CC BY
25Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 7, 2000
УДК 517.54
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ БЛОХА
В. В. Старков
В этой работе доказано, что интегральные средние 1 Г2п 1
Ip{rJ,) = ¿У0 Р^2'ге [М)’
производных функций Блоха / в единичном круге могут расти при Т —У 1_ не медленнее, чем Cfc(l— r)1^2~P(— log(l— r))k J Ск = const, причем к здесь — любое натуральное число.
Если функция (p(z) аналитична в круге А = {z : \z\ < 1}, то ее интегральным средним р-го порядка (р > 0) на окружности радиусом г Е (0,1) называется число
1 /*2?г =2~ Jo \<Р(гегв)\Р<№-
Огромное количество работ посвящено исследованию этих интегральных средних в разных классах аналитических функций, в частности, во многих задачах важным является вопрос об асимптотическом поведении интегральных средних при г —> 1 — 0.
Например, в классе S однолистных и регулярных в А функций g{z) = z + ... известна неулучшаемая оценка [1]:
Ip{r,g') = 0( _r^3p-i) при р > 2/5.
Эта работа является переводом с английского языка статьи, ранее опубликованной в журнале Ann. UMCS. Sec. А. 1999. V. 53. Р. 217-237.
© В. В. Старков, 2000
Поскольку произвольные функции класса *5 удовлетворяют точному неравенству \д'{г:)| < (1 + И)(1 — И)_3> ^ £ А, то в рассматриваемом случае можно говорить о падении на 1 порядка роста интегральных средних по сравнению с порядком роста производных класса *5.
Говорят, что аналитическая в А функция / принадлежит классу Блоха В, если она имеет конечную норму Блоха
||Л|6 = |/(0)| + 8ир[(1-|г|2)|/'(г)|]; из этого определения функций Блоха вытекают точные оценки
1/'М1 = о (пУ. 1№>1 = 0(‘»епУ.
Для самих функций Блоха тоже наблюдается падение порядка роста в результате интегрирования по окружности, поскольку (см. [2, 3])
, г —> 1. Однако для
производных функций Блоха подобное свойство уже не имеет места. Из [4, теорема 4], в частности, следует,что существует функция / Е В, для которой
1р(г,Г) > ср(1 - г)~р, 0 < г < 1, р > 0;
здесь с = с(/) — положительная постоянная.
Обозначим В' подкласс класса В, состоящий из локально однолистных функций. К необходимости исследования /р(г, /'), / Е В', приводят некоторые задачи комплексного анализа (например, задача
0 стремлении к 0 тейлоровских коэффициентов функций из В1 [5]).
В этой статье для любого А: = 0,1, 2,... и любого р > 1/2 строятся примеры функций ^ Е В', для которых
Ш*1*) > (1 ^¡Г-1/21р£/,:з~г7» 1>г>^(р)>о,
где с(к,р) — положительные числа, не зависящие от г. Это построение опирается на 2 леммы.
Для М > 0 обозначим Вм = {/ Е В : ||/(г) — /(0)||# < М}.
Лемма 1. Если / Е Вм, ^(¿) —аналитическая в А функция, \ш(г)\ <
1 для 2; Е А, то функция Б = / о с<; Е Вм-
для/Е Бир > 0 /р(г,/) = 0
Доказательство. По лемме Шварца (см. [6, с. 319-320]) для z е А
W{z)\ < 1 ■ Поэтому
1 - ¡zj2
т. е. ||F(z) — F(0)\\ß < ||f(z) — f (0)||# и F Е Вм• Лемма 1 доказана. □
Лемма 2. Пусть 7 = {7(0) = г(6)егВ : в Е [—7г, 7г]} — замкнутая кусочно гладкая кривая из А, симметричная относительно вещественной оси, причем г (О) > 0 и монотонно меняется на [0,7г] от Го до г° > го- Если / регулярна в А и \f(z)\(l — \z\2) < 1 в А, то при X > 1
- V2
\f(*W\dz\ >
/7
1
/
[ \f(z)\x\dz\ - -^-((1 - г0)1“* - (1 - го)1^)
J\z\=r0 А“1
(1)
При А = 1
[\f{z)\\dz\ > f \f{z)\\dz\-4V2r0log^—
Л V 2 Уы=гп 1 - ^
/7 V ^ |г|=го
Если /(г) / 0 в А, то при Л Е (0,1)
[ \т\х^\ >±[ |Д*)|ЛН-
«'Т V * «/ |^|=г*о
-4лО-(1-+л)Л)[(1 “ Го)1“Л “(1 “ Г°)1_Л) “(1 “ л)(г° “Го)]-
Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что г (в) возрастает на [0,7г]. Иначе можно перейти к рассмотрению интеграла
/\f(—z)\x\dz\^ где кривая —7 имеет параметризацию —7(в). Рас-
смотрим разбиение отрезка [—7г, 7г] на 2п равных отрезков: 0 < во < 0\ < ... < 0П = 7г, 0 = б^о > #-і > ... > #_п = —7г. Обозначим 7^- = г(^), ^ = —п,... ,п; 7^- возрастает с ростом |^|. Рассмотрим замкнутую кусочно гладкую кривую 7^), образованную дугами окружностей
{г = гуе*61 : в Е [б^-і, 6^-]}, ^ = -п + 1, -п + 2,..., п,
и отрезками радиусов
{г = ге10!-1 : г Е [гу-ьГ/]}, ^ = —п + 1, -п + 2,..., п.
