Приближение однолистных функций композициями по полунормам, заданными линейными функционалами Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

!. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. ст., посвященный 70-летию П. Л. Ульянова. М.: Изд-во АФЦ, 1999. С. 255-266.

2. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов// Мат. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378 - 405.

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 800 с.

УДК 517.54

А. А. Кузнецов

ПРИБЛИЖЕНИЕ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПОЗИЦИЯМИ ПО ПОЛУНОРМАМ, ЗАДАННЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ*

Ведём следующие обозначения. Пусть 51 - класс однолистных голоморфных функций /(г) в единичном круге Л/ = {г :| г |< 1} с нормировкой /(0) = /'(0)-1 = 0. Через М обозначим класс аналитических и однолистных функций /:£/—>£/ с нормировкой /(0) = 0,/'(0) > 0. Эти классы связаны следующим соотношением: если /(г)еМ, то /(г)//'(0) е 5. Классы 5, М являются подмножествами пространства всех аналитических функций в II. Топология в данном пространстве задаётся семейством полунорм ||/|| г= шах | /(г) 0 < г < 1.

|2|<Г

Основная трудность при изучении классов 5, М заключается в том, что они - нелинейные классы. Но, с другой стороны, класс М замкнут относительно операции композиции. Таким образом, возникает возможность рассматривать приближения и представления функций из этих классов с помощью композиций. Так, например, в работах [1-4] рассматривался вопрос о представлении аналитических функций с помощью композиций канонических отображений.

Пусть функция = г/а. + а2г2 + ...,а > 1 отображает I/ на еди-

ничный круг с радиальным разрезом с концевой точкой в е'у. В работе [5] рассматривалась проблема аппроксимации однолистных функций с помощью композиций функций Ра(г) и была доказана следующая теорема.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.0401.

ТЕОРЕМА А. Для любой однолистной функции f eS и любых двух натуральных чисел п, т существуют ах,...,апт > 1, уи...,упт е R такие, что справедливо неравенство

у, v „ ^ Иг2 log« 15г2 1 2r2 1

\\ f - а.]...аптрУ[ ° — °Ра™ Н^--+ --,5 ' • •

(1-г)° П (1 -rf т (1 -гуп

В настоящей статье нас будет интересовать скорость приближения по полунормам вида ||/||;=|/(/)|, где /(.) - линейный функционал в пространстве всех аналитических функций в U. Для функционала /(.) справедливо следующее представление:

/(/)= \f{z)g{z)dz, 0 < г < 1, £(*>) = о, (1)

|z|=r

где функция g(z) аналитическая в окрестности внешности круга | z |< г (см., напр., [6, с. 278]).

Сформулируем основной результат в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Для любого линейного функционала /(.) существуют константы С, п0 > 0 такие, что для любой функции / е S и для любого натурального п>п0 найдутся а|,...,а„ > 1, У\,—,У neR такие, что справедливо неравенство

II / _ а\—апРа\ °-°Р*„ М Си"' log«.

Заметим, что по полунормам ||.||/ аппроксимация имеет лучший порядок, чем по полунормам ||. || г .

Для доказательства нам понадобится следующая лемма.

ЛЕММА 1. Существует константа Q > 0 такая, что для любой функции F е S и любых двух функций f,geM таких, что II / _ SII г< 0 ~ г)/2 справедливо неравенство

\\F ° g~F ° f -{g- f)F'°g || r < С, \\f-g\\2r-

Доказательство. Для доказательства рассмотрим отображение компактного множества S х {z :| z |< г) в пространство функций q, аналитических в круге | w |< 1 — г , заданное соотношением

. /(z + w)-/(z)-/'(z + w)w

q(w, z) - —--— 2— -— ■ Это отображение является непре-

w

рывным и, используя компактность отображаемого множества, получаем, что существует константа Ct такая, что справедлива оценка \\ч\\(\-г)П-С\- Таким образом, если ||/-g || r < (1 - г)/2, то получаем справедливость требуемого неравенства.

Доказательство теоремы 1. Используя предложение 2 из статьи [5] и интегральное представление (1) линейного функционала, получаем, что для любого натурального п существует функция / е S, | f*(z) |< п и константа, зависящая только от /(.), что справедливо неравенство ||/-/ ||i<C2/n. Используя лемму 9 из статьи [5], получаем, что /* можно представить как / = nf„ °/,, где fJeM,fj'(0) = !\fn j = ],..., п. Введём также вспомогательные функции

gj=aij...a4jpl';jo...op^j, g/(0) = //(0), j = l,~,n.

