Функции Кенигса сходящейся последовательности аналитических эндоморфизмов круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kelisky R. P., Rivlin Т. J. Iterates of Bernstein polynomials // Pacific J. Math. 1967. №21. P. 511 -520.

2. Sevy J. C. Lagrange and Least-Squares Polynomials as Limits of Linear Combinations of Iterates of Bernstein and Durrmeyer polynomials // J. of Approx. Theory. 1995. №80. P. 267-271.

УДК 517.53

П. А. Гуменюк

ФУНКЦИИ КЁНИГСА СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЭНДОМОРФИЗМОВ КРУГА*

Итерации аналитических функций относятся к классическим объектам исследования теории функций комплексного переменного. Одной из основных проблем в теории итераций является изучение того, как меняется предельное поведение последовательности итераций при малом возмущении итерируемой функции. В данной статье рассматривается задача, непосредственно связанная с проблемой изучения поведения функции Кёнигса, ассоциированной с иррационально-нейтральной неподвижной точкой аналитической функции, при малых возмущениях этой функции.

Пусть {/„}„ек - последовательность аналитических функций в круге В := {z :|z| < l}, сходящаяся равномерно внутри В к функции f0(z) = e2nia°z, a0eK\Q, Пусть, кроме того, /л(В)сШ>, /„(0) = 0 и |/ö(0)| е (0,1) для всех гс eN. Через /я* обозначим к -кратную итерацию функции /". Так как (z) 0 при к -» +°о равномерно внутри В, то (см., например [1, с. 97 - 101]) для каждого rceN существует аналитическая в В функция ф„, ф„(0) = 0, ср'п(0) = 1, удовлетворяющая функциональному уравнению Шредера

= геВ.

Функция фп называется функцией Кёнигса, ассоциированной с неподвижной точкой z = 0 функции fn. Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1. Последовательность ф„ сходится равномерно внутри круга В к тождественному отображению ф0(г) = z.

Схема доказательства. Прежде всего отметим, что радиус однолистности функции fn стремится к единице при я —» + со. Поэтому не умоляя общности можно считать, что все функции /л однолистны в В.

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00083).

36

Тогда функции срп также однолистны в И) (см., например, [2]). Дальнейший ход доказательства основан на следующем утверждении.

ЛЕММА 1. Существуют гя£(0,1), иеМ, такие что г„->1 при п—>+°о и для всякого п 6 N область <рл(гпВ) содержится в некотором круге {с,; < И„}, целиком лежащем в ф„(Ю>).

Доказательство. Используя известное неравенство для однолистных в В функций (см., например, [3, с. 117])

к« [ Фи (У можно показать, что если

1 + 15

<1оё—^е®,

г^к^^/Це-47^), а,Ь> О,

где

{\ + г)2'

то вместе со всякой точкой Е,0 е фп(гпШ>) область 0:=фя(В) содержит кольцевой сектор :|*|<а,|_у|<А,х,_уе№}. Кроме того, не-

трудно убедиться, что область П инвариантна относительно преобразования где Х:= /^(0).

Пусть к:=-1оё|/,|(0)|, а:=агё/Д0), и р/ц, д> 1, - одна из подходящих дробей числа а. Положим а:=к(^-1), Ь:=ж/д, если а = и 6 := л/д + 2л/<у', где д' — знаменатель следующей за р/д подходящей дроби числа а, в противном случае. Так как р и д взаимно просты, то объединение секторов

у = 0,1,...,<7-1,

где 0:= х! < я/д,| >>| <е Ж}, содержит окружность

Т:= ЭШ). Если а = р/ц, то = VI. с О. Если же а* р/д, то из известного неравенства теории цепных дробей, ¡а - р/д\ ^1/(дд'), следует, что с: Х-'Е с: О для всех _/ = 0,1,.. ,,д -1.

Таким образом, вместе со всякой точкой ефл(г„©) область О содержит окружность £0Т. Это означает, что ф„(гп®) лежит в некотором круге вида {¡;:|!;|</?}, целиком содержащемся в П. Остаётся убедиться в том, что выбор подходящей дроби р/д для каждого иеМ, может быть реализован так, чтобы гп —> 1 при п —> + оо. Для этого зафиксируем некоторую подходящую дробь р/д числа а0 и заметим, что р/д вместе со следующей за ней подходящей дробью являются также последовательными

37

подходящими дробями числа а, если п достаточно велико. Поэтому \а2 + h2 < 2л(1 ¡q + 2/q') для всех достаточно больших и 6N. С учетом того, что а0 eM\Q, и следовательно, а0 имеет подходящие дроби со сколь

угодно большими знаменателями, это означает, что \[а2 + Ь2 —> 0 при п —> оо. Тем самым доказательство леммы 1 завершено. □

Теперь утверждение теоремы 1 следует из теоремы Каратеодори о сходимости областей и из того, что функции последовательности ф„ образуют нормальное семейство в круге И).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. МшнорДж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

2. Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 7. С. 69 - 86.

3. Голузин Г. А/. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

УДК 517.984

А. П. Гуревич

ОБ ОДНОЙ СЛАБО НЕРЕГУЛЯРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ*

Рассмотрим оператор дифференцирования Ьу=у\х), х е [0,1]

с интегральным условием следующего вида:

i

\tmy{t)di = 0, (1)

о

где т - произвольное натуральное число.

В статье найден класс функций /(х), для которых обобщенные

средние Рисса вида —' - \g(X,r)R} f dk сходятся к /(х) в пространстве

2nÍ\M=г

С[0,1]. Здесь Rx = (L - А,£)"', Е - единичный оператор, к - спектральный параметр, а функция gCk,r) удовлетворяет следующим условиям:

1) g(A,r) непрерывна по X в круге |Х|<г и аналитична по X в круге | X |<г при любом г > 0;

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003),