CC BY
45
УДК 517.538.7
диски ЗИГЕЛЯ и БАССЕЙНЫ ПРИТЯЖЕНИЯ СЕМЕЙСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
П.А. Гуменюк
Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: gumenuk@sgu.ru
ПустьU- гиперболическая область, д _ угол
Штольца в точке для единичного круга D, и
W - область, содержащая точку X Пусть f-Wvil-*C - аналитическое семейство функций f., аналитических в области U и имеющих при достаточно малых z разложение fx (*) --^^¡¡(А)*1* , А, е W, и пусть - максимальная из областей A с U таких, что 0 е A и f. (A) с A, или множество {0}, если таких областей не существует. Показано, что если последовательность 6 WnL}^ сходится к ^ и 5 т- * Щ то
последовательность областей ^ сходится к 5 как
к ядру. Рассмотрен пример, показывающий, что аналогичное утверждение для сходимости по метрике Хаусдорфа неверно. В случае £ с получена асимптотическая оценка размера окрестности V = V (K) точки Х0 такой, что заданный компакт К с 5 лежит в А* (0, f{, U) для всех ГоЛ.
Siegel disks and basins of attraction for families of analytic functions
P.A. Gumenuk
Let ii ?0 be a hyperbolic domain, ® ~ ^\ Q, let A be a Stolz angle at with respect to the unit disk D, and W a domain
containing the point Consider an analytic family /" ^ y & C ; fxU-l consisting of analytic functions in the domain U
with the following expansion /¿(s)-^*13!^)*2* , X e W, for small z. Let A ({K/atU) be the maximal domain AcU, such that 0 e A and f{ (A) c A, or the set {0} if there exist no such domains. We prove, that if a sequence converges to A,0 and ^ ,aa ^ f Aj 3 ^ * ^, then the sequence of the domains ^ ^T ^ converges to 5 as to the kernel. An example shows, that the analogous statement for convergence with respect to the Hausdorff metric does not hold. In the case S c 11 we obtain an asymptotic estimate for the size of the neighbourhood V = V (K) of the point such that a given compact K c 5 lies in A* (0, fj, U) for all ire Vn&.
1.ВВЕДЕНИЕ
1.1. Предварительные сведения
пуСТь ямссх^ечон и f : Э ® Э — мероморфная функция, отличная от постоянной и не являющаяся автоморфизмом области О. Обозначим через I множество всех целых чисел, и пусть {не Ъ:п >0} М0 :-Ми{0] Итерации fп: О ® Э, п \ Ы, функции f определяются рекуррентно:
/1:=/, Г1:=ЛЛ
N
(1)
Одной из главных задач комплексной динамики является изучение асимптотического поведения последовательности итераций ^ п}п т м. В связи с этим отправной точкой исследований по комплексной © П.А. Гуменюк, 2005
динамике является деление области Р на множество нормальности и его дополнение.
Определение 1. Множеством Фату Р ( f ) функции f называется множество всех точек г Т Р, в которых последовательность 1 п}п т м образует нормальное семейство. Дополнение множества Фату J ( = Р\Р (f) называется множеством Жюлиа функции f.
Одними из наиболее важных и глубоко изученных объектов в комплексной динамике являются неподвижные точки.
Определение 2. Точка г0 Т Р называется неподвижной точкой функции 1 если f (г0) = г0. Число
А;=
1
еслв т ^
ССЛЕ
а ■
где ¿М^Щ!^ называется мультипликатором неподвижной точки г0. Если |1| < 1 (I = О, |1| = 1, |1| > 1), то неподвижная точка г0 называется притягивающей (суперпритягивающей, нейтральной, отталкивающей, соответственно).
Если X = а Т О, то нейтральная неподвижная точка г0 называется рационально нейтральной или параболической. В противном случае (то есть при а Т Р\0) нейтральная неподвижная точка называется иррационально нейтральной.
Притягивающие неподвижные точки, не являющиеся суперпритягивающими, называются геометрически притягивающими неподвижными точками.
Для изучения поведения последовательности итераций вблизи неподвижной точки большую роль играет существование локальной замены переменного, приводящей функцию f к нормальной (канонической) форме.
Определение 3. Говорят, что функция f линеаризуема в неподвижной точке г0, если при I: = f С(г0) функциональное уравнение Шредера
(2)
имеет нетривиальное (т.е. отличное от тождественного нуля) решение ' аналитическое в некоторой окрестности точки г0. При этом точку г0 будем называть линеаризуемой (для функции f ). Если же f не является линеаризуемой в неподвижной точке г0, то будем говорить, что точка г0 нелинеари-зуемая.
