Линейно-инвариантные семейства функций, аналитических в поликруге Текст научной статьи по специальности «Математика»

dstx[AXBX 1 _ 1 ^Атхвт + втХАт + Ахв + ВХА| _

(27)

= ~Х-1 . ( 1 ).х~\ (28)

dsti[AX~lB] _ (АТВТ + ВА , v_x

ОХ

Как видно, формулы (3) и (4), приводившие в случае симметричной матрицы X к противоречию, сливаются в единое правило (27).

Литература

1. Брайсон А.,Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М., 1972. 544 с.

2. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М., 1978.

552 с.

3. Сейдж Э.,Уайт Ч. Оптимальное управление системами. М., 1982. 392 с.

4. Athans М. The matrix minimum principle // Information and control. 1968. V.l l.№ 5/6. P.592-606.

5. Brewer J. W. The gradient with respect to a symmetric matrix // IEEE Trans, on automatic control. 1977. V.22. № 2. P.265-267.

6. Morris J. M. The Kalman filter: a robust estimator for some classes of linear quadratic problems // IEEE Trans, on information theory. 1976. V.22. № 5. P.526-534.

7. Schweppe F. C. Uncertain dynamic systems. Englewood (’liffs. Prentice Hall. 1973. 563 p.

8. Демин H. С.,Михайлюк В. В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. I. Системы с непрерывным временем // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 4. С. 17-27.

9. Варфоломеев А. Г. Оценивание состояния линейной системы с неопределенной составляющей в наблюдении // Труды ПГУ. Сер. Прикладная математика и информатика; Вып.2. Петрозаводск, 1994. С. 34-40.

I руды Петрозаводского государственного университета

('< |>ия “Математика” Выпуск 2, 1995

УДК 517.54

ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛИКРУГЕ *

Я. Годуля (Люблин), В. В. Старков

По аналогии с линейно-инвариантными свойствами аналитических в круге функций, введенных СЬ.Рошшегепке [1], в этой статье вводятся и изучаются подобные семейства в случае поликруга. Результаты приводятся без доказательств.

В [1] СЬ.Ропнпегепке ввел и изучал понятие линейно-инвариантного семейства 9Л функций как класса аналитических в круге Д = {г 6 С : \г\ < 1} функций таких, что

1) /(0) = о, /#(0) = 1, /Чг) # о в д,

2) для каждой / £ Ш и 9 £ Ж /(ге,9)е гв 6 ОТ,

3) для каждой / 6 Ш и а £ Д

л гг£)-/(0)

/'(<.)(! - |ст|2) -2+"£ЗД|

При этом порядком функции /, удовлетворяющей условию 1), СЬ.Роттегепке называл число

,, 1/4Ч0)|

огс1/ = вир —-—,

а£ Д ^

* Эта заметка является кратким вариантом статьи, полный текст которой будет опубликован в ” Ann. UMCS” в 1996 г.

(С) Я. Годуля (Люблин), В. В. Старков, 1995

а порядком семейства 5Л— число

ord Ш = sup ord /;

/еШ

универсальным линейно-инвариантным семейством Ua называлось объединение всех линейно-инвариантных семейств Ш таких, что ord Ш < а:

Ua = (J{Stn : ord ffll < «}.

Линейно-инвариантные семейства играют большую роль в теории конформных отображений. Интерес к ним возрастает из-за связи семейств Ua с классом Блоха (см.[2], краткий вариант в [3]).

Целью этой работы является перенесение понятия линейноинвариантного семейства на функции, аналитические в поликруге Дт = А ■ ... • Д С Ст, и изучение свойств этих семейств.

Таким образом, будем рассматривать аналитические в Дт функции

f(z) = f(z\,..., zm), г = (гь...,гт)еДт, норму в Ст определим как |Ы| = шах IzJ. Обозначим

1 <к<т '

^ f = ® = (о, 0,.... 0) е Ст; для произвольной точки

а = (а] ) € Дт обозначим автоморфизмы полукруга Дш

Уа(г) (V^l (-^l )> • • • ! fm(zm )) j

где

(как известно, эти автоморфизмы <pa(z) не исчерпывают всех автоморфизмов Дт).

