +

!л+ Т1

+ у • (ЫЬ),р) + j ^ + ^1——(щ(т)-у(т),р)(1т<

тт

< £1 + £2 • П - £ • - 2 • ^ =

т т т т т т

= 2'(г'У+2^+<{'У + ^)

В случае ф £2 применим маневр, описанный в случае 2 или

3, в зависимости от того, какой момент наступит раньше, ^ или £2 • Доказательство убегания здесь будет такое же как и в случае 4а.

При так выбранном управлении убегающего Е преследователь Pi, г € N \ {1} , по существу не влияет па исход игры. Это показано в случае 2.

Далее имеет смысл ввести функции:

Случай 5. Предположим, что (г®,р) > 0 для некоторого г € Мг , 1 < г ^ п и (г® ,р) ^ 0 для люб ого г € N \ N . При этом тах (г®,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гаран-

тпрующпй разрешимость задачи убегания из такого начального состояния г® .

В процессе построения маневра уклонения определим такие

£j > £7+1, ] = д—1, причем, если в момент £' >0 для неко-

торого I € N ||гг(£')У = £7, (гг(£'),Р) > 0 , то (гг(£' + т^,р) ^ О, при любых управлениях щ{в), та отрезке \р',£' + ^ .

Момент времени > 0, в который впервые выполняется равенство = £® и существует I € N такой, что ||гг(|| = £

(гг(I®),р) > О, назовем моментом г-того сближения.

Не уменьшая общности, полагаем, что в момент 1 = 1® выполнено ||г®(|| = £ и (гД^),р) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим.

Положим

При і = 0 построим последовательности [т[}°^х , (5^ }°^х

Ді(т) = 5 ■

Д2(т)=Ч + -Г1г (2'13)

О^гфг

положительные числа т^ 5^ і = 1,..., д, д ^ г , что т^ > т^+\

у(і)=р,і Є [0,+ ж) \ У [и,и + п). (2.14)

следующим образом:

Л = ^2, ^ = А1 (т{). (2.15)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что т® ^ т\, г = !,... ,д, поэтому

V- " '$'<*■№ , МЛ

-2^1. 5 + ^ < у + 192-

г=1 г=1

Тогда при любых управлениях щ{в), г = 1,... ,п на отрезке

д

[0,£] и ^^) та множестве [0,^П( и \рг,и+тг)) справедливы нера-

г=1

венства (гг( 1),р) < — £ , £ € [0, +ж), г = 1,... ,п, следовательно, сближение с преследователем Р®, г € Мп \ Мг , не может произойти. Не ограничивая общности, далее считаем, что д = п, то есть сближение наступает с каждым преследователем. Заметим также, если в момент ^ = £' для некоторого г € Мп выполняются соотношения ||гД£')|| = £{, {гг{1'),р) > 0, {гг(1'),р) < —£, то при любых управлениях щ{ в), у (в) на отрезке [£',£' + т®]

+ т[),р) < 5\ - бЩ- - = 0 .

Положим т\ = т\ , £х = £} . Отметим, что ^ > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент £ = выполнены следующие соотношения ||г®(|| = £г, (гг( ^) ,р > 0, определены числа тг, & и последовательности {т®}^ > {£ }ЁГ • Число ^ ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут г'обходитьсяб преследователи Р Р

1 . . . , 1 п »

Допустим, что {г®{,г®{и)) = — ||г®(^)|| ■ || . Тогда су-

ществует число 0 < е® < т® такое, что при произвольных щ{в), I = г,... ,п, , в € [£и + е, справедливы неравенства

тт рг( ^ + т)|| > £^1 V I € М \ М, (гД^ + е^,р)>0.

т €[0

Векторы гі(и), іі(і) линейно зависимы, поэтому существует вектор фі Є дБ такой, что (гДи),ф) = (і(г) ,фі) = 0. На полуинтервале \Ьі,гі + 7^) управлепие у(в) выбираем так, чтобы

Мя) 1ІА=І !’ ЄСЛИ ^в^^ ^ 0,

\ —, если Ыв),фі) >0.

Здесь ^ + ^і - некоторый момент из отрезка [и, и + Єі] , в который

(іі(и + Ъ),іі(и + ъ)) Ф ЧЫи + Ъ)II ' Рі(и + Ъ)II • Если же

(іі(и),іі(и)) ф -рі(и)\| ■ рі(и)|| , то полагаем 7і = 0 .