Замечание 1. Известно (см., например, [1, с. 97-166]), что отталкивающие и геометрически притягивающие неподвижные точки всегда линеаризуемы, а параболические и суперпритягиваю-щие - всегда нелинеаризуемы. При этом притягивающие неподвижные точки лежат в множестве Фату Р(1), а отталкивающие и параболические - в множестве Жюлиа J( f ).
Если иррационально нейтральная неподвижная точка г0 лежит в множестве Фату Р(1), то она линеаризуема. В этом случае она называется точкой Зигеля. Если же г0 Т J( 0, то она является не-линеаризуемой и называется точкой Кремера.
Определение 4. Пусть г0 Т Р(1) - неподвижная точка функции f. Непосредственным бассейном А*(г0, О неподвижной точки г0 называется компонента связности множества Фату Р(1) , содержащая точку г0. Бассейном А(г0, 1) неподвижной точки г0 называется множество всех точек г Т Р(1) таких, что о п(г) Т А*(г0, 1) для некоторого п Т N. Непосредственный бассейн точки Зигеля г0 называется диском Зигеля, а сама точка г0 - его центром.
Замечание 2. Известно (см., например, [2]), что диск Зигеля 5 конформно изоморфен единичному кругу Р: = {г : |г| <1}, причем если г0 - его центр, то аналитическая функция ' ](г0) = = 0, ]С(г0) > 0, конформно отображающая 5 на Р, удовлетворяет уравнению Шредера (2) при I: = 1 С(г0). В частности, функция 1 однолистна в 5.
Более подробное изложение основных определений и результатов комплексной динамики может быть найдено в монографиях [1, 3, 4] и обзорных статьях [5, 6]. Для наших же дальнейших рассуждений необходимо рассмотреть несколько более общий случай. Пусть и е Р - некоторая область,
и 1 : и ® Р - мероморфная функция. Заметим, что при этом не делается никаких предположений о том, определена ли функция 1 в точках г Т Р \ и. В силу этого, области определения итераций 1 п, п Т N могут отличаться от области определения функции 1 и в общем случае будут зависеть от п. Говоря строго, это означает, что рекуррентное соотношение (1) заменяется следующим:
Таким образом, общепринятое определение 1 множеств Фату и Жюлиа в данном случае нуждается в замене. Введем обозначение
П (Гг'оа
Определение 5. Множеством Фату Р(1 и) функции 1 (относительно области и) будем называть множество всех точек г Т и, для которых существует открытая связная окрестность Ц, удовлетворяющая следующим двум условиям:
0) для каждого п Т N функция 1 п определена в Ц, то есть Ц I Е(1 и);
(У) последовательность {1 п}п Т образует нормальное семейство в области иг.
Дополнение множества Фату J(f, и): = и \Р(1 и) будем называть множеством Жюлиа функции 1 (относительно области и).
С заменой Р(1), J(f), Р на Р(1 и), J(f, и), и соответственно, определения 2 и 3 сохраняют корректность, а замечания 1 и 2 - справедливость. Так как одна и та же функция 1 : Р ® Р может рассматриваться и как отображение из Р в Р, и как отображение из и 1 Р в Р, то во втором случае вместо А*(г0, О) и А(г0, 1) будем писать А*(г0, 1, и) и А(г0, 1, и) , соответственно, указывая явно область и, так же как в обозначении множеств Фату и Жюлиа.
Случай, когда 11: = С, и — трансцендентная мероморфная функция, рассмотрен в [7].
В данной работе будет рассматриваться случай, когда и - гиперболическая область и : и ® С — аналитическая функция.
Определение б. Область II называется гиперболической, если ее дополнение СШ содержит по крайней мере три попарно различные точки.
Замечание 3. Из Определения 5 вытекает, что множество Фату Р(1 и) открыто, а множество Жюлиа J(f, и) замкнуто относительно и. Условие (О в этом определении в частности означает, что 1п(Цг) е и для всех п Т N. Поэтому в силу признака Монтеля (см., например, [8, с. 68-70]) условие (0 влечет выполнение условия (У), если область и является гиперболической. Следовательно, в этом случае множество Фату Р(1 и) совпадает с внутренностью п(Е(1 и)) множества Е(1 и).
