Среднеквадратичная оценка функционалов на решениях систем с запаздыванием и случайными возмущениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

/) f

Определение 4. U‘ = {— : / є Ui}.

OZi

Теорема 7. Для любых a >2 и целых l,k,n Є [1, m]

t>2_, cl/'С !/*+,.

Заметим, что нельзя ожидать, что t/f С (/£ для a < 2 при к ф I. Об этом говорит пример функции

М2) = 77-Ц2 = G V?'

(1 - 2к)2 dzk 1-2*

для этой функции коэффициент cjt(a) = 2^-—1^-L и sup |с*(а)| = 4.

1 — ак Об Дт

Таким образом, в правой части включения Ula С l/a+i вместо (a + 1) нельзя поставить меньшую постоянную.

Теорема 8. При каждом целом I € [ 1, m], a > 1 Ula образуют секвенциально компактные семейства относительно равномерной сходимости внутри Аш.

Заметим, что в отличие от случая m = 1 семейства Ula не являются секвенциально компактными при m > 2.

Литература

1. Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funk-tionen // Math. Ann. V. 155 (1964). P. 108-154.

2. Godula J., Starkov V. Applications of ideas of Mobius invariance to obtaining equivalent definitions of Bloch functions // Annales Univ. Mariae Curia-Sklodowska (to appear).

3. Годуля Я., Старков В.В. Применение идей линейной инвариантности для получения эквивалентных определений функций Блоха // Труды 7-й зимней Саратовской школы. 1994. (В печати).

4. Starkov V. V. Equivalent definitions of universal linearly-invariant families // Materialy XI Konferencji Szkoleniowej z Teorii Zagadnieri Ekstremalnych. Lodz, 1990. P. 34-38.

I руды Петрозаводского государственного университета

( '•■|>и>1 “Математика” Выпуск 2, 1995

V I,К 62.50

< РЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛОВ НА РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Ю. В. Заика, М. М. Кручек

Предлагается вычислительный алгоритм среднеквадратичного оценивания линейных функционалов на решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием и случайными возмущениями по результатам измерений. Используются общие методы оценивания линейных функционалов в гильбертовых пространствах и техника сопряженных уравнений.

§1. Постановка задачи

Пусть движение объекта моделируется функционально-дифференциальным уравнением [1,2]

N 0

с1х [

-^(<) = ]Г^:Ф-М+ М(0)*(* + 0)«ю + в«(О + 0/*(О, (1)

„• — п ^

;=о

-н

< > 0, 0 — ко < < ... < /г/V = Л,

£(0) = х°, х(т) = х0(г), т 6 [-/1,0),

г0 = (х0,Ж0())бЛ/2 = Яп х Ь2([-Л,0],Лп).

Матрицы А], В, О размерностей пх п, п х п\, п х ?г2 постоянны, элементы А(-) и компоненты заданной вектор-функции (программного управления) и() кусочно-непрерывны, помехи /л(-) 6 £2([0, Т], Я"2) и начальные данные хо точно не известны.

© Ю. В. Заика, М. М. Кручек, 1995

Равенство в (1) понимаем в смысле почти всюду на рассматриваемом отрезке времени [0,Т] (достаточно большом по сравнению с [О,/г]), фазовым пространством считаем М2 = Ип х Ь?,

хх = (х(<),х,) = (х(<),я(< + )) € Щ-

Зависимость от начальных данных обозначаем стандартным образом: х(1,хо,0), а:((а:о,0). В отличие от £<(0) (< > 0) векторы ж(0), яо(0), вообще говоря, различны. Изменение значений хо(г) на множестве меры нуль в [— Л,0] не меняет движения х(<), < > 0.

Информация о движении доставляется значениями (измерениями) вектор-функции

у(<) = СхЦ) + < > 0, (2)

где С1, Ь — матрицы тх га, тх т\, гапд С = т < га, компоненты ^(<) имеют смысл ошибок измерений.

Фиксируем натуральное г > 1 и рассмотрим функционал

г/г

J = р0'х(гИ) -)- J р'(т)х(гк + т)с1т + J ю'(т)р(т)с1т =

(3)

-л

= (£, Хгн)м2 + (IV, р)ь2,

г/1 < Т, р = (р°,р()) е м2, и>(-) £ Ь2([0,гД], ДП2).