Управление убегающего у (я) на полуинтервале [^ + 7^^ + п) необходимо положить равным и(в) . Однако если і < и, то на [^ + 7і,и + Ті) возможны сближения с преследователями Р ,

I = і + 1,... ,и. Поэтому

П

у(в) = щ(в), я є [и + Чі,и + т^ \ у [гу,^ + ті),

І=і+1

если і <и, И в Є [^ + Ъ,и + Ті) , если і = и .

Предположим, ЧТО І < и И у {в) = и( в) , и Є [^ + и + Ті) ,

/ = ^ + 1,...,и. Убегающий будет сближаться с преследователями Р , I = і + 1,... ,и настолько близко и ґобходитьЄ их за столь малое время, чтобы для траектории ц(і) та отрезке [іі+^,и+п] при любом управлении щ{в), в Є [іі + 7і,£і + п], выполнялись следующие соотношения:

(іі(іі + т),і(іі + т)) ф -рі(и + т)\| ■ рі(и + т)\| (2.16)

для любого т Є [7і, Ті] ,

тіп \\гЛг) \| > 5і+і. (2.17)

ІЄ[ Ьі+л,и+ті]

Из (2.17) следует, что сближение убегающего с каждым преследователем может наступать не более одного раза.

Обозначим через Н(т) , т ^ 0, параболу, заданную пара-

2

метрически х(т) = Хі(и + 7і) + Хі{іі + 7і)т + Їі{Іі + 7і)22“ и

у(т) = &і(іі + 7і) + іі(іі + ^і)т . Можно считать, что функция Ит) = тіп ||х\| > 0 .

х&Иі{ т)

Функция /(т): [0, +ж) ^ (0, + ж) непрерывна. В момент

і = іі + Ъ определим число

А = тт{^+1 , тіп /(т) }. (2.18)

Т Є[0 ,Ті]

Если у (в) = щ( в), в Є [^ + 7і,іі + ті], то соответствующая траектория при і Є [іі + 7і, іі + т^ задается как гі(і) = х{і — іі — 7і), іі(і) = ^і — іі — 7^) . Для любого і Є [^ + 7і, и + п] справедливы неравенства

Ці?(і)\| ^ ві, Ці?(і)\| ^ ві V і Є [іі + 7і,іі + Ті]. (2.19)

Теперь предположим, что на множестве [^ +7і,іі + ті) задана такая счетная система полуинтервалов [іт,іг + тг), г = 1, 2,... , что

Ё Т г < &+і,

т=!

3

Л- = ^ + Ні + , ____

*4 у 27 4 V 108 1 16 __

О. — (її _і_ Ё± _ лІ ^

— ^27 + 4 V Ю8 + 16 ^ ’

4: І ПИ» |а; + <>, + -Ті + §|

(2.20)

Далее покажем, что если управление ^^) = щ{в), при

в € [^ + 7®, ^ + т) \ и [^, £г + тг), а та множестве и [Г, £г + тг)

Г = 1 Г = 1

управление убегающего произвольно, то соответствующая траектория г\(£), £ € [^ + Ъ,и + ттакова, что

М(0-4(*)И<§. (2.21)

и, кроме того,

для любого управления щ{в) в € [^ + 7®, и + т®] .

Пусть I = 1. Понятно, что г®(£*) = г®(£1) . В точке £ = ^ + т1 \г®(^ + т1) — г®(^ + т1)У ^ (т1)3 • Тогда при £ € [^ + т1^ + т®] выполнено ||г®(£) — г®(£) \| ^ (т1)3 + 2(т1)2т® + т1т2. Поэтому для всех £ из \р® + 7®,и + т®] справедливо неравенство

\\г® (*) — г®V) \| < (т1)3 + 2{т1)2п + т1т.®.

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться, что для натуального I, £ € [и + 7®,и + т®] справедливо неравенство

\\4it) ~ < (6+г)3 + 2$+1т* + 6+1 (п)2 < § •

Таким образом, неравенство (2.21) доказано. Неравенство (2.22) сразу следует из определения числа .

Покажем теперь, что для всех т € [7®, т®]

{г\{и + т),г\{ 1® + т)) ф — ||г®(т)\| ■ \\г|(^ + т)\\. (2.23)

Предположим противное. Пусть существуют то € [7®,т^, д > О такие, что

г\{и + т0) = —д ■ г\( 1® + т0).

В силу неравенств (2.21), (2.22) векторы г®(и + то), г®(и + то) представимы в виде

г® (^ + т0) = г®{ 1® + т0) + х, г®(и + т0) = г1,( 1® + т0) + у,

где х,у € .

