Собственные числа операторов Баскакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Галаев С. В., 1 Ъхман А. В. Почти симплектичсские связности на неголономном многообразии // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 28-31.

3. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамиль-тоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995.

4. Marsden J., Weinstein А. Reduction of Symplectic Manipolds with Symmetry // Rep. Math. Phys. 1974. Vol. 5. P. 121 - 130.

УДК 517.51

E. В. Гудошникова

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА*

При изучении свойств линейных положительных операторов помимо классических методов теории приближений используются и другие приемы. Например, многие линейные положительные операторы имеют естественную вероятностную интерпретацию и некоторые их свойства могут быть доказаны с применением теорем и методов теории вероятности. В. И. Волков ввел в рассмотрение достаточно широкий класс линейных положительных операторов, являющихся решением определенного дифференциального уравнения. Такой взгляд на операторы позволил доказать ряд аппроксимативных свойств для всего класса операторов на различных классах функций.

В работе 11] было показано, что собственные числа для операторов Бернштейна

k= О

имеют вид

[ 1, Jf = 0;

= («-!).■■(«-j + 1) ( nj~] '\<j<n. Используя указанные собственные числа и соответствующие собственные функции, авторы работы [2] доказали, что для фиксированного п > 1, для /:[0;1]—>R последовательность операторов 11 - (1 - Sn)m сходится равномерно на [0;1] при т—»да к Ln(f;x) - полиному Лагранжа степени п по равноотстоящим узлам.

Ниже находятся собственные числа для последовательности линейных положительных операторов Баскакова:

А = 0 V * / (1 + х)

" Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060)

34

ТЕОРЕМА. Собственные числа оператора Вп имеют вид

[ 1, /=о;

[ п'~х 'у>1.

Соответствующие собственные функции - многочлены порядка j без свободного члена со старшим коэффициентом 1 для ] > 1, а р0 = 1. Доказательство.

I

/

1. Подсчитаем —-5я(/-/;я') = сЬс

ШГГ

V Л ;{\ + Х)п + к

хк

. Выполнив

необходимые преобразования, получаем, что операторы Вп удовлетворяют следующему равенству:

1; х) = —-- (й„ ; х))' + хВп &; х). (1)

п

2. Непосредственным вычислением проверяется, что Вп( 1;х) = 1 и й„(г;х) = х. Следовательно, утверждение теоремы для у = 0 и у = 1 выполнено, причем (х) = 1 и р, (х) = х.

3. Пусть построены р1 для 1 < / < _/. Будем искать р +1 в виде

Р;Ч1(х) = ^'+, + £^Л(х). (2)

4 = 1

Возьмем от обеих частей равенства (2) оператор Баскакова и применим соотношение (1). После необходимых вычислений получаем, что

]

X ¿4 Р* (-<>(>-,41 ~ = ?(*)' 4=1

где д(х) - многочлен с известными коэффициентами степени / без свободного члена. Этот многочлен можно разложить по базису. Получаем

1 У

¿=1 4 = 1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых многочленах, находим Ьк, а следовательно, и .

Замечание. Как видно, операторы Баскакова и Бернштейна имеют сходную конструкцию и похожую структуру собственных чисел. Эти операторы обладают целым рядок аналогичных свойств. Однако, так же используя собственные числа, можно доказать, что для операторов Баскакова результат, аналогичный результату работы [2], не имеет места, а именно последовательность {1 - (1 - Вп)т расходится в смысле равномерной нормы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kelisky R. P., Rivlin Т. J. Iterates of Bernstein polynomials // Pacific J. Math. 1967. №21. P. 511 -520.

2. Sevy J. C. Lagrange and Least-Squares Polynomials as Limits of Linear Combinations of Iterates of Bernstein and Durrmeyer polynomials // J. of Approx. Theory. 1995. №80. P. 267-271.

УДК 517.53

П. А. Гуменнж

ФУНКЦИИ КЁНИГСА СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЭНДОМОРФИЗМОВ КРУГА*

Итерации аналитических функций относятся к классическим объектам исследования теории функций комплексного переменного. Одной из основных проблем в теории итераций является изучение того, как меняется предельное поведение последовательности итераций при малом возмущении итерируемой функции. В данной статье рассматривается задача, непосредственно связанная с проблемой изучения поведения функции Кёнигса, ассоциированной с иррационально-нейтральной неподвижной точкой аналитической функции, при малых возмущениях этой функции.

Пусть {/„}„ек - последовательность аналитических функций в круге В := {z :|z| < l}, сходящаяся равномерно внутри В к функции f0(z) = e2nia°z, a0eK\Q, Пусть, кроме того, /л(В)сШ>, /„(0) = 0 и |/ö(0)| е (0,1) для всех гс eN. Через /я* обозначим к -кратную итерацию функции /". Так как (z) 0 при к -» +°о равномерно внутри В, то (см., например [1, с. 97 - 101]) для каждого rceN существует аналитическая в В функция ф„, ф„(0) = 0, ср'п(0) = 1, удовлетворяющая функциональному уравнению Шредера

= геВ.

Функция фп называется функцией Кёнигса, ассоциированной с неподвижной точкой z = 0 функции fn. Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 1. Последовательность ф„ сходится равномерно внутри круга В к тождественному отображению ф0(г) = z.

Схема доказательства. Прежде всего отметим, что радиус однолистности функции fn стремится к единице при я —» + со. Поэтому не умоляя общности можно считать, что все функции /л однолистны в В.

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00083).

36