Линейно-инвариантные семейства голоморфных отображений шара, переход к высшим размерностям Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 10, 2003

УДК 517.54+517.55

ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ШАРА, ПЕРЕХОД К ВЫСШИМ РАЗМЕРНОСТЯМ

П. Личберский, В. В. Старков

В предлагаемой статье доказывается теорема, ранее сформулированная в [1] и снабженная ошибочным доказательством.

Обозначим Вп евклидов шар в Сп :

В” = {г = (21,... ,гп) е С” : ||г|| = + ... + \гп\2 < 1},

а Лп — множество всех биголоморфных автоморфизмов шара Вп. Далее, пусть Вк/(г) обозначает к-й дифференциал Фреше отображения / в точке 2, тогда якобиан отображения Jf{z) = 6.^В/(г), а В2/(г) (ги, •) —линейный ограниченный оператор из Сп в Сп, который является сужением симметричного билинейного оператора В2/(г) на и; х С”. Обозначим £<5П множество всех локально биголоморфных отображений / : Вп —у Сп (Jf(z) / 0 для г Е Вп), нормированных условием В/{0) = /, где I — единичная матрица, /(0) = 0.

Понятие линейно-инвариантного семейства (л.-и.с.) голоморфных в круге В = В1 = ^ С : \г\ < 1} функций впервые было введено

Поммеренке в [2]. Линейная инвариантность семейства Ш локально однолистных в В функций /(г) = г + .... означает, что наряду с

каждой функцией / Е ШТ этому семейству принадлежит и функция

/(¥>(г)) ~ /(¥>(0)) = . т

/'МО)У(О) и

при любом конформном автоморфизме (р(г) круга В. Многие известные классы конформных отображений круга В являются л.-и.с.

© П. Личберский, В. В. Старков, 2003

В 1997 г. в [3] понятие л.-и.с. было перенесено на локально биголо-морфные отображения шара Вп, п > 1; в [3] изучались л.-и.с. таких отображений.

По аналогии с (1) для каждого (р Е Ап на множестве £<5П в [3] вводится оператор А^:

М/к*) = (^(ОГЧЯ/МО^ГЧ/М*)) - /(<^(0))), 2; е 1".

Дадим необходимые определения.

Определение 1. [3]. Семейство Ш С £<5П называется линейно-инва-риантным семейством (л.-и.с.), если для любого / Е Ш и любого Ап отображение [/] также принадлежит семейству Ш.

Определение 2. [3]. Порядком л.-и.с. Ш называется число

1

ord Ш = sup sup

деШ ||гу|| = 1

tr{-£> g(0)(w,-)}

Порядком отображения / Е CSn называется порядок л.-и.с. А[/] = = {А<р[/] : (р Е Дп}, порожденного отображением /. Обозначается порядок отображения / символом ord /.

Символ tr, как обычно, обозначает след матрицы. Порядок л.-и.с. является очень важной числовой характеристикой семейства. И в случае n = 1 и при n > 1 многие свойства л.-и.с. оказываются зависящими только от порядка семейства. В случае n = 1 определение 2 представляет собой классическое определение порядка л.-и.с. ШТ (см. f"( 0)

[2]): ord ffl = sup —— fern 2

Определение 3. Пусть Т — некоторое множество из CSn, линейноинвариантной оболочкой множества Т называется наименьшее л.-и.ссодержащее Т\ оно обозначается

Л[^] = {Лу[/] : f € F,<p Е Ап}.

В [3] показано, что для любого л.-и.с. Ш С CSn справедливо не-

Т1 1

равенство ord Ш > —-—. Обозначим Ш(п) л.-и.с. из CSn. В [4] был доказан следующий результат.

Пусть 9Я(1) — л.-и.с. функций порядка а. Обозначим (ЯЯ(1))„ = {^(г) = (р(х1),г2л/р'(г1),VP7(^1) : Р е С СБп.

Тогда

ога Л[(шг(1))„] =а^у^. (2)

В [1] дана формулировка существенно более общего результата, дающего информацию о порядке вновь сконструированного л.-и.с. Тп+1 ИЗ £5"+1, причем построение этого семейства Тп+1 происходит на основе л.-и.с. 9Я(п) порядка а. Именно в [1] рассматриваются отображения / : Вп+1 —> Сп+1, определяемые следующим образом. Пусть 2; = (2:1,..., гп) е Сп, Z = (г, гп+1) е Сп+1, тогда

Кг) = (т,гп+1(Мг))1^),

где / Е 9Я(п) — л.-и.с. порядка а. Множество таких отображений / обозначается Т. Линейно-инвариантную оболочку множества Т обозначим Тп+1 = А[Р]. В [1] сформулирована

л 2

Теорема. огсШ.Я = а--------.