Если р() — 0, гу( •) = 0 (нули линейных пространств обозначаем одним символом), то, варьируя р° € Яп, получаем компоненты (проекции) положения ж(«) в момент времени в = г/I ; при р° = 0, «>(•) = 0 —- проекции жГ/, в 1,2 (интересующие нас коэффициенты Фурье); при р° = 0, р() = 0 — проекции помехи р( ). Таким образом, значения J имеют важный с точки зрения приложений смысл.

Далее, поскольку хранение континуума значений уЦ) затруднительно, считаем, что по мере поступления информации у(1) на отрезке времени [0, (г — 1)А] вычисляются функционалы

і =1,1, Vjh = (y(jh),y(jh + •)). hi = (*?,-, MO) Є M2 = Rm x L2([-A,0], Rm).

Некоторые векторные весовые коэффициенты kfj И функции fctj(0 могут быть нулевыми, если, например, измерения на соответствующем промежутке времени не используются. В частности, на практике могут использоваться только дискретные измерения y(jh) и тогда все МО = Элементы kij 6 М'> определяются конкретными характеристиками интегрирующих устройств.

В дальнейшем будем считать х° случайным вектором, а хо(I), i/(<) — векторными случайными процессами с реализациями, которые являются суммируемыми с квадратом на соответствующих отрезках времени. При этом функционалы J; будут случайными величинами.

Уточним постановку задачи. Пусть реализовались конкретные значения ./, =7(, i — 1, /. Построим алгоритм, позволяющий по любой возможной выборке 7; получать среднеквадратичную оценку вида

где </?, = <^,(71,..., 7;), Е — символ математического ожидания. Если р2 достаточно мало, то имеем возможность, образно говоря, идентифицировать интересующий нас функционал ,/ (наиболее вероятные значения J близки к числу р\). Последнее обстоятельство приводит к целесообразности выбора оптимальных в минимаксном смысле весовых элементов в интегральных операциях обработки измерений (4):

Чтобы задача стала содержательной, требуется статистическая информация о случайных элементах модели. Для получения неравенств вида (5) нам будет достаточно совместной оценки

E(J - р\)2 < pi,

(5)

О

rh

E{x'0Q°xо + J x'0Q(r)xo(r)dT + J ц'(т)ц(т)(1т+

-h о

где (2°, — положительно определенные матрицы (в частности,

единичные), элементы <3( ) кусочно-непрерывны на [—/г, 0]. Такую оценку нетрудно получить, когда известны оценки

Е||х°||2д„, Я|Ы)||2М_М), Я|И)|Ц2(0,гЛ).

, £'|к( )||1а(0.(Г-1)Л>-

Если используются только дискретные измерения у^К) или, наоборот, в (4) к^ = 0, то соответствующие слагаемые в (6) следует опустить.

Более детальное рассмотрение задачи мы вынуждены перенести в §3, после того как в §2 будут приведены необходимые формальные преобразования функционалов J, 7,.

§2. Преобразования функцоналов Ji

Определим для однородной системы (1) (м(-) = 0, р( ) = 0) оператор сдвига Т : Мі —* М2, Тхо = х/,(хо, 0) и сопряженный оператор Т* : Мг —* М2 в смысле (а,Т6)д = (Т*а,6)д Vа, Ь Є Мі- Скалярное произведение (-, )д определяется следующим образом:

п

(а,Ь)о = а1),<Э°60 + J а'(т)(2(т)Ь(т)(1т,

-л

3 = («°, а( )), 6 = (6°, 6( )) Є М2 = Я" х і2.