Определение 1. Пусть / — фиксированное натуральное число, I < / < га. Семейство ШТ/ аналитических в Дт функций f(z) называется /-линейно-инвариантным семейством, если

1) ДО) = 0, = 1, ^~(2) Ф 0 для ; 6 Дт,

2) V / G т, и V в = (е1г--,вт) е ИГ f(zeie)e-ie‘ £ Ш, где гег1) = (zietei,---,zmeie’*)t

f ( \ _ /(*>«(*)) _ /(¥>“ Ja\z) — QJ_

(a)( 1 - !a/|2)

£ ЯЛ,.

ПРИМЕРЫ

а) Л.'/ — класс аналитических в Дт функций, удовлетворяющих условию 1) определения 1 и отображающих Дт на выпуклую

область.

б) 5* — класс аналитических в Дт функций /(г), удовлетворяющих условию 1) определения 1 и таких, что существует точка а’/ £ /(Дт)> относительно которой /(Дт) звезднообразна.

в) 5*, где к — 1,.. . ,га фиксировано, — класс всех аналитических в Дт функций Л-(г), удовлетворяющих условию 1) определения I и таких, что К(г) — (/Цг),...,/т(г)) — биголоморфное отображение из Дт в Ст для некоторых аналитических в Дт функций

./1 ■ • • • 1 /к — 1 > /к + 11 • • /т •

Обозначим

тр-(~) = 1 + с1(1)г1 + с2(/)22 + • • • + ст(/)гт + о(||г||).

(121

Определение 2. Пусть / удовлетворяет условию 1) определения 1, порядком функции / называется число

ord,/= sup ^||V^(©)|| = ^ sup ||(ci(/a), --,cm(/a))||.

а6дт L OZl i aедт

Порядком /-линейно-инвариантного семейства ОТ; назовем число

ord; ЯЛ; = sup ord; /.

Je ЯЛ,

Примеры

г) ЯЛ/ = {f(z) = Ф(г/) : Ф £ f/a} /-линейно-инвариантное семейство порядка а.

д) Пусть к ф I и Ф;-(г*:) — аналитические в Д функции, Ф*(0) = 0. Тогда

образует /-линейно-инвариантное семейство порядка а.

Аналогично случаю т = 1 (см. [1]) может быть получена

Теорема 1. Если / £ то

где — символы Кронекера.

Определение 3. Универсальным /-линейно-инвариантным семейством порядка а назовем объединение всех /-линейно-инвариантных семейств таких, что огф Ш1 < а; будем обозначать его 1/^.

Очевидно, что и— множество всех функций /(г), удовлетворяющих условию 1) определения 1 и таких, что огф / < а. При т = 1 это определение совпадает с классическим определением из [1].

ОО

ОТ, = {/(2) = ^А*Фк(гк) -. Ф;ег/а, А*ес, А| = 1} —

/-линейно-инвариантное семейство порядка а.

е) Пусть

тогда для каждого / = 1,..., т множество функций

{'Мге;я)р-,в' : п Е Дга, 0£Шт]

І і.оі’КМЛ 2. Для любой функции / £ Г/„ и любого г Є Ат

І log(( 1 - М2)|^-(г))| < а1оё Д І + !"*•], 02; )Г=і 1 “ і2И

аг

(1)

Неравенства точные и достигаются для функции Ф(г) из примера е) при вещественных 2/с.

При т = 1 теорема 2 дает известный [1] результат в IIа.

( ’ледствие 1. В определении и'а а > 1, поэтому и‘а = Я при а < 1.

Теорема 3. 1/1а состоит из множества всех аналитических в Дт функций, удовлетворяющих условиям 1 ),2),3) определения 1 и неравенству (1) в некоторой окрестности О.

При т = 1 теорема 3 дает известный [4] результат в 1)а.

Для х £ [0; 1), (] £ [—1; 1] обозначим

Следующая теорема 4 обобщает известный результат СЬ.Рошшегепке на случай тп > 1.

Теорема 4. Для любой функции / £ 1/1а и любого вещественного А

х/1 - д2х2 + ху/\ - д2 ^ \/1 - д2х2 - х^\ - д2

о

Следствие 2. / є и‘а =>

I агё д—(~)| < « oz^

<

Это неравенство не является точным, однако пример функции

огсі/ Фо = «.

показывает, что неравенство из следствия 2 является асимптотически точным при а — оо и при |гд,.| —> оо.

Как известно, аналитическая в Дт функция д(г) называется функцией Блоха, если конечна ее норма Блоха, т.е.

Через В будем обозначать множество всех функций Блоха. Следующие теоремы 5 и 6 обобщают результаты авторов [2], полученные в случае пі = 1.