1 J п + 1

Теорема снабжена ошибочным доказательством, поскольку оно опирается на неверное равенство (5.3) из [3] (по этому поводу см., например, [4]). Здесь мы доказываем это утверждение, опираясь на наш метод понижения размерности из [5]. Нам понадобится следующий результат (см. [5, следствие 1]):

если л.-и.с. Тп+1 С £5п+\ ог<1 Тп+1 = «1,0 — нуль в Сп и

{Тп+1у = {рЫ € СБ1 : 1^)1 = \М21,Щ2,(п+2),С € Тп+г), то {^+1}* является л.-и.с. и

огс! {Тп+1}* = (3)

Кроме того, нам понадобится следующее эквивалентное определение порядка из [6].

Если Ш(п) — л.-и.с., то

(1 + 1ЫПа_(п+1)/2 ог(1 Ш(п) = т^а > 0 : \^(г)\ < ^ _ ^г^а+(„+1)/2 У9 е Ш(п)},

причем (4) достаточно проверить для z из сколь угодно малой окрестности нуля.

Последний результат позволяет свести анализ необходимых для доказательства теоремы условий к анализу бесконечно малых, что в конечном итоге является решающим для доказательства.

Начнем с леммы, имеющей самостоятельный интерес.

Лемма. Пусть / Є £<Sn, ord / = а. Для фиксированного г Є (0,1)

обозначим fr(z) = —f(rz). Тогда ord fr < a. г

Последнее неравенство не является точным. В случае п = 1 результат леммы следует из доказанного в [7] неравенства ord /г <

(а — l)r + 1 (тоже неточного), точная верхняя оценка для ord /г была получена в [8].

Доказательство. Обозначим g(z) = A^[/r](z), Є Дп, по определению 2

ord fr = sup

(рЄАп ,jedMn

причем в действительности в (5) достаточно брать супремум по

(.z,a) a — sz — ----a

4> = 4>a(z) = -- --- —, а Є JBn, s = i/l - ||a||2,

1 - {z,a)

(cm. [3]), где (•, •) — скалярное произведение. Обозначим ga(z) = Aipa[fr](z), в [4] получена формула

tr{-D25o(0)(7, •)} = (п + 1)(а*т) +

+tT{(Dfr(a))-1D2fr(a)(S^a^\a*j)a - sj, •)}; (6)

здесь а* — вектор-строка с координатами, сопряженными координатам вектора а. Отсюда получаем:

tr{-D25o(0)(7, •)} = (п + 1)(а*т) +

+ti{(Df(ra))~1D2f(ra)(S^a ^ (ar) - sry, •)}. (7)

1 + s

(5)

Обозначим 5о = л/1 — г2||а||2 и обозначим 70 Є дШп вектор, удовлетворяющий уравнению

«(®*7)/ ч ТТ \с

—-------(аг) - вГ7 = Я7оЛ5о,

1 + 5

7*2

где Н = ------— (аа*) —А — некоторое положительное число. Опера-

1 + Оо

/ т*2аа* \

тор Н~х — ( —I — --------~----9|| ) является обратным к Н. Поэтому

1 + 50-г2||а||

тт-1 / Л

7» = ЛЛЯ

зг / аа* г2аа*||а||2 т г2аа*

Л5о V 1 + в (1 + з)(1 + 5о - г2||а||2) 1 + 5о-г2||а

_ вг (т * 1 + - Г2(1 +в) \

"А* (/““ (1 + 5)(1 + 50-г2||а||2)^7’ (8)

здесь Л надо выбрать так, чтобы ||7о|| = 1. Тогда (7) запишется в виде

гт{В2да(0)(7, •)} = (п + 1)(а*7) + +^{(Д/(га))~1Д2/(га)(6'°|а+Г^Л^ (аг) - 507оА,-)} =

= [(п + 1)(а*г7о)А + ЛИ(Д/(га))-1Д2/(га)(^^о)(аг)-5о7о,-)}] +

+[(п + 1)(7-Лг7о,а)]. (9)