Найдем удобное представление оператора Т*. Для любой вектор-функции У(-) Є //'( — /г,0) справедливы следующие преобра-

чования:

(а,ТЬ)(] = а0'(3°х(Г1\Ь,0) + ^ а1 (т)(2(т)х(к + т;Ь,0)Нт+

-И

°Г ( "

+ / У(т) I НЬ + т) - ^ А]х(1г - + т)-

Л V *=°

— У А(в)х(Н + г + е)с1е^ (1т =

/I

= а0,ф°х(/1) + J а,'(8 — И)(д(8 — 11)х(8)с1.ч+ о

к

+ К'(0)х(/1) - К'МИО) - J 1>'(в - к)х(8)<18-

0

N

— / У'(8 — И. + hj)Ajx(s)ds—

О /Л+г \

— I У(т) I J Л(в — И. — т)х(в)(18 I с1т =

= а°'д°х(Л) + У(О)х(Ь) - К'(-Л)х(0)+

л

+ J (аЧ5 — Ь)<Э(8 — А) — — /1)^ х(я)(/в —

о

N 0

~И У'(8~Н + Л,-)Л,*(«)с1«-

>=°-Ь,

дг Ь — ку

-%! У'(8-к + ^)А]х(8)Л8-

о

у4(« — Л — г)х(«)^Я | с/т—

-н

О / Ь+т

Л(я — /г — т)х(б)(<« | (1т.

и /и

-М/-

-Л \т

О / л + 1пт) /

Доопределим Л( ) и К(-) нулем вне [-/1,0] и выберем У(-) на [—/г, 0] так, чтобы в последнем равенстве не встречались значения х(/), / 6 (0, /г]. Это требование приводит к следующему уравнению:

N

^(*) = _^Д'К(<+ /,,)- [ А'(1-т)У(т)с1т + С}(1)а(1),

>=° —Л

< е [-/1,0], У(0) = -<А°, V» = 0, Л(т) = 0, г £ [-Л.0],

(7)

которое интегрируется (по крайней мере,численно) справа налево на отрезке [—А,0]. В силу (7) получаем:

(а.ТЬ)д = —У'(-Л)х(0) I У'(в-к+ Н^*{я)йа-

>=°Л

- I У(т) Л(.ч - 1г - т)х(я)йя) г/г = (г,6)д,

?=(с°.с()), с0 =

Ф) = ~0~1(1) ^-4'К(<-А + ^) + I 4(1-Ь-т)У(т)&^ ,

откуда

Т*д. = с.

(8)

Преобразуем с помощью Т* функционал ,/ на решениях возму-тенной системы (1):

.] - J0 + (ю.ц)ь,, </° = (р, гп1)м2 = (0~1р, хгн)(),

<9_1Р =г «/"У.СГ'ОП),

J0-(Q Хр,ХгН)Я - (Т*д 1р,Х(г_1)Л)д-

0

1 Уг(т)(Ви(гк + г) + Ор(гА + т))^т =

— Л

и

= (Т*2^-1?, *(г-2)ь)д ~ I К'(т)(В«(гЛ + г) + Д/|(гЛ + г))А-

-Л

о

- I Кг'_,(т)(Ви((г - 1 )Л + Г) + Ор((г - 1)Л + г))<*т = ... =

— Л

г ?

= (Т*гд-1р,20)д - X] / У/(т)(В«0-А + г) + БИиН + т))А-.

;=>Л

Чдесь вектор-функция К(-) определяется как решение системы (7)

■ начальными данными У(0) = —р° и неоднородностью р(<) (вместо <Л<М0)> а ^(-) — рекуррентно (а = Т*г_,д_1р):

N 0

^(<) = -^Л;.Ц(< + ^)- / Л'(* - г)Ц(т)А-

*=« Л

(9)

N °

-£д$У4+1(*-Л + Л;)- / Д,(*-А-гЖ+,(г)Л-1

'=° Л

/ 6 [-А.0], У,(0) = Ц+,(-А),

Ц(г) = 0, Л(г) = 0, [-А.0], I = г — 1..1.

Определив непрерывную на [0, г/г] вектор-функцию 6( ) ’’склеивани-см” У|() (Ь(гА + т) = У*(т), г 6 [—А, 0], г = 1,г), получим представле-

ние

г/1 гЛ

J-J w'(т)^l(r)dт + (Т*г^~1р,х0)д - J Ь'(т)(Ви(т)+

о о

+ Оц(т))с1т = (Т*гд_1р, х0)() - (В'ь, и)ь2 - (&Ь - ы, /<)і2,

смысл которого состоит в следующем. Функционал 7 теперь явно представлен через ’’входные” данные Хо, р(-) и, кроме того, вычисленные Т"*гд_1р, &(•) позволяют судить о чувствительности значений J к вариациям начальных данных хо, управления и( ) и возмущения //(■)• Если, например, структура возмущений (матрица И) и вектор-функции Ь(-), іи( ) таковы, что значения Д'6(/) — и;(<) пренебрежимо малы, то данный функционал J естественно назвать инвариантным к возмущениям /х().