Пусть

Ъ = {а | а = (ах, а2), а\, а2 € М1, а + а2 = 1}. Согласно (2.18),

тт|а ■ (4( ^ + то) + х) + а2 ■ (г®(1® + то) + у)\| ^ в®.

а£Ь

С другой стороны, при а{ = , а2 = справедливо нера-

венство

в'

II• (4{£г + то) + х) + а*2 ■ (г\(и + то) + у)|| < —.

Пришли к противоречию. Следовательно, неравенство (2.21) выполняется при любом т из [^г, тг] . В момепт ^ = г г по формулам (2.18), (2.20) определяем числа вг-, 6+1 и строим последовательности {т^ }^х, {*£[ }^х следующим образом:

г+1 _ 6+1 яг+1 _ л / —Ъ+1 4+1 _ 21 ’ *+1 _ 1 ^ г+1 ^'

ПОНЯТНО, ЧТО Тг+1 < тг+1, £ Тг+[= 6+1 ■

1=1

Полагаем 5г+\ = 6^1, тг+\ = т'Щ . Если па интервале (и + 7г,и + тг) происходят сближения с преследователями Р+1,... ,Рп , то убегающий г'обходитС их за столь малое время, что тт Ц^г(^)|| ^ Ф-

*€[ и+ Л,и + Тг]

Поскольку 5г+\ < ^ у , то неравенство (2.17) выполнено.

Итак, управление убегающего на полубесконечном интервале времени формируется следующим образом:

п

■ф) =р, в е [о, + ж) \ у [ги Ъ + п),

1=1

п

■(в) = щ(в), в е ^г, гг + тг) \ У [и,и + п),

1=1

если г < п, у(в) = щ(в), в е \Ьг, и + тг), если г = п. Убегание в

случае 5 доказано.

Случай 6. Предположим, что (г^р) > 0 для некоторого

г е Мг, 1 < г ^ п и (£',р) ^ 0 для люб ого г е N \ N .

При этом тах (г®,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, таранов г^п

тирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния г° .

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т^ 6^ ] = 1,... ,д, д ^ г , что т^ > т^+\, 6j > 6^-+!, ] = 1,... ,д — 1, причем, если в момент г > 0 для

некоторого I € N выполнено рг(Ь')|| = 5^ (^(Ь'),р) > 0 , то (г[( Ь'+т^ ,р) ^ 0 , при любых управлениях щ{ в), у(в) на отрезке

№, Ь' + тЛ ■

Момент времени Ьг > 0, в который впервые выполняется равенство щ{Ь) = 5г и существует I € N такой, что р^(Ьг)|| = 5г, (^(и),р) > 0, назовем моментом г-того сближения.

Не уменьшая общности, полагаем, что в момент Ь = Ьг выполнено рг(и)|| = 5г и (хг(Ьг),р) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим.

Определим

д

у(г)=р, г € [0,+ го) \ У [и,и + Тг). (2.24)

г=1

При Ь = 0 построим последовательности {т^}^ , (5^ }°^х сле-

дующим образом:

т! = 5\ = А 2(т{). (2.25)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что тг ^ т[, г = 1,... ,д, поэтому

5 • т{ {т{)г \ 52 5

< —

2 2 3!/ 4 16'

гг

Тогда при любых управлениях щ{в), г = 1,... ,п на отрезке

д

[(),£] и у{в) та множестве [0,Ь]П( и \Ьг,Ьг+тг)) справедливы нера-

г

вепства (гг(Ь),р) < —5, Ь € [0, + го), г = 1,... ,п , следовательно, сближение с преследователем Рг, г € N \ N , не может произойти. Не ограничивая общности, далее считаем, что д = п, то есть сближение наступает с каждым преследователем. Заметим также, если в момент Ь = Ь' для некоторого г € Мп выполняются соотношения рг(Ь')|| = 5\, (гг(Ь'),р) > 0, (гг(Ь'),р) < —5,

то при любых управлениях щ{в), ю{в) та отрезке \Ь',Ь' + т{]

+ т{),р) < 5\ ■ т{ - 5^- - Щг = 0 .

Полагаем т\ = т\ , ^ ^ . Отметим, что ^ > 0. Маневр

уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент £ = Ьі выполнены следующие соотношения ||іі( Ь) || = 5і, (%і(,р) > 0, определены числа т , ^ и последовательности {тЛь=Т ’ ^ іь=Т • Число 6 ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут ґобходитьсяЄ преследователи р р

1 І) . . . , 1 п »

Допустим, что

(гДи),£і(и)) = -||гДи)II ■ рДи)||.