Таким образом, мы должны оценить выражение II /„ 0 - 0 f\ ~ Sn ° - ° Я\ I! / • Положим

hj = gj_x о... о gt, Fj = ] о... о /., j = !,...,„, /-;+| = г

и, проводя аналогичные рассужден::я, как и при доказательстве теоремы 1 в статье [5], получаем, что нам необходимо найти оценку для следующего выражения:

±eJ"'] " || FJ+] о /. о hj - Fj+] о gj о hj ||,. (2)

7 = 1

Рассмотрим выражение || ° /■ ° - Fj+] ° gj ° 1|;. Используя лемму 2 из статьи [5], получаем, что существует такая константа К, что справедлива оценка || / - g || r< Кп~] log«. Поэтому существует п„ такое, что для всех п>п0 справедлива оценка \\fj — gj || (1 -'")/2, это даёт нам возможность применить лемму 1. Получаем, что рассматриваемое выражение не превосходит || Fj+X'{fj о hj)(fj - gj)° hj ||, +С3п~2 log2 п, где С, -

некоторая константа.

Теперь воспользуемся параметрическим представлением однолистных функций [7]. Для этого определим следующие классы функций. Через Р обозначим класс аналитических функций p{z), удовлетворяющих следующим условиям: Rep(z) > 0, z eU, р(0) = 1, а через РТ - класс функций p(z,t) таких, что при каждом фиксированном t функция p(z,t) е Р, а при каждом фиксированном z является измеримой по t.

Для функций fj,gj существуют функции РкеРТ, к = 1,2, такие,

что fj = w,(z,tt~' log«), gj = w2(z,«~' log«), где wk(z,t), ¿ = 1,2, - решения уравнений Левнера - Куфарева

dw,

-± = -щРк{щ,t), >v4(z,0) = z, i >0, k = \,2.

at

Используя лемму 5 из статьи [5] получаем, что выражение можно оценить как

II Fj'Wj °A)iо ' ]0&Ле-'(Р^Ш)-P2(hjW))dt\\ I +Съп2 log2 и, (3)

где С3 — некоторая константа.

Пусть / - линейный функционал, определённый следующим образом: I (f) = l(.Fj+]'(fj°hj)f(hj(z))). Используя аналогичные рассуждения, как и при доказательстве предложения 1 из статьи [5], получаем, что первое слагаемое в (3) можно записать как

, , , 4 1 + eiy"J z , 4

«~'log«|/ (>0)-][>А--—)|, ХЛ,=1Д*>0, (4)

к=1 1 — е z ь-1

где p(z) е Р и между величинами a{j,...,a4j и Я,|,...Д4 существует взаимно однозначная связь.

Так как класс Р - выпуклое множество, то множество Г (Р) - выпуклое подмножество двухмерного пространства. Так как семейство функ-\ + ehz

ций--—, уе [0,2л] образуют крайние точки множества Р, то получа-

1 - е'у z

ем, что существуют Я.]5... Д4 такие, что выражение (4) равно нулю. Таким образом, получаем, что (2) не превосходит

С3 ' log2 л < САп ' log«,

7 = 1

где С4 - некоторая константа. Отсюда следует требуемое утверждение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кузнецов А. А. Представление однолистных функций в виде бесконечных композиций // Изв. вузов. Сер. Математика. 2002. № 10. С. 56 - 63.

2. Kuznetsov A. A., Gumenuk P. Representation of univalent functions as infinite compositions // Abstracts of ISAAC Conference on Complex Analysis, Differential Equations and Related topic. Yerevan, 2002. P. 38.

3. Michalska M., Prokhorov D.V., Szynal J. The compositions of hyperbolic triangle mapping // Compl. Var. Theory Appl. 2000. Vol. 43. P. 179 - 186.

4. Mejia £>., Pommerenke Ch. Hyperbolically convex functions, dimension and capacity // Compl. Var. Theory Appl. 2000. Vol. 47. P. 803 - 814.

5. Kuznetsov A. Approximations of univalent functions by compositions // CMFT. 2003. Vol. 3, № 2. P. 485 - 499.

6. Duren P.L. Univalent functions. N.Y.: Springer -Verlag, 1983. 382 p.

7. Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 1970. Т. 194, № 4. С. 750-753.