Из определения 2, равенства огс! / = а и формулы (6), записанной для отображения /, следует, что модуль первой квадратной скобки в (9) не превосходит 2аХ. Оценим вторую скобку

л _Л , вТ>2 1 + ^0 - г2(1 + в) / х

7 Г7о“( 50 )7 50 (1 + 5)(1 + 50-г2||а||2)(7,а)а-

Следовательно,

8Г2

[(п + 1)<7 - Лг7о,а)] = (п + 1)[(1 - ■ )(7,«) +

Оо

вг2 (1 + 5о - Г2( 1 + я))(1 - в)

+^------------------------1+Я»-г»||а||=-(1>а)1 =

= (п+1)<7,«> (1 - — , . ; .?/' ' ) = (п + 1)(1-В)(7,а),

вг2 1 + ¿0 — (1 + 5о)(1 — в)

1 + 5о-г2||а

где

вг2 (1 + 50)в

В =

БТ

Поскольку ||7о|| = 1, то из (8) имеем: Л= —-Ц7 — Л(7, а)а||, где

¿>0

1 + 5о-г2(1 + 5) £0-з ^в=8_^1 = £г!п _ АШ2).

(1 + в)(И-50)5о (1-в2)50 52 50( 1111

(10)

заметим, что 0 < В < 1. Следовательно,

1-Л|И2 = ^. (11)

Таким образом,

Л = 4г\/(7 — А{7, а)а, 7 - ¿(7, а)а) =

Оо

= ^ ^1-2А|(7,а)|2+А2|(7,а)|2||а||2. Оо

Обозначим

М = тах [| (п + 1) (7 — Лг7о, а) | + 2 а А],

из (5), (6) и (9) будет следовать утверждение леммы, если покажем, что М < 2а.

Обозначим £ = |(7, а)| Е [0, ||а||],

О Гу Я у------------------

т = (п + 1)(1 - В)Ь + — л/1 — №А(2 — А||а||2),

Оо

тогда М = тах т/>(£). Рассмотрим

*е[0,||а||]

^'(*> = (» + !)(!- В) + -^2-А1И12) (.

5о л/1-Ь2А(2-А\\а\\2)

Обозначим

В0 = (п + 1)(1 - В), С0 = А, = А(2 - А||а||2);

Оо

Aq > 0, поскольку А > 0, 1 > Д||а||2 (см. (11)). Тогда уравнение V-'(í) = 0 <=> Б0 - Со hA*\, = О

V 1 — t Aq

приводит к решению

в.п

to —

y/BSAo + CSA*'

которое является точкой локального максимума функции Воз-

можны 2 случая.

1) ío < ||a|| ^ Bl < (B¡Ao + C$A*)\\a\\2

Bl{l-Ao\\a\\2)<ClAl\\a\\2-, (12)

заметим, что (см. (11))

1 - Л0||а||2 = 1 - Л||а||2(2 - A\\a\\2) = (1 - А||а||2)2 > 0.

Условие (12) перепишем в виде

Вр < С20А0\\д\\2 Ц Bq 2 С%

Ло - 1 - Л0||а||2 ^ Ло + С° - (1 - Л||а||2)2 ‘ ( 3)

Нужно проверить, что ф^о) < 2а, т. е.

В2 / В2

ф(іо) = -=ф== + Сох1-Ао- 0

^С2А% + B¡A0 V °оА2о + ВоАо

= ^ + | <2а.

Из (13) вытекает, что достаточно проверить неравенство -—^ <

2авг <§

2а, что равносильно (см. (11)) очевидному неравенству —-— <2а .

о о *Ьо

2) ¿0 > |М|. Тогда М = т/;(||а||) и, учитывал (10) и (11), имеем М = < п + 1)(1 — -В)||«|| + \/1 — Л||а||2(2 — А||а||2) =

= („+1)(1-^)|М| + ^Г.

Т1 1

Покажем, что М < 2а. Поскольку а > —-—, то достаточно доказать неравенство

/ Я2г2\ в2г

(х щ~! Иа11 — 1> (14)

(14) равносильно неравенству ^г(1 - г11а11) < 1 - ||а|| (1 + ||а||)(1 - г||а||)г < 1 - г2\\а\\2 <^>

(1 + ||а|| - г||а|| - г\\а\\2)г < 1 - г2\\а\\2 <^> ||а||г(1 - г) < 1 - г, последнее очевидно. Лемма доказана.