Обозначим = 0j —Qj-ъ Аг^- = |г*— г^_ 11, 2^ = rjeгвj, ^ = — п + 1, —п + 2,... , п,
7,- = {г е 7 : * = г(в)е™, в £ [^_ь в^]},
Н = {ге<в е 7(п) . в е [0,._ь0,.]}.
Теми же символами 7,7^, 7?, 7}”'' будем обозначать соответствую-щие длины кривых. Из равномерной непрерывности \/^)\х в круге К = {г : \г\ < г0} следует, что для любого £ > 0 существует такое г] = 77(г) > 0, что для любых 2/, г" Е К, — 2/'| < г] выполнено неравенство
||/И|Л-|/Ю|Л|<г. (2)
Поскольку л/2|^т(^)| > \с1г(6) \ + г(6)с№ при в Е [ —7Г,7т], то для любого фиксированного 6 > 0 и достаточно больших п
Лп)
(6 + 4/2)7,- > Аг^ + г^Ав^ = 7 - , ^ = -п + 1,..., п.
(3)
При достаточно большом п диаметры кривых 7, и 7.|п) станут меньше г]. Отсюда, учитывая формулы (2) и (3), получим:
(6 +у/2) [\/(г)\х\<1г\- [ |/(^)|ЛН =
«/ 'у «/ 'у(тг)
= £
j=l — n
= [(6 +у/2)|№)|л-№)|а)|^|-|№)|а-|/(^)1л)1^|+
j=l-n
Ъ
ЛП)
+ («5 + 72)|/(^)|АЪ- - |/(^)|А7]п)] > —£[(\/2 + <5)7 + 7(п)]-При этом можно г взять таким, чтобы последнее выражение было
больше, чем — <5(л/2 — 1) / |/(;г:)|л|бЬ|. Следовательно,
72(5 + 1) [ |/(*)|АИ> [ Ш\х\6г\. (4)
«/'•у «/ '-у (п)
Для параметра t Е [0,1] рассмотрим семейство кривых 7(п, =
= {Ьх : х Е 7^)}; 7(п, 1) = 7^п^, 7(п, 0) = 0.
[ \!(г)\Х\<1г\ =
«/ 7(п,£)
= * Е / 1/(‘г)е’Т^+- / |/(ге"'-‘)|А|<*г| >
\Л-1 * /
><г»Е 1/(^е*)|Аг,чЮ+— / |/(ге^-)|ЛМг| =
П / ^
= *Г0Х ^ / |/(^ег(,)|лсй> -
j=l-n
- Г - [ Г’ \Нге**-')\х~^{ге**-')^
«/О Jтrj-l О" ^
+*’■» Ё /‘Я Г’ |/<^-)|л-1ж(ге“'_,)т!
^=1-п 0 |/тг;’-1
п
+ £ / |/(ге<в>-0|А|^г|.
Первую из последних 3 сумм обозначим /(£). Слагаемые 2-й и 3-й сумм при t = 1 обозначим Bj и Aj соответственно. При этом
т=С~ Ё [Г \ПТГ^*)\Х-^{ТГ^*)ТГ& -
У° Т 7=1-« Л-1
СІТ ) +
(¿Т+
(5)
■ Г’ | Дге^-1) IА_1 ^ (ге^-1)
об Г
(¿Т.
(6)
Утверждение леммы очевидно, если / = 0; далее будем считать, что это не так. Тогда функция может иметь лишь конечное множество нулей в круге К. И можно считать, что при фиксированном п существует конечное множество кривых 7(п, ¿), на которых могут лежать эти нули (в противном случае вместо /(2) рассмотрим /(^е*7) при малых 7 Е М). Далее рассматриваем те значения £ Е [0,1], для которых кривые 7(п,£) свободны от нулей функции /(г).
Для z = гегв Е 7(n,t) обозначим Ф(^) = arg f(z). По условию Коши—Римана
If! д±__М
г дг ^ дв ’ Г ^ дг дв '
Поэтому из (6) получаем:
Г \f(tr3e^)\xd<S>(tr3e^)
\ п ''(п = т Е
t
J=l—n
+
/rrj д pb
\f(rei$>-')\xd<f>(rei$>-i) = -/ |/(7(0)|A^(7(0)
rj — i ^ J a
где 7(^) — использованная нами кусочно гладкая параметризация кривой 7(п,£), задающая на 7(п,£) положительное направление обхода; параметр £ меняется на некотором отрезке [а, Ь]. Обозначим
£ = £(£) = ж(£) + *2/(0 = 1/(7(0)1Л/2е®ф(т(*)),
тогда
= |/(7(0)1а^(7(0).
и по формуле Грина
V(t) = — [ xdy — ydx = ^5(n, t),
£
где 5(п,£) — площадь поверхности (вообще говоря, не однолистной), на которую функция
Г |/(z)|A/2ei<i>(z) при f(z) ф О,
1 0 при /(z) = О
отображает компакт с границей 7(п,£).
