Субоптимальные интегральные операторы наблюдения в динамических системах с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 4, 1997

УДК 62.50

СУ Б ОПТИМАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НАБЛЮДЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Ю. В. Заика, М. М. Кручек

Рассматривается динамическая система с запаздыванием и неопределенностью в начальных данных. Приводится алгоритм оценивания функционалов на решениях системы по результатам измерений. Методом динамического программирования строятся приближенно оптимальные весовые функции в интегральных операторах наблюдения с целью минимизации гарантированной оценки.

§ 1. Постановка задачи и необходимые преобразования

Круг задач теории управления и наблюдения в условиях неопределенности весьма обширен [1-3]. В данной статье рассматривается динамическая система в форме линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием и неопределенностью в начальных данных. Некоторые алгоритмы оценивания функционалов на решениях таких систем с возмущениями по результатам измерений представлены в [4-7]. При этом для обработки измерений используются интегральные операторы, что ориентировано на определенную помехоустойчивость оценивания. Естественно поставить задачу о выборе таких весовых функций в операторах наблюдения, которые бы минимизировали длину отрезка неопределенности значений оцениваемого функционала.

© Ю. В. Заика, М. М. Кручек, 1998

Перейдем к описанию математической модели наблюдения. Пусть движение объекта моделируется векторным функционально-дифференциальным уравнением [8,9]:

Iм °Г

Ajx(t — + / А(в)х{Ь + 6)(16 + Д(£)м(£), (1)

* *=° н

Ь> О, 0 = Но < Н\ < ... < /гдг = /г,

я(0) = ж0, х(т) = ж0(т), г Е [-й,0),

ж0 = (ж°,ж0(-)) еМ2 = Япх £2([-М],Яп).

Матрицы размерности п х п постоянны, элементы А(£), Д(£) (п х п, п х щ) кусочно непрерывны на рассматриваемом отрезке времени М (и /г), управление или внешнее возмущение и^) Е ^П1 задано (и Е Ь2([0, £*], ЯП1)). Неизвестные начальные данные хо = (ж°,жо(-)) состоят из начального вектора ж(0) = х° и предыстории жо(*)- Поскольку предыстория влияет на движение ж(£) ”в интегральном смысле” , то в качестве фазового пространства примем М2:

% = (х(£),хь) = (х(£),х(Ь + •)) Е М2 = Дп х Ь2, ж*(0) = х(Ь + 0), 0 Е [-/г, 0].

При этом для жо(-) £ ^2([~Ь, 0], Дп) не обязательно жо(0) = ж0. Изменение значений хо (г) на множестве меры нуль в [—/г, 0] не меняет движения ж(£), £ > 0. Зависимость от начальных данных обозначаем ж(£;жо,0), ж^(жо,0). Равенство в (1) понимаем в смысле почти всюду на [0,£*]. Решение ж(£) абсолютно непрерывно на [0,£*] (более того — принадлежит /^([О, £*], Дп)), поэтому удобно класс В™) отождествлять с некоторым его представителем, непрерывным на [—£,0] П [—/г, 0]. При этом ж*(0) = ж(£) для £ > 0.

Информация о движении доставляется значениями (измерениями) вектор-функции

у{£) = Сж(£), £ > 0, гапкО — т (С - т х п). (2)

В приложениях обычно измеряется т компонент вектора ж(£), т < п. Фиксируем натуральное г > 1 и рассмотрим функционал

о

J = р°'х(гК) + ! р'(т)х(г11 + т)(1т = (р, хгн)м2, (з)

гЪ,<и, р= (р°,р(-)) £ М2.

Если р(-) = 0 (нули линейных пространств обозначаем одним символом), то, варьируя р° Е Яп, получаем компоненты (проекции) положения ж(£) в момент времени Ь = гН. При р° = 0 имеем проекции хгн в Л/2 (интересующие нас коэффициенты Фурье). Таким образом, значения J имеют важный с точки зрения приложений смысл.

Далее, поскольку хранение континуума значений у{Ь) затруднительно, считаем, что по мере поступления информации у^) на отрезке времени [0, (г — 1)/г] вычисляются функционалы

К]{т)у(зЬ + т)<1т^ , (4)

г = 1,1, УзИ = {уЦН),уЦН + •)),

% = (А&.МО) ^2=Гх Ь2([-Н,0],11Г).