1.2. Основные результаты
Пусть и - гиперболическая область. Не умаляя общности, будем предполагать, что 0 Т и е С. Пусть а - иррациональное действительное число, Р - угол Штольца в точке 10:= е^а для единичного круга Р и - область, содержащая точку 10. Рассмотрим аналитическое семейство А+ .»; (|, ¿) а f Дг) функций1^ у аналитических в области II и имеющих при достаточно малых г разложение А^)™^**1!^)* + , 1ТШ. Таким образом, для каждого IТ Ш точка г = О является неподвижной точкой функции с мультипликатором, равным I. Предположим, что г = О является точкой Зигеля функции f |0. Тогда ОI V II) при всех Щ;Т П^ и при I = 10. Возникает вопрос, можно ли утверждать ^о последовательность областей ^ ^ * А. сходится, в том или ином смысле, к области [О,/^,11) если П0след0вательн0сть | лежит в
1 Использование термина «аналитическое семейство функций» означает, что отображение (I, г) а 1 | (г) является аналитическим в Ш ' и по совокупности переменных.
W0 и сходится к
+сю. Тогда последовательность областей
10. Справедлива следующая теорема. а 1. Пусть 1п Т \А10 для всех п Т N и 1п ® 10 при п ® ■ ч сходится к области 5 как к ядру. Основой доказательства теоремы 1 служит следующее утверждение, для формулировки которого необходимо ввести некоторые обозначения.
Для г Т [0,1) положим 5 : = у (гй). Здесь и далее у — конформное отображение единичного круга Р на диск Зигеля 5 э 0 функции f |0, удовлетворяющее условиям нормировки \|/ (О) = О, \|/С(0) > О. Через 1_г обозначим границу множества 5г. Далее, пусть I) - некоторая область, содержащая точки г = О. Положим НЮ : с и} Через г) будем обозначать открытый.круг
С|<р\ через сЫ (х,х) - евклидово расстояние в плоскости С, а через -
замыкание множества X.
Предложение 1. Имеет место равенство
(4)
Замечание 4. Если функция f |0 отлична от дробно-линейной, то условие гиперболичности области U в предложении 1 можно опустить. Действительно, из включения 5cü следует, что Л (0t/if 5) t= Л (0,/itii) jaK KaKi согласно замечанию 2, функция f |0 однолистна в 5, то область 5 необходимо является гиперболической. Таким образом, применение предложения 1 для семейства /: iFxS С; (Äz) i-> (Д) к (г) дает требуемый вывод.
В работе [9] приведено доказательство Предложения 1 для случая, когда U : = C и число a является диофантовым, то есть существуют s > О, к > О такие, что |a - p/q| > e/qK для любых взаимно простых p Т Z, q Т N. В данной работе используется иной метод доказательства, позволяющий избежать каких-либо условий на иррациональное число а. Более того, для гиперболических областей U получена количественная версия предложения 1, дающая в случае $ с JU оценку сверху порядка малости функции в (г) такой, что г при всех Щ nи гТ [ОД]. Результат
оказывается сильно зависящим от свойств числа а.
Предположим, что задана последовательность а0 Т Z, ап Т N, п Т N. Определим по-
следовательности t^si^N,;, (inJ^Mt, следующими соотношениями: р0:= а0, q0:= 1, р1:= а^^ 1, q1 := а^ Ai+i ~+ Рн-у Известно (см., например, [10, с. 210-216]), что
дроби pn/qn несократимы и стремятся при n ® +оо к некоторому иррациональному числу Ь, и наоборот, для всякого b Т R\Q найдется, причём единственная, последовательность a0 Т Z, an Т N, п Т N, такая, что limn<4a) pn/qn = b. Дроби pn/qn называются при этом подходящими дробями числа Ь. Таким образом, каждому иррациональному числу b ставится в соответствие последовательность знаменателей его подходящих дробей. В дальнейшем, если не оговорено иного, под qn будем понимать qn(a).
Так как qn ® +оо при n ® +оо, то для всякого х > О существуют n Т N такие, что + Чп-i) ^ х
. Наименьшее из них обозначим через п0(х), и пусть
Теорема 2. Пусть S с U Тогда существует постоянная С > О и функция в: [ОД] ® (0,+оо), удовлетворяющие следующим условиям:
(I) г ПрИ всех,As Wü п £<>-)) и гТ [ОД).
(II) е(г) >.С<1- г?Щ1-г) ) при всех г Т (ОД).
В явном виде функция в (г) определена в доказательстве теоремы 2.
Замечание 5. Известно [11, с. 107, следствие 7.6); 12], что отображение РУ*К(Р}^€\ множества Pd многочленов фиксированной степени d > 1 в множество компактов на плоскости C является непрерывным относительно метрики Хаусдорфа
djf(XJ) -пах (Э(ЛГ, ЛГ)),
w\
в точке РПТ Р^ если ни одна из функций Н, п Т N, не имеет в С параболических неподвижных то-
чек.
Это замечание позволяет построить пример, доказывающий следующую теорему.
Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 U := D и а удовлетворяет условию Брюно
(5)
Тогда существует семейство /:=/* И'хи-*С такое,
, что дла всякой последовательности й А (О.Д^Ц) не СХОдИТСЯ к области 5
сходящейся к 10, последовательность областей по метрике dH.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 1, 2 и 3 2.1. основная лемма
Теоремы 1 и 2 являются следствиями леммы, для формулировки которой необходимо ввести некоторые обозначения.
Пусть ш, г Т (0,1), - нормированный модуль непрерывности семейства ^ т ш по параметру в точке 10, определяемый следующим образом:
<М*)-~юрдш-4м«А«г -^г >0,
При каждом фиксированном г Т (0,1) функция шг определена и непрерывна на интервале
I* := (О, 5*), где 5* := с^ (10, д\М). Кроме то^о, она возрастает на I*, причем 11т5в+0сог(8) = О. Поэтому существует обратная функция , определенная на интервале (О, в*), где в* :=
— „ „* 1 , „„ -1-^ т —к--т Л)" г^п, 2* пг^ г^^ч Ъ *
lim
5®5 *-0
сог(8). Если в*1 +оо, то будем полагать mr равной 5* при всех Oí*
Пусть р I R — произвольное число. Известно (см., напр.: [13, с. 97,102-103,108]), что последовательность * где {") обозначает дробную часть числа, является равномерно распределенной на отрезке [ОД], и поэтому последовательность функций ''jf.if
сходится при 1Т+сю равномерно на [0, 1] к тождественной функции Е(х) = х. Более того, справедлива следующая теорема (см., например, [13, с. 55-62]).
Теорема А. Пусть ф - непрерывно дифференцируемая на отрезке [0, 1] функция. Тогда для любого N Т N справедливо следующее неравенство:
з
:<?,Мг/|*'С*>1л» sup 4
о я[01]
(б)
Пусть r0 Т (0,1) - фиксированное число. Обозначим
«-» Л V
(ТА
vXZ)
J(t) у
¿fAw'íM)
Для т - (0,-1оог0) и h Т N положим
Ли(т,0,£):-..............—..........................., & е К, £ > О,
Определение 7. Множество и е и называется инвариантным вперед относительно функции если да е и.
Замечание 6. Согласно замечанию 3, каждая инвариантная вперед область и е и лежит в одной из компонент связности множества Фату Р(^ и). В частности, если при этом 0 Т и, то и е А*(0, ^ и).
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть числа N Т N и т - удовлетворяют следующим двум условиям:
(О ап<1;
(¡¡) ЗГСБШ Йу О < Я}2
где 9 обозначает полураствор угла Штольца А. Тогда при всех А - А ^ Щ^)'Е Д ™ €л {т'&>£1/ (г)) , область 5гГ) является инвариантной вперед относительно функции А .
2.2. Доказательство леммы 1
Доказательство леммы 1 проводится по следующей схеме Основным элементом доказательства является исследование функции = (%)) , N Т Ы, при фиксированном Т На первом этапе выясняется размер окрестности точки в которой функция аналитична и принимает значения в заданной области вида < | £ | < р2}. Соответствующее утверждение сформулировано в виде леммы 2. Затем рассматривается логарифмическая производная функции 5м(А,), значение которой в точке может быть, согласно лемме 3, выражено как
где функция <3 аналитична в Р и определяется семейством ^т ^ точкой Х^ а также выбором
г0 \ 1_гГ). Равенство позволяет применить теорему А для оценки |А (г0) |
и |агд Аи(г0) что в свою очередь, вследствие предложения 2, приводит при Ае ДпЕОД,^) к неравенству 1^(^)1. Последнее справедливо для всех г0 \ и поэтому означает, что
Л )с ^ при указанных значениях X.
..Аемма 2. В условиях леммы 1 функция ♦-АК/^'ф) определена, аналитична при всех
1е пЛе и удовлетворяет неравенству
(7)
Доказательство. В первую очередь заметим, что из определения функции йЧ1 следует, что .V (т;> е Я' Будем далее по доказательству учитывать это обстоятельство без дополнительных пояснений.
Покажем, что для любых г1 Т (0,1), г2 Т (г1,1), имеет место включение
да {г г - а, |<| г, | (1 - (/-2))} с \ 5™, ^ £ ^,
(8)
где гзг\1гг Для этого заметим, что вместе со всякой точкой г0 \ 1_г1 области ^ ^ ^ принадлежат также все точки г, удовлетворяющие условию2
1108(2/2*) | <
(9)
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно применить к функции у следующую оценку из теории однолистных функций (см. например, [8, с. 117]):
log
Y(2)
1+1*1
1-
(10)
в силу которой для любой спрямляемой кривой ^ \ \ соединяющей точку г0 с контуром 1_, или
ц*
Используя неравенство I+ | £ [X <£ ^ ^ убегаемся, что если г \ В (г0, г^ г2), то
то есть для г Т В (г0, г1, г2) выполняется условие (9), что и доказывает включение (8).