Обозначим
r0tl(t)=r0ti \f(rote%e)\xd0 = j \f(z)\x\dz\.
J — 7Г J \z\=V()t
Аналогично предыдущему
I'W = A/:,, |/(roiei0)|A-1^(roiei0)rod0 =
(7)
/п 2А
|/(г„іе*в)|А<ІФ(гоіе*в) = —Б(г0і),
где 5(го£) — площадь поверхности, на которую функция (7) отображает круг {г : \г\ < го£}. Поэтому неравенство /'(£) > Х'(£) справедливо для всех £ Е [0,1], исключая, может быть, конечное множество значений Отсюда и из непрерывности /(£) и Х(£) в [0,1] получаем:
/(1)-1(0)>Х(1)-Х(0).
Но Х(0) = /(0) = 27г|/(0)|л, т. к. при достаточно малых г величина
1/(ге<в)|А
< С — сопві:
поэтому из условий Коши—Римана
[ - Г3
Л) т об Г
г г і оф /»£
- ІДге^-1)^ —(ге^-^гсгт <с (Гі-Гі-і)<і-
«/о Т 1 «/о
Последний интеграл стремится к 0 при £ —>• 0. Следовательно, /(1) > Х(1). Тогда
.7 = 1 —п
/п п
\№\Х№\ > г„1( 1) + ^ (^ + В5) > г„Х(1) + 5] в5 =
,(") ¿=1-п -
п
= \т\х№\+ х; *
«/И=г0 „-_1 „
Заметим, что
.7 = 1 —п
(8)
31/1 деКе 108 /
<9<? 89
< !*/'(*)! <
4|;
(1-Й2)2
(см. [7]). Поэтому для получения оценки \В^ достаточно оценить
,1 Л ГТР2
В
Г X ГТр2
= Го - |/(гегвз'-1)|л_1|/'(гегвз'-1)|сЫт, 0 < Р1 < Р2 < 1.
«/О •/грі
Из условия леммы 2 следует, что
[1 Л ГТР2
' Л Т Л
В < г0
= 4г(
»л
ТР! (1-г)А + 1 1 1
сМт =
<И.
Обозначим </?(£) подинтегральную функцию и разложим ее в ряд по степеням t.
<р(*) =ЦР2-Р1) +
3!
А(А + 1) (^2 \ Ч*+ № + *),* „Зч+2
Радиус сходимости ряда больше 1, поэтому
I
( ч , Л / ч А(Л + 1)... (А + к — 1) р2 — р1
ф)(И = \(р2 ~ р1) + • • • + —----------------------------------- 2 7 1 + . . .
к!
к
Но
Р% - р\ _ Рк2-р1 к+ 1 < 2 р\+1-р\+х
к к + 1 к Следовательно, если А > 1, то
/*(,)Л 5 МГГТ)
А: + 1
Р2
(А - 1)Л... (Л + к - 1) к+1 *+1ч
+ {к + 1у_ (р2 Рг ) + ■■
р2{\~ 1)
X [((1 - р2)1~х - 1 - (Л - 1)/>2) - ((1 - Р1)1~Х - 1 - (Л - 1)/?1>] <
<
Р2 (А - 1)
((1 Р2)~ (1 Р1.) )>
т. е.
\В\ < 4г0 [ ф{Ь)(И «/о
<
Поэтому
Е в,
j=l-n
Р2(Х~ 1)
j = l-n
3 = 1
16
= п((1_г) (1_Го)
и из (8) имеем:
[ \f(z)\x\dz\ > [ \f(z)\x\dz\ - - г0)1^ - (1 - го)1^).
J j(n) J | z | — Т*о
Тогда из (4) получаем, что
[\f{z)\X\dz
J 'У
dz I >
>
^(Ь) |№)|>|<Ь| - Г5!«1 -r0)1" -(1 - Г”)І_Л)
В силу произвольности положительного 6 отсюда получаем утверждение леммы при Л > 1.
Если Л = 1, то
Поэтому
Г1 1
J ip(t)dt = log -
п
Е *
А В < 4r0 log ^. Р2 1—^2
j=l-n
<8г01о6^—и
[\f(z)\\dz\> ~^= f \f{z)\\dz\-4\/2rolog^—
Ут V 2 У|г|=г0 1 - г°
Пусть теперь Л Е (0,1) и f(z) / 0 в Д. Тогда функция /л(^) = = fx(z) аналитична в А, \f\(z)\(l — \z\2)x < 1. А для таких функций K. J. Wirts [7] доказал, что \ffx(z)\(l — |z|2)A+1 < 2(А + 1). Поэтому
В =
Г1 1 Гт Р2
Го / - Шге16’-11drdт < 2г0(Л + 1)х
«/О •/трх
^ 1 Гр2 drdт 2г0(Л + 1) />11г/1 . л . д. ,
В качестве оценки последнего интеграла, как и в случае Л > 0, получим величину
2
р2( 1 - Л)
((1-pi) - (1 - р2) + (1 - \)(pi - Р2)),
т. е.