Очевидно, существует число 0 < еІ < тІ такое, что при произвольных щ(в), I = і,... ,п, у(в) , в Є [и, Ьі + Єі] , справедливы неравенства тіп рг( Ьі+т) || > 51+1 VI Є N\Щ, (гД Ьі +є) ,р)>0.

Т Є [0 ,Єі]

Векторы гі(и), Іі(£) линейно зависимы, поэтому существует вектор фІ Є дБ такой, что (гДЬ) ,ф) = (гДЬ) ,ф^ = 0. На полуинтервале \Ьт,,и + 7і) управ лен ие выбираем так, чтобы

чіл-і 1; ЄСЛИ ^в^^ ^ 0’

^в),Чі) \ —, если (щ(в),фі) >0.

Здесь ^ + 7І - некоторый момент из отрезка \Ьі, и + єі] , в который

(гДи + 7і),Іі(и + 7і)) ф -рі(и + 7^ || ■ рДи + 7^|| . Если же

(гД,гДф -рі(и)|| ■ рі(и)|| , то полагаем 7і = 0 .

Управление убегающего у{в) та полуинтервале [£ + 7і,Ьі + тІ) необходимо положить равным щ{в) . Однако если і < п, то на [£ + ^і ,и + т^ возможны сближения с преследователями р , ^ = ^ + 1,...,п. Поэтому

п

ь(в) = щ(в), в Є [и + Іі,и + ті) \ У Цз,Ьз + т^,

3=І+1

если і <п, и в Є + 7І,іІ + т), если і = п.

Предположим, что і < п и у(в) = щ(в), Ьі Є [^ + 7-і, и + тІ), / = ^ + 1,...,п. Убегающий будет сближаться с преследователями Рі , ^^1,...,п настолько близко и ґобходитьЄ их за столь малое время, чтобы для траектории гД£) та отрезке [£+7і,Ьі+т] при любом управлении щ{в), в Є [£ + 7^^ + т], выполнялись следующие соотношения:

(гДт),гДт)) ф -Цгі{и + т)|| ■ ||гДт)|| (2.26)

для любого т Є [7І, ті] ,

тіп ЦгД£)|| > ^+1. (2.27)

£Є[ Ьі^- уі,іі^- Ті]

Из (2.27) следует, что сближение убегающего с каждым преследователем может наступать не более одного раза.

Обозначим через Н(т), т ^ 0, параболу, заданную пара-

2

метрически х(т) = Хг(и + 7і) + іДі* + 7і)т + їі(и + 7г)22“ и у(т) = гі(Ьі + 7і) + гДЬі + 7^т . Можно считать, что функция І'(т) = тіп 1Ы1 > 0 .

хЄИі{ т)

Функция /(т) : [0, +го) ^ (0, +го) непрерывна. В момент Ь = и + 7і определим число

ві = тіп{£і+1 іп д^}. (2 28)

Т Є[0 ,Ті]

Если у(в) = щ(в), в Є [£ + 7і,Ьі + тІ], то соответствующую траекторию при £ Є \Ьі + 7і,Ьі + ті] можно задать через координаты параболы: г°(£) = ж(£ — и — ТО и г°(£) = — Ьі — 7^ . Для

любого £ Є [£ + 7і,Ьі + ті] справедливы неравенства

11 г? (£) || ^ ві, ||гР (£) || ^ ві V £ Є [и + %,и + ті] . (2.29)

Теперь предположим, что на множестве [£ + 7^ + т) задана такая счетная система полуинтервалов [іг ,ЬГ + тг), г = 1, 2,... ,

что

го

Ё тг < 6+1,

т=!

^ ' 27 "г 4 "г V 108 ”г 16

(2.30)

6+1 = mill <j Л: + <>.. + 2,;. -п + jrf + Y, §

Далее покажем, что если управление v(s) = щ{в), при

оо оо

в € \Ьг + 7г, и + тг) \ У [Ьт,ЬГ + тг), а та множестве и [Ьт,ЬГ + тг)

Т=1 Т=1

управление убегающего произвольно, то соответствующая траектория г\(Ь), Ь € 7г,и + тг) такова, что

|Ы(!)-*?(!)!!<#, (2.31)

и, кроме того,

2

А

$(*) -4и(^)11 < у (2-32)

для любого управления пг(в) в € и + тг] .

