Угловые пределы точной нижней оценки размера бассейна притяжения как функции мультипликатора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

П. А. Гуменкж

УГЛОВЫЕ ПРЕДЕЛЫ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ РАЗМЕРА БАССЕЙНА ПРИТЯЖЕНИЯ КАК ФУНКЦИИ МУЛЬТИПЛИКАТОРА*

Пусть Ю:={г:|г|<1}. Через АД ХеС, обозначим класс всех однолистных аналитических в круге О функций /, нормированных разложением /(г) = Хг + а2г2 + ... Для /еХБ обозначим через А*(/) максимальную область [/сО, такую, что Ое/(Ц))с:и, или множество {0}, если таковых областей не существует, а через /?(/) — расстояние от начала до дА"(/). Наконец, 91(Я.) := Д(/), | X. | < 1.

Из результата Ж. К. Йокко [1] следует, что 91(е2гаа)>0 для аеК тогда и только тогда, когда а является числом Брюно. При ДеО задача нахождения 9?(А.) рассматривалась в работе [2], где она была решена для подобласти круга О. В данной статье изучается поведение при »1-0. Основной результат сформулирован в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. В каждой точке Х0 е с 13 функция Я (А) имеет угловой предел, равный

Стоит отметить, что 9!(л) разрывна в точках Х0 =е'та, где а является числом Брюно, и непрерывна в остальных точках Х0, | А.0 | =51.

Пусть |л0 | =1, /0 е л05. Если /Г(/0) - область, то говорят что отображение /0 линеаризуемо в окрестности начала. В этом случае А*(/0) является односвязной областью, причём /(г) = у(Х0(р(г)), г е А"( /п), где у- конформное отображение О на А*(/0) с нормировкой ц/(0)=0, \у'(0)>0, и ф = у-' (см. напр. [3]). Обозначим 5,. := Ю), 1г\-дБг\ г( Д/0), Ое Д- максимальное ге[0,1], такое что Основой дока-

зательства теоремы 1 является следующая

ЛЕММА 1. Пусть Х0 =е2та, ае и Д - угол Штольца в точке Х0, и пусть - семейство всех отображений /0 е>.05, линеаризуемых в окрестности начала. Тогда для любого /0 е ,

' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.040).

1ш г(А*(~/о),/о) = 1,

А->А0 лО

ХеД

причём данный предел достигается равномерно относительно выбора функции /о е ^о.

Схема доказательства леммы. Пусть задано г0 е(0,1). Выберем некоторое 50 >0, 50 < тт{г0,1 - г0}. Достаточно показать, что существуют такие е» -•(■.«(«,Л,г0,б0) и и* =и»(а,А,г0,50), что включение

(1)

где Д := ^ а /" - /° /" '> /' =/, обозначает и-ю итерацию функции /, справедливо для всех /0 е и ЯеЛ, | Я, - А,0 |< е».

Используя оценку модуля приращения через производную функции и теоремы роста и искажения для однолистных функций (см. напр. [4]), можно показать, что существует е0=е0(г0,50) такое, что при всяком

/0 е и функция := ф(Д"(2)) определена и аналитична по

каждому из своих аргументов для всех ге$Г( и ХеС, | А,-А,0 |<е0/я, и удовлетворяет неравенству

'о-§о <К0гД)|<го +50, \Х-Ъ0\<е0/п, геЬГо , (2)

По индукции можно доказать справедливость следующей формулы:

I/=0 ¿=0

' Л /о(Ч'©)

где^0=ф(20)и Сг(У:=

Используя теорему о вычетах, получим = Х/Х,0 -1. С

учётом этого равенства и формулы (3), применяя оценку погрешности квадратурной формулы с дробными частями линейной функции в качестве узлов и равными весами (см. [5, теорема 1, с. 61 для р= оо, с. 102 и лемма 2, с. 108]), получим

( -1 М

~а шах | С(£)|, (4)

где ап> 0 - бесконечно малая последовательность, зависящая только от числа а. Используя теоремы роста и искажения для однолистных функций (см. напр. [4]), интегральную формулу Коши для производной и лемму Шварца, получаем следующее неравенство

|етаи1-т0|с(г0,50), \%\*г0, (5)

где С(г0,50) - постоянная, зависящая только от г0 и 6С.

В силу неравенств (4) и (5) найдётся «0 =п0(а,Д,г0,50) такое, что

44

1 Г л 1

-А„(г0 Д)- Г""1

п л )\

Re4,0(z0,X)<Re(m0-l)/2, XeA, z0eSro. (6)

Так как неравенство (2) для п = п0 влечёт принадлежность log s„ (z0, X) как функции X, при каждых /0 eF0, и соответствую-

щем выборе ветви логарифма, семейству функций, равностепенно ограниченных внутри круга | Х- Х0 |<е0/и0, то из неравенства (6) следует, что существует такое е, = 8](г0,60,и0,е0), 0<Е,<ео/ио, что log|j„3(z0,>.)|<log|s„o(z0,A0)| = logr0 Для всех f0eF0, zeLrfj и Х<=А, | Х-Х0 |<£|. Последнее означает, что е, и п0 есть искомые значения для е» и /?., соответственно, и заканчивает доказательство леммы,

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Yoccoz J. С. Petits diviseurs en dimension 1 // Astérisque. 1995. Vol. 231.

2. Gumenuk P. A Lower Estimate for the Distance of an Attracting Fixed Point to the Boundary of Its Basin via Univalence Radius // Comput. Methods Funct. Theory. 2003. Vol. 3, № 2. P. 413-424

3. Bargmann D. Conjugations on rotation domains as limit functions of the geometric means of the iterates // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 1998. Vol. 23, № 2. P. 507 - 524.

4. Гопузин Г. M. Геометрическая теория функций комплексного переменного, М: Наука, 1966.

5. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М: Наука, 1969.

УДК 517.927.25

А. П. Гуревич, А. П. Хромов

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ*

Рассмотрим оператор дифференцирования

Ьу = у'(х),хе[ 0,1], (1)

с условием

1

¡1у(0Ж = 0. (2)

о

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00169), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект ур.04.0! .041).