4г0(1 + А) ~~ Р2-М1 — А)
((1 - Р1у-Х - (1 - р2у-х + (1 - Л)(Р1 - р2)).
Поэтому
Тогда из (4) и (8) получаем, что
_(1_гО)1-А_(1_Л)(гО_Го)) _
Отсюда, в силу произвольности 6 > 0, получаем утверждение леммы при Л Е (0,1). Лемма 2 доказана. □
Замечание. Лемма 2 остается справедливой и в случае монотонности г{0) в [6М°] и в [#°, #о + 27г]. Она очевидным образом обобщается и на случай /¡^-кусочной монотонности непрерывной функции г (О); при этом в случае Л > 1 коэффициент 16/(Л — 1) из леммы 2 нужно заменить на 8к/(\ — 1), аналогично и для Л Е (0,1].
как |с<;| < 1 в А, то можно определить аналитические в А функции
Теорема 1. Определенные формулой (9) функции ^ еВ2П В'. Для любого к = 0,1, 2,... и любого р > 1/2
Обозначим /(г) = к^(1 — х) Е #2,
= / о и, ^ о о;, к Е N.
(9)
при 1 > г > рк(р) > 0;
при р > 1
р—1/2
pZ7T
О < с = с(р) = inf [(1 - г)1~р / |1 — relt\~pdt\, ро(р) = 1 /л/2.
7-Є[0,1) J о
При ре (1/2,1]
п \ Ф,Р) /п \ Ф)е
(10-\/7r)fefc! ’ ’ 3(27г)2 Р(2р— 1) ’
(р)= inf Г dt > О. ге[0,1)У0 |1-гег*|Р
с(0,1/2) 1-Jb+1 1
При р = 1/2 имеем: I1/2(r, F'k) > (10^(& + 1), 1о§
с(0,1/2) определяется той же формулой, что и при р Е (1/2,1].
Доказательство. Из определения функций F*. следует, что все они из Б'. Из леммы 1 вытекает, что .F& Е В2 для любого к, так как
log(l - z) е В2-
N
Для натуральных 7V положим гдг = —^====. и ¿дг = arccos гдг. Тогда
Re 1 + rNeiS- = 1 -г% = г
l — rweiSN 1 — 2гдг cos(5at + r2N
1 + T]\¡e 2rN sin ¿дг 2гдг i/l -
Im -------r^— = - --------1—«—— = 27V.
1 — Гмег0м 1 — 2гдг COS ¿AT + rjf 1 — rAT
Для целого m E [0, TV] обозначим через ¿m E [0,7г] решение уравнения
1 + г^ег<5т 2rjv sin <5m
Im --------= ------------------7Г- = ¿m.
1 - rNetó™ 1 - 2rN eos Sm + r¿N
Оно приводится к квадратному уравнению относительно 7 = cosám:
72(4r2Nm2 + г%) - 4ш2глг(1 + г%)7 + ш2(1 + r2N)2 - r2N = 0.
Из этого уравнения получаем:
2 ш2 1 + 27V2 1 .
7 — cosám — \ / 1
1 + 4ш2 ЛГд/1 + N2 1 + 4m2V N2{N2 + 1)'
Введем еще одно обозначение
1 + ГЛгЄі6
1-^АГ
1 - г хе15™ 1 - 2 гдг сое 8т + г2м
4 т2 + 1
2Ю + 1 + л/{2Ы2 + I)2 -4т2 -1
1) Сначала рассмотрим случай р > 1. Доказательство проводим методом математической индукции по к = 0,1, 2,...
а) к = 0. В принятых обозначениях
/р(глг,^о) = ^ Г Шгм^)\Р(И = - Г >
^ У-7Г ^ Уо
>1Е Г \г\фиеиж\фпе^)\
К Л™
п=Ы '
27Г
(1 — Гдге^)2
Заметим, что при £ Е [¿т, ¿т-1] |1 _ Гдге^| < |1 — гдгег(5т_11 и на этом
отрезке Я^) = |с<;(гдге^)| > Ят = е_7ГЖт, кроме ТОГО,
|1-ы(г^)| = |1-Д(«)е<в<*>| < |1-Лте^«| + (Д(г)-Дт) < |1 - Кте* I + (1 - ЙП.) < 2|1 - Дте^|.