Теорема 5. Пусть [1,т] Э / — фиксированное натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

1 + Г|

1 - п

(і) а є в,

(и) 3 / € и‘а такая.

что

причем

2(а - 1) < ||sf(z) - flf(0)||B < 2(а + 1),

tin) семейство функций {g(ipa(z)) — g(a) : а Є Дт} конечно нор-ніиіі.ііо.

І іоі’КМА 6. Чтобы аналитическая в Дт функция д принадлежала і ішч-у 5, необходимо и достаточно существование положительной по-• інші пой Ся такой, что для всех z Є Дт

sup Ig(<pa(z)) - g(a) - 21og(l + Щг,) + log(l - |z;|2)| <

аЄДт

,r. ^i + lal <2> £сИо*П7гы;

наименьшее значение постоянной Cg здесь равно

Z|

ord, J expg{z\----------------------zm)ds.

< ЧЕДСТВИЕ 3. Условие (2) можно переписать в эквивалентной форме

Кя і___ТПГ 1 + W

sup \g(Mz)) - d(a)\ < —^ log PI

аЄ Am Л , і —

к=1 * '2*'

где наименьшее значение константы Кд равно ||у(с) — д(0)||в.

< 'ледствие 4. Пусть д 6 В, А £ [0, 27г). Тогда функция д^) — д(О) отображает поликруг {г € €, \г\ < г}т на область, ограниченную кривой

nr

1 + Ujfcl f sin A

Установим некоторые свойства частных производных функций

из U‘a.

/) f

Определение 4. U‘ = {— : / є Ui}.

OZi

Теорема 7. Для любых a >2 и целых l,k,n Є [1, m]

t>2_, cl/'С !/*+,.

Заметим, что нельзя ожидать, что t/f С (/£ для a < 2 при к ф I. Об этом говорит пример функции

М*) = 77-Ц2 = G V?'

(1 - zk)2 dzk 1 - Zt

для этой функции коэффициент ск(а) = 2^-—1^-L и sup |с*(а)| = 4.

1 — ак об Дт

Таким образом, в правой части включения Ula С U„+i вместо (а + 1) нельзя поставить меньшую постоянную.

Теорема 8. При каждом целом I € [ 1, m], a > 1 Ula образуют секвенциально компактные семейства относительно равномерной сходимости внутри Аш.

Заметим, что в отличие от случая m = 1 семейства Ula не являются секвенциально компактными при m > 2.

Литература

1. Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funk-tionen // Math. Ann. V. 155 (1964). P. 108-154.

2. Godula J., Starkov V. Applications of ideas of Mobius invariance to obtaining equivalent definitions of Bloch functions // Annales Univ. Mariae Curia-Sklodowska (to appear).

3. Годуля Я., Старков В.В. Применение идей линейной инвариантности для получения эквивалентных определений функций Блоха // Труды 7-й зимней Саратовской школы. 1994. (В печати).

4. Starkov V. V. Equivalent definitions of universal linearly-invariant families // Materialy XI Konferencji Szkoleniowej z Teorii Zagadnieri Ekstremalnych. Lodz, 1990. P. 34-38.

I руды Петрозаводского государственного университета

( '•■|>и>1 “Математика” Выпуск 2, 1995

V I,К 62.50

< РЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛОВ НА РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Ю. В. Заика, М. М. Кручек

Предлагается вычислительный алгоритм среднеквадратичного оценивания линейных функционалов на решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием и случайными возмущениями по результатам измерений. Используются общие методы оценивания линейных функционалов в гильбертовых пространствах и техника сопряженных уравнений.

§1. Постановка задачи

Пусть движение объекта моделируется функционально-дифференциальным уравнением [1,2]

N 0

с1х [

-^(<) = ]Г^:Ф-М+ М(0)*(* + 0)«ю + в«(О + 0/*(О, (1)

„• — п ^

;=о

-н

< > 0, 0 — ко < < ... < /г/V = И,

^(0) = х°, х(т) = х0(г), т 6 [-Л.0),

г0 = (х0,Ж0( ))еМ2 = йп х Ь2([-Л,0],Лп).

Матрицы А], В, О размерностей пхл.пх щ, п х ?г2 постоянны, элементы А(-) и компоненты заданной вектор-функции (программного управления) и() кусочно-непрерывны, помехи /л(-) 6 £2([0, Т], Я"2) и начальные данные Во точно не известны.

© Ю. В. Заика, М. М. Кручек, 1995