Преобразуем теперь аналогичным образом функционалы

г— 1 г— 1 г— 1

./,■ — ^ І Уіл) = ^ > ХІЛ) ^

7=1 ;=і і = і

Рк6=(Рк°,Рк()),

= (Q~1G'kij,Xjh)Q = (Т*> Скі} ,х0)(}-

(г)(Би(в/1 + г) + 0/г(в/1 + т))с1т.

* = 1_Л

Здесь определяется системой (7) с начальными данными

К(0) = —Скц и неоднородностью G'kij(t), а У; ^ _ 1 (•), • • •, ^-1 (•) — рекуррентно по уравнениям (9) (по третьему индексу), т.е. в (7)

Обозначая

Г-1

МО = МО = - *А). < 6 [(в- 1)Л,«/»], ^ = Т77,

Г—1

МО = 0, < е О’/г,гЛ], £ = ^т^д^с'м

>=1

получим

г Л

Г-1

Ji = (<Іі,хо)(і ~ і Ь[(т)(Ви(т) + D/i(r))rfr + =

о І-»

= (їі,їо)д - (В'Ьі,и)і2 - (О'бі,/*)*,.,+ < Ді,і/ >,

Мг) = 0, те [(г - 1)Л, г/і],

Аі = кцу • • • і Ь кіг—і), і/ = (^Лі • • • т ^(г—і)л)*

Конкретный вид того или иного скалярного произведения ясен из кон-п’кста. Выбором можно влиять на чувствительность функционалов к вариациям «(•), /-*(-), і'(-), іо-

Следует подчеркнуть, что практически все расчеты однотипны и характеризуются периодическим обращением к одной и той же подпрограмме численного интегрирования системы (7) с фиксированным набором начальных данных и неоднородностей.

§3. Среднеквадратичное оценивание ./

Вернемся к исходной задаче. В гильбертовом пространстве

II = (Яп х іг([—/і,0], Я"))хі2([0, г/і], йП:і)х(Дт’ хі2([-/і,0], Ят‘))г_1 і.ік’ментов г = (хо, у) со скалярным произведением (•- )н = (•, ■)<? + (•, )і2+ < •, • > функционалы .], Ji имеют представление (см. (10),(11))

J = (g,z)н-■ф, Ф = (В'6,и)І2,

•Л = (</,-, г)я - Фі, Фі = (В'Ьі,и)і2,

где

«/ = (д,и>- £УЬ,0), д = Т'гд-'р,

Уі = ІЯі, —іУЬі,Аі), і =1,1.

Поскольку управление «(•) известно, рассмотрим функционалы

/ = ,/ -(-= (д,г)н, іі = ,іі+ ф{ = (діуг)н, і= 1,1.

Считаем элементы д, д\,..., <71 линейно-независимыми (достаточно независимости Д, и д ф 0, что естественно считать выполненным по смыслу задачи).

Пусть реализовались значения /,• = а,-, г = 1, /. Тогда с учетом

общей теории аппроксимации линейных функционалов [3, гл. II, §3 ]

имеет место точное неравенство

(/- /.)* < *1*2. (12)

Здесь

“')/<1е1Г, Г=Г{Я1,...,д,},

а = («1 <т = ((д,д1)н, - Л9,91)н)',

= с1е1 Г{д,ди . ..,д1}/АеЬГ{д1,...,д1),

*2 = (^,г)я + ае1^ °^/Л<АГ,

Г{с/х,..., с1,} — матрица Грама элементов с1{ £ Н.

Из (12) и (6) (£(г,г)я < £) получаем искомую среднеквадратичную оценку

£(7-Л)2 < *1*з, Л =/.-1/>, (13)

Г3 = { + <1е^° “'^/с!е1Г.