Отрезок [¿ш,£ш_ 1] Э £ отображается посредством с<;(гдге^) в один виток спирали с<; = Я^)егВ^ = р(6)егВ, # Е [—27гш, — 27г(ш — 1)], при этом р($) возрастает от Ят до Дш_1. Элемент длины этой спирали |е£а;| = |с?(р(#)ег6,)| не менее элемента длины |с?(Дтег6,)| окружности {|о;| = Ят}- Учитывая все вышесказанное, получим, что
г 1
^Аг/р(гдг,Ео) > ~ —
71 ът М-m—N 1
(2тг)р-1Д^-1
-гме*™-і|2(р-і)2р У|Ы|=
Поскольку при р > 1 (см., например, [8, с. 157])
[ -
Ьш\=Ят Iі
■и)\Р
рЛ7Г
и(г) = (1 - г)?-1 —
¿і
гегі\р Г—>1
^гГ-^г©,
то и (г) > 0 и непрерывна на [0,1] (и(1) = л/пГ
р- 1
©>■
Поэтому и (г) > с > 0 при г Е [0,1]. Следовательно,
Г7гР~2 ИР
гм1р(гм,Р0) > —— £ —
Для всех целых т Є [О, АГ]
хт—і _ 4(то - I)2 + 1 2ДГ2 + 1 + 7(27У2 + I)2 - (4т2 + 1) _
жт “ 4то2 + 1 2ЛГ2 + 1 + д/(2ЛГ2 + I)2 - 4(т - I)2 - 1 ~
4т2 + 1
1 + 4/1-
. ^ 8ш — 4 \ у (2ЛГ2 + I)2 ^ / 8ТО _ 4 \ і х
4т2+ 1/ І 4(т -1)2 +1 V 4то2 + 1/2 10'
1 + у1_ (2ЛГ2 + I)2
Поэтому
1 %т—1 ^ ^
|1 — Гдгб^-1 |2 1 — ГДГ 1 — ГАГ Ю
2 (Ю)
210Р-1 (1-г%)Р~^1(1-Нт)Р-^ Поскольку хт Е [0,1], то Я7П > е-7Г, 1 — е_7ГЖт < 7гжт. Следовательно, С7гР-2е-ПР N се-пр Гдг
^Аг/р(гдг, Ео) >
210^-1тг^-1 (1 - г2^-1 2тг10^-1 (1 - г2^-1/2 ’
Из возрастания по г Е [0,1) интегральных средних /р(г, у?) для любой аналитической в А функции (р (см., например, [9, теорема 3.1]) следует, что /р(г, Е0) > /р(гдг,Ео) Для г Е [гдг, глг+1]. Поэтому для Г Е [гаг,гдг+1]
св '____________1 х ~ 1 АГ+1
2тг10^-1 (1 -г2)^-1/2 \ 1-г2 се_7гр /2
1 — г
.2 \ Р-!/2
2тг10р-1 \5/ (1_гЗ)р-1/2
при N > 1. Из произвольности натурального ТУ вытекает справедливость неравенства (11) для г Е [1/л/2,1)-
Ь) Пусть утверждение теоремы доказано для некоторого целого к > 0, т. е.
^ (1 _ г2*Р-1/2 106* ГТ72 ПРИ 1 > Г - Рк £ (0,1)' (12)
Докажем справедливость этого утверждения теоремы для к + 1.
При ш = 1,..., ТУ обозначим Ьт =
— \ujivj\fC ) . £ Е [$т, бт-г]} , 1/—ГП — \ujivj\fC ) . £ Е [ $т, $т—1]}5
1^гп — спиралеобразная кривая, делающая один полный оборот вокруг точки г = 0, при £ Е [¿ш,£ш_ 1] величина |с<;(гдге^)| строго возрастает по Ь-ш симметрична кривой Ьт относительно вещественной оси. Поэтому при каждом т = 1,..., N можно представить Ьт и Ь-т в виде объединения двух простых кусочно гладких замкнутых кривых Гт иГ^, Гт составлена из верхней части кривой Ьт и нижней части £_т, а = Ьт и £_т \ Гт. Обе кривые Гт и удовлетворяют условиям леммы 2 с го > Ят и г° < Ят-1- Отсюда с учетом (10) и (1) получаем:
гм1р{гм,Р'к+1) > ^ Е / т1 \П+Лгмен)\р(И =
га=ЛГ ^т
Г Е [6т~1 \К[ш{гм^)]\р\ш'{гмгг)\р-1\<1ш{гмеи)\ >
1 (2'7г_Кто)г’ 1 у* ч,ри | ^
— > 7---------Г7-Г^Т 77 / ^(а;) р еЦ >
|1 - глге*« 1|20»-1) У£ти£_т
ЛГ
Т53(*тДт)г’-1 / 1КМН<М>
т=1 •/ГгаиГ^
> 2?Г 1
т=1
(2тт)р~2 М
10р_1(1 - г%)р
>
(27г)р-2л/2
АГ
10г’_1(1 — г|г)
./V / т=1
ор+4
-------г((1 - Дт-1)1“Р - (1 - Дт)1“Р)],
Р-1
так как по лемме 1 функции ^ Е Ве, т. е. |^(г)|(1 — |^|2) < 2 при я Е А.
Поскольку 171 1 > — при целых т Е [О, ТУ], то Хщ
Хт < 10жт_1 => 7г(жт - Хт-1) < 97ТХт-1 < $(е*Хт~1 ~ 1) =>
1 -йт —1 (1 ^ (%т т — 1) )
1 -йт —1
^т-1^"(^т т — 1) ^ 9(1 -^т —1)
1 — Дт_іе_7Г(Жт_Жт_1)
<
< 10
1 - Ят - 1
< Ю
1 Ят — 1
< 10.