Пусть гТ (О, е~т/м). Обозначим г' := гет/м, г" := ге~т/м. Рассмотрим произвольную функцию И, аналитическую в 5 и удовлетворяющую условиям И(0) = О и |И(г) -г\< г(1-кл(г)/кл(г')) при всех ^^ В силу включения (8) для г1 := г0|, г2 := |г0|ех/м, г0 Т ^
k{Sf) ci Sy-
(11) (12)
ой из областей 5.
Из замечания 2 следует, что функция является автоморфизмови^,^,, —■——. —.. гТ (0,1]. Поэтому приведенные рассуп^ения можно применить для Л )) при ^ - ® Е N )) и 0 < г ц. Итак, из (11), (12) в частности следует, что при всех
где *з, ] = О, ± 1,..., ±Г1. Воспользовавшись тем, что образ подмножества является.подмно жеством образа, из (13) заключаем, что & а из (14) ^-что ^ ^-а. Первое
(13)
(14)
образа, из (13) заключаем, что г>, а из (14) ^-что . Первое
означает, что функция 5м(г, X) определена и аналитична при г г и X \ й (Х0, ви (т)), второе - что для указанных X выполняется неравенство (7). Тем самым доказательство леммы 2 завершено. □
Лемма 3. В условиях леммы 2 для всех г0 Т ^ справедлива следующая формула:
-
¿=До
(15)
Замечание 7. Условие г0 Т ^ в лемме 3 не существенно. Формула (15) справедлива для всех г0 Т 5, однако в дальнейшем она будет использоваться именно для г0 Т
Доказательство леммы 3. Воспользуемся методом математической индукции. При N = 0 равен-
2 Под log (z/z0) в неравенстве (9) следует понимать то из значений функции log, которое имеет наименьшую абсолютную величину.
ство (15) очевидно. Действительно, выражение под знаком дифференцирования по X в его левой части 50 (г0, X) = ф(г0) не зависит от X, а сумма в правой части равна нулю, так как не содержит ни одного слагаемого.
Зафиксируем теперь произвольное ] Т N. Введем следующие обозначения:
Заметим, что согласно замечанию 2,
(1б)
Далее, дифференцируя по X равенство
и учитывая (16), получаем
Кроме того, из (2) при X := Х0 следует, что
Используя равенства (16)-(18), получаем
уО^и/др) _ р'Сг^СуС
(17)
(18)
из чего следует, что справедливость равенства (15) при N = ] - 1 влечет справедливость этого равенства при N Приведенные рассуждения верны для любого ] Т N.
Таким образом, схема индукции реализована, и равенство (15) тем самым доказано для всех N
I ^ □
Предложение 2. Пусть т > 0,9 Т (О, к /2). Если функция К?) аналитична в круге Р, удовлетворяет там неравенству
|К0)|^<|ЧО|<К0)|Л (19)
и & аг£{У | +0 < я/2 то модуль величины':йй 1Гу'(0)/(4г^(0)) не превышает единицы, и для
всех? ив сектора
где + УО-1*\совф, справедливо неравенство
(20)
Доказательство. Рассматривая при необходимости функцию К?) /V (О) вместо К?), можно считать, что V (0) = 1. Многозначная функция
2+1
реализует конформное отображение кольца е-т < | Е, | < ет} на круг Р, удовлетворяя условиям нормировки ф (1) = 0, ф '(1) > 0. Функция ф ° V продолжима по любому пути в Р. Следовательно, по теореме о монодромии (см., например, [14, с. 127]) ее ветви представляют собой функции, однозначные в круге Р. Обозначим через f ту из них, которая удовлетворяет условию
f (О) = О. Вычислим /,(O)=^'(0)v'(O)=jr/{Qy(4r)=í. функция f отображает единичный круг в себя, поэтому в силу леммы Шварца 11К \ что доказывает первую часть предложения. Для доказательства второй его части заметим, что неравенство (Z0) эквивалентно тому, что 0. Величина f (?) удовлетворяет неравенству
доказательство которого можно найти в [15, с. ZOO], Из (Z1) находим, что f (?) лежит в замкнутом круге радиуса
je:-|g|a0-|'f)
с центром в точке
^(í-ki2) i-l«st *
Следовательно, для того чтобы 0, достаточно выполнения условия ^ $ После
эквивалентных преобразований оно переходит в неравенство
cos(argf-f arg^)^ i
t la-kf)'
которому удовлетворяют все точки дуги
/{р) - : |3raf | ^ | зшб = psintf},
r Т (0, 1),
если
¿KH'f) MOV)'
(22)
Выражение в правой части неравенства (22) является возрастающей функцией р на интервале (ОД), причем р = р0удовлетворяет этому неравенству. Таким образом, неравенство (20) имеет место
для всех точек ^ ~ ^^ол] ~ что и требовалось доказать. □
Доказательство леммы 1. Рассмотрим функцию 5м(г, I) леммы 2. Согласно этой лемме,
функция 5м(г, X) определена и аналитична при всех и I Т й(10, ви (т)) и удовлетворяет при указанных I неравенству (7). Кроме того, так как согласно замечанию 2, 1"|0(1_г) = 1_ дпявсехгТ[0,1),то1 - 1?К2) 12Т5.Поэтомудпякапурго2^юфункцияу(£) ■аКт)? ))
аналитична в круге Р и удовлетворяет там неравенству (19).
