CC BY
12
inf{||a^ + (l-a)^2-v||| veS}<
V
<inf + (1 - a)y2 - v|| | v e F(a+ (1 - a)x2)}=
= dF(azl + (l-oc)z2), <хе[0,1]. Значение левой части неравенства совпадает с радиусом шара S, откуда и следует утверждение теоремы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., 1980.
2. Митенко Л. И., Борисенко О. Ф., Грицай С. П. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования. Минск, 1993.
3. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., 1973.
УДК 513.88
В. В. Корнев, А. П. Хромов
ТЕОРЕМА О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ*
В пространстве ¿2[0,1] рассмотрим интегральный оператор
Af=]XA(\-x,t)f(t)dt, (1)
о
где А(х,() п раз непрерывно дифференцируема по х и один раз по t при
0<t<х<1и dj
~—A(x,t) = ö„_u (5„_l y - символ Кронекера, j = 0,...,и).
Имеет место следующая теорема равносходимости. ТЕОРЕМА 1. Для любой /(х) е ¿[0,1]
lim шах |5г(/,л:)-ст-(/,д:)| = 0,
г—>оо0 <6^x^1-5 '
где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора (1) для тех характеристических чисел, для ко-
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.
торых \Хк\<г", аг(/,х) - частичная сумма тригонометрического ряда
Фурье для тех номеров к, для которых кп <г.
Для п = 1 этот результат установлен в [1]. В настоящей статье излагается метод доказательства теоремы 1 для произвольного п .
Обозначим через ХА0 )-1 резольвенту Фредгольма опера-
тора
А/= I
ь*(1-х-О""1
(«-1)!
где Е - единичный оператор, а Я - спектральный параметр. Для определенности считаем п четным (случай нечетного п рассматривается аналогично). Введем в рассмотрение краевую задачу
г(п) -ХЛг=ВЕ(х),
Рг(0 (0) + (1) = 0 (I = 0,...,я -1),
'1 (О
(2) (3)
где = (7,00, Е(х) = (Дх)Л\-1)У , £> =
0 -1
В-
1 1
-1 1
Р =
0 0^1 1 -1
,6 =
1 Г о о
Обозначим через (х,X) 0 = 1 ,...,п) матрицы размера 2х 2, которые образуют фундаментальную систему решений системы (2), и определим матрицу А(Х) размера 2п х 2п по формуле
Д(^) = (£/^))и=1.....„,
где иц(Х) = иЩ(х,Х)), и/(У(х)) = РУ('~1\0) + (1).
ТЕОРЕМА 2. Пусть X таково, что существует А"1 (Г). Тогда Я" тоже существует и
я£/ = 2,(х,Х) + г2(х,Х), (4)
а г(х,Х)-(г1(х,Х\22(х,Х))т является единственным решением краевой задачи (2), (3), определяемым формулой
г(х,Х) = -(У1(х,Х),...,У„(х,Х))А-1(Х)1их(ё(х,(,Х))ВЕ(()Л +
о
1
о
где Ux(g(x,t,X)) = (U!(g(x,t,X)\.,.,U„(g(x,t,Х)))т относительно перемен-
i
ной x, a g(x,t,X) - матрица размера 2x2 такая, что j g(x,t,X)BF(t)dt явля-
о
ется частным решением (2).
Эта теорема позволяет оценить Rx при больших |Х|. Для этого X-
плоскость разбивается на четыре сектора (к -1)~ < argХ<к— (к -1,2,3,4),
в каждом из которых определенным образом выбирается фундаментальная система {Vj(x,X)} и подбирается матрица g(x,t,X). Далее, на основе формул (4), (5) доказывается , что в области S, получающейся из А.-плоскости после удаления нулей det Д(А.) вместе с окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса, справедливы следующие оценки. ТЕОРЕМА 3. (««/IL =0(|p|1-")||/||1;
K/L^dpf-Xp^i/L; (6)
¡¡^Д = 0(|Р|1-"Ч/СР»|И|1; |К04=О(|РГ"), где ll'lli'IML ~ Н0РМЫ пространств Ц0Д4Л0Д р" = X, v|/(p) = 1 - exp(-|Repco|)
= 2.-i-—i-—, со1,...,со2и" корни 2п -и степени из 1, %(х) - харак-
у=1 |Re рсоу I
теристическая функция произвольного интервала [Ло, Л1 ]с [ОД]. Между Rx и Rx существует следующая связь:
Rx = R° + R°T(E - D"~lSR°T)~lD"~lSRx, (7)
где T - интегральный оператор с ограниченным ядром, Sf = /(1-х),
D = —. dx
Представление (7) и оценки (6) позволяют доказать следующую теорему.
ТЕОРЕМА 4. Для любой функции /(х) е ¿[ОД]
lim
А->00
- j(Rxf-R°f)dX
2я<М=*
= 0,
где окружности |Х| = гк находятся в 5, г4 Т<я.
Из этой теоремы следует, что спектральные разложения, порождаемые операторами А и Лд, равносходятся. В то же время теорема 1 спра-
9 —1
ведлива для оператора Ад ,так как ) есть дифференциальный оператор = с регулярными краевыми условиями. Отсюда следует справедливость теоремы 1 и для оператора А.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб статей, посвященный 70-летию П Л. Ульянова. М. Изд-во АФЦ, 1999. С. 255 - 266.
УДК 517.984
П. М. Кудишин
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНЫХ ДАННЫХ*
Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные формы (I, Ур)
п-2( у ■ ^
~7Г7 + Я;(х) /Л=Ху, 0<х<Т, (1)
у=ои 1 )
п-р—1
Vp(y) = y(n~p){T)+ S vpj/J\T), p = l,n-l (2)
j=о
Пусть - корни характеристического многочлена
8(ц) = П (ц ■- к) + Zv; П(ц - к).
к=0 j=0 к=О
Для определенности будем считать, что |j.k - sn (j = 0,±l,±2,...) и
<... < 5Яцп. Пусть функции qJ<-m\x), т = 0,у -1, абсолютно непрерывны на [а>^] Для любого а>0, и qj{m\x)x"-l-*^"-^)-J+m eL(0J),m = 0J. При этом будем говорить, что система (£, Vp)eU.
Дифференциальное уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений Sj(x,X), j = l,n, причем Sj(x, X) являются целыми по X и
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №00-01-00741.