Поэтому (см. (12)) при Ят Є (р&, 1)
27г Ягпіп
2 Р+4
гр(Дт, *£) - —((1 - Дт-1)1_р - (1 - дто)1_р) >
>
27гс^Д„
2^+4
1-й2
— ((1 - - (1 - Дто)1_р) =
= (1-Д:
'2 \1-и
27Г Яц
■ 1о§
2^+4
1 - д„
1-Д2, р-1^1-Дт-1
1 2Р+4
0-1
27ГС^Дт
ТГ^дГ 08 ГТйГ -і
юр
-1
- 1
>
>
7ТСкЯт 1<^
>
1-Д2
если Ят достаточно близко К 1, Т. е. Ят > 1 — £к > рк, ^ (0,1).
(13)
1 . 1
Хт < ~ ----------
7Г 1 - £к
4 ш2 + 1
= 2ї?І (0 < щ < 1)
<Ш
2ЛГ2 + 1 + 7(2^ + I)2 -Ат2 -I <=*• 4ш2 + 1 < (2ЛГ2 + 1)4771 - 4^,
последнее же неравенство выполнено при т < N^1 если N > 1/(2^). Далее будем считать N достаточно большим (ТУ > 2/^), тогда для 1 < т < Мг]к выполнено неравенство (13). Поэтому при N > 2/г]\
гнІр{гМіР'к+1) >
жр хск
тр- 1 /?р , 1
___ \ Л т т ]ор- ______
-1 А (1-і?2 )Р"1/2 8 1-,
^25Р-і(1 _ г2^)Р-1 ^ (1 - в?т)
Я2'
Как отмечено выше, 1 — Я^ < 2/КХгп ДЛЯ всех Ш, кроме ТОГО, Ят >
1 — Ек при т Е [1,Мг]к\, следовательно,
ги!р{гм,Р'к+1) >
Ск(1 — £к)Р
20Р1Ор-1(1 -г%)
т—1
Поскольку жт растут с ростом ш, то слагаемые последней суммы убывают по т (можно считать г]к достаточно малым числом, тогда 47ТХт < 1). Поэтому
Ги1р{гм,Р’к+1) >
Ск(1 - £к)р
2^10Р-Ц1 - г%)
В этом интеграле сделаем замену переменной
МГ1к 1 к 1
--------(1т.
Хт 2'КХп
(2Ы2 + 1)м 4ш2 + 1
3?Г77, - ----- 1 и --
и е
1 + 7Г^’ (2АГ2 + 1)2 ’
5 тт? + 1]=[АВ1
(14)
(2ЛГ2 + 1)2’ (2ЛГ2 + 1)2
тогда 2т = у/(27У2 + 1 )2и — 1 < (27У2 + 1)л/й и с1т = -------------——с1и >
2Л/'2 + 1 > —-—р=—б1и. Следовательно, 4уи
8ш
/'
«/а
Гщ 1 , к 1 ,
/ , ^ ------(1гп >
«/1 у%гп 2тгхгп
у/1 + л/Ь1« 27У2 +1 * 1 + Л/1^й
> 1а \Zi2N2 + 1)и ^у/й 10§ 27г(2ЛГ2 + 1)и^И >
>
У2ЖТ1
/,
1о8‘
(Й/
72ЛГ2 + 1 4(* + 1)
Т2^ТТ ,+1
4(* + 1) ё 1о£
А ь 2тг(2ЛГ2 + 1)и и =А
2тг(2ЛГ2 + 1 )и
-\о£
1=В
к+1 27У2 + 1 _ 10р.^+1 27У2 + 1
107Г 27г(4А/'2?7^ + 1)
>
у/Ш*ТТ к+1 4^ + 1 - 4(* + 1) 8 5
так как при a>b>OиkeN верно неравенство ак — Ьк > (а — Ъ)к. А поскольку N взято достаточно большим (N^1 > 2), то
I
^ 1 , * 1 , +1, к+1 —7
: ^ ----(1171 > ——--------------—- ^ V ТУ2 + 1 =
Хт 27ГЖт 4(& -|- 1)
1о5‘+‘ —
І-’-»
4(* + 1)2*+:1^1 - г%'
Таким образом, для достаточно больших номеров N
Т ( т-1/ \ \ ^^(1 &к)Р 1 -1 /г+1 1
гдг/Р(гдг,^+1) > 8^10Р-1(& + 1)2^+1 (1 _ г^р-1/2 ® 137^
Если теперь г £ [гдг,глг+1], ./Ут^ > 2, то
г\Гр(г,^+1) > г^/р(глг,-^+1) >
Ск{1-£к)Рс' 10® 1 ,
- 8^10Р-Цк + 1)2*+1 (1 - г2)*"1/2 ’
где
„2 \ Р-1/2 / „2 \ \ *+1.
Г,
'ЛГ+1)У щ~1’0
1оёк+1 (15)
, „ ч • (1~г%+1у~ч* ( \оф-г%) *
С = С (щ) = ШШ —-------о 1--Тл---2--- • -^ !•
Л^>2/^ V 1 - Г% ) V 1(^(1 - Г%+1,
В приведенных рассуждениях Ей И Г]к можно взять сколь угодно близкими к 0, поэтому можно считать, что с'{щ){1 — £и)р > 8/10. Тогда
Ск 1 т _ к+1 1
Ір{Г^к + і)> г-іп„а , 1\0&+1 (Л „2\ю-1/2 ^
2у/7г10*?(& + 1)2*5+1 (1 — г2)р-1/2 & 1-г2
при г, достаточно близких к 1, т. е. при г > р&+1 > 1/2.
