Уклонение от группы инерционных объектов в игре четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934 © Л. С. Чиркова

УКЛОНЕНИЕ ОТ ГРУППЫ ИНЕРЦИОННЫХ ОБЪЕКТОВ В ИГРЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА1

Рассматривается задача о конфликтном взаимодействии одного убегающего с группой преследователей при равных динамических возможностях всех игроков. Движение каждого из них описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка. В начальный момент времени заданы начальные условия. Доказано, что если ноль не принадлежит выпуклой оболочке, натянутой на векторы начальных условий, то в игре происходит уклонение от встречи.

Ключевые слова: дифференциальные игры, групповое преследование, фазовые ограничения, уклонение от встречи.

Введение

В [1] были получены необходимые и достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в задаче простого преследования с равными возможностями всех участников. Показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальная позиция убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей.

В работе [2] исследована задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследователей, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Доказано, что в игре происходит уклонение от встречи из любых начальных позиций.

В [3] рассматривается задача простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что среди преследователей имеются как участники, максимальные скорости которых совпадают с максимальной скоростью убегающего, так и участники, у которых максимальные скорости строго меньше максимальной скорости убегающего, и при этом убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества. Получены условия, при которых преследователи с меньшими возможностями не влияют на разрешимость задачи уклонения.

Задачи уклонения, в которых возможности убегающего превосходят возможности преследователей, рассматривались В. Л. Заком. В работе [4] доказана возможность уклонения из любых начальных позиций в дифференциальных играх второго порядка при условии, что возможности убегающего больше возможностей преследователей.

В работах [5, 6] рассматривалась задача преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что все участники обладают равными возможностями, а закон движения каждого из них — дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Было получено достаточное условие уклонения от встречи при дискриминации преследователей.

Нестационарная задача уклонения в дифференциальных играх второго порядка расматри-валась в работах [7,10].

В [8] рассматривалась задача о преследовании одного убегающего группой преследователей. Уравнение движения участников игры — дифференциальное уравнение третьего порядка. Получены достаточные условия уклонения от встречи в игре с равными возможностями участников.

В данной работе найдены достаточные условия уклонения от встречи при условии, что все участники обладают равными возможностями, преследователи дискриминированы, закон движения каждого из участников — дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Стратегия уклонения убегающего имеет определенное сходство со стратегией уклонения из работы [8] и строится следующим образом. До сближения с очередным преследователем

1Работа поддержана РФФИ (грант № 12-0Ю0195).

и далее, после того как данный преследователь будет оставлен позади, убегающий выбирает постоянное управление. При сближении с очередным преследователем либо строится специальное управление, позволяющее уклониться от встречи на достаточно малом отрезке времени, либо управление убегающего выбирается равным управлению преследователя. Если убегающий встречается с несколькими преследователями, то маневр «обхода» совершается по очереди, подпуская следующего преследователя ближе, чем предыдущего. Так как преследователей конечное число, то такой маневр позволяет избежать поимки.

Работа примыкает к исследованиям [9,11,12].

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Мк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра п + 1 лиц: п преследователей Р1,..., Рп и убегающий Е. Закон движения каждого из преследователей имеет вид

полученную заменой Zi = х% — у.

Пусть N — множество натуральных чисел, N = {1,... , д}, Огт = {г + 1,..., г + ш}. Обозначим через 1П X, дХ, со X соответственно внутренность, границу и выпуклую оболочку множества X С Мк. И пусть Б = {х € Мк | ||ж|| ^ 1}.

Определение 1. Говорят, в дифференциальной игре (3) возможно убегание из начального состояния ¿0 = (г°, ,¿1,-21,...,^П, ¿П, ¿П,П)> если п0 любым измеримым функциям

Щ(Ь), 0 ^ Ь < +го, ^(Ь) € Б, г € Nn, можно построить такую измеримую функцию ■и(Ь),

0 ^ Ь < +го, -и(Ь) € Б, что ||zi(¿)|| =0 Vг € í ^ 0.

При этом в момент Ь ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации о состоянии ¿0 = (¿1 («), ¿?1 («), ¿1 (з),^’ 1 («),..., ¿п («),-гп («), ¿п («),’¿‘п (8)) при 8 ^ ¿по значениях Щ(Ь), г € ^ в тот же момент времени. Управление преследователей в момент Ь ^ 0 формируется на основе информации о состоянии ¿(Ь) дифференциальной игры (3). Обозначим данную игру через Г.

§ 2. Решение задачи

Доказательство. Пусть 0 / со{ и 0}. На основании теоремы об отделимости вы-

i=1

пуклых множеств существуют вектор р € дБ и число е > 0 такие, что

Ж™ = ||ИгУ ^ 1,

Жг(0) = Ж0, Жі(0) = Ж0, Жі(0) = Ж0, Ж і(0) = Ж 0.

(1)

Закон движения убегающего имеет вид

(2)

Вместо систем (1), (2) рассмотрим систему:

г™ = щ - V,

(3)

П

Теорема 1. Пусть 0 / со {У "г0}, тогда в дифференциальн ой игре Г из начального

І= 1

состояния ¿0 = (¿0, ¿0, г*0, г' 1,..., ¿п, ¿п, ¿п, ¿п) возможно убегание.

П

(4)

(5)

5 = тіп{1,є, л/г?і(0), \/г)2(0), \/г]з(0)}.

z,0,p) ^ 0 max (¿9 p) ^ 0 max ^ч0

* ' КМП * ' l<i<5

убегающего следующим образом: v(t) = p t € [0, +го). Тогда

Случай 1. Пусть max(z0,p) ^ 0 max(z0,p) ^ 0 max (¿0, p) ^ 0. Зададим управление

1<*<n 1<*<n 1<*<n

Zi{t) = z°i + t ■ ¿? + 1- • z% + • z°i + [ Q-rp- ■ («¿00 - p) (It, (6)

2 * 3! * J0 3!

t2 t3 (* (t — t)3

(Zi(t),p) = (z°,p) + i • (i°,p) + — • (¿°,p) + — • ('¿'°,p) + j^ —----(u*(r) -p,p) dr < 0,

так как (z0,p) ^ 0 (¿0,p) ^ 0 (¿0,p) ^ 0 в силу предположения, ('¿'0,p) ^ —2б в силу неравенства (4), (u*(t) — p,p) ^ 0 из определения вектора p. В случае 1 убегание доказано.

Случай 2. Предположим, что неравенство (¿°,p) > 0 справедливо для некоторого l € Nn и (¿0,p) ^ 0 Vi € Nn\{l}. При этом max (i°,p) ^ 0 max (z0,p) ^ 0. Опишем маневр уклонения,

l^i^n l^i^n

гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿0_ Пусть

5 £ j^l , (^”l) (fj\

Tl = 4’ äl = ^ + ~■ (Т)

Справедливы неравенства ni(0) > ¿1, П2(0) > ¿ъ Пз(0) > ¿ь Положим v(t) = p t € [0, t1), где t1 либо момент, в который рг(^)|| = ¿1 и (¿¿(t1),p) > 0 либо +то. Пусть t1 < +то, тогда на полуинтервале [t1, t1 + Т1) управление v(t) будем выбирать специальным образом, а при t ^ t1 + Т1 опять положим равным p. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь P*, i € Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры. Действительно, из определения числа Т1 и неравенства (4) следует, что

(Zi(t),p) = (Z°i,p)+t■ (¿9,р) + г- • (¿9,р) + • (z'i>p) + fQ ^ • Ы{т) - v{t),p) dr =

t2 t3 Г* (t — T)3

= (z°,p) +i • (¿9,p) + — • (¿9,p) + — • (T°,p) + j^ —----(и*(т) — p,p) dr < 0

при любом t ^ 0 и любых управлениях u*(s), s € [0, +ro), v(s), s € [t1,t1 + т1). На основе

рассуждений, приведенных в случае 1, заключаем, что р*(t)|| = 0 при t ^ 0 i € Nn \ {l}. Так как (¿г(t1),p) > 0 (‘¿‘г(t1),p) < — ¿, то при любых управлениях u^(s), v(s) на отрезке [t1,t1 + т1]

Т2 тз

(^(ii + n),p) = (zi(ti),p) + п • (ii(ti),p) + • (zi(ti),p) + ^ • (■¿'i(ii),p) +

+{'+r' (ii+;i,~T)3(M.w - «w,p)

Следовательно, в момент t = t1 + Т1 состояние дифференциальной игры (3) соответствует

рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению u^(s) можно

построить управление v(s), s € [t1,t1 + Т1), такое, что рг(t)|| = 0 при t € [t1,t1 + т1], то

z0

(^(t1),¿г(t1)) = — рг(^)Ц ■ Рг(^)Ц. (8)

Векторы ¿г(t1) ¿г (t1) линейно зависимы, поэтому существует вектор ф € dS такой, что (z^(t1),^) = (¿г(t1),^) = 0. Пусть е1 € (0,т1) — некоторое число такое, что при произвольных управлениях u^(s), v(s), s € [t1,t1 + e1^, справедливо неравенство (¿г(t1 + e1),p) > 0. Покажем, что если на отрезке [t1,t1 + £1] управлен ие v(s) выбирать так, чтобы

il, СС.„(u,(*),ф) < О,

|— 1, если (иг(s), ф) > 0,

то существует такое число 71 € [0, 61), что

(^г(t1 + Y1 ),^г(t1 + Y1)) = — ||^i(t1 + Y^ll • Н^г(t1 + YOU. (Ю)

A(t) = (z'l(t),^) = f (ui(s) - v(s),^) ds. (11)

Jt 1

Функции /1(t) /2(t), /3(t) /4(t), t1 ^ t ^ t1 + 61, удовлетворяют системе уравнений

f1(t) = /2(t), Лф = /3(t),

/3(t) = /4(t)j /4(t) = (ul(t) - v(t),^)-

Причем /1(t1) = /2(t1) = /3(t1) = /4(t1) = 0. № уравнений (12) следует, что /4(t) ф 0 на отрезке [t1, t1 + 61].

Множество G = {t € (t1,t1 + 61) | /4(t) = 0} непусто и открыто, поэтому представимо в виде G = (J(oj, вj) ГДе {(а, вj)} _ взаимно не пересекающаяся не более чем счетная система j

интервалов. Пусть (aj, вj) — некоторый интервал из этой системы. Тогда /4(0?) = /4^') = 0, /4 (t) = 0 на (aj, ej) Если /3(0,-) = 0, то /(t) = /4(t) = 0 /(t) = /3(t) = 0 на (aj, в^) (в силу определения управления v) и /3^) = 0 /2(в^’) = 0- Следовательно, соотношение (10) выполнено при t1 + Y1 = вг Если (z(t1 ),zl(t1)) = — ||z(t1 )|| ■ рг(t1)У, то полагаем Y1 = 0.

Итак, управление v(s) убегающего E на [t1, t1 + Y1) выбираем в соответсвии с правилом (9), и в момент t1 + Y1 выполнено (10). Далее полагаем v(s) = ui(s) при s € [t1 + Y1, t1 + т1). Тогда

Г t— tl— 71

Z (t) = z (t1 + Y1) + (t — t1 — Y1) ■ Z (t1 + Y1) + ¿z(t1 + Y1) ds

J0

при t1 ^ t ^ t1 + T1, следовательно, pi(t)|| = 0.

Таким образом, по любой измеримой функции ui(s),ui(s) € S, можно построить такое управление v(s) € S, что рг(t)|| = 0 при t € [t1,t1 + т1 ], и возможность убегания в случае 2 доказана.

Случай 3. Пусть (¿Р,р) > 0 для некоторого l € Nn и (¿°,p) ^ 0 Vi € Nn\{l}, max (¿0,p) ^ 0, max (¿0 ,p) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿0. Оиределим п, ¿1 следующим образом:

- 5 ^ , (Т1)3

Т1~4’ 1 ^Г + ^Г‘ ( )

Справедливы неравенства П1 (0) > ¿ь П2(0) > ¿ъ П3(0) > ¿1- Положим v(t) = р, t € [0, t1), где t1 либо момент, в который рг(t1 )|| = ¿1 и (¿i(t1),p) > 0 либо +то. Пусть t1 < +то, тогда на полуинтервале [t 1, 11 + Г1) управление v(t) будем выбирать специальным образом, а при t ^ t1 + Т1 опять положим равным р. При выбранном таким образом управлении убегающего E преследователь Pj, i € Nn \ {l}, по существу, не влияет на исход игры. Действительно, из определения числа Т1 и неравенства (4) следует, что

(Zi(t),p) = {z°i,p) + t- {z°i,p) + l— • (¿°,р) + ■ ('¿'°,p) + J ^ ■ (щ(т) -v(r),p)dT =

t2 t3 ft (t — T)3

= (z?,p) + t ■ (¿°,p) + — • (z°,p) + — • ('¿'°,p) + J^ —gj----(щ(т) -p,p) dr < 0

при любом t ^ 0 и любых управлениях u(s), s € [0, +ro), v(s), s € [t1,t1 + т1). На основе рассуждений, приведенных в случае 1, заключаем, что pi(t)|| = 0 при t ^ 0 i € Nn \ {l}.

Так как (¿¿(t1),p) > 0 (Zг(t1),р) < — ¿, то при любых управлениях ui(s), v(s) на [t1,t1 + т1]

т2 т3

(^(ii +n),p) = (z(ii),p) +п • (¿i(ti),p) + у • (z(ti),p) + ^ • ('¿'¿(ti),p) +

ftl+T1 (t1 + T1 — т )3 т3 т4

+ ------gj------(ui(r) ~ v(r),p) dr <5i-n-5— - — = 0.

Следовательно, в момент Ь = ¿1 + п состояние дифференциальной игры (3) соответствует рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению иг(в) можно построить управление и(в), в € [Ь1,Ь1 + т1^, такое, что рг(¿)У = 0 при Ь € [Ь1,Ь1 + т1], то разрешимость задачи убегания из начального состояния ¿0 будет доказана. Предположим, что

(Ь1)) = -У^г(Ь1)У ■ Пгг(Ь1)П- (14)

Векторы гг(¿1) ¿¿(¿1) линейно зависимы, поэтому существует вектор ф € такой, что (^г(Ь1),^) = (¿г(Ь1),ф) = 0. Пусть е1 € (0,т1) — некоторое число такое, что при произвольных управлениях иг (в) ^(в), в € [Ь1,Ь1 + 61], справедливо неравенство (¿г (¿1 + е1), р) > 0. Покажем, что если па отрезке [¿1 ,¿1 + 61] управление и(в) строится в соответствии с правилом (9), то существует такое число 71 € [0,е1), что

(¿г(¿1 + 71), ¿г(¿1 + 71)) = -N(¿1 + 71)11 ' Рг(¿1 + 71)У. (15)

При £ ^ ¿1 введем в рассмотрение функции (11), удовлетворяющие системе уравнений (12), /4(£) ф 0 па отрезке [¿1, ¿1 + б1], поэтому можно использовать введенное в случае 2 множество О. Для интервала (а', в') из этого множества будут выполняться те же самые условия, что и в случае 2, следовательно, соотношение (15) выполнено при ¿1 + 71 = '

Если (¿г(¿1),¿г(¿1)) = -рг(¿1)У ■ рг(^)У, то полагаем 71 = 0.

Итак, управление V(в) убегающего Е па [¿1, ¿1 + 71) выбираем в соответствии с правилом (9), и в момент ¿1 + 71 выполнено (15). Далее полагаем и(в) = иг (в) при в € [¿1 + 71, ¿1 + т1). Тогда

*-*1-71

^в

/•г-11-71

z(t) = z(t + 71 )+/ + 71)

J0

при t1 ^ t ^ t1 + T1, СЛвДОВаТвЛЬНО, ||zj(i)y = 0.

Таким образом, по любой измеримой функции ui(s), иг(s) € S, можно построить такую измеримую функцию v(s) € S, что рг(t)|| = 0 при t € [¿1,t1 + T1], и возможность убегания в случае 3 доказана.

Случай 4. Пусть (zz0,p) > 0 для некоторого l € Nn, (z0,p) ^ 0 Vi € Nn\{l}, a max (z0,p) ^ 0,

max (z0 , p) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z0. Пусть

4’ 51 = 5^Г + ^Г- (16)

Справедливы неравенства П1 (0) > ¿ь П2(0) > ¿1, Пз(0) > ¿1. Положим v(t) = p t € [0, t1),

где ^ либо момент, в который рг(t1)| = ¿1 и (z^(t1),p) > 0 либо +то.

Пусть t1 < +то, тогда па полуинтервале [t1, t1 + T1) управлен ие v(t) будем выбирать специальным образом, а при t ^ t1 + T1 опять положим равным p. При выбранном таким образом

управлении убегающего E преследователь Pj, i € Nn \ {l}, по существу, не влияет па исход игры.

Так как (z^(t1),p) > 0 ("zг(t1),p) < —¿, то при любых управлениях иг(s), v(s) па [t1,t1 + t1]

T2 T3

(zi(ti + n),p) = (zi(ti),p) + n • (¿i(ti),p) + у • (z(ii),p) + ^ • ('¿'¿(ti),p) +

f *1+T1 (t + T — T )3 T 3 T 4

+ Jt -----------gj-----(ui(T) ~ v(r),p) dr < ¿1 - 5-^- - = 0.

Следовательно, в момент t = t1 + T1 состояние дифференциальной игры (3) соответствует

рассмотренному выше случаю 1. Таким образом, если по любому управлению иг(s) можно

построить управление v(s), s € [t1,t1 + T1), такое, что рг(t)|| = 0 при t € [t1,t1 + t1], то

z0

Пусть выполнено (14). Векторы zi(t1), z^(t1) линейно зависимы, поэтому существует вектор ф € dS такой, что (z1 (^),ф) = (z1 (t1 ),ф) = 0. И пусть e1 € (0,t1) — некоторое число такое,

что при произвольных управлениях иг (в) ^(в), в € [¿ь^ + 61], неравенство (¿г (^ 1 + е 1), р) > 0 выполнено. Покажем, что если па отрезке [^,¿1 + 61] управление и(в) строится в соответствии с правилом (9), то существует такое число 71 € [0, 61), что выполнено (15).

При £ ^ ¿1 введем в рассмотрение функции (11), удовлетворяющие системе уравнений (12), и проведем рассуждения, аналогичные случаю 3. Убегание в случае 4 доказано.

Случай 5а. Предположим, что неравенство (¿°,р) > 0 справедливо для некоторого I € Мга, (¿0 ,р) > 0 —для некоторого ] € \ {1} и (¿°,р) ^ 0 V* € \ {I}, (¿°,р) ^ 0 V* € \

При этом тах (¿° , р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи

убегания из такого начального состояния ¿°. Пусть

_ 5 г гт1 , Ы2 г г(т1)2 , (т1)3

Справедливы неравенства П1,2,з(0) > ¿1, П1,2,з(0) > ¿2- Определим и^) = р < € [0, ¿1 ), где ¿1

либо момент, в который Н,ёг(¿1) Н = ¿1 и (¿г(¿1),р) > 0 либо +то.

Пусть ¿1 < +то, тогда па полуинтервале [^,¿1 + Г1) управлен ие и(в) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Ро-. Если па полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) не выполнено равенство (¡¿о(¿)У = ¿2, то управление нужно выбирать как в случае 2. Затем ПОЛОЖИМ и(в) = р, в ^ ¿1 + Т1, ДО ТвХ пор пока в < ¿2, ГД6 ¿2 — момент, в который выполнено (¿0(¿2)У = ¿2 й (¿о(¿2),р) > 0, ¿2 < +то. Управление V в этом случае нужно выбирать таким же образом, что и в случае 3, только вместо ¿1 из мучая 3 нужно взять ¿2 из (17). Далее полагаем и(в) = р, в ^ ¿2 + Т1.

Рассмотрим ситуацию, когда сближение с ^’-м преследователем происходит раньше чем с ¿-м. Положим и(^ = р, t € [0,¿1), где ^ — момент, в который (¿о(¿1 )|| = ¿2 и (¿о(¿1),р) > 0. Если па полуинтервале [¿1,¿1 + Т1) не выполнено равенство (¿г(¿)У = ¿1, то управление нужно

¿1 ¿2

Затем положим и(в) = р, в ^ ¿1 + Т1, до тех пор, пока в < ¿2, ¿2 — момент, в который выполнено (¿г(¿2) У = ¿1 и (¿г(¿2),р) > 0, ¿2 < +то. Управление в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 2. Далее полагаем и(в) = р, в ^ ¿2 + т1.

Пусть ¿2 € (¿1,¿1 + Т1), тогда положим и^) = р, t € [0,¿1), где ¿1 — момент, в который У ¿г (¿1)У = ¿1й (¿г (¿1),р) > 0 На полуинтервале [¿1, ¿1 + т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2, до момента ¿2, в который выполнено р0-(¿2)У = ¿3 и (¿о(¿2),р) > 0. Управление V, поме того как настал момент ¿2, нужно выбирать таким же образом, как и в слу-¿1 ¿з

_ «1 , ,(т2)2 , (т2)3

= ¥’ *> = г“зГ + 1Г

Далее, когда встречи с ^’-ым премедоватмем удалось избежать, управление V следует выбирать в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки 1-ым преследователем, затем полагаем управление V равным р.