□

Доказательство теоремы. Пусть С е Тп+\, следовательно С(^) Аф[/](г), где / е Т, <р(г) = ФА(иг), А = (а,ап+1) е В"+1, а = (ах,..., а„) € В”,

а - г в - %^-а --------

1 -<г,д) ' 5 =

здесь 11 — унитарная матрица (п + 1)-го порядка. Обозначим Ы\ первый столбец матрицы и. Если огс1 Тп+\ — а\, то (см. (3)) огс1 {^+1}*

2

= а\-----. Из (4) следует, что

п + 2

а1^Ь = 1п^>0:1^1,0)!^ ~ (1-ыР у<:?е^+1}’ (15)

2:1— из сколь угодно малой окрестности нуля в В (здесь и далее 0 означает нуль в пространстве, размерность которого каждый раз ясна из контекста). Поэтому для доказательства теоремы достаточно

показать, что правая часть в (15) равна а—р Из определения / вытекает, что JAZ) = /1п+2^^"+1')(г). Заметим, что

7;(Фл№і,0))) ^(£/(¿1,0))

Ы*а( 0))

^Фл(О)

Ыа) (І-^Иі.А»^1

/ є Щп),

(16)

где Фа(^і ) — вектор из первых п координат (п + 1)-мерного вектора Ф^4 (С/(^і, 0)). Поскольку для / Є ®1(п) отображение С/“1 ${ипг) Є Ш(п) для любой унитарной матрицы 11п п-го порядка, то (16) можно переписать в виде

^(гі,0)\п+2 =

1

1и (ипа)

J¡t(Un+1ФA(U(z1,0))) ^А(и(г1} 0))

^т(ип+1ФА(0)) ^А(0)

2

п+2

(17)

где /* — некоторая функция из ШТ(п), /*(<£) =

= (/*(2), ^+1(7/* (г))1/^-1-1)), ип — произвольно выбираемая унитарная матрица (какой ее взять — укажем позже), ип+1 — унитарная матрица, в левом верхнем углу которой находится матрица С/п, последние строка и столбец матрицы ип+1 составлены из нулей, за исключением последнего их элемента, равного е~гЬ , £ Е М. Для любого £ Е [0,27г) подберем С/п так, чтобы ипа = (||а||е_^,0) = а'. Тогда ип+\А = (С/Па, ап+1е-^). Обозначим [/п+1 унитарную матрицу С/П+1С/, обозначим = (и',ип+1), и' = (щ,... ,ип) Е Сп, 1-й столбец матрицы ип+1. В этих обозначениях (17) примет вид:

<Лз(^ъО)|™+2 =

Jf(Фun+1A(Un+1(z1,0))JфU A(Un+1{z1,0))

^¡Л^ип + 1А(0))

1(0)

(18)

Обозначим фа^і) вектор из первых п координат (п+ 1)-мерного век-

тора Фип + 1А(иП+1{г1,0)) = Ф(а',а„ + 1е-“)(21 Ы1),

Фа'^г) =

а' — 5^1 и' — 2^

|а||ег^1 + ап+\ег1ип+\ , 1 + 5

1 - 2?1(||а||е^гб1 + ап+1е{1ип+1)

здесь *5 = 1/1 — \\А\\2 = д/1 — ||а||2 — |ап+1|2. Обозначим х = |\а\, у = ап+1ег*ип+1. Тогда

(Ы\, А) — (ип+гЫг, ип-\--]_А} — (Ы , £7п-|_1 А^ — (и , а) + ипцг10,пцг1б —

= х + у.

При малых р — 1^11 имеем: фа'{г 1) =

/ С / / (^1 5

а — Ьг\и — а— -----------—-

1 + 5

= а

= а

1-2:1 (Ых, А)

' -----*1 + 5 ^(-*- + 2:1 + °(^)) =

7 ^-------1 + 5 ^) ~~ 5^1и/ + ^1(^1, Л)а; + о(р)).

Рассмотрим автоморфизм шара .

