О равносходимости разложений по собственным функциям одного класса интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

= sup <<z,z>- sup <p,y-C,>\ =

O.Oegrt" [ pedjyg -v|

уеУ

= sup inf <(x,p- p),(x,Q>.

Воспользуемся теоремой о минимаксе [2, с. 17], которая применима в данном случае. Получаем

h\z)= inf sup <(х,у-р),(х, Q>= inf =

реЩуо ~v|| РЩУо -v||

= inf i0'

рЩуо-v¡ [+00, z Í {0х,р)~ [grr]

В силу доказанного в п.п. 1 — 3 функция h(z) удовлетворяет определению в. в. а. Из п.п. 1 и 3 по теореме Фенхеля-Моро [2, с. 14] следует, что для функции h(z) справедливо равенство h(z) = h**(z). Подставляя в это равенство выражение для h'(z) из п. 4, получаем требуемое равенство (2). Что и требовалось доказать.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

2. Минченко Л. И., Борисенко О. Ф., Грицай С. П. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования. Минск: Навука i тэхнжа, 1993.

3. Коноплев А. Б. О дифференцируемое™ по направлениям функции расстояния от точек до образов многозначного отображения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 43 - 46.

УДК 517.984

В. В. Корнев, А. П. Хромов

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

В [1] установлена равносходимость разложений по собственным и присоединённым функциям интегрального оператора

1-х

А/= ¡А(1-х,0/(0Л, *е[0,1],

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01-00169) и программы «Университеты России» (проект ур. 04.01.041).

и в обычный тригонометрический ряд Фурье при следующих предположениях на ядро А(х,1):

-2

а) А(:с,/), —Л(х,0, — А(х,/), —^—А{х,г) непрерывны при

дх 5/

0<1 <х<1;

б) А(х,х) = 1;

в) —А( х,1)и=хтО. дх

Здесь мы получим аналогичный результат, когда условие в) не выполняется, но зато вместо условия а) берутся дополнительные условия гладкости. Именно, имеет место

ТЕОРЕМА. Пусть вместо условия а) выполняется условие

д3

а'): —гА(х,г) (/ = 0,1,2,3), -А(х,г), —-—А(х,0 непрерывны при

дх' 5x5/ дх23г

0<?<х<1 и выполняется условие б). Тогда существует последовательность номеров такая, что для всякой функции /(х) е /.[0,1] и любого

Г

где ¿¿.(/) и аА(/) - частичные суммы рядов Фурье функции /(х) по собственным и присоединённым функциям оператора А и по обычной тригонометрической системе (к — число членов, и нумерация собственных и присоединённых функций осуществляется в порядке возрастания характеристических значений).

Дадим схему доказательства этого результата. Введём операторы:

ах'/ = )ах\х,0/(1)ж, г/=)г(х,0Д0Л.

0 о

а

где Ах'(х,() =— Т = (Е + Ах')~] -Е, Е-единичный оператор.

дх

Определим еще функции

1 Х;

р] (х) = Т(1 - х,1 - х), р(х) = р, (х) - р] (1 - х), у(х) = ехр- )р(1)Ж.

2о

Далее, рассмотрим интегро-дифференциальный оператор ¿¡г = -г"(х) + Ч(х)г(х) + ?,(*)*'( 0) + ?2(х)г(0) +

1 1

о о

с граничными условиями:

z'(0) + ar(0)=Jz(f)q>(OÄ, z(l) = 0, (1)

о

где

<7(x) = v"1 (x)[v'(x)p(x) - v"(x)J, <7,(x) = v"1 (x)p2(x), p2{x) = T(x,0), 92(x) = ip(0)gi(x), JVI(x,i) = v"1W^(x,Ov(i), N2(x,t) = v"1 (x)N(x,t)v'(t),

N(x, t) = ~ T(x, t) + T(x, t)Px (0 + W t) А ЩЛ - f),£=I_T Л при t < x, ci 0J d\

при i>x,

о ь

а = -1 (р, (0) + А(1)), ф(х) = -v(x)|-r(l,i)|(=l-x • 2 dt

Обозначим через Rx =(Е-),А2)-] А2 резольвенту Фредгольма оператора А2 и через R]X = (£.] -ХЕ)~' резольвенту оператора Ц. Тогда

^/ = v(x)Äa(v-'/), (2)

Наконец, взедём еще дифференциальный оператор L2: L2z = -z" с краевыми условиями (1) и пусть R2X = (¿2 ~ кЕУ'" - его резольвента. Тогда методами статьи [2] получается следующий факт: для любой /(х) е .ЦОД]

lim

Г -+00

fWx-Äjx)/^-

= 0. (3)

С [0,1]

По теореме равносходимости из [2]----- fR2kf ^ ПРИ r ~* 00 Рав

2nim=r

носходится на [8,1-5] с тригонометрическим рядом Фурье. Поэтому на основании (2) и (3) —--- \Rkf dk при г ->оо на [5,1-5] равносходится с

27"'|М=Г

последовательностью с

jv(x)c (v '/)}"=]. С помощью теоремы Штейн-гауза [3, с. 111 - 112] и принципа локализации Римана устанавливается, что последняя последовательность на [5,1-5] равносходится с последовательностью ¡Of (/))®=(. Отсюда на основами и соотношения j RkfdX= j(E - Af dk следует справедливость теоремы.

Xl=r IX. 1 = V r

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. ст., посвященный 70-летию П. Л. Ульянова. М.: Изд-во АФЦ, 1999. С. 255-266.

2. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для шпегро-дифференциальных и интегральных операторов// Мат. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378 - 405.

3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 800 с.

УДК 517.54

А. А. Кузнецов

ПРИБЛИЖЕНИЕ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПОЗИЦИЯМИ ПО ПОЛУНОРМАМ, ЗАДАННЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ*

Ведём следующие обозначения. Пусть 51 - класс однолистных голоморфных функций /(г) в единичном круге Л/ = {г :| г |< 1} с нормировкой /(0) = /'(0)-1 = 0. Через М обозначим класс аналитических и однолистных функций /:£/—>£/ с нормировкой /(0) = 0,/'(0) > 0. Эти классы связаны следующим соотношением: если /(г)еМ, то /(г)//'(0) е 5. Классы 5, М являются подмножествами пространства всех аналитических функций в II. Топология в данном пространстве задаётся семейством полунорм |!/||г = шах|/(г)|, 0 < г < 1.

|2|<Г

Основная трудность при изучении классов 5, М заключается в том, что они - нелинейные классы. Но, с другой стороны, класс М замкнут относительно операции композиции. Таким образом, возникает возможность рассматривать приближения и представления функций из этих классов с помощью композиций. Так, например, в работах [1-4] рассматривался вопрос о представлении аналитических функций с помощью композиций канонических отображений.

Пусть функция = г/а. + а2г2 + ...,а > 1 отображает I/ на еди-

ничный круг с радиальным разрезом с концевой точкой в е'у. В работе [5] рассматривалась проблема аппроксимации однолистных функций с помощью композиций функций Ра(г) и была доказана следующая теорема.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.040).