Пусть I = 1. Попятно, что г® (Ь1) = г®(Ь1) . В точке £ = Ь1 + т1 114(Ь1 + т1) — г®(Ь1 + т1)|| ^ (т1)3 . Тогда при £ € т®]

выполнено ||г®(Ь) — г®(Ь) || ^ (т1)3 + 2(т1)2тг + т1т®. Поэтому для всех Ь из \Ьг + 7г,и + тг) справедливо неравенство

\zi (t) - zi(t) II < (т1)3 + 2(^2т^ Tlrf.

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться, что для натуального I, t € [U + Yi,ti + tJ справедливо неравенство

II4(t) ~ zi(t)II < (6+i)3 + 2^+iT* + 6+i(^)2 < § •

Таким образом, неравенство (2.31) доказано. Неравенство (2.32) сразу следует из определения числа 6+1 •

Покажем теперь, ЧТО V Т € [7г,Тг]

(4(и + т),г\{и + т)) ф -||г?(Ь® + т)II ■ Цг\{Ь* + т)||. (2.33)

Предположим противное. Тогда существуют То € [7®, Тг] , д > 0 такие, что

г\{и + т0) = -д ■ 4(и + т0).

В силу неравенств (2.31), (2.32) векторы г®(Ьг +То), г®(Ьг + То) представимы в виде

г®(и + т0) = г\{и + т0) + х, г®(и + т0) = г\{+ т0) + у,

где х,у € .

Пусть

ь = {а | а = (а, а), а, а € , а + а = !}•

Согласно (2.28)

ттЦах ■ (г®(Ь® + т0) + х) + а2 ■ (г|(^ + т0) + у)|| ^ вг.

а£Ь

С другой стороны, при а1 = ^, а\ = ^

11«1-(4(^ + 'Го)+ж) + а2-(^(^ + 'Го) + у)|| < у.

Пришли к противоречию. Следовательно, неравенство (2.31) выполняется при любом т из [^г, т®] . В момепт Ь = Ь г по формулам (2.28), (2.29) определяем числа @г, 6+1 и строим последовательности {т®Л }^^ {£®+1 Ш1 следующим образом:

„.г+1 6+1 яг+1 л {„.г+1\

г+1 = ^г+1 = 21 г+1)'

Попятно, что

го

Т^1 <Т^1 ,£тЦ 1= 6+1 •

1=1

&+1 = 51ІІ, Ті+і = ті+1

Выбираем

5_ '4+и 4+і - Ч+і •

Если на интервале (и + ^г,и + ті) происходят сближения с преследователями Рі+і,..., Рп , то убегающий ґобходитЄ их за столь малое время, что

, тіп ыт>^.

Поскольку 5і+і < т^1 ^ у , то неравенство (2.27) справедливо.

Итак, управление убегающего на полубесконечном интервале времени формируется следующим образом:

п

■ф) = р, в Є [0, + го) \ У [и, и + ті) ,

1=1

п

■ф) = щ{ в), в Є [и,и + Ті) \ У 1^,^ + ті) ,

1=1

если і < п, у(в) = щ( в), в Є \Ь®, и + ті) , есл и і = п. Убегание в случае 6 доказано.

Случай Та. Предположим, что {г® ,р) > 0 для любого і Є Мг , 1 < г ^ п и (г® ,р) ^ 0 для люб ого і Є N \ N . При этом (гт,р) > 0 для некоторого т Є N \ N и (г®,р) ^ О для любого і Є Мп \ {т} . Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального г

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т^ 5^ і = 1,... д ^ г + 1, что Ті > Ті+\ , 5і > 5^+1, і = 1,..., д — 1, причем, если в момент І > 0 выполняется ||гт(І)|| = 5^ (гт(І),р) > 0 , или для некоторого І Є N ||гі(І)|| = 5і, {гі{і'),р) > 0 , то (гт(І + т^,р) ^ О, при любых управлениях пт{в), ^^) та отрезке [і', і' + т^} - в

первом случае, или (^(Ь' + т^ ,р) ^ 0, при любых управлениях щ(в), у(в) та отрезке \Ь', Ь + т^ - во втором.

Момент времени Ьг > 0, в который впервые выполняется равенство щ{Ь) = и рт(и) у = §г, {гт{и),р) > 0, или впервые выполняется равенство = 5г и существует I € N та-

кой, что \\г1(Ьг)у = 6г, (хг(Ьг),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент Ь = Ьг \\гг(и)|| = 6г И (гг(и),р) > 0. А если \\хт{и)|| = §г и {%т{и),р) > 0, то полагаем т = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим.

Определим управление убегающего следующим образом.