Если поменять ] и I местами, то все маневры по обходу ^’-го преследователя нужно делать

¿2

в соответствии со случаем 3. Затем за время т2 = — нужно обойти ¿-ого преследователя, для

Т2 (Т2)2

чего управление нужно взять как в случае 2, но вместо ¿1 взять ¿4 = 5---------1---. После того

3 12

как маневр с 1-ым премедоватмем будет завершен, управление V выбираем как в случае 3,

р.

Покажем маневр уклонения в случае ¿1 = ¿2. Полагаем v(t) = р, t € [0,¿1), где ¿1 — момент, в который У ¿г (¿1)У = ¿1 и (¿г (¿1 ),р) > 0. Спачада па полуинтервале [¿^^+т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2, до момента ¿2, в который выполнено || ¿о(¿;2) У = ¿5 и (¿о (¿2), р) > 0 Управлен ие V, после того как наступил момент ¿2, нужно выбирать таким же

Г О X X X х(т/2)2 , (Уг)3

образом, как и в случае 3, только вместо 01 нужно взять 05 такое, что 05 = о—^----------1-—,

/ Т2 ‘ ‘

а сам маневр осуществим за время т 2 = у-

Когда встречи с ^’-ым преследователем удалось избежать, выбираем управление V в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки 1-ым преследователем. Далее положим V равным р. Остальные преследователи (кроме 1-ого и ^’-го) при выбранном таким образом управлении не влияют на исход игры.

Случай 56. Начальные условия здесь такие же, что и в случае 5а, только I = ]. Пусть вначале управление v(t) = р ^ < ¿1 = ¿2- Для доказательства убегания в данном случае возьмем такие ¿1, ¿2, что

\2ч 1 , \2 \3;

-4 *=и*т+т)- <18>

Тогда па полуинтервале [^,¿1 + Т1) выполнено

т2 т3

(^(¿1 + Т1 ),р) = (г1(и),р) + П • (¿1(Ь),р) + у • (¿1^1),р) + ^ • ('¿'г(*1)>Р) +

[Н +Т1 (¿1 + Т1 _ т)3 ч ч , г / Ч2 ¿1 г (Т1)3 (Т1)4

+ / ---------^---------(щ(т) - у{т),'[))(1т < Тг62 + (тг) - — -5-

1 ^(т1)2 , (т1)^ , л2 1 (,Т1 , * (г1)3 (л)4

3! 4!

_ 1 (Лти , т; Л , л2 1 ^7-1 , г

2 ' + (Т1) ' 4 ' Ну + -12-) ~ 6

0.

В случае ¿1 = ¿2 применим маневр, описанный в случае 2 или 3, в зависимости от того, какой момент наступит раньше — ¿1 или ¿2- Доказательство убегания здесь будет таким же как и в случае 5а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Р^,

* € \ {I}, по существу, не влияет па исход игры.

Случай 6а. Предположим, что неравенство (¿°,р) > 0 справедливо для некоторого I € N.

П1

(¿°,р) > 0 —для некоторого ] € N. \ {1} и (¿°,р) ^ 0 V* € N. \ {I}, (¿°,р) ^ 0 V* € N. \ {?}. При этом тах^^р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи

¿0

____г гТ1 , Ы2 г _ ДТ1)3 , (т04 Поч

Справедливы неравенства П1,2,3(0) > ¿ь П1,2,3(0) > ¿2- Определим v(t) = р < € [0, ¿1), где ¿1 либо момент, в который У ¿г (¿1 )У = ¿1 и (¿г (¿1),р) > 0 либо +то.

Пусть ¿1 < +то, тогда на полуинтервале [¿1,^1 + Т1) управление v(в) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Ро-. Если па полуинтервале [¿1, ^ 1 + Т1) не выполнено равенство ¡¡¿о(¿)У = ¿2, то управление нужно выбирать как в случае 2. Затем ПОЛОЖИМ v(в) = р, в ^ ¿1 + Т1, ДО ТвХ пор, Пока в < ¿2, где ¿2 — момент, в который выполнено У ¿о (¿2 )У = ¿2 и (¿о (¿2), р) > 0, ¿2 < +то. Управление V в этом случае нужно выбирать таким же

¿1 ¿2

v(в) = р, в ^ ¿2 + Т1.

Рассмотрим ситуацию, когда сближение с ^'-ым преследователем происходит раньше, чем с 1-ым. Положим v(t) = р < € [0,¿1), где ¿1 —момент, в который 11¿о(¿1)У = ¿2 и (¿о(¿1),р) > 0. Если па полуинтервале [¿1 ,¿1 + Т1) не выполнено равенство рг(¿)У = ¿1, то управление нужно

¿1 ¿2

Затем положим v(в) = р, в ^ ¿1 + Т1, до тех пор, пока в < ¿2) ¿2 — момент, в который выполнено У ¿г (¿2) У = ¿1 и (¿г (¿2), р) > 0 ¿2 < +то. Управление в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 2. Далее полагаем v(в) = р, в ^ ¿2 + т1.

Пусть ¿2 € (¿1, ¿1 + Т1), тогда положим v(t) = р, t € [0,¿1), где ¿1 — момент, в который У ¿г (¿1) У = ¿1й (¿г (¿1), р) > 0 На полуинтервале [¿1, ¿1 + т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2, до момента ¿2, в который выполнено У ¿о (¿2)У = ¿3 и (¿о (¿2),р) > 0. Управление V, после того как настал момент ¿2, нужно выбирать таким же образом, как и в слу-

¿1 ¿3

«1 . ,Ы3 Ы4

Далее, когда встречи с ^’-ым преследователем удалось избежать, управление V следует выбирать в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки 1-ым преследователем, затем полагаем управление V равным р.

Если поменять ] и 1 местами, то все маневры по обходу ]-то преследователя нужно делать

в соответствии со случаем 4. Затем за время т2 = -^ нужно обойти 1-го преследователя, для

Т2 (Т2)2

чего управление нужно взять как в случае 2, но вместо ¿1 взять ¿4 = 5-1-. После того

3 12

как маневр с 1-ым преследователем будет завершен, управление V выбираем как в случае 4,

р

Покажем маневр уклонения в случае ¿1 = ¿2- Полагаем v(t) = р, t € [0,^1), где ¿1 — момент, в который рг(Ь1)У = ¿1 и (¿г(Ь1 ),р) > 0. Сначала на полуинтервале [Ь1,Ь1+т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2, до момента ¿2, в который выполнено р?(¿;2) У = ¿5 и (¿? (¿2), р) > 0. Управление V, после того как наступил момент ¿2, нужно выбирать таким же

, -(XXX х(Т ;2)3 , (т ;2)4

образом, как и в случае 4, только вместо 01 нужно взять 05 такое, что 05 = о—^-1-—,

/ т2 ' '

а сам маневр осуществим за время т 2 = —■

Когда встречи с ^’-ым преследователем удалось избежать, выбираем управление V в соответствии со случаем 2, что позволит избежать поимки 1-ым преследователем. Далее положим V равным р. Остальные преследователи (кроме 1-го и ^’-го) при выбранном таким образом управлении не влияют на исход игры.

Случай 66. Начальные условия здесь такие же, как и в случае 6а, только 1 = ]. Пусть вначале управление v(t) = р, t < ¿1 = ¿2- Для доказательства убегания в данном случае возьмем такие ¿1, ¿2) что

____е _ 1 (гП (Т1)2\ 1 (Лп)3 (п)4\

Тогда на полуинтервале [¿ь^ + т1)

1 ^(Т1 )3 , (Т1)4 Л , (Т1)2 Т1 , (Т1)2 \ Гп)3 (Т1)4

3! 4!

0.

В случае ¿1 = ¿2 применим маневр, описанный в случае 2 или 4, в зависимости от того, какой момент наступит раньше — ¿1 ми ¿2- Доказательство убегания здесь будет таким же, как и в случае 6а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Р^, г € \ {1}, по существу, не влияет па исход игры.

Случай 7а. Предположим, что неравенство (¿0,р) > 0 справедливо для некоторого 1 € Мга, (¿0,р) > 0 —для некоторого ] € \ {1} и (¿0,р) ^ 0 V* € \ {1} (¿0,р) ^ 0 V* € \ {^}.

При этом тах (¿0 ,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи

убегания из такого начального состояния ¿0. Пусть

Справедливы неравенства П1,2,з(0) > ¿1, П1,2,з(0) > ¿2- Определим v(t) = р < € [0, ¿1), где ¿1 либо момент, в который рг^ОЦ = ¿1 и (-¿1(^1)?р) > 0 либо +то.

Пусть ¿1 < +то, тогда па полуинтервале [^,¿1 + Т1) управление v(s) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователя Р?. Если па полуинтервале [^,¿1 + Т1) не выполнено равенство р? (¿)|| = ¿2, то управление нужно выбирать как в случае 3. Затем ПОЛОЖИМ v(s) = р, 8 ^ ¿1 + Т1, ДО Т6Х пор, пока 8 < £2, где ¿2 — момент, в который выполнено р? (¿2) Н = ¿2 й (¿? (¿2), р) > 0 ¿2 < +то. Управление V в этом случае нужно выбирать таким же

¿1 ¿2

v(s) = р, 8 ^ ¿2 + Т1.

Рассмотрим ситуацию, когда сближение с ^’-ым преследователем происходит раньше, чем с 1-ым. Положим v(t) = р 4 € [0,^), где ^ — момент, в который р?(¿1)| = ¿2 и (¿?(¿1),р) > 0.

Если на полуинтервале [ti,ti + ti) не выполнено равенство рг(¿)|| = ¿1, то управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 4, только вместо ¿1 из случая 4 нужно взять ¿2 из (21). Затем положим v(s) = р, s ^ ti + ti, до тех пор, пока s < ¿2, ¿2 — момент, в который выполнено Рг^2)|| = ¿1 и (¿г(¿2),р) > 0, ¿2 < +то. Управление в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 3. Далее полагаем v(s) = р, s ^ t2 + т1.

Пусть ¿2 € (¿1, ¿1 + Т1), тогда положим v(t) = р, t € [0, ¿1), где ¿1 — момент, в который |zi(t1)| = ¿1 и (¿г(¿1),р) > 0. На полуинтервале [¿1,¿1 + т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 3, до момента ¿2, в который выполнено pj(¿2)|| = ¿3 и (¿j(¿2),р) > 0. Управление v, после того как настал момент ¿2, нужно выбирать таким же образом, как и в слу-

¿1 ¿3

_ «1 , Дт2)3 (т2)4

Т2 = Т' ^“зГ + ^Г

Далее, когда встречи с j-ым преследователем удалось избежать, управление v следует выбирать в соответствии со случаем 3, что позволит избежать поимки l-ым преследователем, затем полагаем управление v равным р.

Если поменять j и 1 местами, то все маневры по обходу j-oro преследователя нужно делать

в соответствии со случаем 4. Затем за время т2 = у нужно обойти 1-ого преследователя, для

чего управление нужно взять как в случае 3, но вместо ¿1 взять ¿4 = —Ь ^ ^ ■ После того

1v

р

Покажем маневр уклонения в случае ¿1 = ¿2. Полагаем v(^ = р, t € [0,¿1), где ¿1 — момент, в который ||¿г(¿1)| = ¿1 и (¿г(¿1),р) > 0. Сначала на полуинтервале [¿1, ¿1 + т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 3, до момента 2, в который выполнено pj(¿;2)|| = ¿5

и (¿j(¿;2),р) > 0 Управление v, после того как наступил момент ¿2, нужно выбирать таким же

‘ ‘ (г72)3 , (т'2)4

образом, как и в случае 4, только вместо ¿1 нужно взять ¿5 такое, что ¿5 = 3—^-----------Ь

Т 2

3! 4!

-Л

' 4 '

Когда встречи с ^’-ым преследователем удалось избежать, выбираем управление V в соответствии со случаем 3, что позволит избежать поимки 1-ым преследователем. Далее положим V равным р. Остальные преследователи (кроме 1-ого и ^’-ого) при выбранном таким образом управлении не влияют на исход игры.

Случай 76. Начальные условия здесь такие же, что и в случае 7а, только 1 = ]. Пусть вначале управление v(t) = р ^ < ¿1 = ¿2- Для доказательства убегания в данном случае ¿1 ¿2

_ а , 1 (Лп)2 , (г,)3', 1 /ЛпУ‘ ы-ч

4' 2 V ~3^ 4Г /' 2 \ 3! 4Г / (22)

Тогда на полуинтервале [^1, ^ 1 + т1 )

1 (а (т1)3 , (т1)4 Л , Т1 (а (т1 )2 , (т1)3 Л г(т1)3 (т1)4

Wil + n)lrt< (i^. + SaL) + |(4aL + inL).{<

0.

3! 4!

В случае ¿1 = ¿2 применим маневр, описанный в случае 3 или 4, в зависимости от того, какой момент наступит раньше — ¿1 ми ¿2- Доказательство убегания здесь будет таким же, как и в случае 7а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь і Є \ {1}, по существу, не влияет па исход игры.

Случай 8. Предположим, что (¿°,р) > 0 справедливо для некоторого 1 Є Мга, (4°,р) > 0

для некоторого і Є \ {1}, (4^,Р) > 0 для некоторого т Є \ {1,і} и (¿°,р) ^ 0 У і Є \ {1},

(4°,р) ^ 0 Уі Є \ {і}, (4°,р) ^ 0 Уі Є \ {т}. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния 4°. Пусть

_ 5 г гТ1 , (Ті)2 г г(Ті)2 , (Ті)3 г Лті)3 , (Ті)4

4’ = + ^^“зГ + ^Г’ *3 = *“зГ + ^Г- (23)

Справедливы неравенства П1,2,з(0) > 61, П1,2,з(0) > 62, П1,2,з(0) > 63. Определим v(t) = p,

t € [0, ti).

8.1. Пусть ti —момент, в который ||¿г(^)|| = 61 и (¿г(t1),p) > 0 t1 < +то. Управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pj и Pm. Если на полуинтервале [t1,t1 + т1) те выполнено равенство pj (t)|| = 62 ми pm (t)|| = 63, то управление нужно выбирать как в случае 2.

Затем положим v(s) = p, s ^ t1 + Т1, до тех пор, пока s < t^, где t2 — момент, в который выполнено pj(t2)|| = 62 и (¿j(t2), p) > 0 t2 < +ro. Управление v в этом случае нужно выбирать

61 62

Далее полагаем v(s) = p, s ^ t2 + т1; до тех пор, пока s < t3, где t3 —момент, в который выполнено pm(t3)|| = 63 и (zm(t3),p) > 0 t3 < +то. Управление v в этом случае нужно

61 6з

из (23). И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s ^ t3 + т1.

8.2. Пусть ^ — момент, в который рг(t1)| = 61 и (¿г(t1),p) > 0 t1 < +то. Управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pj и Pm. Если на полуинтервале [t1,t1 + т1) те выполнено раве нство pj (t)|| = 62 ми pm(t)|| = 63, то управление нужно выбирать как в случае 2.

Затем положим v(s) = p, s ^ t1 + Т1, до тех пор, пока s < t^, где t2 — момент, в который выполнено pm(t2)|| = 63 И (zm(t2),p) > 0 t2 < +то. Управление v в этом случае нужно

61 63

из (23).

Далее полагаем v(s) = p, s ^ t2 + т1; до тех пор, пока s < t3, где t3 — момент, в который выполнено pj(t3)|| = 62 и (¿j(t3),p) > 0 t3 < +то. Управление v в этом случае нужно выбирать

61 62

возвращаемся к управлению v(s) = p, s ^ t3 + т1.

8.3. Пусть t1 —момент, в который ||zjj(t1)| = 62 и (¿j(t1),p) > 0 t1 < +то. Управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pi и Pm. Если на полуинтервале [t1,t1 + т1) те выполнено раве нство pi(t)|| = 61 ми pm(t)|| = 63, то управление

61 62

Далее полагаем v(s) = p, s ^ t1 + т1; до тех пор, пока s < t2, где t2 — момент, в который выполнено ||¿г(t2)|| = 61 и (¿г(t2),p) > 0 t2 < +то. Управление v в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 2.

Затем положим v(s) = p, s ^ t2 + т^, до тех пор, пока s < t^, где t3 — момент, в который выполнено pm(t3)|| = 63 и (zm(t3),p) > 0 t3 < +то. Управление v в этом случае нужно

61 63

из (23). И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s ^ t3 + т1.

8.4. Пусть ^ — момент, в который pj(t1)| = 62 и (¿j(t1),p) > 0 t1 < +то. Управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pi и Pm. Если на полуинтервале [t1,t1 + т1) те выполнено раве нство рг(^|| = 61 ми pm(t)|| = 63, то управление

61 62

Далее полагаем v(s) = p s ^ t1 + т1; до тех пор, пока s < t2, где t2 — момент, в который выполнено pm(t2)|| = 63 и (¿m(t2),p) > 0 t2 < +то. Управление v в этом случае нужно

61 63

из (23).

Затем положим v(s) = p, s ^ t2 + т^, до тех пор, пока s < t^, где t3 — момент, в который выполнено рг(t3)|| = 61 и (¿г(t3),p) > 0 t3 < +то. Управление v в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 2. И снова возвращаемся к управлению v(s) = p, s ^ t3 + т1.

8.5. Пусть t1 — момент, в который ||(t1 )|| = 63 и (¿m(t1),p) > 0 t1 < +то. Управление v(t)

будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Pi и Pj. Если на полуинтервале [t 1, 11 + ^1) не выполнено равенство рг(t)|| = 61 ми pj(t)|| = 62, то управление

61 63

Затем положим v(s) = p, s ^ t1 + т^, до тех пор, пока s < t^, где t2 — момент, в который выполнено рг(t2)|| = 61 и (¿г(t2),p) > 0 t2 < +то. Управление v в этом случае нужно выбирать

таким же образом, как и в случае 2.

Далее полагаем v(в) = р, в ^ ¿2 + Т1, до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 —момент, в который выполнено р7-(¿3)! = ¿2 й (¿7(¿3),р) > 0 ¿3 < +то. Управление V в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 нужно взять ¿2 из (23). И снова возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.6. Пусть ¿1 — момент, В который рт^)!! = ¿3 и (^(¿^р) > 0 ¿1 < +то. Управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Рг и Р7-. Если па полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) не выполнено равенство рг^)! = ¿1 ми р7-(¿)|| = ¿2, то управление

¿1 ¿3

Затем положим v(в) = р, в ^ ¿1 + Т1, до тех пор, пока в < ¿2, где ¿2 — момент, в который выполнено р7'(¿2)! = ¿2 й (¿7(¿2),р) > 0 ¿2 < +то. Управление V в этом случае нужно выбирать

¿1 ¿2

Далее полагаем v(в) = р, в ^ ¿2 + Т1, до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 —момент, в который выполнено рг(¿3)! = ¿1й (¿г(¿3),р) > 0 ¿3 < +то. Управление V в этом случае нужно выбирать таким же образом, как и в случае 2. И снова возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.7а. Пусть во время маневра обхода преследователя Рг происходит сближение с Р7- или Рт. Полагаем v(t) = р < € [0,¿1), где ¿1 либо момент, в который рг(¿1)|| = ¿1 и (¿¿(¿1),р) > 0, либо +то. Пусть ¿1 < +то, тогда управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Р7- и Рт.

8.7а.1. Выбираем управление v(в) как в случае 2 до момента ¿2) ¿2 — момент, в который р7'(¿2)|| = ¿4 и (¿7(¿2),р) > 0 ¿2 < +го. Начиная с момента ¿2, управление V следует выбирать

¿1 ¿4

«1 . ,{Т2)2 , (Т2)3

Г2 = у.

Далее, когда встречи с ^’-ым преследователем удалось избежать, управление V следует вы-

1

Затем полагаем ^^ым р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который рт(¿3)|| = ¿3 и (¿т(^3),р) > 0 ¿3 < +то. На [¿3, ^3 + т^ управление выбираем как в случае 4, только вместо ¿1 из случая 4 нужно взять ¿3 из (23). Когда маневр по обходу ш-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.7а.2. Пусть теперь ¿2 —момент, в который рт^)! = ¿5 (¿т(¿2),р) > 0 ¿2 < +то. После того как момент ¿2 наступил, управление нужно выбирать как в случае 4, только вместо ¿1 из случая 4 взять ¿5 такое, что

, ,Ы3 , Ы4

= + Т2 = у-

Далее, когда встречи с ш-ым преследователем удалось избежать, управление V следует

1

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который р7-(¿3) || = ¿2, (¿7(¿3),р) > 0 ¿3 < +то. На полуинтервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 возьмем ¿2 из (23). Когда маневр по обходу ^’-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.76. Покажем маневр уклонения в случае ¿1 = ¿2- Полагаем v(t) = р < € [0, ¿1), где ¿1 либо момент, в который рг (¿1)| = ¿1 и (¿г (¿1), р) > 0.

