CC BY
11
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кашин Б. С.,Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: А.ФЦ.1999.
2. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.
УДК 517.984
А. С. Луконина
О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ1
В статье рассматривается оператор I., порожденный дифференциальным выражением:
1(у) = Р/(х) + /(1 - хУР]{х)у{х)+Р2(х)у{1 -х) (1)
и интегральным граничным условием:
и(у)= = = 0 < а < 1, (2)
о '
где р2 ру(л')бС'[0,1] (/=1,2); на к(г) накладываются условия:
а) *(г)еС[ОД]пГ[ОД],
б) А2(1)-у2Л2(0)^0 , А:2(0>-у2Л20)^0 >™е У = Р-Л/рМ.
Граничное условие схожего с (2) вида: £ у(г)Ж= 0 для опера-
тора у'{х) впервые было рассмотрено А. М. Седлецким. Оператор (1),(2) при р^(х)= р2(х)=0 был подробно изучен А. 11. Хромовым [1]. На основе этой работы для оператора (1),(2) автором была установлена равносходимость разложений по собственным и присоединённым функциям (в дальнейшем с.п.ф.) и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также получен аналог теоремы Жордана - Дирихле [2]. В настоящей статье исследуется суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора (1),(2). Рассматриваются обобщенные средние Рисса следующего вида:
где Кх/ =(Ь-ХЕ)~ / - резольвента оператора Ь, Е - единичный оператор, X - спектральный параметр; г такие, что на окружности | X | = г нет собственных значений оператора Ь ; g{X,r) удовлетворяет условиям:
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).
69
1) g\X,r) непрерывна по А. в круге |Х,| <г и аналитична по А. в круге ¡А,| < г при любом г > 0;
2) существует такая константа С, что j g(X,r) j < С Vr>0 и
(' v ^
3) существует v > 0, что g(re'arg\ г) = О -^-iargA.d j,
I 71 . л jl - n J 1
— ±argA.fi? <—, d=-rr=-
I2 I 2 VP -1
4) g(X,/■)->] при г—>ao и фиксированном X.
1. Резольвента оператора L. Нахождение R^f сводится к решению
краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два:
1
5m'(x)+P(x)u(x)=^w(x)+F(x), Ü(u)= ¡N(t)u{t)dt = 0, (3)
о
я fß Р( \ ( Р) м(Л М') 0
ГД£ Н -ßj' ^) = U(l-x) Р.0-Х)} mi 0
F(x) = (/(x), /(1-х)) (Т - знак транспонирования).
ЛЕММА 1. Если Я таково, что Rxf существует, то
и(х)={щ(х),и2{х))Т, где их{х) = Rx f, u2{x)=u\(l- х), удовлетворяет системе (3). И обратно: если и(х) удовлетворяет (3) и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то Rxf существует и R} f = Mj(х), и2(х)= щ(\ - х).
ЛЕММА 2. Если и(х) - решение (3), то w(x) = F~]и(х), Г=( ' 1,
\У U
является решением следующей краевой задачи:
w'(x)+P(x)w(x)=A.Dw(x)+F(x), £/(Г>)=0, (4)
где Р(х)=£>ГчР(х)Г, F(x)= DYaF(x), D = diag(d,-d). И наоборот: если н'(х) есть решение (4), то m(jc) = Гм>(х) является решением (3).
Присутствие ненулевой матрицы Р(х) является серьёзным препятствием в исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи (4), преодолеть которое позволяет
ЛЕММА 3. Пусть Н(х,Х)=Н0(х)+~#|(х), где Н0(х) - диагональная матрица, Я, (х) - кодиагональная матрица, зависящие только от х и определяемые единственным образом из матричного уравнения Hq{x)+P(x)H0(x)+(H1(x)D-DH1(x))-0. Тогда при больших |A.j неособое преобразование w=H{x,X)z приводит (4) к следующей краевой задаче:
z'{x)+Px(x)z{x)=XDz(x)+Fx(x), U(z) = t/(r Я z) = 0, (5)
где ^(х)-^Я-,(хД)[я,'(х)+Р(х)Я1(х)], Fx(x)= H~\x,X)F(x).
Пусть hjj(x)^e\py- j*pjj(t)dt}, где pn(t) (y = 1,2) - диагональные элементы матрицы P(t). Обозначим через S5|) область, получающуюся из полуплоскости ReÄ.d>0 удалением всех нулей функции
a0 + a]e-kd +a2e'Ud, где ao=MO-Mo)-U2(lH2¿2(0)),
= (- 1Г "' С1 - Т2 (0)• ÄrCl)^,, (О) - Ä22(0)+ А,, (1) - А22(l>),
вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 60.
ЛЕММА 4. В области S&g при больших значениях (A. J Rxf есть первая компонента вектора ГЯ(х,А.) (e+R]XPx) 1 R\XF>оператор Л|;Ф для любого ф(х) = (ф1(х),(р|(х))г, фу(х)е ¿[0,1] (/=1,2), определяется по формуле
i ~f¡ Ra®= ¡g0(x,O-Mt)¿t- z(x,l)A~](X)Ü jg0(x,t,X)o(t)dt o Vo
где g0(x,t,X)=diag{g](x,t,X),g2{x,t,X)), g](x,t,X) = -e(t,x)e{x"')ixi, g2(x,t,X) = z(x,t)e^x~'),K'1, e(x,?)=l при t < x и нулю, в противном случае,
Z(x,X) = diag (exXd,e~xU ), A~'(X) = U(z(x,Ä.)).
2. Суммируемость по Риссу разложений по с.п.ф. оператора L.
Доказательство основного результата опирается на следующие утверждения.
ЛЕММА 5. Для любой функции /(x)e¿[o,l] имеет место
lim {|гя(л-я)[(£+/гид)-,/га^(х)-/гаЯ01(х)^(х)Л| |<л|=о,
г—><х> 1,1 II Ноо
где ¡I • ¡Ц - норма в пространстве вектор-функций размерности два L,r [0,1 ]. ЛЕММА 6. Если /(x)eC[0,l]
и удовлетворяет U(f)= 0, то существует последовательность функций /M(x)eC'[0,l], {/(/„)= 0, neN, сходящаяся к / по норме пространства С[0,1]. ТЕОРЕМА. Дтя /(x)eC[0,l]
и удовлетворяющей граничному условию £/(/)=0 выполняется соотношение lim ¡; fix)-Sr(x,/,g)¡Lrn= 0.
г —>x C[U,IJ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А. П. Об аналоге теоремы Жордана - Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием //Докл. РАЕН. 2004. № 4. С. 80 - 87.
2. Луконина А. С. О сходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 67-70.
3. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. № 2 (489). С. 24-35.
o.A. Лукъяненко
УДК 517.51
о сходимости радов фурье - виленкина в пространствах лоренца по подпоследовательностям
Пусть (Р„)"=0 - система функций Виленкина [1] с образующей последовательностью (рк )" . Будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье - Виленкина в пространствах Лоренца
/е ¿(о,.) 1/1
dt_ t
l/q
< +00
порожденных функцией Ч7, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) x¥(t)>0 на (0,l], убывает на (0,l] и выпукла;
2) lim vF(i)=+oo;
/->0 +
i j 3) f---<+oo, —убывает на (0,ll;
0V(i> H'(r>
4) VpeN, 3С >0 такое, что — <
1 + -
C.
В [2] было доказано, что равенство
Ii/Ii, Y
III/II
IV,q
1 + logx
\l/<?
I
/1=1
и
определяет в пространстве Ач, ц норму, эквивалентную исходной нор-
ме ||/|
