Оценка логарифмических коэффициентов локально однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 517.54

ОЦЕНКА ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

И.Р.Каюмов и В.В.Старков

В [1] введены и изучались универсальные линейно-инвариантные семейства и а локально однолистных вА = {^:|^|<1} функций. Многие известные классы конформных отображений содержатся в иа при конкретных значениях параметра а > 1. Для f(z) = г + ... Е иа обозначим \ogf\z) = ап(})гп. В работе исследованы свойства последовательности Ап = 8ир/еиа |оп(/)|.

Ведение. Формулировка задач.

В [1] Поммеренке ввел понятие линейно-инвариантного семейства М. Это подмножество всех регулярных в круге А = {z : \z\ < 1} функций, удовлетворяющих условиям:

1)/(0) = 0, /'(*) = 1 + ^Е А,

2) Для любых / Е М, а Е А, в Е R, функция

* (~ п\- ~ /(^(°)) г м _ a + z лв

Многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами.

Порядком локально однолистной функции называется величина:

ord(f) = sup |----------1.

aeA,BeR Z

Эта статья представляет собой перевод опубликованной в ”Proc. of. Nevanlinna Coll.,Joensuu(1995)”

(с) И.Р.Каюмов и В.В.Старков, 1996

Универсальным линейно-инвариантным семейством порядка а называется объединение всех локально однолистных функций /(г) = г + + ••• для которых огб?(/) < а. Поммеренке [1] показал, что

оЫ(/) = 8ир|1- |"|2/"(") -г\>1,

г(ЕА * /

причем — известный класс выпуклых однолистных в А функций.

Пусть / Е иа, а < 00. Обозначим к^/'(я) = ап(/)^п.

Положим Ап = Ап(а) = |ап(/)|. Цель этой заметки — по-

лучение оценок логарифмических коэффициентов. При а = 1 такая оценка хорошо известна: \ап\ < 2/п, причем знак равенства здесь достигается при любом натуральном п для функции г/(1 — г) Е 11\. Поэтому далее считаем, что а > 1. Отметим также очевидную точную оценку |1 < 2а, так как с&1 = 2с?2, а |с?21 < огс!(/) < а. Поэтому достаточно рассмотреть случай п > 2.

Теорема 1. Предел Ншп^оо Лп существует.

Доказательство. Обозначим через и* следующий класс функций: 1(г) = % + ^2г2 + • • •,

, Г1 {г) 2г2 ! ^ 2ат2 _ , ,

f,(z) 1 — г2 1 — г2 ’

Очевидно, что С/* С Для / Е С/* пусть \ogf\z) =

ЕГ=і ап(Лгп. Положим Л;(а) = вир/є17* |ап(/)|.

Выведем одно важное свойство класса и*. А именно: если / принадлежит и*, то д{г) = ^ (в6)сів также принадлежит [/* при £ > 1

и при условии что /'^6) — регулярна в \г\ < 1. В самом деле

!%'(*) 1-гг1 1 /'(^) 1 -гг1-

2ат2<5 , 2<5г2<? 2г2 ,

^------оТ "Ь

Поскольку для любого (5 > 1 имеем -у* 28 < 1^г2, то окончательно получаем, что

I < ,2аг2

Х д'(г) 1 — г2 1 — г2

то есть д Є U*.

Пусть / — дает максимум для Л* (а) в U*. Положим

1 п— 1

logF'{z) = - У2 log/'^e2^1)

тп=О

Очевидно, что:

1 )F Є [/*,

2)an(F)+= an(f) = A*n(a),

3)F,(z~) регулярна в |z| < 1.

Поэтому, в силу предыдущих рассуждений получаем, что g(z) = fj F'(s~^~)ds принадлежит [/*, далее an+i(g) = an(f) = А* (а). Это значит, что А*+1(а) > Л* (а) . Следовательно предел lim^oo i*(a) существует. Покажем, что |А* (а) — Ап(а)| —> 0, п —> оо; тем самым мы докажем теорему 1.

Заметим, что существует последовательность еп > 0, еп —> 0, п —> оо, такая что:

A* (a) < Ап(а) < Л* (а + єп).

Левое неравенство очевидно. Докажем правое. Пусть h дает максимум модуля n-го коэффициента \ап \ в классе Ua. Положим log H'(z) = ^E:=0iog^( ze 2п™г). Очевидно Н также дает максимум модуля n-го коэффициента в классе Ua.