8.76.1. Сначала на полуинтервале [¿1 ,¿1 + Т1) управление нужно выбирать так, как это сделано в случае 2, до тех пор, пока не наступит момент ¿2 такой, что р7-(¿2)11 = ¿6 й (¿7(¿2),р) > 0-

Управление V, после того как наступил момент ¿2) нужно выбирать как в случае 3, только

(т2)2 (т2 )3

вместо 01 из случая 3 взять дв такое, что Об = о——-----------------------------------------------1-, а сам маневр осуществим за

/ Т2 ' '

время т2 = —.

Далее, когда встречи с ^’-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление V

1

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который рт^) || = ¿3 и (¿ш(¿3),р) > 0 На полуинтервале [¿3^3 + т1) управление выбираем как в случае 4, только ¿1 ¿3 ш

возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.76.2. Пусть теперь ¿2 такой, что ||(¿2)| = ¿7 и (¿т(^2),р) > 0 Управление V, после того как настал момент ¿2, нужно выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ¿1

X X *(т2 )3 (Т2)4 / Т2

взять о7 такое, что 07 = ---1--, а сам маневр осуществим за время т2 = —.

Далее, когда встречи с ш-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление V

1

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который рг(¿7) || = ¿2 и (¿¿(¿3),р) > 0. На полуинтервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 взять ¿2 из (23). Когда маневр по обходу ^’-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.7в. Пусть как в 8.7а во время маневра обхода преследователя Рг происходит сближение с преследователем Р7- или Рт и ¿1 = ¿2, где ¿1 — момент, в который рг(¿1)| = ¿1, (¿г(¿1),р) > 0, ¿1 < +то; ¿2 — момент, в который происходит сближение с Р7- и Рш.

8.7в.1. Пусть ¿2_ момент, в который р7-(¿2)| = ¿2, (-¿7(¿2),р) > 0 ¿2 < +го, 1 = j. Для

¿1 ¿2 ¿3

_ 5 г I I * ^Т1^3 I (Г1^4

4’ г1 = 5Н? + —]• = + —]’ {з = {-Щ- + -4Г-

Тогда на полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) выполнено

2 3 .(Т1 )2, (Т1)3N Т12 / Т1 , (Т1)2Л Х(Т1)3 (Т1)4

3! 4!

0.

Маневр обхода Рт осуществим так же, как в 8.7а. Итак, v(t) = р < € [0, ¿1). На полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) убегающий Е должен применить тот же самый маневр, что и в случае 2 или 3,

Рг Рг

удалось избежать, полагаем v(t) = р < ^ ¿3, где ¿3 — момент времени такой, что рш^)! = ¿3, (¿т(^3),р) > 0 ¿3 < +го. На полуинтервале [¿3,¿3 + т1) управление выбираем как в случае 4, только вместо ¿1 из случая 4 берем ¿3, v(t) = р < ^ ¿3 + Т1.

Если 1 = но ¿1 = ¿2) то уклонение от встречи доказывается как в 8.7а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Р^, г € \ {1,ш}, по существу,

не влияет на исход игры.

8.7в.2. Пусть ¿2_ момент, в который рш(¿2)Ц = ¿3, (¿ш(^2),р) > 0 ¿2 < +ГО, 1 = ш. Для

¿1 ¿2 ¿3

_ 5 г 1 (гТ1 , г ,(П)2 , (г1)3 г 1/'?(Т1)3 I

4’ + *2 = *“а“ + ^Г’ гз = 2 1г^Г + ^Г>

Тогда на полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) выполнено

<~н \ -\ п\ ' 1(^3 I I Т1 ^Т1 | (Т1^ ^Г1^3 ^ п

{фг + п),р) < - (5— + —] + т (5- + —] - 5— — - 0.

Маневр обхода Р7- осуществим так же, как в 8.7а. Итак, v(t) = р < € [0, ¿1). На полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) убегающий Е должен применить тот же самый маневр, что и в случае 2 или 3,

Рг Рг

удалось избежать, полагаем v(t) = р < ^ ¿3, где ¿3 — момент времени такой, что р7-(¿3)|| = ¿2, (¿7(¿3),р) > 0 ¿3 < +то. На полуинтервале [¿3,¿3 + т1) управление выбираем как в случае 3,

только вместо ¿1 из случая 3 берем ¿2, v(t) = р < ^ ¿3 + Т1.

Если 1 = ш, но ¿1 = ¿2) то уклонение от встречи доказывается как в 8.7а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Р^, г € \ {1, _/}, по существу,

не влияет на исход игры.

8.8а. Пусть во время маневра обхода преследователя Р7- происходит сближение с Рг ми Рш. Полагаем v(t) = р ( € [0,¿1) где ¿1 либо момент, в который выполнено р7-(¿1)! = ¿2 и (,¿7(¿1),р) > 0 либо +то. Пусть ¿1 < +то, тогда управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Рг и Рш.

8.8а.1. Выбираем управление v(в) как в случае 3 до момента ¿2) ¿2 — такой момент времени, что ||¿г(¿2)|| = ¿4 и (¿г(¿2),р) > 0 ¿2 < +го. Начиная с момента ¿2, управление V следует

¿1 ¿4

т 62 Я лТ2 + ^

Т2 = У *4=,*¥ + ^2“-

Далее, когда встречи с 1-ым преследователем удалось избежать, управление V следует вы-

¿1 ¿2

позволит избежать поимки ^ым преследователем.

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который рш(¿3) || = ¿3 и (¿ш(^3),р) > 0 ¿3 < +го. На полуиптервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 4,

¿1 ¿3 ш

вателя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.8а.2. Пусть теперь ¿2 —момент, в который р^^)! = ¿5 (¿ш(¿2),р) > 0 ¿2 < +то. После того как момент ¿2 наступил, управление нужно выбирать как в случае 4, только вместо ¿1 из ¿5

, , (т-2)4 _ «2

*' = {1Г + ^Г' = ¥'

Далее, когда встречи с ш-ым преследователем удалось избежать, управление V следует

¿1 ¿2

что позволяет избежать поимки ^ым преследователем.

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который рг(¿3) || = ¿1, (¿г(¿3),р) > 0 ¿3 < +го. На полуинтервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 2. Когда маневр по обходу 1-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + Т1.

8.86. Покажем маневр уклонения в случае ¿1 = ¿2- Полагаем v(t) = р < € [0, ¿1), где ¿1 либо момент, в который ||¿7(¿1)| = ¿2 и (¿7(¿1),р) > 0.

8.86.1. Сначала на полуинтервале [^,¿1 + Т1) управление нужно выбирать так, как это

¿1 ¿2

момент ¿2 такой, что рг(¿2)! = ¿6 и (¿г(¿2),р) > 0.

Управление V, после того как наступил момент ¿2, нужно выбирать как в случае 2, толь-

Т1 ' (Т/ )2

ко вместо ¿1 из случая 2 взять ¿6 такое, что ¿6 = д— Н- —5 а сам маневр осуществим за

3 12

Т2

время т2 = —.

Далее, когда встречи с 1-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление V в со-

¿1 ¿2

поимки ^ым преследователем.

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в кот орый || (¿3) || = ¿3

и ((¿3),р) > 0. На [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 4, только вместо ¿1 из слу-

¿3 ш

к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.86.2. Пусть теперь ¿2 такой, что ||¿ш(í/) | = ¿7 и ((¿2), р) > 0 Управление V, после того,

как настал момент ¿2, нужно выбирать таким же образом, как и в случае 4, только вместо ¿1

( Т2 ) 3 ( Т2 ) 4 Т2

взять о7 такое, что 07 = о——------------------------------------------------------1-, а сам маневр осуществим за время т2 = —.

Далее, когда встречи с ш-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление V

¿1 ¿2

избежать поимки ^ым преследователем.

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который рг(¿3) || = ¿1 и ( ¿г(¿3),р) > 0 На [¿3,¿3 + т1) управление выбираем как в случае 2. Когда маневр по обходу

1-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.8в. Пусть как в 8.8а во время маневра обхода преследователя Р7- происходит сближение с преследователем Р^и Рт и ¿1 = ¿2, где ¿1 —момент, в который ||¿7(¿1)| = ¿1, (¿7(¿1),р) > 0, ¿1 < +то; ¿2 — момент, в который происходит сближение с Рг и Рт.

8.8в.1. Пусть ¿2_момент, в который рг^)! = ¿ь (¿г(¿2),р) > 0, ¿2 < +то, 1 = Для

¿1 ¿2 ¿3

^ ^ 1 (*Т1 , (Т1)2 \ , 1 /, (Т1 )2 , (Т1)3 \ (Т1 )3 (Т1)4

Тогда на полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) выполнено

■(Т1 )2 , (Т1)3 Ч , Т2 / Т1 , (Т1)2 N (Т1 )3 (Т1)4

3! 4!

4!

0.

Итак, v(t) = р I € [0, ¿1) На [¿1, ¿1 + Т1) убегающий Е должен применить тот же самый маневр, что и в случае 2 или 3, но при этом подпустить преследователя Рг ближе. Далее, когда встречи с преследователем Рг удалось избежать, полагаем v(t) = р, ! ^ ¿3, где ¿3 —момент времени такой, что ||¿ш(¿3)|| = ¿3) (¿ш(¿3),р) > 0, ¿3 < +то. На полуинтервале [¿3,!3 + т1)

управление выбираем как в случае 4, только вместо ¿1 из случая 4 берем ¿3, v(t) = р ! ^ ¿3 + т1.

Если 1 = но ¿1 = ¿2) то уклонение от встречи доказывается как в 8.8а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Р^, г € \ {j, ш}, по существу,

не влияет на исход игры.

8.8в.2. Пусть ¿2_момент, в который ||¿ш(¿2)| = ¿3, (¿ш(^2),р) > 0, ¿2 < +то, j = ш. Для

доказательства убегания в данном случае возьмем такие ¿1, ¿2, ¿3, что

_ 5 г , (т02 г Х^(Т1)2 , I (Г1^

4’ г1=Л ? + —’ 2 V ~з] ^ 41 / ’ 2 V ~з] 4] /

Тогда па полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) выполнено

г~ а \ - ) п) ' 1(^Т1^3 I I т1(чт* I Г1^ ^Т1^3 ^ П

(*»(*1 + Т1),р) < - + -ц-) +^{6^ + ^)- ^ 4Г “ °-

Маневр обхода преследователя Рг осуществим так же, как в 8.8а. Итак, v(t) = р < € [0, ¿1). На [¿1, ¿1 + Т1) убегающий Е должен поступить как в случае 3 или 4, но при этом подпустить преследователя Рт ближе. Далее, когда встречи с преследователем Рт удалось избежать, полагаем v(t) = р ! ^ ¿1 + Т1, до момента ¿3, где ¿3: ((¿г(!3)| = ¿ь (¿г(¿3),р) > 0 ¿3 < +то- На полуинтервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 2. Потом v(t) = р < ^ ¿3 + т1.

При ш = ^ ¿1 = ¿2) уклонение от встречи доказывается как в 8.8а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Р^, г € \ {1, _/}, по существу, не влияет па

исход игры.

8.9а. Пусть во время маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с Рг ми Р7-. Полагаем v(t) = р ( € [0, ¿1), где ¿1 либо момент, в который выполнено ||¿ш(^1)| = ¿3 и (¿ш(¿1),р) > 0 либо +то. Пусть ¿1 < +то, тогда управление v(t) будем выбирать специальным образом и с учетом поведения преследователей Рг и Р7-.

8.9а.1. Определим управление v(в) как в случае 4 до момента ¿2 такого, что рг(¿2)|| = ¿4 и (¿г(¿2), р) > 0 ¿2 < +то. Начиная с момента ¿2, управление V следует выбирать как в случае 2,

¿1 ¿4

^ л лТ2 I (Т2)2

= тт) 04 = о — +

2 1 3 12

Далее, когда встречи с 1-ым преследователем удалось избежать, управление V следует выби-

¿1 ¿3

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который ||¿7(¿3) || = ¿2 и ( ¿7(¿3),р) > 0 ¿3 < +то. На [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 нужно взять ¿2 из (23). Когда маневр по обходу ./-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.9а.2. Пусть теперь ¿2 —момент, в который ||¿7(¿2)|| = ¿5, (¿7(¿2),р) > 0 ¿2 < +то. После того как настал момент ¿2, управление нужно выбирать как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 взять ¿5 такое, что

, ,Ы2 , Ы3 «3

= + Т2 = у-

Далее, когда встречи с ш-ым преследователем удалось избежать, управление V следует

1

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который ||¿7(¿3) || = ¿2, (¿7(¿3),р) > 0 ¿3 < +то. На полуинтервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 нужно взять ¿2 из (23). Когда маневр по обходу ./-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.96. Покажем маневр уклонения в случае ¿1 = ¿2. Полагаем v(t) = р < € [0,!1 ), где ¿1 либо момент, в который ||¿ш(! 1)| = ¿3 и (¿ш(¿1),р) > 0.

8.96.1. Сначала на полуинтервале [^,¿1 + Т1) управление нужно выбирать так, как это

¿1 ¿3

момент ¿2 такой, что рг(¿2)|| = ¿6 и (¿г(¿2),р) > 0.

Управление V, после того как наступил момент ¿2, нужно выбирать как в случае 2, толь-

Т/ " (Т/ )2

ко вместо ¿1 из случая 2 взять ¿6 такое, что ¿6 = Н—, а сам маневр осуществим за

3 12

Т2

время т2 = — •

Далее, когда встречи с 1-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление V в со-

¿1 ¿3

ш

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 — момент, в который ||¿7(¿3) || = ¿2 и ( ¿7(¿3),р) > 0 На [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 нужно взять ¿2. Когда маневр по обходу ./-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.96.2. Пусть теперь ¿2 такой, что ||¿7(¿2)! = ¿7 и (¿7(¿2),р) > 0 Управление V, после того как настал момент ¿2, нужно выбирать таким же образом, как и в случае 3, только вместо ¿1

X Г Дт2)2 (т2)3 , Т2

взять 07:07 = о——------1--, а сам маневр осуществим за время т2 = —.

Далее, когда встречи с ./-ым преследователем удалось избежать, выбрать управление V

¿1 ¿3

ш

Затем полагаем V равным р до тех пор, пока в < ¿3, где ¿3 —момент, в который рг(¿3)|| = ¿1 и ( ¿г(¿3),р) > 0 На [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 2. Когда маневр по обходу 1-ого преследователя завершен, возвращаемся к управлению v(в) = р, в ^ ¿3 + т1.

8.9в. Пусть как в 8.9а во время маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с преследователем Рг ми Р7- и ¿1 = ¿2, Где ¿1 —момент, в который ||¿ш(!1)| = ¿3, (¿ш(^1),р) > 0, ¿1 < +то; ¿2 — момент, в который происходит сближение с Рг и Р7-.

8.9в.1. Пусть ¿2^ момент, в который рг(¿2)|| = ¿1, ( ¿г(¿2),р) > 0 ¿2 < +го, 1 = ш. Для

¿1 ¿2 ¿3

_ 5 г 1{:т1 I I ^ I

4’ г' = 2(^ + —)- г2 = Л~ + ~’ *3 = 2(*“Ш- + -4Г,)-

Тогда на полуинтервале [¿1, ^ 1 + Т1) выполнено

1 (х(Т1)3 , (Т1)4Ч , Т12 / Т1 , (Т1)2Ч ГТ1)3 (Т1)4

Итак, v(t) = р ! € [0, ¿1). На полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) убегающий Е должен применить тот же самый маневр, что и в случае 4 или 2, но при этом подпустить преследователя Рг ближе. Далее, когда встречи с преследователем Рг удалось избежать, полагаем v(t) = р, ! ^ ¿3, где ¿3 — момент времени такой, что ||¿7(¿3)|| = ¿2, ( ¿7(¿3),р) > 0, ¿3 < +то. На полуинтервале [¿3^3 + т1) управление выбираем как в случае 3, только вместо ¿1 из случая 3 берем ¿2, v(t) = р, ! ^ ¿3+т1.

Если 1 = ш, но ¿1 = ¿2) то уклонение от встречи доказывается как в 8.9а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Рг, г € \ {_?’, 1}, по существу,

не влияет на исход игры.

8.9в.2. Пусть ¿2 —момент, в который ||¿7(¿2)|| = ¿2, (¿7(¿2),р) > 0 ¿2 < +то, j = ш. Для

доказательства убегания в данном случае возьмем такие ¿1, ¿2, ¿3, что

4’ г1=Л ? + —’ 2 V ~з! ^ 41 / ’ 2 V з! 4] /

Тогда па полуинтервале [¿1, ¿1 + Т1) выполнено

/, , _Л х . Лп)3 (тг)4\ П / г? .3 (Г1)3 (п)4

(^(¿1 + п),р) < - (5— + —) + у (5 — + —) - 6— — - 0.

Маневр обхода преследователя Рг осуществим также как в 8.9а. Итак, v(t) = р, ! € [0,!1). На [¿1, ¿1 + Т1) убегающий Е должен поступить как в случае 4 или 3, но при этом подпустить преследователя Рт ближе. Далее, когда встречи с преследователем Рт удалось избежать, полагаем v(t) = р, ! ^ ¿1 + Т1, до момента ¿3, где ¿3: ((¿г(!3)| = ¿ь (¿г(¿3),р) > 0 ¿3 < +го. На полуинтервале [¿3, ¿3 + т1) управление выбираем как в случае 2. Потом v(t) = р < ^ ¿3 + т1.

При ш = ^ ¿1 = ¿2) уклонение от встречи доказывается как в 8.9а. При выбранном таким образом управлении убегающего Е преследователь Рг, г € \ {1,ш}, по существу, не влияет

на исход игры.

8.10. Пусть во время маневра обхода преследователя Рг происходит сближение с преследователями Р? и Рт. Полагаем v(t) = р < € [0,!1), где рг(¿1)| = ¿1 и (¿г(¿1),р) > 0 ¿1 < +то. На полуинтервале [¿1, ^ 1 + Т1) будем выбирать управление V специальным образом и с учетом поведения преследователей Р? и Рт. Выбираем управление V как в случае 2 до момента ¿2-Пусть ¿2 —момент, в который ||¿7(¿2)|| = ¿4 и (¿7(¿2),р) > 0 ¿2 < +то. После того, как настал момент ¿2, управление нужно выбирать как в случае 3, только вместо ¿1 нужно взять

( Т2 ) 2 (Т2 ) 3 ¿1

64: 64 = т2 = д° момента ¿3: рт(г3)|| = 65 и (,гт(£3),р) > 0, ¿3 < +оо. После

того как настал момент ¿3, управление нужно выбирать как в случае 4, только вместо ¿1 взять

г г ЛТз)3 , Ы4 _ г,

¿5: ¿5 = Т3 = ^.

Когда маневр обхода ш-ого преследователя будет завершен, продолжим маневр обхода ^’-ого преследователя, t ^ ¿3 + т3, как в случае 3, только вместо ¿1 возьмем ¿4, до момента t = ¿2 + т2. При ! ^ ¿2 + т2 завершаем маневр обхода преследователя Рг и v(t) = р t ^ ¿1 + т1.

Если 1, j и ш поменяются местами, то управление будем применять как в случаях 2, 3 и 4

соответственно. Пусть п = -, Гг = “У") * = 2,3,

Т Т2 Т2 Т3 Т3 Т4

Л1(г) = 5з+1^’ Л2(т) = ^¥ + ¥’ Лз(т)=5¥ + ¥- (24)

Случай 9. Предположим, что (¿0,р) > 0 для пекоторого г € N, 1 < г ^ и, и (¿0,р) ^ 0 для всех г из множества \ N. При этом тах ( ¿0,р) ^ 0 тах ( ¿0,р) ^ 0. Опишем маневр

1^г^п 1^г^п

уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿0. В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т? , ¿7, = 1,..., д, д ^ г, что т? > т7+1, ¿7 > ¿?+1, j = 1,..., д — 1, причем если в момент ¿; > 0 для некоторого 1 € N ||¿^)|| = ¿7, (¿г(¿'),р) > 0, то (¿г(¿' + т?),р) ^ 0 при любых управлениях иг(в), v(в) ^а отрезке [¿^^ + т?].

Момент времени ¿г > 0, В КОТОрЫЙ №1ПОЛПЯеТСЯ равенство П3(!) = ¿г и существует

1 € Мг что |¿г(¿г)| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая

общности, полагаем, что в момент t = tj выполнено ||zj(tj)|| = ¿j и (zj(tj),p) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Примем

q

v(t) = p, t € [0, +ro) \ У [tj,tj + Tj) (25)

j=1

При t = 0 построим последовательности {т{}^1, {¿!}^! по правилу т\ = j+2, = Аз(г|).