Некоторые векторные весовые коэффициенты И кц(') могут быть нулевыми, если измерения на соответствующем промежутке времени не проводятся или недостаточно надежны. Могут использоваться только дискретные измерения у^Н), и тогда все кц(-) = 0.

Чтобы задача оценивания J была содержательной, считаем выполненными априорные ограничения на неопределенность начальных данных:

о

(х0,х0)<2 = ж°'<3°ж0 + J x'0(т)Q{т)xo{т)dт < к2. (5)

— к

Матрица С}(1) кусочно непрерывна, симметрична и положительно определена \/£ Е [—/г, 0] вместе с С}0 (не обязательно С}0 = £?(—())).

Значения функционалов <7, Ji определяются неизвестными начальными данными жо- Поэтому для оценивания J по значениям «7^ целесообразно получить представления J = Лхо), <7; = «/«(жо)- В основе соответствующих преобразований следующее простое соображение: если, например, задан

J = (р,Хгь)м2 = (Р,'Р%о)м2,

то нужно найти оператор Ри” перебросить его к аргументу р ”, определив сопряженный V*. Отметим, что представления ^(хгн) невозможны из-за неинтегрируемости (1) по убыванию времени.

Опуская технические детали [5-7], приходим к выражениям:

Здесь (•, -)<з = (•, Я-)м2 (см. (5)), <2 = (<9°,

я~1р = (д0_У,д-1(-)р(-)), о% = (с'к%,с'к^(-)) е м2,

оператор Т* : М2 —У М2 определяется как сопряженный в смысле

к оператору сдвига Т : М2 —>• М2, Тхо = хн (2о, 0), для однородной системы (1) (и(') = 0).

Значения с = Т*а Уа Є М2 вычисляются следующим образом. Следует проинтегрировать (по крайней мере, численно) справа налево на отрезке [—/г, 0] сопряженную систему

(6)

Г — 1

д = т*гя~гр, % = ^т^д-^'Лу,

3 = 1

гк (г- 1)к

О О

(а,ТЬ)я = (Т*а,Ь)я У а, Ь Є М2

Ь Є [—Л,0], У(0) = -<2°а°,

г ^ [—/г, 0] =>• У(т) = 0, .А(т) = 0.

Тогда

с=(с°,с(-)), С0 = -<9°

N

с(і) =—(} - к + /^-) +

і=0

о

+ / А'(і — Н — т)У(т)еіт).

-к

С помощью интегрирования (7), но с другими неоднородностями (вместо ф(£)а(£)) и начальными данными, можно выписать явные выражения для вектор-функций Ь(-), Ь{(') [5-7]. Делать этого не будем, поскольку для дальнейшего важно только, что числа ф, не зависят от хо и вычисляются по известной и('). Если нет необходимости или возможности ознакомиться с соответствующей техникой, то без существенного ограничения общности можно считать и(-) = 0 (ф = ^ = 0).

Смысл представлений (6) в следующем. Функционалы <7, «7^ теперь явно представлены через входные данные жо, и(-). Кроме того, вычисленные д, Ь(-), Ь{(') позволяют судить о чувствительности значений <7, Ji к вариациям начальных данных жо и управления (возмущения) и(').

Перейдем теперь к уточнению задачи. Нас интересует алгоритм, позволяющий по любой допустимой (с учетом (5)) реализации Jj = указать оценку возможных значений J:

Поскольку и(-) известно, то вместо <7, Ji можно рассматривать функ-

I = J + ф = (q,x0)Q, 7; = ^ + = (%,х0)<э, (жо,жо)о < к2. (8)

Задача приобретает общую формулировку на языке функционального анализа: оценить заданный функционал по известным значениям других. В контексте задач вычислительной математики (интерполирование, квадратурные формулы, ...) проблема изучалась в [10].

Пусть в результате измерений у{Ь) и подсчета <7; в силу (4) стали известны значения = а*, % — 1,1. Тогда применительно к рассматриваемой в статье задаче имеет место точное неравенство [5-7]:

ционалы

17-7*1 <7\7Ь.