фа' О) =

(г,а')л,

а

1 + 5

1 - (г, а')

геВ", «= ^1-||а'|12 = VI - Ца|12-

При малых р найдем вектор являющийся решением уравнения фа' (^1) = фа' (¿)- Поскольку (¿V (¿) = а' + Вфа? (0)£ + о(р), ТО

£><¿><,/(0)2 = а' ^1(1/1, Л) - _ в гг и' + о(р) =

г = (/?¥»«'(0))

-1

Но (^-(О))-1 = — J +

тельно,

s( 1 + s)

(см. [8, теорема 2.2.2]), следова-

Z = --[a'—^(U1,A)z1 - Sziu'+

S 1 + 0

+ ^-^(T^<W1,A),1||a||V - Sz1(u',al)al)]+o(p) =

s(l + s) 1 + S

-zi

, (Ui, A) , «a')

5(1 + S) s(l + s)

+ o(p);

1*11 = (— kil) 0И1

/м2

(WbA) «a')

s(l + S) s(l + s)

+ IHI2-

-2Re{(-^4- - 4r^r)(a', «'>}] + o(p).

Следовательно,

11*11 =

s(l + S) s(l + s)"

(Ui,A) (u',a')

s(l + S) s(l + s)

|«a'}|2

— 2 Re{

(Ui,A)(a',u')

s(l+ S)

} +

+2

+ Ill'll2]5 +o(p),

(z,a') =--------zi

s

S

= —z 1 s

s(l + s)

2 (UuA) ||g'||2(n',a') s(l + S) s(l + s)

2 (Hi, A) (u',a')

8(1+ S)

-(u',a') + o(p).

+ o(p) =

Из (17) и (18) получаем:

JG(zi,0)\n+2 =

Jf* (VV (^l))

Jf.(a') (l-zx(UuA))^

JfAVa'iz)) 1 2 n +1 1 - (z,a')

Jf.(<Pa'(0)) (1 -(z,a')r+i l-Zl(UuA)

= \Jg(z)\^

1 ~ (z,a') l-Zl(Ux,A)

где д Е Л[/*]. Из (4) и инвариантности Ш(п) относительно преобразования вращения U~x f(Unz) (Un — унитарная) следует, что для любой последовательности : ||im|| = Rm —>* 0 точек из ®п суще-

ствует последовательность таких положительных чисел /Зш, что при

2

m —> оо ßm —> ß = а----------- > 1, a

п + 1

I j ( лт\ | —гг (l + i^m)^”1-1

SUP I Jg(Z )|" + 1=------- ^

^GSW(n) I1 “ ИгпГ™^

Поэтому существует последовательность точек из Вп и со-

ответствующая ей последовательность {z™}m=ii ¿Г7, = pmei6lm, составленная из первых координат точек im, такая, что при m —у оо Ргп = |*Г| ^ О И

limZl^o sup IJG (*i,0)|^ = lim sup ^(¿Г?0)!^ =

GeTn +1 тЧоо(?е^+1

= lim

"(1 + Дто)^-1+о(1) 1 - (¿m, a') 2~

(1 - i?m)/3+1+°(D \-z?{UuA)

Таким образом, для доказательства теоремы достаточно проверить, что при т —у оо

. ( (1 + Rm)P-1+°W

ä>o I (1 - Rm)ß+l+°(i)

1 - (zm,a')

l-z?(UuA)

(i9)

Ho

(zm,a')

= |1 - (zm,a') + z^(U1,A)+o(pm)\2 =

l-z^(UuA)

= 1 + 2 Re{ —(zm, a!) + z™ (U\, Д)} + o(prn).

Поэтому проверка (19) сводится к проверке при т —> оо условия

sup [1 + 2(ß + o(l))Rm + 2Re{z™(U1,A) - (zm,a')}] =

AeBn + 1,U1edBn + 1

— 1 + 2prn(ß + o(l))

D pm

sup \ßtb2L + rе{^(Мь4) - ( — ,«')}] = /? + 0(1),

AGBn + 1 ,ZYiGöBn + 1 Pm Pm Pm

о(1) —> 0 при ГП —> 00. В силу произвольности С Е Тп+1, ЧИСЛО От может принимать любые значения. Поэтому проверка последнего условия сводится к проверке неравенства

вир {/5-[(1-^2)

АеМп + 1 ,игедМп + 1 в

{141, А) {и', а'}

в(1 + 5) в(1 + в)

-211е

(1 + 5)

}+2^^ + ||и'||2^ +

в(1 + в)

+

{141, А)----------(и1, а') +

§2(1 + 5)

} = /?•

\у\2

= 1 -

М2

, то последнее

Так как ||и'||2 = 1 - |м„+1|2 = 1 - - . в2 _ 52

выражение под знаком супремума может быть записано в виде

х + у

1 + 5 1 + 8

+ 1-

\УI2

52 -Б2

Ж + '