Чтобы применить предложение 2, найдем логарифмическую производную функции в точке .. = 0. Согласно лемме 3 она равна
Рассмотрим сумму интеграла
^ Х*.=а Gi^Viz&fyM. Ее можно понимать как приближенное значение
(23)
где ^ Т В - произвольное число, от которого значение интеграла (23) не зависит:
Применяя теорему А для ^и , получаем следующую
оценку погрешности приближения:
из чего в силу произвольности выбора ^ Т В вытекает неравенство
(24)
Функция под знаком
равна
Ж
где
Так как операция циклического сдвига аргумента функций не изменяет ее нормы в пространстве
Ц, из(24) получим
N-1
,7 ЪЪ^Ъ-т
" ДО
^Оу,
откуда
I /{0) N уф)
С учетом этого неравенства пункт (i) условия леммы гарантирует, что
ПО)
ко)
уЩ
т
£{¡10111%-
(25)
(26)
(27)
(28)
Вспоминая, что справедливость неравенства (19) мы уже доказали, из неравенств (27), (28) совместно с пунктом (¡¡) условия леммы заключаем после элементарных рассуп^ений, что условия предложения 2 выполнены. Следовательно, для всех £ Е справедливо неравен-
ство (20). В терминах функции 5И это означает, что
АеДпГЭ^.е.) (29)
Так как приведенные рассуп^ения справедливы для всех г0 Т Ью= 55ю, то согласно принципу максимума из неравенства (29) следует, что Ф(/*(£У) < га для всех гТЗ^А-А^ ЕКЛ)'Таким образом, при указанных I имеет место включение А с ^ что и требовалось доказать. □
2.3. Доказательство теоремы 2
Предпошлем доказательству теоремы 2 следующее вспомогательное утверждение. Предложение 3. Для всякого п Т N справедлива оценка
Доказательство. Достаточно найти в0 Т В такое, что
(30)
(31)
Для краткости будем писать р, ц, р' и ц' вместо рп, цп, рп+1 и дп+1 соответственно. Как известно из теории цепных дробей (см., напр., [10, с. 213]), при четных п имеет место неравенство р/ц < а < р'/ц', а при нечетных - неравенство р/ц > а > р'/ц'.
Рассмотрим первый случай (п четно). Пусть г.,} = О, 1, ..., ц - 1, - занумерованные в порядке возрастания точки множества Из теории цепных дробей известно (см., например, [10, с. 225]), что 0 < а - р/ц < 1/(цц'). Выберем число д Т (ОЛ/ц') так, чтобы а - р/ц < д/ц). Из того, что числа р и ц взаимно простые, с учетом неравенства д < 1/ц' < 1/ц следует справедливость следующего соотношения:
(32)
Положим Ь0 := (1/ц - д)/2. Обозначим у. := г + Ь0 , ] := 0, 1, ..., ц - 1 и у^ : = 0, уц : = 1. Из неравенства (32) следует, что
В частности, для всех] = О, 1, ..., ц - 1, и следовательно, =
при ]<^ к = 0,1,..., д - 1. Поэтому справедливо равенство
С другой стороны, из (33) получаем Объединяя соотношения (34), (35), заключаем, что
* к оа?+ГУ* < (ич+щуг х* (у-1,^1 -
(34)
(35)
(36)
С учетом того, что = О, неравенство (36) влечет выполнение неравенства (31). Тем самым доказательство предложения 3 в случае четного п завершено.