Для любого г Є (0,1) рассмотрим функцию

= zH"{rz) 1-^

H'(rz) 2а + 2г

Поскольку |Ф(г)| < 1 и разложение в ряд Тейлора для Ф(^) начинается с zn, то по Лемме Шварца имеем:

іад < Nr,

то есть

! zH"(rz) | |_,n2(a + r)

1 Я'(гг) 1 “ 1 1 1-г2 '

Пусть теперь |z| = г. Тогда, в силу произвольности г, для любого г > 0 и |z| < г

zH"(z) rIL2:i(2a + 2ri) г2(2аг2+2г)

H'(z) ~ 1 — г — 1 — г2

Если г < 1 — -^=, то | гд,^ | < 2а[_г2г для достаточно больших п. Это значит, что для \г\ < г

гН"(г) 2 г2 2от2 1 Н'(г) ~ 1 — г2 1 - 1-г2'

Если г > 1 — то мы воспользуемся стандартным неравенством для функций из иа:

гН"{г) 2 г2 ^ 2ат ^ 2ат2 1 Я'(*) ~~ 1 — г2 1 - 1-г2 - (1-г2)(1__1=)

Таким образом, в качестве еп можно положить ^_1 •

Осталось доказать, что |Л* (а + еп) — Л* (а)| —>• 0, п —>• оо.

В самом деле, предположим, что /п дает максимум модуля п-го коэффициента в Е^+Сп. Введем функцию ^ь(£) = Тпу, где Тп удовлетворяет линейному уравнению: Тп(а + еп) + 1 — Тп = а. Тогда для дп имеем:

гд”(г) 2г2 2г2 2г2 2г2

1 1-г2' ' д'п(г) п1-г2 "1-г2 1 - г21 “

2Тп(а + еп) + 2(1 — Тп) 2 _ 0 г2

Г^Т2 г ” а1^г2'

То есть дп е и*.

Это значит, что Л* (а) > ТпА^(а + еп). Но так как Тп —>• 1, еп —>• О, то |Л* (а + еп) — Л* (а)| —>• 0, что и доказывает теорему 1. □

Заметим, что из результатов Авхадиева и Каюмова следует, что в классе *5 имеет место следующее соотношение: Нт 8ирп^00 Ап = Птп_^оо Ап\

О соотношении соседних коэффициентов говорит следующее

Теорема 2. Для любых натуральных п > справедливо нера-венство Ап+1 > Ап( 1 - п(а1_1))

Доказательство. Пусть /0 Е иа- экстремальная функция в задаче

о

тах |а„(/)|,

п - фиксировано. Можно считать, что разложение в ряд Тейлора функции log /о (z) имеет вид

оо

ч®”п — Ап

k=1

(как и раньше). Рассмотрим функцию

fe{z)= [ (/o(s))1/(1+e)ds,6 > 0.

Jo

7/ £ \ I 1 |£|2 1 fo(z) ,

ord(fe) = sup I----------------------------------------- -—— ——- -z\ =

zeA ^ 1 + 6 /oW

. 1 ,1 — \z\2 f{!(z) 1m ol + e

SUP l?T7( 9 t'(J\ ~~z)~ f(1 “ ТТ7}| - TT7 < a

ze A l + € * J0W 1 + 6 1 + 6

при e > 0.

1ХТТТЛУГ ri — ______

1 + e

n + 1

Обозначим /3 = yiH- Рассмотрим регулярную в А функцию

9e(z) = [ f'e(sS)ds, S = Jo

n

Покажем, что ge(z) £ Ua при e > n >

ч ,i-N2 y-1fH(zs)

<,„(*) = sup i /Лг<) - г| =

- ,„l 1 I 1 - l"|S 5I1 - г'Л"(2‘> l-l«l , 51-1* 1 - W2 I

“ —Ж?Г"|г| )+ф|

1 1 _ r2 (1 _ r2\

< S^P [-(Дг-^^-ИД / r2. -^2I)]-

rG[0,l) r L — Г I — Г

Но при S > 1 функции

Jr2(5 r<5

*i2ll =

убывают по й. Следовательно

ord(#e) < sup [t^1 ^ ^—(/? - И) + r] =

r£[0,l) ^

(1 — г2)г^ 1 (1 — г2)г^ 1

/ ! _ г25 03 - 1) + ^ 1+;, + Г].