Б 3(1-82){х +у)

О «ЛУ “Г”

Обозначим х =

||а|| У V«2 - Я2 ’

|£| = |ип+1|. Следовательно, |ж|2 + |?/|2 < Ц^/1!!2 = 1. Таким образом, для доказательства теоремы осталось установить, что

У

= , тогда \х\ = |гб!| < 1,

вир

5Г1-в2

жл/1 — з2(з — *5) ^л/ з2 — Б2

(1 + 5)(1 + в)

-2Ие

2/ж\/ (з2 — Б2)(1 — з2) 1 2|ж|2(1 — в2)

в(1 + 5) | ^

1 + 5 1 1

1 + $ 1 + 8

+

+1-|г/Г]5 +

Ьу/1 — в2 + £\/з2 — Б2---------~ л/1 — ^2ж+

+ ^(1+ (¿71^+у^2 - 52)

}=/?•

(20)

Обозначим il(x,y,s,S) выражение под знаком супремума в (20). Для доказательства теоремы осталось показать, что

sup il(x,y,s,S) = р. (21)

|ж|2Ч-|г/|2<1,0<5'<^<1

Дадим простое доказательство (21).

Заметим, что в случае n = 1 теорема наша известна, ее справедливость вытекает из применения к 9Я(1) конструкции Roper’a-Suffridge (см., например, [4, следствие 5.2]). При n = 1 выражение Cl(x,y,s, S) будет иметь тот же вид, что и в (20), но в случае n = 1 в (21) супремум берется по множеству {(х,у) Е С2 : \х\2 + \у\2 = 1}. Однако

по лемме ord fr < ord / для г Е (0,1). Поэтому для G Е Тъ получаем: ord Gr < ord G. Значит, если в выражении для Jq в (16) вместо унитарной матрицы U писать (rU), то инфимум в (15) не увеличится. Следовательно, sup О (ж, ?/, s, S) не увеличится после

|®|2 + |?/|2 — 1,0<5<s<1

замены в нем условия \х\2 + \у\2 = 1 условием \х\2 + \у\2 < 1. Таким образом, в случае n = 1 (21) имеет место, но (21) от п не зависит. Это доказывает теорему. □

Resume

In the paper there has been given the complete proof of an extension theorem from [1], which concerns the changes of the order of linearly invariant families (LIF) during passage from arbitrarily fixed LIF in Cn to a LIF in Cn+1.

Литература

[1] Pfaltzgraff J. A. An extension theorem and linear invariant families generated by starlike maps/ J. A. Pfaltzgraff, T. J. Suffridge//Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A. 1999. V. 53. P. 193-203.

[2] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktinen. //Ch. Pommerenke //Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[3] Pfaltzgraff J. A. Distortion of locally biholomorphic maps of the n-balljJ. A. Pfaltzgraff // Complex Variables. 1997. V. 33. P. 239-253.

[4] Pfaltzgraff J. A. Erratum ”Distortion of locally biholomorphic maps of the n-ball” /J. A. Pfaltzgraff // Complex Variables. 2001. V. 45. P. 197-200.

[5] Личберский П. Линейно-инвариантные семейства голоморфных отображений шара, метод понижения размерности/ П. Личберский, В. В. Старков// Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. С. 849-867.

[6] Godula J. Order of linearly invariant family of mappings in Cn /J. Godula,

P. Liczberski, V. V. Starkov// Complex Variables. 2000. V. 42. P. 89-96.

[7] Campbell D. M. Locally univalent functions with locally univalent derivatives

/D. M. Campbell // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162. P. 395-409.

[8] Го дуля Я. О точности некоторых неравенств Д. М. Кэмпбэлла и

X. Поммеренке / Я. Годуля, В. В. Старков // Мат. заметки. 1998. Т. 63. Вып. 5. С. 665-672.

[9] Рудин В. Теория функций в единичном шаре из Сп /В. Рудин. М.: Мир, 1984.

Institute of Mathematics Technical University of Lodz, ul. Zwirki 36, 90-924 Lodz, Poland,

E-mail: piliczb@p.lodz.pl

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: Vstar@psu.karelia.ru Institute of Mathematics Technical University of Lodz, ul. Zwirki 36, 90-924 Lodz, Poland,

E-mail: Vstar@im0.p.lodz.pl