Числа т, i = 1,..., q, будут определены так, что Ti ^ т|, i = 1,..., q, поэтому

_УГл(т^)Э I (r^_VV *4 I *4 ^ Г 24704

^ г 3! 4! J ^--Лз!(2*+2)3 4!(2*+2)4/ 6! • 128’

Тогда при любых управлениях щ(s), i = 1,..., n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве [0,t]nfÜ [tj,tj + т)^ справедливы неравенства (zj(t),p) < —¿, t € [0, +to), i = 1,... ,n, следо-

4=1 '

вательно, сближения с преследователем Pj, i € Nn \ Nr, не может произойти. Не ограничивая общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым преследователем. Заметим также, если в момент t = t для некоторого i € Nn выполняются соотношения ||zj(t)|| = ¿1, (zj(t/),p) > 0, (z'j(t'),p) < —¿, то при любых управлениях щ(s), v(s) на отрезке

¿(Tj)3 (Tj )4

|t',* + rf] (*(*> + rj),p) <¿1 - SgL-^L = o.

Полагаем Ti = Ti1, ¿1 = ¿{. Отметим, что ti > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = tj выполнены соотношения ||zj(tj)|| = ¿j, (zj(tj),p) > 0, определены числа Tj, и последовательности {т?}£=, {¿j}£=. Число ограничивает сверху

суммарное время, в течение которого будут «обходиться» преследователи Pj,..., Pn.

Допустим, что (zj(tj),(tj)) = —|zj(tj)| ■ 11zii(tj)||. Тогда существует число 0 < ej < Tj та-

кое, что при произвольных uz(s), l = i, ...,n, v(s), s € [tj, tj + £j], справедливы неравенства min |z1(Tj + t)|| > ¿j+1 Vl € Nn\Nr, (zj(tj + ej),p) > 0. Векторы zj(tj), zj(tj) линейно зависимы,

T €[0,ei]

поэтому существует вектор € 95 такой, что (zj(tj),^j) = (,zj(tj),^j) = 0. На полуинтервале [tj, tj + Yj) управление v(s) выбираем так, чтобы

//ч ^ ССЛИ (Щ (s),^j) < 0,

(v(s),^j) = <! / Ч__(26)

I — 1, если (щ(s),^j) > 0.

Здесь tj + Yj — некоторый момент из отрезка [tj,tj + ej], в который

(zj(tj + Yj),zj(tj + Yj)) = — ||zj(tj + Yj)|| ■ pj(tj + Yj)||.

Если же (zj(tj),zj(tj)) = — ||zj(tj)| ■ ||z?j(tj)|, то полагаем Yj = 0.

Управление убегающего v(s) на полуинтервале [tj + Yj,tj + Tj) необходимо положить равным ■Uj(s). Однако если i < n, то на [tj + Yj, tj + Tj) возможны сближения с преследователя-

П

ми P[, l = i + 1, . . . , n. Поэтому v(s) = Ui(s), s € [tj + Yj,tj + Tj) \ U [tj ,tj + Tj), если i < n,

j=j+1

ns € [tj + Yj,tj + Tt), если i = n.

Предположим, что i < n и v(s) = Uj(s), tj € [tj + Yj, tj + Tj), l = i + 1,..., n. Убегающий будет сближаться с преследователями P, l = i + 1,..., n, настолько близко и обходить их за столь

малое время, что для траектории zj(t) на отрезке [tj + Yj,tj + Tj] при любом управлении щ(s),

s € [tj + Yj, tj + Tj], выполнялись следующие соотношения:

(zj(tj + т),zj(tj + т)) = — ||zj(tj + т)|| ■ ||zj(tj + т)|| (27)

для любого т € [Yj,Tj],

min pj(t)|| >¿i+l. (28)

t€ [ti +Yi +Ti ]

Из неравенства (27) следует, что сближение убегающего с каждым преследователем может наступать не более одного раза. Обозначим через Hj(r), т ^ 0, кривую, заданную параметрически:

т2 т3

х(т) = Zi(ti + 7i) + Zi(ti + 7г) • Т + Zj(ij + Yi)y + * i(U + 7г)-^р

т2

у(г) = Zi(ti + 7i) + Zi{ti + 7i) ' Г + '¿'¿(ij + Yi)y •

Можно считать, что функция f (т) = min ||ж|| > 0. Функция f (т) : [0, +то) ^ (0, +то)

жЄЯ;(т)

непрерывна. В момент t = tj + Yj определим число

ві = min{^+1, min f(т)}. (29)

т Є[0,тї]

Если v(s) = Ui(s), s Є [tj + Yi, tj + ті], то соответствующая траектория при t Є [tj + Yj, tj + ті] задается как z0 = x(t — tj — Yj), z0 = y(t — tj — Yj). Для любого t Є [tj + Yj, tj + ті] справедливы неравенства

l|z?(t)|| > A, P0(t)|| > ft. (30)

Теперь предположим, что на множестве [tj + Y^tj + ті) задана такая счетная система полуинтервалов [tr, tr + тr), r = 1, 2,... , что

¿тг<&+1, 6+1 = тт|л, -Ti + yrf + у y| , (31)

Л — сумма всех корней уравненпя + 2£3+1 п + £i+iTi + &+lTi ~f = °-

Далее покажем, что если управление v(s) = u^(s), при s € [tj + Yt,tj + т») \ U [tr,tr +

r=1

тr), а на множестве U[tr, tr + тr) управление убегающего произвольно, то соответствующая

Г= 1

траектория zj(t), t € [tj + Yi,tj + Tj], такова, что

lki(i)-z°(i)|| < у (32)

PiCO -4°(i)IK у (33)

для любого управления Uj(s), S € [tj + Yi, tj + Tj].

Пусть l = 1. Понятно, что zj1(t1) = z0(t1). В точке t = t1 + T1 ||z1 (t1 +T1)-z0(t1 +T 1)У ^ (т1)4.

Тогда при t € [t1 + т 1,tj + Ti] выполнено Hz1 (t) — z0(t)|| ^ (т1)4 + 2(т 1)3Tj + (т 1)2т2 + т 1т3.

Поэтому для всех t ИЗ [tj + Yj, tj + тi] ||z1 (t) — z0(t)|| < (т1)4 +2(т 1)3тi + (т 1)2т2 + т 1т3. Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться, что для натурального l, t € [tj + Yj, tj + rj] справедливо неравенство

I\4(t) ~ z0i{t)|| < {4+1 + 2(f+1Ti + {2+1r2 + 6+ir3 < y.

Таким образом, неравенство (32) доказано. Неравенство (33) сразу следует из определения числа £j+1.

Покажем теперь, что для всех т € [Yj, т^]

(zj(tj + т),zj(tj + т)) = —11^ + т)Н ■ Pj(tj + т)H. (34)

Предположим противное. Пусть существуют такие числа то € ], q > 0, что справедливо

соотношение zj(tj+т0) = —q ■ -¿j(tj+т0). В силу неравенств (32), (33) векторы z0(tj+т0), zjO(tj+т0)

ßiS

представимы В виде Z°(tj +То) = z\(ti + То) +Х, Z°(tj +То) = Z°(tj +Го) + у, где х, у € . Пусть

L = {а | а = (ai, а2), а1, а2 € R1, а1 + а2 = 1}.

Согласно (29), min ||a:i(z^(ti + то) + ж) + a.2{z\(ti + го) + у)|| 5^ Д. Однако при а\ = -Лт,,

a€L +q

а2 = справедливо неравенство ||a\{z\{ti + го) + х) + a2(z^(tj + то) + у)|| ^ у. При-

шли к противоречию. Следовательно неравенство (32) выполняется при любом т из [т*, т^]. В момент t = ti по формулам (29),(31) определяем числа ßi, 6+1 и строим последовательности {т*+1 }=, {¿¿+i }£=1 следующим образом:

_i+i Cj+1 ri+i д

г+1 = 0i+1 = A3(Ti+1).

Попятно, что т^1 < т?+1^ Т*+1 = {¿+1.

i=1

Полагаем ¿i+1 = ¿I+1, Ti+1 = т^1. Если на интервале (ti + Yi,ti + Ti) происходит сближение с преследователями Pi+1,..., Pn, то убегающий обходит их за столь малое время, что

min ||zi(i)|| ^ у.

ie[ii+7i,ti+ri] 2

ßi

Поскольку < т*^1 ^ то неравенство (28) выполнено. Итак, управление убегающего на полубесконечном интервале формируется следующим образом:

ГО

v(s) = p, s € [0, +го) \ У [ti, ti + тг),

i=1

n

v(s) = Ui(s), s € [ti, ti + n) \ U [ti,ti + тг), если i < n, И v(s) = Ui(s), s € [ti, ti + Ti), если i = n.

г=1

Уклонение от встречи в случае 9 доказано.

Случай 10. Предположим, что (Z0,p) > 0 для некоторого i € Nr, 1 < r ^ n, и (Z0,p) ^ 0 для всех i из множества Nn \ Nr. При этом max (z0,р) ^ 0 max(Z0,p) ^ 0. Опишем маневр

1^i^n 1^i^n

уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z0.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т^, ¿j, j = 1,... , q, q ^ r, что т?- > т?-+1, ¿j > ¿j+ъ j = 1,..., q — 1, причем если в момент t > 0 для некоторого l € Nr рг(t;)|| = ¿j, (Zi(t;),p) > 0, то (Zi(t; + т?-),p) ^ 0 при любых управлениях Ui(s), v(s) на отрезке [t, t + т?-].

Момент времени ti > 0, В который впервые выполняется равенство П2 (t) = ¿¿и существует l € Nr такой, что ||Zi(ti) ^ = ¿i, (Zi(ti),p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено |Zi(ti)|| = ¿¿и (Zi(ti),p) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят

их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

¿

При t = 0 построим последовательности {т{}^1, по правилу т\ = , 5\ = Д2(т{).

Числа тi, i = 1,..., q, будут определены так, что т ^ т1, i = 1,..., q, поэтому

, (г{)3л А/ ¿3 ¿3 \ im3

3! 4! ; ^--Лз!(2*+2)2 4!(2i+2)3/ 5! • 448’

Тогда при любых управлениях Ui(s), i = 1,..., n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве

[0,t]nfÜ [ti,ti + ri^^ неравенства (Zi(t),p) < —¿, t € [0, +ro), i = 1,..., n, следо-

i=1

вательно, сближения с преследователем Pi, i € Nn \ Nr, не может произойти. Не ограничивая общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым преследователем.

Заметим также, что если в момент t = t для некоторого і Є Nn выполняются соотношения

pj (t )|| = 0/, (¿г (t ),p) > 0, ("z j (t'),p) < — Ö, ТО при любых управлениях Ui(s), v(s) на отрезке

)3 (ті )4

[t;,i' + т|] выполнено (Zi(t' + т{),р) < 5\т{--^--------= 0.

Полагаем ті = т/, ö і = öОтметим, что t і > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом.

Итак, пусть в момент t = tj выполнены соотношения ||Zi(ti)|| = öj, (Zj(tj),p) > 0, определены числа Tj, £j и последовательности {ті }г°=г, {öj }г°=г. Число £j ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Pj,..., Pn.

Допустим, что (zj(tj),Zj(tj)) = — pj(tj)| ■ p^t^H. Тогда существует число 0 < ej < Tj такое, что при произвольных u (s), l = і, ...,n, v(s), s Є [tj, tj + £j], справедливы неравенства min рг(т + т)|| > öj+1 Vl Є Nn\Nr, (Zj(tj + ej),p) > 0. Векторы zj(tj), Zj(tj) линейно зависимы,

т Є[0,єі]

поэтому существует вектор ^j Є 95 такой, что (Zj(tj),^j) = (Zj(tj),^j) = 0. На полуинтервале [tj, tj + Yj) управление v(s) строим по формуле (26). Доказательство уклонения от встречи поэтому полностью повторяет доказательство убегания в случае 9.

В момент t = tj то формулам (29), (31) определяем числа ßj, £j+1 и строим последовательности следующим образом: \ = і = Аг(Т¿+{)- Понятно, что

ГО

т#; < Ti+i^ тй=i,+1.

г=1

Полагаем ¿i+1 = ¿J+, Ti+1 = г^1. Если на интервале (^ + Yi, ^ + Ti) происходит сближение с преследователями P+;,..., Pn, то убегающий обходит их за столь малое время, что

min pi(i)|| ^

ßi

Поскольку ^ то неравенство (28) выполнено. Итак, управление убегающего

на полубесконечном интервале формируется следующим образом:

ГО

v(s) = p, s € [0, +то) \ У [¿г, ¿г + тг),

1=1

П

v(s) = Ui(s), s € + Ti) \ U [¿г, ¿г + Tl), если i < n, и v(s) = Ui(s), s € [ti, + Ti), если i = n.

1=1

Уклонение от встречи в случае 10 доказано.

Случай 11. Предположим, что (Z0 , p) > 0 для пекотор ого i € Nr, 1 < r ^ n, и (Z0,p) ^ 0 для всех i из множества Nn \ Nr. При этом max(z0,p) ^ 0 max(Z0,p) ^ 0. Опишем маневр

1^i^n 1^i^n

уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния z0.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа Tj, ¿j, j = 1,..., q, q ^ r, что Tj > Tj+1, ¿j > ¿j+1, j = 1,..., q — 1, причем если в момент > 0 для некоторого l € Nr рг(^)|| = ¿j, (¿г(¿'),p) > 0, то (¿г(i; + Tj),p) ^ 0 при любых управлениях u(s), v(s) на отрезке [i',i' + Tj].

Момент времени ¿i > 0, в который впервые выполняется равенство П1 (¿) = ¿i и существует l € Nr такой, что рг(¿i)|| = ¿i, (Zi(¿i),p) > 0, назовем моментом i-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент i = ¿i выполнено |Zi(¿i)|| = ¿i и (zi(ii),p) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

¿

При t = 0 построим последовательности {т|}^1, по правилу т\ = —^ö\ = Ai(r{).

Числа Ti, i = 1,... , q, будут определены так, что Ti ^ t1, i = 1,..., q, поэтому

Ті (ті )2 ч А ( ¿2 ч 27^2

12 J ^V3 ■ 2і+2 12 ■ 4і+^ 320

і=1

<

Тогда при любых управлениях « (s), і = 1,n, на отрезке [0, t] и v(s) на множестве [0,i]nfÜ [ti, ti + Tj)^ справедливы неравенства (¿j(t),p) < —¿, t Є [0, +то), i = 1,..., n, следо-

4=1 '

вательно, сближения с преследователем Pi, і Є Nn \ Nr, не может произойти. Не ограничивая общности, далее считаем, что q = n, то есть сближение наступает с каждым преследователем. Заметим также, что если в момент t = t для некоторого і Є Nn выполняются соотношения ||zi(t)|| = ¿1, (zi(t/),p) > 0, (z'i(t/),p) < —¿, то при любых управлениях ui(s), v(s) на отрезке [t,t + t1]

(jj I ^ - ri (Tl)2 ¿(ri)3 (ri)4 n

(Zi(i + т1),р) < öl—--------------------------- -— = 0.

Полагаем ti = r/, ¿1 = й1. Отметим, что ti > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения ||zj(tj)|| = ¿j, (zj(tj),p) > 0, определены числа Ti, £i и последовательности {т?}£=^ {¿;}£=j. Число £j ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей P P

1 i,...,1 n.

Допустим, что (zi(ti),zi(ti)) = — ||zi(ti)| ■ ||zi(ti)||. Тогда существует число 0 < єі < ri такое, что при произвольных «¿(s), l = і, ...,n, v(s), s Є [ti, ti + £i], справедливы неравенства min |z1(ri + r)|| > ¿*+1 Vl Є Nn\Nr, (zi(ti + ei),p) > 0. Векторы zi(ti), zi(ti) линейно зависимы,

т Є[0,єі]

поэтому существует вектор ^i Є 95 такой, что (zi(ti),^i) = (zi(ti),^i) = 0. На полуинтервале [ti, ti + Yi) управление v(s) определяем как в (26).

Здесь ti + Yi — некоторый момент из отрезка [ti, ti + єі], в который

(¿i(ti + Yi), ¿i(ti + Yi)) = —||zi(ti + Yi)| ' ||Zi(ti + Yi)|.

Если же (¿і(tj),Zj(tj)) = — ||zj(tj)| ■ ||Zj(tj)|, то полагаем Yi = 0.

Управление убегающего v(s) на полуинтервале [tj + Yi,tj + Tj) необходимо положить равным Uj(s). Однако если і < n, то на [tj + Yi, tj + Tj) возможны сближения с преследователя-

П

ми P;, l = І + 1, . . . , n. Поэтому v(s) = «¿(s), s Є [ti + Yi, ti + Ti) \ U [tj, tj + Tj), если і < n,

j = i+1

ns Є [ti + Yi, ti + ri), если і = n.

Предположим, что і < n и v(s) = Uj(s), ti Є [tj + Yi, tj + Tj), l = і + 1,..., n. Убегающий будет сближаться с преследователями P, l = і + 1,..., n, настолько близко и обходить их за столь

малое время, что для траектории ¿j(t) на отрезке [tj + Yi, tj + Tj] при любом управлении «(s),

s Є [tj + Yi, tj + Tj], выполнялись следующие соотношения

(¿j(tj + r),Zj(tj + r)) = — ||zj(tj + r)|| ■ pj(tj + r)|| (35)

для любого r Є [Yi,Tj], а также соотношение (28). Обозначим через Hi(r), r ^ 0, кривую, заданную параметрически:

r 2 r 3

ж(т) = Zi(ti + Yi) + Zi(ti + ъ) - т + Zi{ti + 7i)y + z'i(ti + 7i)-^p

y(r) = Zj(tj + Yi) + Zi(tj + Yi) ■ r.

Можно считать, что функция f (r) = min ||ж|| > 0. Функция f(r) : [0, +то) ^ (0, +то)

жЄЯ;(т)

непрерывна. В момент t = tj + Yi определим число ßi, заданное в (29).

Если v(s) = Uj(s), s Є [tj + Yi, tj + Tj], то соответствующая траектория при t Є [ti + Yi, ti + ri] задается как z0 = x(t — ti — Yi), ¿0 = y(t — ti — Yi). Для любого t Є [ti + Yi, ti + ri] справедливы неравенства

llz°(t)ll ^ Ä, P0(t)ll ^ ei. (36)

Теперь предположим, что на множестве [tj + Yi, tj + Tj) задана такая счетная система полуинтервалов [tr, tr + rr), r = 1, 2,..., что выполнено (31).

r=1

мн()жестве U[tr, tr + tr) управление убегающего произвольно, то соответствующая траектория

r=1

zj(t), t € [ij + 7», ij + Tj] такова, что (32) и

PICO -¿г°С01К у (37)

для любого управления Uj(s), s € [tj + Yj, tj + Tj]. Заметим, что (32) доказывается аналогично тому, как это сделано в случае 9. Неравенство (37) сразу следует из определения числа £j+i. Покажем теперь, что для всех т € [Yj, Tj]

(zj(tj + T),zj(tj + T)) = 41^ + T)|| ' Pj(tj + т)У- (38)

Предположим противное. Пусть существуют такие числа то € [y^T], q > 0, что справедливо соотношение zj(tj+т0) = —q •z^(tj+т0). В силу неравенств (32), (37) векторы z0(tj+т0), ¿j0(tj+т0)

представимы в виде z®(ti + то) = z\(ti + то) + ж, ¿°(tj + то) = ¿°(ij + то) +у, где ж, у € . Пусть

L = {а | а = (а1, а2), а1, а2 € R1, а1 + а2 = 1}.

Согласно (29), min \\a\{z\{ti + то) + ж) + a.2{z\(ti + то) + у)|| ^ /%. Однако при = --,

aeL 1 + q

q

«2 = -------- справедливо неравенство ||ск*(,г|(i* + ^о) + ж) + a\(z\(ti + то) + у)|| ^ — • Пришли

1 + q 2 к противоречию. Следовательно, неравенство (32) выполняется при любом т из [y^T]. В момент t = tj по формулам (29), (31) определяем числа в, &+1 и строим последовательности W+iiiSi’ {^¿+i}zSi следующим образом: тг^| = Щг, <5^ = Ai(r^j). Понятно, что

ГО

Tj+1 < Tj+1 V"1 Tj+l =

Tj+1 < Tj , ¿_,Tj+1 = sj+b

l=1

Выбираем ¿j+1 = ¿j+{, Tj+1 = Tj+11. Если па интервале (tj + Yj, tj + Tj) происходит сближение с преследователями Pj+1,..., Pn, то убегающий обходит их за столь малое время, что

min ||zj(i)|| ^

te [ti +Yi ,ti+Ti] 2

в

Поскольку ^ то неравенство (28) выполнено. Итак, управление убегающего

на полубесконечном интервале формируется следующим образом:

ГО

v(s) = p, s € [0, +го) \ У [ti,ti + тг),

i=1

П

v(s) = Uj(s), s € [tj, tj + Tj) \ U [ti,t + тг), если i < n, и v(s) = Uj(s), s € [tj + Yj,tj + Tj), если

г=1

i = n. Уклонение от встречи в случае 11 доказано.