д

у(Ь)=р, Ь € [0,+ го) \ У [и,и + тг). (2.34)

г

При і = 0 построим последовательности {т{}°ГО1 , {6І}

{6І }°ГО1 следующим образом:

ГО

І=1 ч

Л = 2^2, £1 = Аі (ті), <Гї = Л2(т{). (2.35)

Числа Ті, г = 1,..., д , будут определены так, что Ті ^ т{,

1 = 1,... ,д, поэтому

^ Л / ^ Л / П А , Ь ^ 673^ ^

> Ті < £і ^ > Аі (ті) + Ао(ті ) =------1--------1---.

^ г и ^ ^ и 11 2X 11 16 6144 192

І=1 І=2

Тогда при любых управлениях щ(в), г = 1,... ,п на отрезке

ч [0,і] и -ф) та множестве [0,і]П( У \рІ,іІ +тІ)) справедливы нера-

І=1

вепства (гДі),р) < —6, і Є [0, + го) , г = 1,... ,п , следовательно,

сближение с преследователем РІ7 г Є N \ (Мг и {ш}), не может

произойти. Заметим также, если в момент і = і' для некоторого г Є N выполняются соотношения ЦгДі')|| = 6\, (гДі'),р) > 0,

{zi{t'),p) < —S , то при любых управлениях щ(s), v(s) на отрезке [t', t' + тД (Zi(t' + т[),р) < 5\ - 5Цг---Щр = 0 . А если в

tt

Pi(^)|| = S\, ^Кр) > ^ < -£>

то при любых управлениях щ(s), v(s) на отрезке [t', t' + т|]

. (VM2 M'l4 + т[),р) < 5\ ■ т{ - 5-----у^ = 0.

Выбираем т. = т^ , Si = S} , если ||zi(ti)|| = S{ , и Si = S} , если ||Zi(ti)|| = S{ • Отметим, что t\ > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены С^елуютттие COOT ношения ||Zi( ti) || = Si, (z^ t) ,p) > 0 , или рД U) || = Si, (Z^ t) ,p) > 0 , определены числа Ti, £i и последовательности

{т'},+=?, (Si),!1”, (S|}£”.

Число £i ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут Г'обхОДИТЬСяб преследователи Pi, , Pr+l ■

Управление убегающего па [ti,ti + тi) строим с учетом поведения преследователя Pm . Если та полуинтервале [ti, ti + тi) выполнено равенство ||Zm(t) || = Sm , то управление v{t) убегающего E , t € \ti,ti + т) , до момента t = tm нужно выбирать так, как это сделано в случае 5, а затем управление должно быть выбрано в соответствии со случаем 6. Маневр г'обходаб преследователя Pm нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 5. Если же сближение с

Pm

\ti,ti + тг) выбираем управление в соотвествии со случаем 5.

Когда при осуществлении маневра г'обходаб преследователя Pm , происходит сближение с преследователем Pj , j € Nr \ (i) , то за время ^ , необходимо осуществить маневр г'обходаб пресле-Pj

Pm

В случае, если преследователь Рт встретится раньше, чем преследователь Р®, і Є N , тогда нужно осуществлять маневр ґобходаЄ в соответсвии со случаем 6 за время тт,ас момента і = і® руководствоваться правилами случая 5.

Если же іт = и, то сначала выбираем управление как в случае 5, пока не наступит момент і' такой, что рт(ФН = ^2(^2") •

Рт

^ по алгоритму, описанному в случае 6. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 5, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рі .

Таким образом убегание в этом случае доказано.

Случай Тб. Пусть начальные условия такие же, как в случае 7а, только т Є N . Тогда ,р) > 0 и (іт,р) > 0, т Є N ,

ад ^ г .

Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случае 7а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени і = іт такой, что ||іт(і) || = $т И ||іт(і)II = $т ■ Пусть

АПС) ^ Л2(С)

2 7 т 2 *

Тогда убегание будет доказываться так же, как в случае 46, только вместо возьмем дт,вмест О $2 возьмем Ат , а место ті из случая 46 - тт .

Случай 8а. Предположим, что (і® ,р) > 0 для любого і Є Мг , 1 < г ^ п и (іі ,р) ^ 0 для любого і Є N \ N . При этом (і^р) > 0 для некоторого т Є N \ N и (і®,р) ^0 для всех і Є N \ {т} . Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния і

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т^ 5^ І = 1,... ,д, д ^ г + 1, что т^ > т^ + 1 , $2 > $2 + 1 , І = 1,... ,д — 1, причем, если в момент і' > 0 выполняется рт(і') || = $2 , (іт(і'),р) > 0 , или для некоторого І Є N рі(і')I = $2, (іі(і'),р) > о , ТО (іт(і' + тз),р) ^ 0,

при любых управлениях пт{в), -ф) та отрезке [Ь',Ь' + г^} - в первом случае, или Ь' + т^),р) ^ 0, при любых управлениях п(^ , -ф) та отрезке \Ь', Ь' + Ту] - во втором.