На практике вычисление определителей для каждой реализации а, нерационально. Определим биортогональную систему элементов = (Зцд\ + ■. - + условием {дг,г,)н = 6^, что приводит

к решению относительно 0], систем линейных уравнений с положительно определенной матрицей Г {у 1,..., #;}. Тогда после некоторых преобразований найдем, что (

= ^ ^ а}£] ' = (#> 2; )н I

;=1

(

*1 = (д,д)н - д>)н(д, *<)я, (14)

*=1

I

*3 = 1- У ^ = (zi 1 ) Н •

*.> = 1

Суммируя вышеизложенное, сформулируем теперь поэтапно предварительную конструкцию алгоритма:

1) вычислим, интегрируя одну и ту же систему (7) с различны-іи к, элементы д, д, Є М2, вектор-функции 6( ), 6,( ) в представлениях /( ), 7,-(г) из (10),( 11) и интегралы ф = (В'6,и)х,2, Фі = (Я'6;, и)/,2;

2) составим элементы д = (д, іу — И'Ь, 0), <7,- = (д;, — О'б;, Д,) Є Я и определим биортогональную систему ;

3) вычислим & = (з,2,)я, = (г.'і 2і)н И Я] из (14).

После указанных предварительных вычислений необходимо чшомнить” лишь числа ф,ірі,Р

Собственно работа алгоритма оценивания 7 сводится к следу-

....«-му. По реализовавшимся значениям 7,- = 7,- в (4) вычисляем

", Ті + фі, Яз из (14) и 7* = с*і£і + ... -І- с*і£і - ф. Среднеквадратичная оценка случайной величины 7 дается неравенством (13).

Поскольку

ітіах(ЯіЯ3) = Я і гпах Я3 = Яі£,

{«.} {«О

і" оптимальные в минимаксном смысле весовые элементы к^ в (4)

определяются задачей

F\ —► min I F\ —► min

{3t] V

На языке 6-функций (p(<) = p(t) + p°6(t - tx) + ... + p°6(t - t,)) рассматривается случай, когда в оцениваемый функционал 7 кроме l"'x(rh) входят слагаемые p?'x(rh 4- «<), W € (~h, 0). Аналогичным образом выбираем kij(t) при использовании отличных от y(jh) дискретных измерений. Это приводит к интегрированию системы (7) с Л функциями в правой части, т.е. к скачкам вектор-функции V в соответствующие моменты времени.

Литература

1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

2. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

3. Жидков Н. П. Линейные аппроксимации функционалов. М.: Изд-во МГУ, 1977. 262 с.

Груды Петрозаводского государственного университета

I '<>рия “Математика” Выпуск 2, 1995

V I,К 519.554

К ВОПРОСУ О СВЯЗИ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ И СЛУЧАЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

В. Н. Земляченко, Ю. Л. Павлов

Предлагается характеризация ветвящихся процессов

Гальтона—Ватсона в виде семейства маршрутов некоторого мультиграфа с целью описания известной связи между ветвящимися процессами и случайными деревьями.

Взаимосвязь между ветвящимися процессами Гальтона- Ватсо-Hii и деревьями была осознана достаточно давно (см., например, [1,2]). И последнее время особенно возрос интерес к исследованию деревьев и лесов с помощью методов теории ветвящихся процессов [3-4]. В

■ 1.тгье предлагается характеризация ветвящихся процессов, которая может оказаться полезной в таких исследованиях.

1. Терминология и обозначения

Введем ряд терминов и обозначений в модификации, приспособленные для дальнейшего изложения.

1.1. Кванторные обозначения для сумм и произведений

Пусть / — неотрицательная функция с не более чем счетной "Ьластью определения и R — любой предикат, определенный на этой области. Введем следующие обозначения кванторного типа для сумм:

{<Tx\R}.f(x) : {<тх\R}.f(x) = Y,R(x)f(x)

ax.f(x) : R = true —► ax.f(x) = {ax\R}.f(x)

<т(Л, /) : R = A С dom(f) —* a(A, f) = {ax\R}.f(x)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 94-01-00036-а.

© В. Н. Земляченко, Ю. Л. Павлов, 1995