Случай 12а. Предположим, что (z0,p) > 0 для любо го i € Nr, 1 < r ^ n, (¿m ,p) > 0 для некоторого m € Nn \ Nr и (z0,p) ^ 0 для вс ex i из множес тва Nn \ Nr, (¿0,p) ^ 0 для любого i € Nn \ {m}, при этом max(zj\p) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

1^j^n

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿°.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа Tj, ¿j, j = 1,..., q, q ^ r + 1, что Tj > Tj+1, ¿j > ¿j+1, j = 1,..., q — 1, причем если в момент времени t > 0 выполняется ||zm(t)|| = ¿j, (¿m(t),p) > 0, или для некоторого l € Nr |zi(t;)| = ¿j, (¿г(t),p) > 0, to (¿m(t + Tj),p) ^ 0 при любых управлениях um(s), v(s) на отрезке [t',t' + Tj] в первом случае и (¿¿(t + Tj),p) ^ 0 при любых управлениях иг(s), v(s) па отрезке [t;,t; + Tj] — во втором.

Момент времени ¿г > 0, В КОТОрЫЙ впервые выполняется равенство П2(¿) = ¿г и ||Хт(£г)|| = ¿г, (¿т(£г),р) > 0, или впервые выполняется равенство Пэ(^) = ¿г и существует I € N такой, что ||хг(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент £ = ¿г выполнено ||^г(^г)| = ¿г и (¿г(£г),р) > 0. А если ||хт(¿г)|| = ¿г, (¿т(¿г),р) > 0^ош = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При £ = 0 построим последовательности |т{}^=1, {¿1 }£=1, {¿1 }£=1 по правилу:

* 5\ = А3(т{), 5\=А2(т{). (39)

1 2*+2 ’

Числа тг, г = 1,..., д, будут определены так, что тг ^ т1, г = 1,..., д, поэтому

9 9 . $3(17~Ч)

^ Е Аз^ + А2(т1) < з! . 162 •

г=1 г=2

Тогда при любых управлениях и (з), г = 1,..., п, на отрезке [0, ¿] и ^(з) па множестве

[0,£]П(й [¿г, ¿г + Тг )^ Справедливы неравенства ("х г (¿),р) < — ¿, £ € [0, +то), г = 1,... ,п, сле-4=1 '

довательно, сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и {ш}), не может произойти. Не

ограничивая общности, далее считаем, что д = п, то есть сближение наступает с каждым преследователем.

Заметим также, что если в момент £ = для некоторого г € N выполняются соотношения ||хг(^)|| = ¿1, (¿г(£;),р) > 0, (‘¿‘г(¿0,Р) < — ¿, т0 ПРИ любых управлениях иг(5), ^(з) на отрезке [¡'.¡' + т1]

(*(!' + т‘),р) < г; - -^ = ».

А если В момент £ = £ выполнено ||х;г(£/)|| = ¿1, (¿г(^),р) > 0, ( х’г(¿;),р) < —¿, то при любых

• ¿(г* )3 (т*)4

управлениях «¿(в), г>(«) на отрезке [¿', + г|] (^(¿' + т|),р) < • т|------------= 0.

Выбираем т1 = т/, ¿1 = ¿{, если ||х1(£1)| = ¿^ и ¿1 = если ||-г1(£1)| = Отметим,

что £1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент £ = ¿г выполнены соотношения ||хг(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, МИ рг(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, определены числа тг, £г и последовательности {тгг}г°=г, {¿г}г°=г, {¿г}г°=г. Число £г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+1.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿г, ¿г+тг) строим с учетом поведения преследователя Рт. Если на полуинтервале [£г, £г + т*) выполнено равенство рт(¿)|| = ¿т, то управление убегающего до момента £ = ¿т нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем Рт не происходит, то на всем полуинтервале [£г, £г + т*) выбираем управление в соответствии со случаем 9.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с преследователем Р,, ] € N\ {г}, то за время т, необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р,, руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт.

В случае если преследователь Рт встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время тт, а с момента £ = ¿г руководствоваться правилами случая 9.

Если же ¿т = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит момент ¿г

тт

такой, что рт(ф|| = Дг(у1)-

Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время у по алгоритму, описанному в случае 10. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 9, чтобы завершить

маневр уклонения от преследователя Рг. Таким образом, уклонение от встречи в случае 12а доказано.

Случай 126. Пусть начальные условия такие же, как в случае 12а, только т € N. Тогда (¿^ ,Р) > Он (¿т ,Р) > 0, т € N, а д ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 12а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент

д (тт) д (тт)

времени £ = такой, что рт(£)|| = и Рт(^)11 = Пусть А™ = —3 т , А™ = —2 т ■ Тогда стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 76, только вместо возьмем Д "вместо ¿2 возьме м дт, а вместо т1 го случая 7 б^тт.

Случай 13а. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любо го г € N, 1 < г ^ п, (¿^ , Р) > 0 для некоторого т € \ N и (¿0,р) ^ 0 для всех г го множества \ N, (¿0,р) ^ 0 для

любого г € \ {т}, при этом шах(,г0,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

1^г^п

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿0.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т^, ¿^, ] = 1,..., д, д ^ г + 1, что т^ > т?-+1, ¿^ > ¿^+1, ] = 1,..., д — 1, причем если в момент времени ¿' > 0 выполняется ||¿т(¿')Н = ¿^, (¿т(^),р) > 0, или для некоторого I € N ((¿¿(¿ОН = ¿.?, (¿г(¿'),р) > 0, то (¿т(¿' + т^),р) ^ 0 при любых управлениях ит(5), и(з) па отрезке [¿'^ + т?] в первом случае и (¿¿(¿' + т^),р) ^ 0 при любых управлепиях иг(5), и(з) па отрезке [¿^¿' + т^] — во втором.

Момент времени ¿г > 0, В КОТОрЫЙ впервые ВЫПОЛНЯвТСЯ равенство Пз(£) = ¿г и 11¿т(^г)Н = ¿г, (¿т(^г),р) > 0, или впервые выполняется равенство П2(¿) = ¿г и существует I € N такой, что ((¿¿(¿г)Н = ¿г, (-¿¿(¿г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, ЧТО В момент £ = ¿г выполнено (¿г(¿г)Н = ¿г и (¿¿(¿г),р) > 0. А еслИ (¿т(^г)Н = ¿г, (¿т(^г),р) > 0^от = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При t = 0 построим последовательности {т{}?=1, {¿1 }£=1, {¿!}|=1 по правилу:

г} = 5\ = А2(т}), ¿1 = Аз(т[). (40)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

^ ^ л / ^ л /1л 1ш3 11¿4

< & < Е А2(Т1) + Аз(Т1) < 5ГТ448 + - 215--

г=1 г=2

Тогда при любых управлениях иг (5), г = 1,..., п, па отрезке [0, ¿] и и(з) па множестве

[0, ¿] П ( и [¿г, + тг)) справедливы неравенства ("г ¿(¿),р) < —¿, I € [0, +го), г = 1,... , п, сле-

4=1 '

довательно, сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и {т}), не может произойти. Не

ограничивая общности, далее считаем, что д = п, то есть сближение наступает с каждым

преследователем.

Заметим также, что если в момент t = ¿' для некоторого г € N выполняются соотношения рг(¿;)Н = ¿1, (-¿г(¿;),Р) > 0, ("х г(¿0,Р) < — ¿, т0 любых управлениях иг(5), и^) па отрезке

[¡',(' + т1]

+т!).р) < «>; - -^=*-

А если В момент t = ¿' выполнено 11¿г(¿') Н = ¿1, (¿г(¿'),р) > 0, ( ¿ г^'),р) < — ¿, ТО При любых

¿(т*)3 (т*)4

управлениях щ(з), на отрезке [¿',+ т{] (^(¿' + т{),р) < -------------= 0.

Выбираем т1 = т/, ¿1 = ¿{, если Н-21 (¿1)Н = ¿1 ^ ¿1 = ¿1, если (¿1)Н = ¿{. Отметим, что ¿1 > 0. Маневр уклонения определим рекуррентным образом. Итак, пусть в момент t = ¿г выполнены соотношения рг(¿г)Ц = ¿г, (.¿г(¿г),р) > 0, ми Н¿г(¿г)Н = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, определены

числа тг, {г И последовательности {тг1}г°=^, {¿г}г°=г, {¿^}г°=г- ЧИСЛО {г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+1.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿г, ¿г+тг) строим с учетом поведения преследователя Рт. Если па полуинтервале [¿г, ¿г + тг) выполнено равенство рт(¿)|| = ¿т, то управление убегающего до момента t нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии со случаем 9. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10. Если же сближения с преследователем Рт не происходит, то па всем полуинтервале [¿г, ¿г + тг) выбираем управление в соответствии со случаем 10.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с преследователем Р,, ] € N \ {г}, то за время т, необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р.,-, руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт.

В случае если преследователь Рт встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время тт, а с момента £ = ¿г руководствоваться правилами случая 10.

Если же = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит мо-

Т т

мент такой, что рт(ФН = Дз(-^).

Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время -у по алгоритму, описанному в случае 9. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рг. Таким образом, уклонение от встречи в случае 13а доказано.

Случай 136. Пусть начальные условия такие же как в случае 13а, только т € N. Тогда (¿т,Р) > 0и (¿т,р) > 0, т € N , д ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 13а,

Е

А (т™) " Д (т™)

времени £ = такой, что рт(£)|| = $т и Рт(^)|| = &т- Пусть Д™ = — ^ т , А™ = — ^ т . Тогда стратегия убегания и доказательство будут такими же как в случае 76, только вместо ¿1 возьмем Дт, вместо ¿2 возьмем Дт, а вместо т1 го случая 7б^тт.

Случай 14а. Предположим, что (¿0 ,р) > 0 для любо го г € N, 1 < г ^ п и (¿0,р) ^ 0 для всех г го множества \ N При этом (¿0,р) > 0 для любо го г € ф^, г < т < п, и (¿0,р) ^ 0 для любого г € \ фт, г < т < п, а также тах(,г0,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения,

1^г^п

гарантирующий разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿0.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т,, ¿,, ] = 1,..., д, д ^ г + т, что т, > т,+1, ¿, > ¿,+1, .] = 1,..., 5 — 1, причем если в момент времени

> 0 выполняется для некоторого I € фт, рг(¿;)|| = ¿,, (¿г(¿0,Р) > 0, или для некоторого I € N рг(¿')|| = ¿,, (¿г(¿;),р) > 0, то (¿г(¿; + т,),р) ^ 0 при любых управлениях «г(з), и(8) па отрезке [¿;,+ т,], I € фт, в первом случае, и (¿г(¿; + т,),р) ^ 0 при любых управлениях иг^), V(з) на отрезке [¿', + т,], I € Мг, — во втором.

Момент времени ¿г > 0, в который впервые выполняется равенство П2 (¿) = ¿г и существует I € такой, что рг(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, или впервые выполняется равенство Пз(^) = ¿г и существует I € N такой, что рг(^)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности полагаем, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При t = 0 построим последовательности {т{}£=1, {¿1 }£=1, {¿1 }|=1 по правилу (39).

Числа тг, г = 1,..., д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

А . ^ . , г. А . , г. ¿3 247¿4

2> < «, « + Е Д^.) < й"448 + 8Пб-

г=1 г=1 г=г+1

Тогда сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и ф^), не может произойти. Заметим

также, если в момент t для некоторого г € соотношения ^¿г (¿;)| = ¿1,

(¿*(¿;),р) > 0, (‘¿‘),р) < — 5, то при любых управлениях и*(5), ^(5) па отрезке [¿'^ + т{]

(^(¿' + т[),р) < 5\ - = 0.

А если в момент £ = ¿; выполнено ((¿¿(¿ОН = 5*, (¿г(¿0,^) > 0, (¿¿(^),р) < — 5, ТО при любых

-• • ¿(г*)3 (т* )4

управлениях г^г(^), г?(«) на отрезке [¿',+ т|] (^(¿' + т[),р) < Ь\т\----^------= 0.

Выбираем п = т1, 5 1 = 5 {, если (2 1 (£ 1 )Н = 5 1, и 5 1 = 5 1, если Р 1 (£ 1 )Н = ^ 1 • Нетрудно видеть, что £ 1 > 0.

Итак, пусть в момент £ = выполнены соотношения ((¿¿(¿¿)|| = 5*, (¿*(¿*),р) > 0, или ||2*(¿*)Н = 5*, (¿*(¿*),р) > 0, определены числа т*, £* и последовательности {т|}!=*, {51 }=*, }=

Число ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будут «обходиться» преследователи Р*,..., Рг+т.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿*, +т*) строим исходя из информации о том,

какое равенство в момент £ = выполнен о: ||¿г(tг)|| = 5* или Ц^Н = 5*. В первом случае нужно руководствоваться правилами случая 9, во втором — случая 10.

Если существуют номера € Мга, г = такие, что , то сначала обходим ¿-того

тj

преследователя, а затем, подпустив ]-ото на расстояние Аз(у), применяем управление для

т.-

обхода преследователя Pj за время Таким образом, управление в случае 14а построено.

Случай 146. Пусть начальные условия такие же, как в случае 14а, только существует

помер г € N такой, что (¿0,р) > 0 и (¿0,р) > 0.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 14а, за

Е

мени £ = ¿г такой, что ||-г»(^)|| = Ь\ и ((¿¿(¿)|| = Ь\. Пусть А\ = —А\ = Тогда

стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 76, только вместо ¿1 возьмем /к*, вместо 52 возьмем Д*, а место т1 го случая 7б —т*.

Случай 15а. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любо го г € N, 1 < г ^ п, (¿^ , р) > 0

для некоторого т € \ N и (¿0,р) ^ 0 для всех г го мпожества \ N, (¿0,р) ^ 0 для

любого г € \ {т}, при этом тах^^р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿0.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т?, 5^, ] = 1,..., д, д ^ г + 1, что т? > т?+1, 5^ > 5^+1, ] = 1,..., д — 1, причем если в момент времени

> 0 выполняется рт(¿ОН = 5^-, (¿т(£/),р) > 0, или для некоторого I € N ((¿¿(¿ОН = 5^, (¿г(¿'),р) > 0, то (¿т(¿' + т^),р) ^ 0 при любых управлениях иг^), V(з) на отрезке [£',£' + т?] в первом случае и (¿г(£/ + т?),р) ^ 0 при любых управлепиях иг(5), v(s) па отрезке [¿;,£; + т^-] — во втором.

Момент времени > 0, В который впервые выполняется равенство П1 (£) = 5* И )Н = 5*,

(¿т(£*),р) > 0, или впервые выполняется равенство Пз(£) = 5* и существует I € Мг такой, что [[¿¿(¿^)Н = 5*, (¿г(£*),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t выполнено р*(¿*)Н = 5^ (¿*(¿*),р) > 0. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При t = 0 построим последовательности {т{}°=1, {51 }£=1, {¿1}£=1 по правилу:

4 = ^¡, = ДзМ), Ц = Д1И). (41)

Числа т*, г = 1,... , д, будут определены так, что т* ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

л л / л л / ь 2354 1152

Дз(т1> + Д1(П ) < д-1^2 + 255 •

*=1 *=2

Тогда при любых управлениях и*(з), г = 1,..., п, на отрезке [0, и v(s) па множестве

[0,*1П(й [¿*, + т*)^ справедливы неравенства (’¿’ *(¿),р) < —5, I € [0, +го), г = 1,..., п, следо-

4=1 '

вательно, сближения с преследователем Р*, г € Мга \ (Мг и {т}), не может произойти.

Заметим также, если в момент t = ¿! для некоторого г € N выполняются соотношения Н^*(¿;)Н = 51, (¿г^),р) > 0, ('¿'*(¿0,Р) < — 5, то при любых управлениях и*(5), v(s) па отрезке к,^ + т1]

(ф' + т‘),р) < г; - ^-^ = ».

А если в момент t = выполнено 11¿*(¿^)Н = ¿*, (¿*(¿;),р) > 0, (’¿’*(¿;),р) < —5, то при любых управлениях и*(5), V(5) на отрезке [¿^ + т*]

(-11 , _г\ \ _ гг (г1>2 ¿И)3 И)4 п

(г*(4 + т1),р) < д1—------------------------ -— = 0.

Выбираем т1 = т/, 51 = 5{, если р^^Ц = 5{, и 51 = ¿{, если р^^Ц = ¿{. Отметим, что ¿1 > 0. Итак, пусть в момент t = выполнены соотношения Ц^Н = 5*, (¿¿(t¿),p) > 0, или р* (¿*)Н = 5*, (¿*(¿*),р) > 0, определены числа т*, и последовательности {т*1}^*, {5*}£=*, {¿* }с=*. Число ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Р*,..., Рг+1.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿*, +т*) строим с учетом поведения преследователя Рт. Если па полуинтервале [¿*, + т*) выполнено равенство рт(¿)|| = 5т, то управление

убегающего до момента t = ¿т нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем Рт не происходит, то на всем полуинтервале [¿*, + т*) выбираем управление в соответствии со слу-

чаем 9.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с преследователем Р,, ] € N \{г}, то за время т, необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р,, руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт.

В случае если преследователь Рт встретится раньше, чем преследователь Р*, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время тт, а с момента t руководствоваться правилами случая 9.

Если же ¿т = ¿*, то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит момент

т т

такой, ЧТО рт(ф|| = А\{-^).

Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время -у по алгоритму, описанному в случае 11. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Р*. Таким образом, уклонение от встречи в случае 15а доказано.

Случай 156. Пусть начальные условия такие же, как в случае 15а, только т € N. Тогда (¿т,р) > 0 и (¿тт,р) > 0, т € N, д ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 15а,

Е

Д (тт) Д (тт)

времени £ = такой, что рт(£)|| = 5™ и Рт(^)|| = 5™. Пусть А™ = —3 т , А™ = —1 т . Тогда стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 66, только вместо 51 возьмем Дт, вместо 52 возьмем Дт, а вместо т1 го случая 6б^тт.

Случай 16а. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любого г € N, 1 < г ^ п, (¿т,р) > 0 для некоторого т € \ N и (¿0, р) ^ 0 для всех г го множества \ N, (¿0, р) ^ 0 для

любого г € \ {т}, при этом тах (¿0,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

¿0

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т?, 5,, ] = 1,...,д, д ^ г + 1, что т, > т,+1, 5, > 5,+1, ] = 1,...,д — 1, причем если в момент

времени t7 > 0 выполняется ||zm(t7)|| = ¿j, (zm(t7),p) > 0, или для некоторого l € Nr ||¿г(t7)|| = ¿j, (¿г(t7),p) > 0, то (zm(t7 + Tj),p) ^ 0 при любых управлениях um(s), v(s) на отрезке [t/,t/ + Tj] в первом случае и (z?(t7 + Tj ),p) ^ 0 при любых управл ениях u? (s), v(s) па отрезке [t7,t7 + Tj ] — во втором.

Момент времени ti > 0, в который впервые выполняется равенство Пз(£) = ¿i и pm(ti )|| = ¿i, (zm(ti),p) > 0, или впервые выполняется равенство ni(t) = ¿i и существует l € Nr такой, что |zi(ti)|| = ¿i, (¿i(ti),p) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент t = ti выполнено ||zi(ti )|| = ¿¿и (¿i(ti ),p) > 0. A есл и ||zm(ti)|| = ¿i, (¿m(ti),p) > 0, то m = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При t = 0 построим последовательности |t{}?=i, {¿i}£=i, {¿i}|=i по правилу:

ri = il = A,«), a = A»(TÎ). (42)

Числа Ti, г = 1,... , q, будут определены так, что Ti ^ т|, г = 1,..., q, поэтому

^ л л / л / 1 л 27¿2 Ш4

^ < Е Ai(ri) + Аз(т1) < + -g5--

i=1 i=2

Тогда при любых управлениях ui (s), г = 1,..., n, на отрезке [0, t] и v(s) па множестве

[0, t] П ( U [ti, ti + ^справедливы неравенства ( "z i (t),p) < —¿, t € [0, +œ), г = 1,..., n, следо-\= i '

вательно, сближения с преследователем Pi, г € Nn \ (Nr U {m}), не может произойти.