Случай нечетного п рассматривается аналогично, за исключением того, что д Т (0,1/цС) теперь выбирается так, чтобы р/ц - а < д/ц, вместо неравенства (32) имеет место соотношение 0 <Уц - г < д, . = 0, 1, ..., ц - 1, а Ь0 полагают равным (1/ц + д)/2. □
Замечание 8. В доказательстве теоремы 2 достаточно показать справедливость утверждения (¡¡) этой теоремы лишь для г, близких к 1, скажем, г ^ гее (0,1). Для того чтобы утверждение (¡¡) имело место и при Ф^о), следует положить и заменить постоянную С на
Доказательство теоремы 2. Настоящее доказательство основано на применении леммы 1, поэтому будем использовать в нем обозначения, введенные в разделе 2.1.
Пусть г0 Т (0,1). Определим значение е(г) в точке г := г0 следующим образом. Через р, так же как в лемме 1, будем обозначать полураствор угла Р. Положим
-V:= ЛО-№2)^ г 1о£-
Нетрудно проверить, что в силу предложения 3, условия леммы 1 для этих значений N и ! выполняются, причем
0 < ¿1 н < 5ш(зг# - &2) (37)
Поэтому, полагая заключаем в соответствии с замечанием б, что утверп^ение (¡) из
теоремы 2 истинно. Остается доказать утверждение (У) при таком же определении е(г0). Опираясь на замечание 8, на протяжении всего доказательства будем считать, что 1 - г0 достаточно мало.
Выберем е° > О так, чтобы Аь )с ^ Так как $ с Д то существует постоянная С > О такая, что для всех х Т Р и I Т Р (10, е0) . Интегрируя это неравенство по I, получаем
Таким образом, Далее, из неравенства
находим, что
......Ill..........................
a>;'(i) ^ min{f s > 0f re (Ш
io^ kf {€r) ^ , x € До® r J,
(38)
MO
для некоторой постоянной C2 > 0. Из (38) и (39) заключаем, что
^21-ехр
Л'О+г)
N
(39)
О-'о) N
c^cyq.
(40)
Так как -I + Ь2 £ 1Ь2соя2из (37) и (40) делаем вывод что
q-ft)1
N
для некоторой постоянной С > О.
Остается показать, что ЛГ^СО-^) ' ). функция \|/ однолистна в Р, поэтому имеют место следующие асимптотические равенства (см., например, [16, с. 176-178, 183]):
и оценки (см., например, [8, с. 52]):
А4) 1V
1 —г
£
1 „г
0+')3
0^г=|||<0.
(41)
(42)
(43)
(44)
Так как 5 с И, функция и(г) ограничена вместе со своей производной в области 5. Поэтому из (41)-(44) следует, что
Поскольку функция £(х) не убывает на (О, +оо), ив (45) следует, что ¿(О-'Ь) для
г0 < 1 достаточно близких к 1. Тем самым доказательство теоремы 2 завершено. □
2.4. Доказательство теоремы 1
Доказательство предложения 1. Применяя лемму 1 для значений N и : указанных в доказательстве теоремы 2, приходим к выводу, что для каждого г0 Т (ОД) существует е* такое, что 5Ю <= А*(0, II) для всех А - Л ^ Последнее эквивалентно равенству (4), что и доказывает пред-
ложение 1. □
Предпошлем доказательству теоремы 1 следующую лемму.
Лемма 4. Пусть г0 Т и. Если в условиях теоремы 1 существует окрестность и точки г0 , такая что и е Р( f|, и) для всех достаточно больших п Т N то
(46)
Доказательство. Докажем сначала, что г Т Е ( Г, II). Предположим, что это не так. Тогда су-
ществуетк I N такое, что 'Ч определена (в смысле (3)) в некоторой открытой связной окрест-
ности и. сУ точки гп и /¿¡Н2"^**. Сходимость последовательности I
Г равномерно внутри II влечет сходимость последовательности
/ё
|п при п®+¥ к функции при п®+¥ к функции
равномерно внутри ио. Поэтому согласно теореме Гурвица (см., например, [17, с. 426]), для вся-
такое, что ™ А- ^о)4* ^ в то же время,
кого достаточно большого п существует гп I (_)0 по построению и условию леммы, для достаточно больших п Т N имеет место включение и е и е Р (^ и).
Полученное противоречие доказывает, что г0 Т Е ( и). То же самое справедливо для всех внутренних точек множества и. Следовательно, г0 Т п (и) е Е ( и), из чего, в силу замечания 3, следует (46). Тем самым лемма 4 доказана. □
Доказательство теоремы 1. Достаточно показать, что область 5 является ядром последовательности А*(0, и) относительно точки г = 0. Действительно, если это утверждение верно для произвольной последовательности 1п Т Ш , п Т N 1п ® 10 при п®+¥, то оно в той же степени верно и для любой ее подпоследовательности, что и составляет вывод теоремы 1.