Это завершает доказательство теоремы в случае р > 1.
2) Пусть 1/2 < р < 1. Далее будем использовать обозначения пункта 1). Доказательство снова проводим индукцией по Л: = 0,1,... При N > 1
При t Е [imjim-i] справедливы неравенства |с<;(гдге^)| < Rm-ъ |1 — гдге^|-2 < |1 — г^ег6т\~2 = -—~~2~• Поэтому аналогично случаю
1 _ ГАГ
р > 1 получим
АГ
TN p(rN, о) _ 27r2_p Е (xmRm-i)1~P JH=Rm |1 -
При 0 < р < 1
( \- [2п dt ^ [Зп/2 dt ^ Ж 7Г
Jo |1 - геЙ|Р “ Утг/2 |1 - гей|р > (1 + г)Р ^1 2Р'
Поэтому с = с(р) = inf и (г) > 0. Следовательно,
rG[0,l)
-7Г N
се
rNIp(rN,F^) > - rjf)1 р 53 хш 1 >
m=l
Л Жт ^
2тг2~р У
После замены переменной (14) в этом интеграле и Е [-4,-В] = 5 4АГ2 + 1 1
получим при 1 / 2 < р < 1 :
(2N2 + I)2’ (27V2 + I)2
Г 4^ > (2ЛГ2 + 1)р ¡\р-учи > (^2 + 1)%Р-у2 =
J1 а£гр “4 JA ~ 2(2р - 1)
_ (27V2 + 1)Р г^“1/2 + о(1) _ V2iV2 + 1(1 + о(1)) _
“ 2(2р-1) (2N2 + 1)р-1/2 _ 23/2-Р(2р- 1)
1+°(1) /-1 _ 2 Л —1/2
2!-Р(2р-1)1 N>
здесь о(1) —У 0. Если же р = 1/2, то при достаточно больших N
N—Уоо
rN
dm V2N2 + 1, 4N2 + 1 V-/V2 + 1
h x]l2 4 5 " 2^2
1
>V" log log xZ/V^+T =
Следовательно, при достаточно больших N > N0
се~п 1
глг/р(глг,^о) > 2{2тг)2~Р(2р - 1) (1 - г’ 1 > Р > 1А
се~п 1
Г~7'(Г~'^)г2(2^1оеТЗТ5/ Р = 1/2'
Если теперь ТУ достаточно велико и г Е [глт,Глн-1], т0 подобно (15) будем иметь при р Е (1/2,1] :
се—7Г 1
/г,(г’^°) - /р(ГАГ’^°) - З(2тг)2-Р(2р - 1) (1 - г2)?-1^ ’
Л/3(г.Ч)>^^1о6;г^. (17)
Следовательно, (16) и (17) выполнены для 1 > г > ро(р)-
Предположим, что для некоторого целого к > О справедливо утверждение теоремы, т. е. выполняются неравенства
1р(г,П)> 1гр>5' (18)
/ 1 N *+1
Л/2(г,П) > с*(1/2) (19)
при 1 > г > рк(р)- Докажем справедливость утверждения теоремы для номера к + 1. Как и выше,
1-лг »¿т_1
/ 1КГо;(г„еи)11р. 'Т4'>
(^,^+1) >¿5: г1 |^^(г„е^)]г-^ш(глгег<)|
2?Г к=М }^
М Г
о л^—р Е(д—іж-)р_1 / і^мгмч
^ ' &=1 «Угтиг^
Поскольку ^ Е В', то к интегралам по Гт и применима лемма 2; использование (1’) при г о > Дт, г° < Дт_1 приводит при 1/2 < р < 1 к неравенству
[ I№)П^| - ЩЦ((1 - л™)1-'1 - (1 - й™-!)1-")
^\ш\=Ят Р\^~Р)
а при р = 1 — к неравенству
Т ( ч л/2 /* . ^# / ч.. , . ~ ~ , 1 — Яп
гк11(гк,Рк+1) > тг- 2^
2тг
т=1
[ |^)||^|-8Дт1о8-^
У|а;|=Дт -Кт — 1
Из (18) и (19) следует, что при 1/2 < р < 1
8(1+р)
2</И=Лт1‘*ч~'1 1“~1 Р(1-Р)
1 [ \К(.)ПМ - > О,
2./М=я™ Р(1 - Р)
\[ |^'Н||^|--81оё10>0,
гм > 1 Г2 \7_р ^2 53 (Дп,-!^^-1^^,^). (20)
т=1
?2
2 У|Ш|=Л:
если Ят > рк(р) и Ят ДОСТаТОЧНО близки К 1, Т. е. Ят > 1 — £*., £& = = £к(р) Е (0,1). Как и раньше (см. пункт 1)), это означает, что 1 < ш < N1г]к = г]к (р) Е (0,1); считаем ТУ достаточно большим (А/^ >
^
> 2). Выше показано, что ------ т < 10 при т Е [0,А]. Следова-
1 — Ят-1
тельно, для N >2/г]1 ит Е [1,УУ?7&] выполняется неравенство
(1-г^)1-^
(2тг)
При 1/2 < р < 1 отсюда и из неравенства 1 — Я^ < 2/кхгп получаем:
г / ТР/ \ \ ск{р){^ — Тдг)1 р (^т-1Жт)Р 1 Д 1 ^
Г„!ГЫ*М)> (2г)Е (1оеТТЩ:) *
> Й <1 / И' >
- (2ж)1-рУ2(2тг)р-1/2 ^ х^-1/2 \ 2тгхт) ~
Последняя сумма в (21) того же знака, что и сумма в пункте 1, Ь); поэтому при N > 2/г]1
__________10„к+1 _ 1
г%)р-'/2 8 1 - г% ■
ГАГ/р(Г^’^+1) - 80Г(& + 1)(1 - г|,)Р-1/2 10ёК+1 1 _ г2 •
Если теперь г Е [гдг,гдг+1], N^1 > 2, то, как и прежде (см. (15)), получим:
г ю гЬ- (22)
если N достаточно велико. Это означает, что (22) выполнено при г, достаточно близких к 1, т. е. 0 < рк+\{р) < г < 1. Тем самым доказано утверждение теоремы в случае 1/2 < р < 1.