Заметим также, если в момент t = t! для некоторого г € Nr выполняются соотношения pi (t7 )|| = ¿i, (¿i (t7 ),p) > 0, ( "z i (t7),p) < — ¿, то при любых управлениях ui(s), v(s) па отрезке [t',t' + Tj ]

Г„ ,<i | _*>! ^ . « (ri)2 ^i)3 (^i)4 n

\Zi(t +T1),P) < dl—------------------------ -— = 0.

А если В момент t = t7 выполнено pi(t7)|| = ¿i, (¿i (t7),p) > 0, ( 'z i(t7 ),p) < —¿, то при любых

¿(Ti)3 (Ti )4

управлениях Uj(s), u(s) па отрезке [i7,i7 + r|] (Zi(t7 + r|),p) < ---------------------= 0.

Выбираем ^ = Ti, ¿i = ¿i, если ||Z i(t i)|| = ¿i, и ¿i = ¿i, если |zi(ti)|| = ¿i. Отметим, что t i > 0. Итак, пусть в момент t = ti выполнены соотношения pi(ti)|| = ¿i, (¿i(ti),p) > 0, или pi (ti )|| = ¿i, (zi (ti ),p) > 0, определены числа Ti, C и последовательности {t? }i°=i, {¿г }i°=i, {¿г}i=i^ ^л0 Ci ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Pi,..., Pr+i.

Управление убегающего E па полуинтервале [ti, ti+Ti) строим с учетом поведения преследователя Pm. Если па полуинтервале [ti, ti + Ti) выполнено равенство ||zm(t)|| = ¿m, то управление убегающего до момента t = tm нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 9. Маневр обхода преследователя Pm нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Pm не происходит, то па всем полуинтервале [ti, ti + Ti) выбираем управление в соответствии со случаем 11.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Pm происходит сближение с преследователем Pj, j € Nr \ {г}, то за время Tj необходимо осуществить маневр обхода преследователя Pj, руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Pm (случай 9).

В случае если преследователь Pm встретится раньше, чем преследователь Pi, г € Nr, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время тт, а с момента t = ti руководствоваться правилами случая 11.

Если же tm = ti, то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит мо-

T m

мент t7 такой, ЧТО ртЮН =

Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время у по алгоритму, описанному в случае 9. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 11, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рг. Таким образом, уклонение от встречи в случае 16а доказано.

Случай 166. Пусть начальные условия такие же, как в случае 16а, только т € . Тогда

(¿т,Р) > 0 и (¿т,р) > 0, т € М , д ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 16а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент

А (т™) " А (тт)

времени £ = такой, что рт(£)|| =6™ и рт(£)|| = 5™. Пусть А™ = —1 т , А™ = —3 т . Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 66, только вместо возьмем Д™ вместо ¿2 возьмем Ат, а место т1 из случая 66 ^тт.

Случай 17а. Предположим, что (¿°,р) > 0 для любо го г € , 1 < г ^ п, и (¿°,р) ^ 0 для

всех г го множества \ При этом (¿°,р) > 0 для любого г € От, г < т < п, и ( ¿°,р) ^ 0 для любого г € \ От, а также тах (¿°,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

1^г^п

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿°.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т?, ,

j = 1,..., д, д ^ г + т, что т^ > т^-+1, ¿^ > ¿^+1, j = 1,..., д — 1, причем если в момент времени Ь > 0 выполняется для неко торого I € От У ¿г (Ь7 )|| = ¿^, (¿г (Ь ),р) > 0, или для некоторого I € рг(Ь)|| = ¿^-, (¿г(Ь),р) > 0, то (¿г(Ь + т^),р) ^ 0 при любых управлениях «г(з), ^(«) на отрезке [Ь,Ь + т^], I € От, в первом случае, и (¿г(Ь + т?),р) ^ 0 при любых управлениях «г(з), V(з) на отрезке [Ь, Ь + т^], I € Мг, — во втором.

Момент времени ¿г > 0, В КОТОрЫЙ впервые выполняется равенство П1 (¿) = ¿г и существует I € От такой, что рг(Ьг)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, или впервые выполняется равенство Пз(Ь) = ¿г и существует I € такой, что рг (¿г )|| = ¿г, (¿г (¿г ),р) > 0, назовем моментом г-го сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При Ь = 0 построим последовательности |т{}£=1, {¿1 }£=1, {¿1 }£=1 по правилу (41).

Числа тг, г = 1,..., д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

А , ^ д . ... А д . ... 247¿4 27¿2

£т, < 6 <ЕДз(т1) + Е Д^1> < 126Г85 + 320 ■

г=1 г=1 г=г+1

Тогда сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и От), не может произойти. Заметим

также, если в момент Ь = Ь для некоторого г € выполняются соотношения рг (Ь)|| = ¿1, (¿г(Ь7),р) > 0, (‘¿‘г(Ь),р) < — ¿, то при любых управлениях «¿(з), v(s) па отрезке [Ь',Ь; + т1 ]

Ш + т1*).р) < <1 - ^-^ = 0-

А если В момент Ь = Ь выполнено ||¿¿(Ь7)|| = ¿1, (¿г(Ь),р) > 0, ( ¿ г(Ь),р) < —¿, то при любых управлениях «г(в), V(5) на отрезке [¿;,Ь + т{]

гЛ ^(^)2 5(т1)3 (т1)4 п

(г*(4 +т1),р) < Й!—-------^--------= 0.

Выбираем т1 = т1, ¿1 = ¿{, если р1 (Ь1)| = ¿{^ ¿1 = ¿{, ^ети |^1(Ь 1)| = ¿{. Нетрудно

видеть, что ¿1 > 0.

Итак, пусть В момент Ь = ¿г выполнены соотношения ||¿г(Ьг) | = ¿г, (¿г(¿г),Р) > 0, ИЛИ ^¿г(¿г)| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, определены числа тг, £г и последовательности {тгг}г°=г, {¿1 }°=г, {¿1 }г°=г. Число £г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+т.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿¿, ¿г + тг) строим исходя из информации о том, какое равенство в момент Ь = ¿г ^^^^отнено: ^¿¿(¿г)! = ¿г ми рг(Ьг)|| = ¿г. В первом случае

нужно руководствоваться правилами случая 9, во втором — случая 11.

Если существуют номера € Мга, г = такие, что £г = £7, то сначала обходим ¿-того

т7

преследователя, а затем, подпустив ^’-ого на расстояние Д^у), применяем управление для

Т7

обхода преследователя Pj за время у. Таким образом управление в случае 17а построено.

Случай 176. Пусть начальные условия такие же, как в случае 17а, только существует помер г € N такой, что (¿°,р) > 0 и (¿0,р) > 0.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 17а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент

времени £ = ¿г такой, что ||-г»(^)|| = 5\ и рг(£)|| =&\- Пусть А\ = —А\ = Стратегия

убегания и доказательство будут такими же как в случае 66, только вместо ¿1 возьмем Дг, вместо ¿2 возьмем Д*, а место т1 го случая 6б^тг.

Случай 18а. Предположим, что (¿°,р) > 0 для любо го г € N, 1 < г ^ п, (¿^ , р) > 0 для некоторого т € \ N и (¿°,р) ^ 0 для всех г го множества \ N, (¿°,р) ^ 0 для

любого г € \ {т}, при этом шах(^0,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

1^г^п

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿°.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т^, ¿7, ] = 1,..., д, д ^ г + 1, что т^ > т7+1, ¿7 > ¿7+1, ] = 1,..., д — 1, причем если в момент времени

> 0 выполняется рт(^)У = ¿.7, (-¿т(^0,Р) > 0, или для некоторого I € N рг^ОН = ¿7, ( ¿г(¿'),р) > 0, то (¿т(¿' + Т7),р) ^ 0 при любых управлениях ит(5), ^(5) па отрезке + т?]

в первом случае, и (¿г(¿; + т?),р) ^ 0 при любых управлениях иг(5), ^(«) па отрезке [¿,^ + т?] —

во втором.

Момент времени > 0, в который впервые выполняется равенство П2(¿) = ¿г и У¿т(^г)У = ¿г, ( ¿т(£г),р) > 0, или впервые выполняется равенство П1 (¿) = ¿г и существует I € N такой, что У ¿г (¿г )У = ¿г, ( ¿г (¿г ),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент £ = выполнено У(¿г)|| = ¿¿и ( ¿г(£г),р) > 0. А если У¿т(^г)У = ¿г, ( ¿т(£г),р) > 0^от = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При £ = 0 построим последовательности {т{}?=1, {¿1 }£=1, {¿1 }£=1 по правилу:

Т{ = 51 = А!(т9, ¿1 = Д2(т*). (43)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что тг ^ т|, г = 1,..., д, поэтому

^ ^ л / ^ л / ь 27¿2 11¿3

< ЕД1(Г1) + А2(т1> < 320" + “84“-

г=1 г=2

Тогда при любых управлениях и (з), г = 1,..., п, на отрезке [0, ¿] и ^(«) па множестве

[0, ¿] П ( и [¿г, + тг)) справедливы неравенства (¿'г(¿),р) < —¿, £ € [0, +го), г = 1,..., п, следо-

4=1 '

вательно, сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и {т}), не может произойти.

Заметим также, если в момент £ = £ для некоторого г € N выполняются соотношения Рг(¿;)У = ¿1, (¿г(^),р) > 0, ('¿'г(¿0,р) < —¿, то при любых управлениях иг(«), ^(«) па отрезке к,-£'+т1 ]

= о.

А если В момент £ = выполнено У ¿¿(¿ОН = ¿1, (¿г (¿0,р) > 0, ("¿’г(£/ ),р) < —¿, то при любых управлениях иг(5), V(5) на отрезке [^,^ + т{]

(*((' + 4),р) <¿1.т;-

Выбираем т1 = т/, ¿1 = ¿{, если Ц¿1 (£1)У = ¿{, и ¿1 = ¿{, если У¿1 (£1)У = ¿{. Отметим, ЧТО £1 > 0. Итак, ПУСТЬ В момент £ = £г выполнены соотношения У¿г(£г) У = ¿г, (¿г(£г),р) > 0, ИЛИ У ¿г (£г)У = ¿г, (¿г (£г),р) > 0, определены числа тг, {г И последовательности {тгг}г°=г, {¿г }г°=г, {¿г }^=г. Число Сг ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+1.

Управление убегающего Е па полуинтервале [£г, £г+т*) строим с учетом поведения преследователя Рт. Если па полуинтервале [£г,£г + т*) выполнено равенство У¿т(£)У = ¿т, то управление убегающего до момента £ = нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Рт не происходит, то па всем полуинтервале [£г,£г + т*) выбираем управление в соответствии со случаем 11.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с преследователем Р7-, ] € N \ {г}, то за время т7- необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р7-, руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт.

В случае если преследователь Рт встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время тт, а с момента £ = £г руководствоваться правилами случая 11.

Если же = £г, то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит мо-

т т

мент такой, что = Аг(у1)-

Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время -у по алгоритму, описанному в случае 10. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 11, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рг. Таким образом, уклонение от встречи в случае 18а доказано.

Случай 186. Пусть начальные условия такие же, как в случае 18а, только т € N. Тогда (¿т,Р) > 0 И ( ¿тт,р) > 0, т € N, д ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 18а,

Е

Д (т^) ^ " Д (тт)

времени £ = такой, что ((¿т(^)|| = ¿>т и Рто(^)|| = $т- Пусть А™ = —1 т , А™ = —2 т ■

¿1

возьмем Дт, вместо ¿2 возьмем Д£, а вместо т1 го случая 5б^тт.

Случай 19а. Предположим, что ( ¿°,р) > 0 для любого г € N, 1 < г ^ п, (¿т,р) > 0 для некоторого т € \ N и ( ¿°, р) ^ 0 для всех г го множества \ N, ( ¿г°, р) ^ 0 для

любого г € \ {т}, при этом шах (¿°,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

1^г^п

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿°.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т7-, ¿7, ] = 1,..., д, д ^ г + 1, что т7- > т7+1, ¿7 > ¿7+1, ] = 1,..., д — 1, причем если в момент времени £/ > 0 выполняется рш^ОУ = ¿7, (¿ш(^),р) > 0, или для некоторого I € N У ¿г (^ )У = ¿7, ( ¿г(£/),р) > 0, то ( ¿т(^ + т7-),р) ^ 0 при любых управлениях ит(5), V(з) на отрезке [^,^ + т7-] в первом случае и (¿г(^ + т7-),р) ^ 0 при любых управлениях иг^), v(s) па отрезке [£/,£ + т7-] — во втором.

Момент времени £г > 0, в который впервые выполняется равенство П1 (£) = ¿г и Рш(£г)У = ¿г, (¿т(£г),р) > 0, или впервые выполняется равенство П2(£) = ¿г и существует I € N такой, что У ¿г (£г)У = ¿г, (¿г (£г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент £ = £г выполнено У¿г(£г)У = ¿г и (¿г(£г),р) > 0. А если ||£т(£г)У = ¿г, ( ¿т(£г),р) > 0^от = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При Ь = 0 построим последовательности |т{}?=1, {¿1}£=1, {¿1}|=1 по правилу:

Т{ = ^, ¿1 = А2(т}), 61 = А,(г*). (44)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

^ л ^ л / ^ л / Ь 39^3 11^5

^тг<^ ^^А2(т1) + А1(т1) < 7^ + ^Г-

г=1 г=2

Тогда при любых управлениях щ(з), г = 1,..., п, на отрезке [0, ¿] и ^(з) па множестве

[0, Ь]П(и [Ьг, Ьг + тг)^ справедливы неравенства ('¿'г(Ь),р) < —¿, Ь € [0, +го), г = 1,..., п, следо-4=1 '

вательно, сближения с преследователем Рг, г € Мга \ (Мг и {ш}), не может произойти.

Заметим также, если в момент Ь = Ь для некоторого г € N выполняются соотношения II¿г(Ь)|| = ¿1, (¿г(Ь),р) > 0, ('¿'г(Ь;),Р) < — ¿, т0 при любых управлениях иг(з), ^(з) па отрезке

[ь,^ + т1 ]

(*((' + т;),р) < <5‘ . т‘ - -^=0.

А если В момент Ь = Ь выполнено II¿¿(¿0! = ¿!, (¿г(Ь),р) > 0, (¿¿(Ь),р) < — ¿, ТО при любых управлениях щг(5), V(з) на отрезке [Ь',Ь; + т{]

(*.(*' +^),р) <4-^-^-^ = 0.

Выбираем т1 = т/, ¿1 = ¿{, если ||¿1 (Ь1)| = ¿{, и ¿1 = ¿^ если ||г1 (Ь1)| = ¿{. Отметим, что ¿1 > 0. Итак, пусть в момент Ь = ¿г выполнены соотношения ||¿г(Ьг)|| = ¿г, (¿г(Ьг),р) > 0, ИЛИ ||¿г(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),Р) > 0, Определены ЧИСЛа Тг, £г И последовательности {т? }г°=г, {¿^}г°=г, {¿^}^=г. Число £г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+1.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿г, ¿г+тг) строим с учетом поведения преследователя Рт. Если па полуинтервале [¿г,Ьг + т) выполнено равенство рт(¿)|| = ¿т, то управление убегающего до момента Ь = ¿т нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществить за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10. Если же сближения с преследователем Рт не происходит, то па всем полуинтервале [¿г, ¿г + тг) выбираем управление в соответствии со случаем 10.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт происходит сближение с преследователем Р7, ] € N \ {г}, то за время т7 необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р7, руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт.

В случае если преследователь Рт встретится раньше, чем преследователь Рг, г € Мг, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время тт, а с момента Ь = ¿г руководствоваться правилами случая 10.

Если же = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит моТ т

мент такой, ЧТО рт(^)|| =

Маневр уклонения от преследователя Рт осуществим за время -у по алгоритму, описанному в случае 11. А затем вернемся к управлению, описанному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рг. Таким образом, уклонение от встречи в случае 19а доказано.

Случай 196. Пусть начальные условия такие же, как в случае 19а, только ш € N. Тогда ( ¿т,р) > 0 и (¿^,Р) > 0, ш € N, д ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 19а,

Е

Д (тт) Д (тт)

времени £ = ¿т такой, что рт(£)|| = $т и Рт(^)11 = ^т- Пусть А™ = —2 т , А™ = —1 т • Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 56, только вместо

возьмем Д "вместо ¿2 возьме м Д", а место т1 го случая 5 б^тт.

Случай 20а. Предположим, что (¿°,р) > 0 для любого г € N, 1 < г ^ п и (¿°,р) ^ 0 для всех г из множества \ Мг. При этом (¿0,р) > 0 для любого г € 0", г < т < п, и (¿°,р) ^ 0 для любого г € \ 0", а также тах (¿°,р) ^ 0. Опишем маневр уклонения, гарантирующий

1^г^п

разрешимость задачи убегания из такого начального состояния ¿°.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т?, ¿?, j = 1,..., д, д ^ г + т, что т? > т?+1, ¿? > ¿?+ъ j = 1,..., д — 1, причем если в момент времени Ь > 0 выполняется для некоторого I € II¿1 (^)|| = ¿7, (¿г(Ь),Р) > 0, или для некоторого I € N рг(Ь)|| = ¿7, (¿г(Ь),р) > 0, то (¿г(Ь + т?),р) ^ 0 при любых управлениях «г(з), ^(«) на отрезке [¿^Ь + т?], I € От в первом случае и (¿г(¿; + т?),р) ^ 0 при любых управлениях «г(з), ^(«) па отрезке [Ь, Ь + т?], I € Мг, — во втором.

Момент времени ¿г > 0, в который впервые выполняется равенство П2(¿) = ¿г и существу-

ет I € От такой, что ||¿г(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, или впервые выполняется равенство ^(¿) = ¿г и существует I € N такой, что ||¿¿(¿г)|| = ¿¿, (¿¿(¿г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25). " _ _ " ^

При Ь = 0 построим последовательности |т{}£=1, {¿1 }£=1, {¿1}|=1 по правилу (43).

Числа тг, г = 1,..., д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

А . ^ а / ¿Л ^ Л , ¿Л З9¿3 27¿2

Ет*<^^ЕА2(т1) + Е А1(Т1)< 7оТ¥ + ^-

г=1 г=1 г=г+1

Тогда сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и 0"), не может произойти. Заметим

также, если в момент Ь = Ь для некоторого г € N выполняются соотношения ((¿г (Ь)|| = ¿1, ( ¿г(¿;),р) > 0, (¿¿(Ь),р) < — ¿, то при любых управлениях «¿(з), ^(«) па отрезке + т{]

(~(1/ | _г>! _л .ггМ)2 ¿(^)3 (г!)4 п

+т1),р) < Й!—------------^--------------у = 0.

А если В момент Ь = Ь выполнено ||¿г(Ь/)|| = ¿г, (¿г(Ь),р) > 0, (’¿’г(Ь),р) < — ¿, ТО При любых управлениях иг(5), V(з) па отрезке + т|]

т!+т».р) < «и - = о.

Выбираем т1 = т^, ¿1 = ¿{, если рг(Ь 1)| = ¿{^ ¿1 = ¿{, ^ети |¿¿(Ь 1)| = ¿{. Нетрудно видеть, что ¿1 > 0.

Итак, пусть В момент Ь = ¿г выполнены соотношения ^¿¿(¿г)| = ¿г, ( ¿г(¿г),р) > 0, ИЛИ |¿г(¿г)| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, определены числа тг, {г и последовательности {тгг}г°=г, {¿г}г°=г, {¿г}г°=г. Число ^г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+та.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿¿, ¿г + тг) строим исходя из информации о том, какое равенство в момент Ь = ¿г выполнен о: рг(Ьг)|| = ¿г или || ¿¿(¿г)| = ¿г. В первом случае

нужно руководствоваться правилами случая 11, во втором — случая 10.

Если существуют номера г^’ € Мга, г = ^ такие, что ¿г = ^ обходим г-того

т?

преследователя, а затем, подпустив ]-ото на расстояние Д^у), применяем управление для

т.-

обхода преследователя Pj за время Таким образом, управление в случае 20а построено.

Случай 206. Пусть начальные условия такие же, как в случае 20а, только существует помер г € Мг такой, что (¿°,р) > 0 и (¿0,р) > 0.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 20а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент

времени £ = ¿г такой, что ||-г»(^)|| = 5\ и ((¿¿(¿)|| =&\- Пусть А\ = —А\ = Стратегия

убегания и доказательство будут такими же, как в случае 56, только вместо ¿1 возьмем Дг, вместо ¿2 возьмем Д*, а место т1 го случая 56^т*.