г£[0,1) I Г 1 Г

Поэтому

(1 _ Г2ЛГ<5 —1

ог(1(де) < вир [/? - 1 + <5-------------——^-----+ г] =

гб[0,1) 1 Ч-Г

< /3 — 1 + вир [Й(1 — г) + г] = /5 — 1 + Й < а.

гЕ[0,1)

Таким образом, де Е [/«,

+1. 1 ............

1«§5е(^) = = (Ап2п+1 +а2пг2п+2

Следовательно Ап+1 > □

После этих качественных результов о логарифмических коэффициентах из 11 а мы переходим к получению численных оценок.

Теорема 3. Имеют место следующие оценки:

(а~1)(1+") <А (а) < <е(а_ Ч

е(а — 1) < Нт Ап(а) < е(а — —).

п—уоо а

Доказательство. Поскольку класс функций ЫГа = {\ogf'(z) : / Е С/а} выпуклый, то функция

^(*0 = /02[Пш=о /'(ве2^)]»^ € иа , если / е^и

П

т—О &=1

Поэтому достаточно оценить коэффициент при гп функции Р(г). Так как огб?(/) < а, то

. 1 — Ы2 гГ"(г) . |2, I, *

I---2-----^ * £ ’

и по принципу максимума получаем для всех г Е (0,1), 2 Е А 1 — г2 гГп{гг) г

2а Г'(гг) а

При фиксированном г Е (0,1) обозначим регулярную в А функцию

, , 1 -r2zF"(rz) г ^ п 1-г2 та_х

-----^ГГ~\-------= > cnz ; сп = —------------nanr

2 a F'(rz) а 2 а

v 7 71=0

Поскольку \(р(г)\ < 1, г Е А то \сп\ < 1 — |со|2 (см., например [2, стр. 323]). Следовательно для ап имеем следующую оценку:

1 _ -г»2

-п|а„|гп_1 <1---------

2а

Отсюда получаем:

(1 - £s)2a

1°»1 ^ ~Ъ----ТГТ^Г (!)

п( 1 — г^)г" 1

Подставив г = 1 — ^ в правую часть (1) , получим

' П|“ (2 - ^)(1 - i)»"1 ‘ ( }

Но в (2) числитель убывает по п Е [2, оо) , а знаменатель возрастает, поскольку все коэффициенты в разложении функции log(2 — + —

1) log(l — t), i E (0,1) - неотрицательны. Следовательно

,a 2(a-i(l-l)2) 1

(2 - ^)(1 - ^)n_i 4a

lim An(a) < e(a------).

n—>-00 Cy

Обозначим fn(z) = eanSnds , an фиксировано,

ч I 1 - N2 n_l _|

a = ord(jn) = sup |-------nanz - =

zGA ^

^ _ ^*2 ^ ________________________ ^,2

SUP I—о—n|a„|rn_1 + r| < sup |—-—n\an\rn~1 + 1| =

r£[0,l] ^ r£[0,l] ^

1 +

n +

Y\an\(l-—i)^1.

Отсюда получаем оценку

-j-—1^1 < \an\ < An, e(a - 1) < lim An.

Теорема 3 доказана. □

В [1, теорема 2.4] X. Поммеренке показал, что для Л Є R и f(z) =

z + dn*n ^ Ua справедливо неравенство

|(- - A)a2 + -| < \d3 - Xd\\ < |- - A|a2 + + -. (3)

Теорема 3 позволяет уточнить правую часть (3).

Следствие Если f(z) Є Ua, а є (l,oo) то для любого А є С

\dz-X4\<\^-X\a2 + ^-(a-^).

Действительно, обозначим как и раньше через ап коэффициенты в разложении функции log f'(z). Тогда

, _ <*i _ 1, ai2

d2 - у, d3 - -(a2 + —)

Так как ord(f) < а, то |с?2| < ol и \ai\ < 2a; no (1)

\a < ________qlLL___

— n(l — r2)rn_1

Полагая r = получаем следующее усиление неравенства Поммеренке:

Из - м22\ = ||- + ai2(i - £)| < || - \\а2 + - -L).

Работа выполнена при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 96-01-00110).

Литература

[1] Pommerenke Ch.Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.IJ/ Math. Ann.,— 1964,— Hf.155,— C.108-154.

[2] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного,—М.: Наука, 1966,— 627с.