Момент времени Ьг > 0, в который впервые выполняется равенство = 8г и \\гт(Ьг) || = 5г, (zm(Ьг) ,р) > 0, или впер-

вые выполняется равенство щ(Ь) = 8г и существует I € N такой, что \\Zl( Ьг) |\ = 8г, (Zl( Ьг) ,р) > О, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент Ь = Ьг \\Ziiи) || = 8® И и) ,р) > 0. А если \\Zmiи) || = И

^т(Ьг),р) > О, то полагаем т = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим.

Пусть выполнено (2.34). При Ь = О построим последовательности {тг}?£1 , {8^ }^х , {8| }^х следующим образом:

Тг1 = ^2, £1 = А2(т{), 5\ = Ыт{). (2.36)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,... ,д, поэтому

Еп<6<Еа2«) + а1К)44 + ^.

гг

Тогда при любых управлениях пг(в), г = 1,... ,п на отрезке

ч

[0,Ь] и -ф) та множестве [0,Ь]П( У \Ьг,Ьг+тг)) справедливы нера-

г

венства (ZД Ь),р) < —8, Ь € [0 , + го), г = 1,... ,п, следовательно, сближение с преследователем Рг, г € N \ (Мг и {т}), не может произойти. Заметим также, если в момент Ь = Ь' для некоторого г € N выполняются соотношения р®(Ь')|| = 8\, (ZДЬ'),р) > О,

Ь') ,р) < — 8 , то при любых управлениях пг( в), у(в) на отрезке + т{] + т[),р) < Ь\т\ — 5----= 0. А

если в момент Ь = Ь' выполнено р®(Ь')|| = 8\, ^г(Ь'),р) > 0,

Ь'),р) < — 8 , то при любых управлениях пг(в), у(в) на отрезке \Ь', Ь + т^ справедливо неравенство

^ (тг\2 (тг)4

{ф' + т{),р)<5\-5Щ^-Щ^ = 0.

Выбираем т\ = т\ , 81 = 8} , если \\^(^)|| = 8} , и 81 = 8} , если рх^х)|| = 8] . Отметим, что > 0. Итак, пусть в момент Ь = Ь® выполнены сле^югцие соотношения р®(Ьг) || = 8г, (Zг{и),р) > 0 , или \\zДи)|| = 8г, ^г{Ьг),р) > 0 , определены числа тг, и последовательности

{т|},+=?, {8‘},;*, {]}+~

Число ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут г'обходптьсяб преследователи Рг, ... , Рг+1 .

Управление убегающего па [Ьг,Ьг + тг) строим с учетом поведения преследователя Рт . Если та полуинтервале [Ьг, Ьг + тг) выполнено равенство \\zm{Ь) || = 8т , то управление ю(Ь) убегающего Е, Ь € \Ьг,и + тг), до момента Ь = Ьт нужно выбирать так, как это сделано в случае 6, а затем управление должно быть выбрано в соответствии со случаем 5. Маневр ” обхода” преследователя Рт нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 6. Если же сближение с

Рт

\Ьг,Ьг + тг) выбираем управление в соотвествии со случаем 6.

Когда при осуществлении маневра г'обходаб преследователя Рт , происходит сближение с преследователем Р^ ] € N \ {г} , то за время ту необходимо осуществить маневр г'обходаб преследователя Ру , руководствуясь правилами случая 6. И вернуться

Рт

5).

Рт

преследователь Рг, г € N , тогда нужно осуществлять маневр г'обходаб в соответсвии со случаем 5 за время тт,ас момента Ь = Ьг руководствоваться правилами случая 6.

Если же іт = и , то сначала выбираем управление как в случае 6, пока не наступит момент і!і такой, что рт(ф|| = Ді(-^г) • Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время ^ по алгоритму, описанному в случае 5. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 6, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рі .

Таким образом убегание в этом случае построено.

Случай 86. Пусть начальные условия такие же, как в случае 8а, только т Є N . Тогда ,р) > 0 и (гт,р) > 0, т Є N ,

ад ^ г.

Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случае 8а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени і = іт такой, что рт(і)|| = 5т и рт(і)У = 5т ■ Пусть А™ = 2 ’ ^гп = 2 ' Тогда убегание будет д0казываться

так же, как в случае 46, только вместо 5і возьмем Дт, вместо 82 возьмем Дт, а вместо Т\ го случал 46 - тт.

Случай 9а. Предположим, что (г® ,р) > 0 для любого і Є Мг , 1 < г ^ п и (г® ,р) ^ 0 для любого і Є N \ N . При этом (г® ,р) > 0 для любого і Є <^т и (г®,р) ^0 для любого

і Є N \ ят . Опишем маневр уклонения, гарантирующий разре-

г

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа ту , 5у , і = 1,... ,д, д ^ г + т, что Ту > Ту+і, 5у > 5у+і, і = 1,...,д — 1, причем, если в момент і' > 0 выполняется для некоторого І Є От рі(і') |\ = 5у , (гі(і'),р) > 0 , или для некоторого І Є N р^і')|| = 5у, (гі(і'),р) > 0 , то (гі(і' + ту),р) ^ 0, при любых управлениях иі(в); у{в) на отрезке [і', і' + тД, І Є От - в первом случае, или (гі( і' + ту) ,р) ^ 0 , при любых управлениях щ( в), у (в) на отрезке [і', і' + ту), І Є N - во втором.

Момент времени і = і® > 0, в который впервые выполняется равенство ^2 (і) = 5® и существует І Є Огт такой, что рі( і і) II = 5і, {гі{ іі) ,р) > 0, или впервые выполняется равен-

СТВО = 8® И существует I € N такой, ЧТО II = 8®,

(хг(и),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент г = г® { ||г®(г)|| = и (я®(г®),р) > 0 ) или ( \\Ziiti)I = 8® и г®),р) > 0 ). Содержа-

тельно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим.

Пусть выполнено (2.34). При г = О построим последовательности [т[}°^х , {8®}^х , {8®}°^х при помощи правил (2.35).

Числа т®, г = 1,... , д, будут определены так, что т® ^ т[, г = 1,... ,д, поэтому

Тогда сближение с преследователем Pi, i € Nn \ (Nr U Qrm), не может произойти. Заметим также, если в момент t = t' для некоторого i € Nr выполняются соотношения ||zi(t')|| = 8\, (zi( t') ,p) > 0, (zi( t') ,p) < — 8 , то при любых управлениях щ( s),

y(s) на отрезке [t', t' + тД (Zi(t' + т[),р) < 5\ — 8^y-= 0 .

А если в момент t = t' для некоторого i € Qrm выполнено РД t') || = 8\, (Z^ t') ,p) > 0, (zt( t') ,p) < —8, то при любых управлениях m(s), ^^) та отрезке [t',t' + тЦ выполнено

Выбираем т\ = т\ , 81 = 8}, если рг^х)|| = 8|, и 81 = 8}, если рг^)| = 8} . Нетрудно видеть, что г\ > 0 . Итак, пусть в момент г = г® выполнены следующие соотношения ||г®( г) || = 8®, г),р) > 0, или р®(г)|| = 8®, г),р) > 0, определены числа т®, и последовательности

Число 6 ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут г'обходитьсяС преследователи Р®,..., Рг+т ■

q-r+l

Управление убегающего на [г®,г® + т®) строим, исходя из инг г®

Р®(гг)|| = 8® таи р®(г)|| = 8®. В первом случае нужно руководствоваться по правилам случая 5, во втором - случая 6.

Если существуют номера г,,] € Хп, г ^ , такие, что г® = г у ,

г

т!

стив ^'-того на расстояние применяем управление для

г'обходаб преследователя Ру за время Ц- .

Таким образом, управление в этом случае построено. Случай 96. Пусть начальные условия такие же, что и в случае 9а, только существует помер г € N такой, что (г® ,р) > О и (г®,р) >0.

Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случае 9а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени г = г® такой, что р®(г) || = 8® и р®(г) || = 8\. Пусть дг _ Д1(т^) ; дг _ а'2^1 ) _ Тогда убегание будет доказываться

8 ®® 8 ®® ®

Теорема доказана.

Список литературы

1. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. Г'З. С. 145-146.

2. Прокопович П.В., Чикрий А.А. Одна дифференциальная игра убегания// ДАН УССР. Серия А. 1989. ?1. С. 71-74.

3. Чикрий А.А., Прокопович П. В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. Л. С. 998-1004.

4. Петров П. П. Теория игр. Ижевск. Изд-во Удмурт, ун-та 1997.