Случай 21а. Предположим, что ( ¿°,р) > 0 для любого г € N, 1 < г ^ п, ( ¿„1 , Р) > 0 для некоторого т1 € \ N, (¿„2 ,Р) > 0 для некоторого т2 € \ (Мг и {ш^) и (¿°,р) ^ 0

для всех г из множества \ N, (¿0,р) ^ 0 для любого г € \ {т1}, (¿°,р) ^ 0 для любого

г € \ {ш2}- Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из

такого начального состояния ¿°.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т?, ¿?, j = 1,..., д, д ^ г + 2, что т? > т?+1, ¿? > ¿?+1, j = 1,..., д — 1, причем если в момент времени Ь > 0 выполняется У¿т1 (Ь)У = ¿?, (¿т1 (Ь),р) > ^и У¿т2(Ь)|| = ¿?, (¿т2(Ь),р) > 0, или для некоторого I € N У ¿г (¿; )| = ¿?, ( ¿г (¿; ),р) > 0, то ( ¿т1 (Ь + т? ),р) ^ 0 при любых управлениях ит1 (8), ф) на отрезке [¿^Ь + т?] в первом случае, (¿т2(Ь + т?),р) ^ 0, при любых управлениях ит2(8), ^(«) па отрезке [Ь,^ + Т?] — во втором и (¿г(Ь; + т?),р) ^ 0 при любых управлениях «г(з), ^(«) па отрезке [Ь, Ь + т?] — в третьем.

Момент времени ¿г > 0, В который впервые выполняется П2(¿) = ¿г И У¿т1 (¿¡)Ц = ¿¡, (¿т1 (¿¡),Р) > 0, ИЛИ Пз(£) = ¿г И У ¿т2 (¿г) У = ¿г, (¿т2 (¿¡),р) > 0, МИ щ(Ь) = ¿¡И существует I € N такой, что ¡¡¿г(¿¡)|| = ¿¡, (¿¿(¿¡),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент Ь = ¿¡выполнено У ¿¡(¿¡)У = ¿г и (¿г (¿* ),р) > 0, а если У¿т1 (¿г)У = ¿г, (¿т1 (¿¡),р) > 0, то Ш1 = г. Если У¿„2(¿¡)У = ¿¡, (¿т2(Ьг),р) > 0, то Ш2 = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При Ь = 0 построим последовательности {г{}°=1, {¿1 }|=1, {й!}£=1, {¿1 }|=1 по правилу:

* ¿1 = Д^т*), 5\ = А2(т[), 5\ = Д3(т*). (45)

1 2г+2 ’

Числа т*, г = 1,..., д, будут определены так, что т* ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

^ л ,п л , и л / ^ 27¿2 11¿4 65¿3

^ ^ Л1(^1) + Л2(^1) + Лз(^1) < -дзо' + + 4! . 1бз-

г=1 ¡=з

Тогда при любых управлениях иг(з), г = 1,..., п, на отрезке [0, ¿] и ^(з) па множестве [0, Ь]П(11 [Ьг, + т)) справедливы неравенства ('¿'г(Ь),р) < —¿, Ь € [0, +го), г = 1,..., п, следо-

4=1 '

вательно, сближения с преследователем Р*, г € \ (Мг и {ш1, Ш2}), не может произойти.

Заметим также, если в момент Ь = Ь для некоторого г € Мг выполняются соотношения Уй(Ь)У = ¿1, (¿г(Ь),р) > 0, ('¿'г(Ь;),Р) < — ¿, т0 любых управлениях иг(з), ^(з) па отрезке

[ь,^ + т1]

Если в момент Ь = Ь выполнено У ¿г (Ь/)У = ¿1, (¿¡(Ь ),р) > 0, (¿¡(Ь ),р) < —¿, то при любых управлениях иг(8), V(8) на отрезке [¿;,Ь; + г{]

(^(¿' + тГ),р) < 5\т\ - = 0-

А если в момент Ь = Ь выполнено У¿г(Ь/)У = ¿1, (¿г(Ь),Р) > 0, (¿¡(Ь),р) < — ¿, то при любых управлениях иг(8), V(8) на отрезке [¿;,Ь; + г{]

(*(«' + т{),»>) < Ц - ^ = °-

Выбираем т1 = г/, ¿1 = ¿{, если р1(Ь1 )|| = ¿{, и ¿1 = ¿{, если У¿1 (Ь1 )У = ¿{, ¿1 = ¿{, если У ¿1 (¿1) У = ¿1 .Отметим, что ¿1 > 0. Итак, пусть в момент Ь = выполнены соотношения рг (¿г )У = ¿г, (¿г (¿г ),р) > 0, или У ¿г (¿¡)У = ¿г, (¿г (¿¡),р) > 0, или У ¿г (Ь )У = ¿г, (¿г (Ь* ),р) > 0, определены числа гг, и последовательности {тгг}г°=г, {¿г}г°=г, {¿г}°=г, {¿*}г°=г. Число ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей

Р*, . . . , Рг+2.

Управление убегающего Е па полуинтервале [¿¡,Ь* + г*) строим с учетом поведения преследователей Рт1 и Рт2. Если па полупитервале [¿* , ¿* + г*) выполнено равенство У¿т1 (¿)У = ¿т1, то управление убегающего до момента Ь = ¿т1 нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Рт1 нужно осуществить за время гт1. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Рт1 не происходит, то та всем полу интервале [¿¡,Ь* + г*) выбираем управление в соответствии со случаем 11.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт1 происходит сближение с преследователем Р?, j € N \ {г}, то за время г? необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р?, руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт1.

В случае если преследователь Рт1 встретится раньше, чем преследователь Р*, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время гт1, а с момента Ь = ¿г руководствоваться правилами случая 11.

Если же ¿т1 = ¿¡, то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит

момент такой, что У¿т1 (¿*)У = Д2(

Т „1 ' „1

Маневр уклонения от преследователя Рт1 осуществим за время -у- по алгоритму, опи-

Рг

тель Рт2 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Рт2 в соответствии со случаем 9.

Если па полуинтервале [¿* , ¿* + г*) выполнено равен ство У ¿т2 (¿)У = ¿т2, то управление убегающего до момента Ь = ¿т2 нужно выбирать как в случае 11, а затем действовать в соответствии со случаем 9. Маневр обхода преследователя Рт2 нужно осуществить за время тт2. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11. Если же сближения с преследователем Рт2 не происходит, то на всем полуинтервале [¿¡,Ь* + г*) выбираем управление в соответствии со случаем 11.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт2 происходит сближение с преследователем Р?, j € N \ {г}, то за время г? необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р?, руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Р„2 •

В случае если преследователь Рт2 встретится раньше, чем пресл едователь Р*, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9 за время тт2, а с момента Ь = Ь* руководствоваться правилами случая 11.

Если же ¿т2 = ¿¡, то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит мо-

г„2

мент такой, что ||-гт2(4)11 = Аз(_~)- Маневр уклонения от преследователя Рт2 осуществим

за время -у- по алгоритму, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Р*. Преследователь Рт1 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Рт1 в соответствии со случаем 10.

Если ¿т1 € [¿¡,Ь* + г*) и ¿т2 € [¿¡,Ь* + г*), то управление убегающего до момента Ь = ¿т, где т = Ш1 ми т = Ш2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Рт1 или Рт2, нужно выбирать как в случае 11, а затем управление должно быть выбрано в соответствии со случаем 10, если т = т1, или случаем 9, если т = т2. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществлять за время гт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11 до момента Ь = , где т € {т1, т2} — номер преследователя, который не встречался ранее. После

того как наступил момент Ь = , управление выбираем как в случае 10, если т = т1, или как

в случае 9, если т = т2. Маневр обхода преследователя Р„ нужно осуществлять за время тт. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 11.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Р„ (Рп) происходит сближение с преследователем Р7, ] € N \ {г}, то за время т7 необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р7, руководствуясь правилами случая 11, и вернуться к маневру обхода преследователя Р„ (Рп): как в случае 9, если т(т) = т2, или как в случае 10, если т(т) = т1.

В случае если преследователь Р„(Рп) встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9, если т(т) = т2, или со случаем 10, если т(т) = за время тт (тп), а с момента г = руководствоваться правилами

случая 11.

Если же (¿то) = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не наступит

т„1 т „2

момент такой, что ||-¿^1 (^¿)II = (Рт2(ФН = Аз(-у-))- Маневр уклонения от преследователя Рт1 (Рт2) осуществим за время по алгоритму, описанному в случае 10

(в случае 9), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Р^.

Если же 1 = 2 = , то сначала выбираем управление как в случае 11, пока не на-

т „1

ступит момент такой, что ||-¿гщ(^¿)II = Маневр уклонения от преследователя Рт1

осуществим за время по алгоритму, описанному в случае 10, до тех пор, пока не наступит

Т „2

момент такой, что ||-гт2 (Ь'О || = Дз(-у-). Маневр уклонения от преследователя Рт2 осуществим за время -у- по алгоритму, описанному в случае 9, а затем вернемся к управлению, описанному в случае 11, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Р^. Таким образом, уклонение от встречи в случае 21а доказано.

Случай 216. Пусть начальные условия такие же, как в случае 21а, только Ш1(т2) € N. Тогда (¿01 ,р) > 0 ((¿02,р) > 0) и (¿01 ,р) > 0 (( ,р) > 0), Ш1(Ш2) € N, а д < г + 1.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 21а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени г = ¿„1 0 = ¿„ад) такой, ЧТО р„1 (¿)|| = ¿„1 (р„2 (^У = С2) и II ¿ш 1 (г) У =

(II ¿„2(г)| = Пусть

дтх = А1(Тт1) (Аш2 = А1 (^~та2 ) \ дни = ( ~ т2 А3ВД)

2 2 '5 2 2

Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 56 (66), только вместо ¿1 возьмем ДШ1 (Д„2^) ВМвСТО ¿2 возьмеМ ДШ1 (Д„2)’ а вместо ^ из случая 56 (6б)^тш 1 (тш2).

Случай 21в. Пусть начальные условия такие же, как в случае 21а, только существует помер Ш1,Ш2 € N. Тогда ( ¿^ 1 ,р) > 0, (¿02 ,р) > 0, ( ¿^ ,р) > 0, (¿02 ,р) > 0 тьШ2 € N, ад ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случаях 21а и 216, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени г = 1 = г„2 такой, что рш 1 (г) У = ¿„1, У ¿„2 (г)У = ¿„2, У¿„ 1 (г)У = ¿„1,

11 ¿„2 (г) У = 2- Пусть

Дт(т „1) Дт(т „2) Д2(т „1) Д3(т „2)

дт1 _ Н'»»! 7 д”12 _ 1У'т-2 / Дт1 — ¿V то-1 У Дт2 _ зу'т.2 У

Ш1 ^ ) пгг ^ ^ ) т-2 2 ’

¿1

возьмем Д„1 И Д„2, вместо ¿2 возьмем ¿Д„1 и Д„2 5 а вместо т1 го случая 5б — т„ 1, вместо т1

т 2

Случай 22а. Предположим, что ( ¿0, р) > 0 для любого г € N, 1 < г ^ п, ( ¿01 , р) > 0 для некоторого т1 € \ N, (¿^2,р) > 0 для некоторого т2 € \ (Мг и {т^} и (¿0,р) ^ 0

для всех г го множества \ N, (¿0,р) ^ 0 для любого г € \ {т1}, (¿0,р) ^ 0 для любого

г € \ {т2}. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из

0

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т?, ¿?, ] = 1,..., д, д ^ г + 2, что т? > т?+1, ¿? > ¿?+1, ] = 1,..., д — 1, причем если в момент времени г > 0 выполнявтся У¿„1 (г')У = ¿?, ( ¿„1 (г'),р) > ^и У¿„2(г')|| = ¿?, (¿„2(г'),р) > 0, или для некоторого I € N У ¿г (г' )У = ¿?, (¿г (г'),р) > 0, то (¿„1 (г' + т? ),р) ^ 0 при любых управлениях

и„1 (5), и(8) на отрезке [г',г' + т?] в первом случае, (¿„2(г' + т?),р) ^ 0 при любых управлениях и„2(5), V(5) па отрезке [г',г' + т?] ^во втором и (¿г(г' + т?),р) ^ 0 при любых управлениях иг^), V(5) на отрезке [г', г + т?] — в третьем.

Момент времени > 0, В который впервые выполняется П1 (г) = ¿г и У¿„1 (^г)У = ¿г,

(¿„1 (гг),р) > 0^и Пз(г) = ¿г И У¿„2 (гг)У = ¿г, (¿„2 (гг),р) > 0^и П2(г) = ¿г И существует

I € N такой, что У ¿г (гг) У = ¿г, (¿г (гг ),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент г = гг выполнено У ¿г (гг )У = ¿г и ( ¿г (гг),р) > 0, а если 1^1 (гг)У = ¿г, (¿„1 (гг),р) > 0, то Ш1 = г. Если У¿„2(гг)У = ¿г, (¿„2(гг),р) > 0, то Ш2 = г. Содержательно это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При г = 0 построим последовательности {т|}|=1, {¿1 }|=1, {51 }£=1, № }|=1 по правилу:

т} = 5\ = Л2(т}), 5\ = Д^), ¿1 = Аз(т[). (46)

Числа тг, г = 1,..., д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

л л / л / ь л / ^ 11¿2 65¿4 З9¿3

< ^ ^ Е 2(Т1) + А^т^) + АзС^) < Ь ^[7^04 + 70 . 45 •

г=1 г=з

Тогда при любых управлениях иг (8), г = 1,..., п, па отрезке [0, г] и v(s) па множестве [0,г]Г|(й [гг,гг + тг^справедливы неравенства (‘¿‘г(г),р) < —¿, г € [0, +го), г = 1,..., п, следо-

4=1 '

вательно, сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и {т1, Ш2}), не может произойти.

Заметим также, если в момент г = г' для некоторого г € N выполняются соотношения У¿г(г')У = ¿1, (¿г(г'),р) > 0, ('¿'г(г'),р) < — ¿, то при любых управлениях иг(5), v(s) па отрезке

[г',г' + т{]

(*((' + т‘),р) < 6\т{ - -^ = 0.

Если в момент г = г' выполнено У ¿г (г') У = ¿|, (¿г(г'),р) > 0, (¿г (г'),р) < —¿, то при любых управлениях иг(5), V(5) па отрезке [г', г' + т|]

А если в момент г = г' выполнено У ¿г (г' )У = , (¿г (г' ),р) > 0, (’¿’г (г' ),р) < —¿, то при любых

управлениях иг(5), V(5) на отрезке [г', г' + т{]

Выбираем т1 = т/, ¿ 1 = ¿ {, если У¿ 1 (г 1 )У = ¿ {, и ¿ 1 = 5{, если 1 (г 1 )У = 5{, ¿ 1 = , ес-

ли У¿1(г0У = ¿|. Отметим, что г1 > 0. Итак, пусть в момент г = гг выполнены соотношения У ¿г (гг )У = ¿г, (¿г (гг ),р) > 0, или ((¿г (гг) У = ¿г, (¿г (гг), р) > 0, или У ¿г (г )У = ¿г, (¿г (гг ),р) > 0, определены числа тг, £г и последовательности {тгг}г°=г, {¿г}°=г, {^}°=г, {¿г}г°=г. Число £г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей Рг,..., Рг+2.

Управление убегающего Е па полуинтервале [гг, гг + тг) строим с учетом поведения преследователей Р^ и Р„2. Если па полупитервале [гг ,гг + тг) выполнено равенство У¿Ш1 (г) У = ¿„1, то

управление убегающего до момента г = г„1 нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Р„1 нужно осуществить за т„1 .

следователем Р„1 не происходит, то та всем иолу интервале [гг, гг + тг) выбираем управление в соответствии со случаем 10.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Р„1 происходит сближение с преследователем Р?, ] € N \ {г}, то за время т? необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р?, руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Р„1-

В случае если преследователь Р„1 встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время т„1, а с момента г = гг руководствоваться правилами случая 10.

г„1 = гг,

т„1

момент такой, что рт1(ф|| =

Маневр уклонения от преследователя Рт1 осуществим за время по алгоритму, опи-

Рг

тель Р„2 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Р„2 в соответствии со случаем 9.

Если па полуинтервале [гг,гг + тг) выполнено равенство У¿„2 (г) У = ¿„2, то управление убегающего до момента г = г„2 нужно выбирать как в случае 10, а затем действовать в соответствии

Р„2 т„2 .

Р„2

происходит, то па всем полуинтервале [гг, гг + тг) выбираем управление в соответствии со случаем 10.

Р„2

следователем Р?, ] € N \ {г}, то за время т? необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р?, руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследовате-Р„2

В случае если преследователь Р„2 встретится раньше, чем пресл едователь Рг, г € N, тогда

т„2 , г = гг

руководствоваться правилами случая 10.

г„2 = гг,

т„2

момент такой, что У-гт2(^)|| = Дз(_тр")- Маневр уклонения от преследователя Рт2 осуществим за время по алгоритму, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения

Рг Р„1

ния от преследователя Р„1 в соответствии со случаем 10.

Если г„1 € [гг,гг + тг) и г„2 € [гг,гг + тг), то управление убегающего до момента г = г„, где т = ш^и т = Ш2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Р„1 или Р„2 ,

со случаем 11, если т = т1, или случаем 9, если т = т2. Маневр обхода преследователя Р„ нужно осуществлять за время т„. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10 до момента г = г„, где т € {т1, т2} — номер преследователя, который не встречался ранее. После того как наступил момент г = г„, управление выбираем как в случае 11, если т = т1, или как в случае 9, если т = т2. Маневр обхода преследователя Р„ нужно осуществлять за время т„. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 10.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Р„ (Р^) происходит сближение с преследователем Р?, ] € N \ {г}, то за время т? необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р?, руководствуясь правилами случая 10, и вернуться к маневру обхода преследователя Р„ (Рт): как в случае 9, если т(т) = т2, или как в случае 11, если т(т) = т1.

В случае если преследователь Р„(Рт) встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 9, если т(т) = т2, или со

случаем 11, если m(m) = mi, за время тт (rm), а с момента t = tj руководствоваться правилами случая 10.

Если же tm(tm) = tj, то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наступит

Т mi т ™2

момент t' такой, что pmi(4)ll = (Ртг (4) II = Аз(“~))- Маневр уклонения от преследователя Рт1 {Рт2) осуществим за время 110 алгоритму, описанному в случае 11

(в случае 9), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 10, чтобы завершить маневр

уклонения от преследователя Pj.

Если же tmi = tm2 = tj, то сначала выбираем управление как в случае 10, пока не наТ mi

ступит момент t\ такой, что pmi(ii)|| = Маневр уклонения от преследователя Рт1

осуществим за время по алгоритму, описанному в случае 11, до тех пор, пока не наступит

Tm2

момент t'l такой, что \\zm2 (t") || = Дз(^р). Маневр уклонения от преследователя Рт2 осуществим за время ^р по алгоритму, описанному в случае 9, а затем вернемся к управлению, описанному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Pj. Таким образом уклонение от встречи в случае 22а доказано.

Случай 226. Пусть начальные условия такие же, как в случае 22а, только mi(m2) € Nr. Тогда (¿m,p) > 0 ((zm2,p) > 0) и (zm 1 ,p) > 0 (( zm2,p) > 0), mi(m2) € Nr, a q < r + 1.

Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случае 22а, за исключением варианта построения управления убегающего E, когда существует момент времени t = tmi (t = tmj такой, ЧТО pmi (t) || = Ci (||Zm2 (t) || = C2) И ||Zmi (t) || = d ( II zm2 (t)|l = C2)- ПУСТЬ

Aofr™1) Aofr™2) Ai(rmi) - A3(rm2'

ДШ1 _ ^ V Ш-1 У /ДГП2 _ ^ V ‘ Ш2 ) \ \mi _ -I- V Ш-1 У / \ TYl2 _ 6 V m2 >

о V^rri2 о mi о v^rn-2 о

Тогда убегание будет доказываться так же, как в случае 56 (76), только вместо ¿і возьмем А„1 (А^), вместо ¿2 возьмем /Ат (А„2), а вместо ^ из случая 56 (7б)^тт1 (тт2).

Случай 22в. Пусть начальные условия такие же, как в случае 22а, только существует помер ті ,Ш2 Є N .Тогда (¿^ ,Р) > 0, (¿^2 ,р) > 0, (¿^ ,р) > 0, (¿^ ,р) > 0 тьт,2 Є N, ад ^ г.

Доказательство уклонения от встречи производится аналогично доказательству в случаях 22а и 226, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени г = ¿ті = ¿„2 такой, ЧТО р^. (¿)II = С1, II ¿„2 (¿)|| = С2, Р™1 (¿)|| = <С1,

II ¿т2 (г) II = С2- Пусть

А2(т т1) А2(т т2) Аі(т т1) А3(т т2)

дті _ ^V таї У дт2 _ 2У'т2 ) дт1 — ^ »»1 ^ Д"12 — ЗУ'т2 /

4 і —m2 4 — 4 —™2 2

Тогда убегание будет доказываться так же, как в случае 56 и 76, только вместо ¿і возьмем Дті и Дт2, вместо ¿2 возьмем Д^и Дт^авместо т1 го случая 5б — тт1, вместо т1 из случая 76 —

соответственно.