Итак, нужно показать, что справедливы следующие утверждения:
О) Всякий компакт К е 5 лежит во всех А*(0, и) за исключением, может быть, конечного числа номеров п.
(У) Область 5 является максимальной из всех областей, обладающих свойством (0 и содержащих точку г = 0.
Утверждение (¡) следует непосредственно из предложения 1. Докажем (и) от противного. Предположим, что (¡¡) не имеет места. Тогда существует область У й: 5,0 Т 5С, обладающая свойством (¡). Пусть - кривая, соединяющая точки г0г\ г = О. Рассмотрим компактную
окрестность К е 5С кривой С. По построению, К е А*(0, и) для всех достаточно больших п Т N. Следовательно, по лемме 4, имеет место включение СсР( II), из чего в силу связности множества Г э 0, находим, что г0 \ в а 5. В то же время, по построению, го £ Полученное противоречие доказывает утверждение (У). На этом доказательство теоремы 1 завершено. □
2.5. Доказательство теоремы 3
Рассмотрим семейство f":C'D®C;(¿*?)|-^fл Аг + З?2 в принятых обозначениях это соответствует II := Р, Ш := С.
Замечание 9. Условие (5) гарантирует [18, с. 90 (теорема 6)], что г = О является для точкой
Зигеля.
Замечание 10. Функции fx можно рассматривать на всей комплексной сфере С. Точка ¥ является суперпритягивающей для каждой ив них, причем /я (С \D) с С\ В дпЯ всех Ае В. Поэтому С\ D с ft) при Ас В. С другой стороны, ДКдля всякого многочлена Р степени (1 > 2 (см., напр.: [1, с. 119 (лемма 9.4)]. Таким образом, ^Х/?.®) = FCfZ)\).
Замечание 11. Итерации квадратичных полиномов хорошо изучены. В частности, относительно семейства gc(z) := zz + с, сТ С, известно (см., например, [4, с. 121-126,65-67]), что если дс имеет притягивающую неподвижную точку или точку Зигеля, то и ) - )) , причем множество int (K(gc)) является объединением всех ограниченных компонент связности множества Фату F(gc), совокупность которых в первом случае ограничивается непосредственным бассейном притягивающей неподвижной точки, а во втором - объединением множеств ) Ф) , n Т N, где 51 - диск Зигеля функции дс.
Доказательство теоремы 3. Замена переменного z = T(z) := 3z - 1/2 сводит отображение fx, действующее в плоскости (z), к отображению ? с fx =$с,с~ К^)А(2 -Я}/4 действующему в
плоскости (z). Перенося утверждение замечания 11 на функции fx, обнаружим, что
Or ft)
для всех l Т D и
U с/С Уст
В силу замечаний 5 и 10 достаточно показать, что среди ограниченных компонент множества Фату * (Д) ) найдется отличная от диска Зигеля 5. Для этого заметим, что &ч.~2)=fit (2), z Т С, и покажем, что множество ^ - х, z е 5} е не лежит в 5 Предположив противное,
в силу односвязности области 5 находим, что - 1/6 Т 5, и следовательно, функция не является
однолистной в 5, что противоречит замечанию 2. Тем самым доказательство теоремы 3 завершено.
□
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00083), программы «Университеты России» (проект УР 04.01.374) и программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ (проект МШ-1295.2003.1).
Библиографический список
1. Милнор Дж. Голоморфная динамика / Пер. с англ. Ижевск, 2000 (Milnor J. Dynamics in One Complex Variable. Vieweg, 2000) .
2. Bargmann D. Conjugations on rotation domains as limit functions of the geometric means of the iterates // Annales Academi Scientiarum Fennic. Mathematica. 1998. V. 23. P. 507-524.
3. Beardon A.F. Iteration of Rational Functions. NY., 1991.
4. Carleson L., Gamelin T.W. Complex Dynamics. NY., 1993.
5. Еременко А.Э., Любич М.Ю. Динамика аналитиче-ских отображений // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1, № 3. С. 1-70.
6. Bergweiler W. An introduction to complex dynamics // Textos de Matematica Universidade de Coimbra. 1995. Ser. B. № 6. P. 1-37.
7. Bergweiler W. Iteration of meromorphic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1993. V. 29, № 2. P. 151-188.
8. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.
9. Kriete H. Approximation of indifferent cycles // Math. Gottingensis: preprint series. Gottingen, 1996. № 3.
10. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966.
11. Douady A. Does the Julia set depend continuously on the polynomial? // Proc. Symp. in Appl. Math. 1994. V. 49. P. 91-