При р = 1/2 из (20) получаем:
Г*ЫГК,ГШ) > ^щ- >
Опять получили сумму того же вида, что и в (21). Поэтому при N > 2/4
<*(1/2) ,^+2 1
глг/1/2(^,^+1) > 80F(fc + 2)
log
Отсюда, как и раньше, следует справедливость неравенства
Т (г F' ) > (1/2) inp.fc+2 1
1/2( , fc+i) _ 1O0p(fc + 2) g 1 _r2
при г, достаточно близких к 1. Это доказывает теорему в случае р = 1/2. Теорема доказана. □
Идея построения функций Fk восходит к работе [10]. В нашей статье изучаются линейно-инвариантные семейства Ыа локально однолистных функций h(z) = z + ... порядка а (см. [11]). Для h Е Ыа
(1 + Ы)а_1
доказано ([11]) точное неравенство: \h'(z)\ < —------- |)a+i ’ Z ^
Поэтому
heua =*• h1 = (f')a+1, f€B; (23)
и для функций / Е В', определенных посредством (23), Ia+l(r,f) = = Ii(r,h'). Для h G Ыа в [12, с. 182, задача 5] имеется оценка:
h (r5 h') < с(1 — r)~1/2~VQ!2~3/4~g7 с — const, £ > 0 сколь угодно малое. Поскольку a + 1/2 > 1/а2 — 3/4 + 1/2 = а + 1/2 + 0(1/а), а —>• оо, то здесь в результате интегрирования |//|а+1 происходит падение порядка роста Ia+1(r, /') по сравнению с ростом
max \h'(z)I = max \f'(z)|а+1
/,И=Г
больше, чем на 1/2. Естественно, возникает
ЗАДАЧА. Существуют ли функции / Е В', для которых /р(г, /') имеет больший порядок роста, чем указанный в теореме? Для р > О определить
inf{/3 > 0 : 1р(г, Л = 0((1 - г)-/3) V/ е В'} = /3(р).
В заключение я благодарю профессора М. Anderson’a и профессора D. Girela за обсуждение результатов статьи и за информацию о некоторых работах в этом направлении.
Resume
In this paper we give examples of locally univalent Bloch functions /*.,(& = 0,1, 2,...), such that for p > 1/2 the integral means
Ip(rJf) = ^ J I re [0,1),
behave like (1 — r)1^2_p(— log(l — r))k for r 1~.
Литература
[1] Feng J., MacGregor Т. H. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions // J. Analysis Math. 1976. V. 20. P. 203-231.
[2] Clunie J. G., MacGregor Т. H. Radial growth of the derivative of uniwalent functions // Comment Math. Helv. 1984. V. 59. P. 362-375.
[3] Makarov N. G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings I/ Proc. London Math. Soc. 1985. V. 81. 3. P. 369-384.
[4] Girela D. On Bloch functions and gap series // Publications Matemati-ques. 1991. V. 35. P. 403-427.
[5] Pommerenke Ch. On Bloch functions // J. London Math. Soc. 1970. V. 2. No 2. P. 241-267.
[6] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
[7] Wirts K. J. Uber holomorphe Funktionen, die einer Wachstumsbeschränkung unterliegen // Archiv der Mathematik. 1978. V. 30. No 6. P. 606-612.
[8] Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and theorems for the special functions of mathematical phisics. 3rd edn. Berlin: Springer, 1966.
[9] Хейман В. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.
[10] Starkov V. V. Directions of intensive growth of locally univalent functions
II Complex Anal, and Appl.’87. 1989. P. 517-522.
[11] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen. I// Math. Ann. 1964. Hf. 155. P.108-154.
[12] Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps. Berlin; Heidelberg: Springer—Verlag, 1992.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: [email protected]