Случай 23а. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любого г € N, 1 < г ^ п, (¿т1, р) > 0 для некоторого Ш1 € \ N, (¿т2 ,р) > 0 для некоторого т2 € \ (Мг и {т^}) и (¿0,р) ^ 0

для всех г из множества \ N, (¿0,р) ^ 0 для любого г € \ {т1}, (¿0,р) ^ 0 для любого

г € \ {т2}. Опишем маневр уклонения, гарантирующий разрешимость задачи убегания из

такого начального состояния z0.

В процессе построения маневра уклонения определим такие положительные числа т/, ¿/, j = 1,...,д, д ^ г + 2, что т/ > г?+1, +1, j = 1,...,д — 1, причем если в момент

времени £' > 0 выполняется рт1 (¿')У = , (¿т1 (¿'),р) > 0, или рт2(^)У = ¿7, (¿т2(¿;),р) > 0,

или для некоторого I € рг(£;)У = ¿7, (¿г(^),р) > 0, то (¿т1 (¿; + т^),р) ^ 0 при любых

управлениях ит1 («), V(5) на отрезке + т./] в случае, (¿т2(¿; + т^-),р) ^ 0 при любых

управлениях ит2(5), v(s) ^а отрезке + т/втором и (¿г(¿; + т/),р) ^ 0 при любых

управлениях иг(5), v(s) на отрезке + т/] —в третьем.

Момент времени ¿г > 0, В КОТОрЫЙ впервые выполняется П1 (¿) = ¿г И рт1 (¿г)|| = ¿г, (¿т1 (¿г),Р) > 0^И П2(¿) = ¿г И рт2 (¿г) | = ¿г, (¿т2 (¿г),р) > 0, МИ ^з(^) = ¿г И СуЩвСТВу-ет I € N такой, ЧТО рг(¿г) | = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, назовем моментом г-того сближения. Не уменьшая общности, полагаем, что в момент £ = ¿г выполнено рг^г)! = ¿г и (¿г(¿г),р) > 0, а если Рт1 (¿г )|| = ¿г, (¿т1 (¿г),р) > 0, ТО Ш1 = г. ЕСЛИ рт2 (¿г) | = ¿г, (¿т2 (¿г ),Р) > 0, ТО Ш2 = г. Содер-жательпо это означает, что преследователи пронумерованы в том порядке, в каком происходят их сближения с убегающим. Управление убегающего определим соотношением (25).

При t = 0 построим последовательности {т{}°=1, {¿1 }°=1, {¿1 }|=1, {й1 }|=1 по правилу:

т} = ¿1 = Аз(т{), 5\ = Д^), ~5\ = А3(т[). (47)

Числа тг, г = 1,... , д, будут определены так, что тг ^ т{, г = 1,..., д, поэтому

л л / л л / ь л / ^ ш2 23¿4 65¿3

Ет,<б<Ед^1) + д1^)+д^1)<^- + ^Гт^ + ^Гт^-

г=1 г=з

Тогда при любых управлениях иг(8), г = 1,..., п, на отрезке [0, ¿] и v(s) па множестве

[0, ¿] П ( и [¿г, ¿г + тг)) справедливы неравенства ("х г(¿),р) < —¿, í € [0, +го), г = 1,..., п, следо-4=1 '

вательно, сближения с преследователем Рг, г € \ (Мг и {ш1, Ш2}), не может произойти.

Заметим также, если в момент t для некоторого г € N выполняются соотношения ll¿г(¿;)11 = ¿1, (¿г(¿;),Р) > 0, (’¿’г(¿0,Р) < — ¿, т0 ПРИ любых управлениях иг(з), v(s) па отрезке [¿^ + т1 ]

(г,(г' + т{),р) <-&£ = #.

Если в момент t выполнено рг(^)|| = ¿г, (¿г(^/),р) > 0, (¿г^),р) < — ¿, то при любых

управлениях иг(5), v(5) на отрезке [¿^ + т{]

/ /./ , г\ \ ^ п (т1)2 ^)3 (г!)4

(гД* +т1),р) < Й!—--

3! 4!

А если в момент t ^ выполнено рг^ОЦ = ¿!, (-¿г(¿),р) > 0, (’¿’г^),р) < —¿, то при любых управлениях иг(5), v(5) па отрезке [¿^ + т{]

(й(г' + т\),р) < ¡¡\т\ - = »■

Выбираем т1 = т/, ¿ 1 = ¿ {, если р 1 ^ 1)| = ¿ |, и ¿ 1 = й {, если ||¿ ^ 1)| = й {, ¿ 1 = й {, если р^ОЦ = й|. Отметим, что ¿1 > 0. Итак, пусть в момент t = ¿г выполнены соотношения рг(¿г)Н = ¿г, (¿г^р) > 0, или рг(¿г)|| = ¿г, (¿г(¿г),р) > 0, или рг(¿г)Н = ¿г, (-¿г(¿г),р) > 0, определены числа тг, £г и последовательности {тгг }г°=г, {¿г }г°=г, {¿г }г°=г, {¿г}г°=г. Число £г ограничивает сверху суммарное время, в течение которого будет осуществлен маневр обхода преследователей

Рг, . . . , Рг+2.

Управление убегающего Е па полуиптервале [¿г, ¿г + тг) строим с учетом поведения преследователей Рт1 и Рт2. Если па полуинтервале [¿г, ¿г + тг) выполнено равенство рт1 (¿)|| = ¿т1, то управление убегающего до момента t = ¿т1 нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 11. Маневр обхода преследователя Рт1 нужно осуществить

тт1 .

следователем Рт2 не происходит, то та всем полу интервале [¿г ^г + тг) выбираем управление в соответствии со случаем 9.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт1 происходит сближение с преследователем Р/, j € \ {г}, то за время т/ необходимо осуществить маневр обхода преследо-

вателя Р/, руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт1 •

В случае если преследователь Рт1 встретится раньше, чем преследователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 11 за время тт1, а с момента t = ¿г руководствоваться правилами случая 9.

Если же ¿т1 = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит мо-

1 тт1

мент такой, что ргщСФН =

Маневр уклонения от преследователя Ртг осуществим за время 110 алгоритму, опи-

Рг

Рт2 Рт2

ветствии со случаем 10.

Если па полуинтервале [¿г, ¿г + тг) выполнено равенство рт2 (¿)|| = ¿т2, то управление убегающего до момента t = ¿т2 нужно выбирать как в случае 9, а затем действовать в соответствии со случаем 10. Маневр обхода преследователя Рт2 нужно осуществить за время тт2. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9. Если же сближения с преследователем Рт2 не происходит, то та всем полу интервале [¿г, ¿г + тг) выбираем управление в соответствии со случаем 9.

Рт2

следователем Р/, j € N \ {г}, то за время т/ необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р/, руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследовате-

Рт2

В случае если преследователь Рт2 встретится раньше, чем пресл едователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10 за время тт2, а с момента t = ¿г руководствоваться правилами случая 9.

Если же ¿т2 = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит мо-

тт2

мент такой, что рт2(^)|| = Д2(“~")- Маневр уклонения от преследователя Рт2 осуществим

за время по алгоритму, описанному в случае 10, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Рг. Преследователь Рт1 встречается позже, поэтому строим маневр уклонения от преследователя Рт1 в соответствии со случаем 11.

Если ¿т1 € [¿г,¿г + тг) и ¿т2 € [¿г,¿г + тг), то управление убегающего до момента t = ¿т, где т = Ш1 или т = Ш2 в зависимости от того, какой преследователь встретится раньше, Рт1 или

Рт2 ,

со случаем 11, если т = т1, или случаем 10, если т = т2. Маневр обхода преследователя Рт

тт.

момента t = ¿т, где т € {т1, т2} — номер преследователя, который не встречался ранее. После того как наступил момент t = ¿т, управление выбираем как в случае 11, если т = т1, или как в случае 10, если т = т2. Маневр обхода преследователя Рт нужно осуществлять за время тгп. Затем вернуться к управлению, заданному в случае 9.

Когда при осуществлении маневра обхода преследователя Рт (Рт) происходит сближение с преследователем Р/, j € N \ {г}, то за время т/ необходимо осуществить маневр обхода преследователя Р/, руководствуясь правилами случая 9, и вернуться к маневру обхода преследователя Рт (Рт): как в случае 10, если т(т) = т2, или как в случае 11, если т(т) = т1.

В случае если преследователь Рт(Рт) встретится раньше, чем пресл едователь Рг, г € N, тогда нужно осуществить маневр обхода в соответствии со случаем 10, если т(т) = т2, или со случаем 11, если т(т) = т15 за время тт (т,™), а с момента t = ¿г руководствоваться правилами случая 9.

Если же ¿т(¿т) = ¿г, то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наступит

т 1 т 2

момент такой, что ргщСФН = Д^-^) (рт2(4)11 = А2(“~"))- Маневр уклонения от преследователя Рт1 {Рт2) осуществим за время 110 алгоритму, описанному в случае 11

(в случае 10), а затем вернемся к управлению, заданному в случае 9, чтобы завершить маневр

Если же Іті = Іт2 = ¿і , то сначала выбираем управление как в случае 9, пока не наг ті

ступит момент ^ такой, что рті(^)|| = Маневр уклонения от преследователя Рт1

осуществим за время Тип. п0 алгоритму, описанному в случае 11, до тех пор, пока не наступит

тт2

момент такой, что рт2(^)|| = Маневр уклонения от преследователя Рт2 осуще-

ствим за время по алгоритму, описанному в случае 10, а затем вернемся к управлению, описанному в случае 9, чтобы завершить маневр уклонения от преследователя Р^. Таким образом, уклонение от встречи в случае 23а доказано.

Случай 236. Пусть начальные условия такие же, как в случае 23а, только ші(ш2) Є N. Тогда (¿ті,р) > 0 ((¿т,р) > 0) и (*ті>Р) > 0 ((¿т,Р) > 0), ті(т) Є N, а д < г + 1.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случае 23а, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени І = ¿ті (І = ¿тг) такой, ЧТО рті (¿)|| = Сі (Рт2 (¿)|| = С^) и II ¿ті (¿) || = ¿ті (|| ¿т2 (г)| = ¿т2)- Пусть

До(т ті) Д3(гт2) Ді(гті) - Д2(гт2)

дті _ ^V ш-1 У / \ТП2 _ 6 \‘ГП2 ) \ дті _ 1V 'ті У /дт2 _ ^ т2 ) '

^ті Г) 1^7712 О ті Г) 1^7712 О '

Стратегия убегания и доказательство будут такими же, как в случае 66 (76), только вместо ¿і возьмем Д;т (Дт^, вместо ¿2 возьмем Дті (Д£*), а вместо ^ из случая 66 (7б)^тті (тт2).

Случай 23в. Пусть начальные условия такие же, как в случае 23а, только существует помер ші,ш2 Є N. Тогда (¿ті,р) > 0, (¿т2,р) > 0, (¿ті,р) > 0, (¿т2,р) > 0 тьШ2 Є N, ад ^ г.

Доказательство уклонения от встречи строится аналогично доказательству в случаях 23а и 236, за исключением варианта построения управления убегающего Е, когда существует момент времени г = ¿ті = Іт2 такой, ЧТО рті (І)|| = ¿ті, Рт2 (¿)|| = ¿£¿2, II¿ті (¿)|| = ¿ті,

II ¿т2 (¿) II = С2- ПуСТЬ

Д3(т ті) Д3(г т2) Ді (г ті) Д2(г т2)

дті _ Зу'ті 7 Д™2 _ ¿У'т2 У Дт1 — ^ ті 7 Дт2 _ 2У'т2 У

ті ^ , ^т2 ^ , “ті ^ , ^т2 2 ‘

¿і

возьмем Дті и Дт2, вместо ¿2 возьмем Д* и Д^ а вместо гі го случая 6б — тті, вместо гі

гт2

Промежуточный итог. Итак, перебрав различные варианты сочетаний начальных условий, мы рассмотрели 23 случая. Случай 1 — когда сближения с преследователями не происходит, в остальных случаях происходят сближения трех разных видов.

Сближением первого вида назовем сближение в обычном смысле, то есть такое, когда расстояние между убегающим и преследователем сокращается.

Сближением второго вида, или сближением по первой производной, назовем сближение преследователя Рі и убегающего Е, когда выполняется р^ (¿)|| = ¿, где і— помер преследователя, г — некоторый момент времени, ¿ — некоторое заданное положительное достаточно малое число.

Сближением третьего вида, или сближением по второй производной, назовем сближение преследователя Рі и убегающ его Е, когда выполня ется р^ (¿)|| = ¿, где і — помер преследователя, г — некоторый момент времени, ¿ — некоторое заданное положительное достаточно малое число.

В этих терминах в случаях 2-4 рассматриваются такие варианты начальных условий, когда возможно одно сближение одного вида: в случае 2 одно сближение третьего вида (по второй производной), в случае 3 одно сближение второго вида (по первой производной), в случае 4 одно сближение первого вида (в обычном смысле).

¿, ¿, как ¿. В случаях 5-7 рассматриваются варианты начальных условий, когда возможны два

сближения двух разных видов, в случае 8 — три разных сближения по одному каждого вида. Используя введенные обозначения, сведем информацию о том, какие начальные условия рассматриваются в этих случаях, в таблицу.

г і г

1 пет нет нет

2 нет нет 1

3 нет 1 нет

4 1 нет нет

5 нет 1 1

6 1 нет 1

7 1 1 нет

8 1 1 1

В случаях 9-11 рассматриваются начальные условия такие, что возможно несколько сближений одного вида: в случае 9 несколько сближений первого вида, в случае 10 несколько сближений второго вида, в случае 11 несколько сближений третьего вида.

В случаях 12-20 рассматриваются начальные условия такие, что возможно несколько сближений двух разных видов. Сведем информацию о том, какие начальные условия рассматриваются в этих случаях, в таблицу, при этом в столбцах таблицы будем указывать количество возможных сближений.

г г г

9 несколько нет нет

10 нет несколько нет

11 нет нет несколько

12 несколько 1 нет

13 1 несколько нет

14 несколько несколько нет

15 несколько нет 1

16 1 нет несколько

17 несколько нет несколько

18 нет 1 несколько

19 нет несколько 1

20 нет несколько несколько

В случаях 21-23 рассматриваются такие начальные условия, когда одного вида сближений несколько, а двух других видов — по одному. Занесем эти данные таким же образом в таблицу.

г і г

21 1 1 несколько

22 1 несколько 1

23 несколько 1 1

Осталось рассмотреть случаи 24-27, начальные условия которых схематично заданы таблицей ниже, чтобы получился полный перебор.

г і г

24 несколько несколько 1

25 несколько 1 несколько

26 1 несколько несколько

27 несколько несколько несколько

Случай 24. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любо го і Є N, 1 ^ г ^ п, (¿0,р) > 0,

і Є От, г < т < п, (¿тті,Р) > 0, ті Є \ (От и N), (¿0,р) ^ 0 для любого і Є \ N,

(¿0,р) ^ 0 для любого г € \ От, (¿0,Р) ^ 0 для любого г € Мга \ {т^}. Управление в этом

случае выбираем в соответствии со случаем 22 или 23 в зависимости от того, в каком порядке происходят сближения первого, второго и третьего вида. Комбинируя стратегии убегания, описанные в случаях 22 и 23, при каждом новом сближении уменьшаем время маневра обхода преследователя в два раза. Преследователей конечное число, таким образом, уклонение от встречи в случае 24 будет построено.

Случай 25. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любо го г € N, 1 ^ г ^ п, (¿0,р) > 0,

г € От, г < т < п, (¿^,Р) > 0, т1 € \ (От и N), (¿0,р) ^ 0 для любого г € \ N,

(¿0,р) ^ 0 для любого г € \ От, (¿0,Р) ^ 0 для любого г € \ {т1}. Управление в этом

случае выбираем в соответствии со случаем 21 или 23 в зависимости от того, в каком порядке происходят сближения первого, второго и третьего вида. Комбинируя стратегии убегания, описанные в случаях 21 и 23, при каждом новом сближении уменьшаем время маневра обхода преследователя в два раза. Преследователей конечное число, таким образом, уклонение от встречи в случае 25 будет построено.

Случай 26. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любо го г € N, 1 ^ г ^ п, (¿0,р) > 0,

г € От, г < т < п, (¿т,Р) > 0, т1 € \ (От и N), (¿0,р) ^ 0 для любого г € \ N,

(,¿0,р) ^ 0 для любого г € \ От, (¿0,Р) ^ 0 для любого г € \ {т1}. Управление в этом

случае выбираем в соответствии со случаем 21 или 22 в зависимости от того, в каком порядке происходят сближения первого, второго и третьего вида. Комбинируя стратегии убегания, описанные в случаях 21 и 22, при каждом новом сближении уменьшаем время маневра обхода преследователя в два раза. Преследователей конечное число, таким образом, уклонение от встречи в случае 26 будет построено.

Случай 27. Предположим, что (¿0,р) > 0 для любого г € N, 1 ^ г ^ п, (¿0,р) > 0, г € От,

г < т < п, (¿0,р) > 0, г € От, (¿0,Р) ^ 0 для любого г € \ Мг, (¿0,р) ^ 0 для любого

г € \ От, (¿0,Р) ^ 0 для любого г € \ От. Сочетание стратегий из случаев 8, 21-26 дает

нам построение стратегии убегания в случае 27. Теорема доказана.

Список литературы

1. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. С. 145146.

2. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 1. С. 14-24.

3. Петров П.П., Щелчков К.А. К задаче Черноусько // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 4. С. 62-67.

4. Зак В.Л. Задача уклонения от многих преследователей, управляемых по ускорению // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1981. № 2. С. 51-71.

5. Прокопович П.В., Чикрий А.А. Одна дифференциальная игра убегания // ДАН УССР. Серия А. 1989. № 1. С. 71-74.

6. Чикрий А.А., Прокопович П.В. Задача убегания от группы для однотипных инерционных объектов // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 6. С. 998-1004.

7. Петров Н.Н. К нестационарой задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2. № 4. С. 74-83.

8. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 45-53.

9. Сахаров Д.В. О двух дифференциальных играх простого группового преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 1. С. 50-59.

10. Банников А.С. Уклонение от группы нестационарных инерционных объектов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 1. С. 3-10.

11. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2013. Вып. 1 (41). С. 3-46.

12. Благодатских А.И. Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.

Поступила в редакцию 01.08.2013

REFERENCES

1. Pshenichnyi B.N. Simple pursuit by several objects, Kibemetika, 1976, no. 3, pp. 145-146.

2. Chernous’ko F.L. One problem of evasion from many pursuers, Prikl. Mat. Mekh., 1976, vol. 40, no. 1, pp. 14—24.

3. Petrov N.N., Shchelchkov K.A. To the problem of Chernous’ko, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp’yut. Nauki, 2012, no. 4, pp. 62-67.

4. Zak V.L. Problem of evasion from many pursuers controlled by acceleration, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Tekhnicheskaya Kibemetika, 1981, no. 2, pp. 51-71.

5. Prokopovich P.V., Chikrii A.A. An evasion differential game, Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR. Ser. A, 1989, no. 1, pp. 71-74.

6. Chikrii A. A., Prokopovich P.V. The problem of evasion from a group for inertial objects of the same type, Differ. Uravn., 1994, vol. 30, no. 6, pp. 998-1004.

7. Petrov N.N. On the nonstationary problem of group pursuit with phase constraints, Mat. Teor. Igr Prilozh., 2010, vol. 2, no. 4, pp. 74-83.

8. Chirkova L.S. Evasion from a group of inertial objects, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, vol. 46, no. 3, pp. 377-385.

9. Sakharov D.V. On two differential games of simple group pursuit, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp’yut. Nauki, 2012, no. 1, pp. 50-59.

10. Bannikov A.S. Evasion from group of non-stationary inertial objects, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp’yut. Nauki, 2010, no. 1, pp. 3-10.

11. Bannikov A.S. Some non-stationary problems of group pursuit, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2013, no. 1 (41), pp. 3-46.

12. Blagodatskikh A.I., Petrov N.N. Konfliktnoe vzaimodeistvie grupp upravlyaemykh oV’ektov (Conflict interaction of groups of controlled objects), Izhevsk: Udmurt State University, 2009, 266 p.

Received 01.08.2013

L. S. Chirkova

Evasion from a group of inertial objects in fourth order game

We consider the problem of conflict interaction of one evader with a group of pursuers with equal dynamic capabilities of all players. The motion of each player is defined by fourth order differential equation. The initial conditions are given at the initial time. We prove that if zero does not belong to convex hull spanned by the vectors of the initial conditions, then evasion from capture is possible.

Keywords: differential games, group pursuit, state constraints, evasion from capture.

Mathematical Subject Classifications: 49N75, 91A23, 49N70, 91A06

Чиркова Любовь Сергеевна, научный сотрудник, Институт математики и информатики, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: lmvstkQgmail.com

Chirkova Lyubov Sergeevna, Researcher, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: lmvstk@gmail.com