Здесь

= (х0,ж0)о + det ^ / detГ0,

Г{б?і,..., с18} — матрица Грама элементов е£* Є М2 относительно скалярного произведения (•, -)д = (*,ф)м2-

Геометрический СМЫСЛ І7! — расстояние (в метрике, порожденной (•, -)<э) от д до линейной оболочки £{$1, ..., $і}, і*2 — расстояние от реализовавшегося жо до £{$і,..., Поскольку жо неизвестен, то

вместо (9) приходим к вычисляемой ПО ctj оценке

|/ - /*| < ад, РЇ = к2 + det ( 0 “' ) / det Г0. (10)

Vа 1 о )

Таким образом, один из функционалов (пусть Зі) целесообразно выбрать из условия ||<7 — $і||<з —> тій. А остальные , . . . , «7^ — так, чтобы наиболее вероятные реализации хо были близки к С. Если же вести речь только о гарантированном оценивании (|/ — /*| < і'ій, тахі^ = к), то задача ||д — $і||<2 —>• тій остается, а выбор «/2,..., не влияет на і*і и не является существенным. При систематическом использовании (10) вычислять каждый раз определители нерационально и в [5-7] указаны некоторые вычислительные упрощения. В данной статье сосредоточимся на задаче і*і —> тій на {к

§ 2. Оптимизация оценивания

Из соображений §1 рассмотрим задачу

||Т*г<3-1р — 8К\\Я —>• тій . (11)

Оптимальному выбору подлежит К = (&і,..., &г-і) Є М^-1, оператор *5 : М^-1 —у М2 определяется формулой

г — 1

вк = ^Т*і§-1С%.

з=і

Задача (11) означает, что нас интересует квазирешение операторного уравнения Б К = д (д = Т*г(3-1р) в пространстве М^-1. При этом в М2 используем метрику, порожденную (-,-)<Э-

Стандартным образом доказывается (применяя лемму Гронуол-ла), что линейные операторы Т, Т*: М2 —> М2 вполне непрерывны. Поэтому БМ^1 не замкнуто. Исключение составляет случай конечномерности Б, но это свидетельствует о вырожденности исходной модели (1). Следовательно, разрешимость уравнения Б К = д не гарантируется. Более того, и задача (11) может не иметь решения. Здесь мы стакиваемся с типичными трудностями, связанными с решением некорректных задач (уравнение первого рода с вполне непрерывным оператором). Но констатация невозможности в общем случае явного решения задачи ”не освобождает от ответственности” предложить разумный способ приближенного решения (11). Первое, о чем следует упомянуть, — наличие огромного числа публикаций по методам регуляризации некорректных задач. Нет никаких препятствий к их применению в (11). Оставляя этот общий путь как ” вполне проторенный, но энергоемкий”, попытаемся извлечь выгоду из специфики структуры оператора *5.

Обозначим В = Сд~1С' = ((2° 1б'/, (5_1(-)^/) и заметим, что

г — 1

в К = ^Т*^~1Ск^ = з=1

= Т*{Вкг + ... + Т*(Вкг-з + Т*{Вкг-2 + Т*(Вкг-1 + 0))).. .)•

Рассмотрим дискретную динамическую систему в М2:

Х\ = 0, Х{+1 = Т*Х; + Т*Вщ, щ е М2. (12)

Положим управления щ = кг-1,..., иг-\ — Тогда Хг = Б К и задача приобретает формулировку в терминах теории управления: выбором управлений щ перевести фазовую точку из нуля в ^ за г шагов. В контексте теории управления вполне понятна причина невозможности в общем случае решить задачу Хг = д: каждая система управления имеет свое множество достижимости и в бесконечномерном случае рассчитывать на полную управляемость не приходится.

Заметим теперь, что для (12) достаточно исследовать управляемость в линейном многообразии Т*ГМ2 = {д = Т*г^-1р \р Е М2} за г шагов. К сожалению, за исключением вырожденного случая конечномерности Т*, Т*ГМ2 не является подпространством М2. С ростом г не только расширяются возможности управляемой системы в смысле расширения множества достижимости (2}г+1(0) = {Хг+1} I)

7)г(0) = {Хг}), но и само целевое множество Т*ГМ2 ”движется навстречу” (Т*Г+1М2 С Т*ГМ2). Так что задача Б К = д, не имеющая решения при фиксированном г, может оказаться разрешимой при увеличении г, т. е. при увеличении времени наблюдения за системой

(1). Здесь возникает вопрос: при каких условиях на Aj, А(-), возможно при некотором г поглощение расширяющимся множеством достижимости £>г(0) сужающегося целевого множества Т*ГМ2 ? Если ВД) ^ Т*ГМ2, то в оценках (9), (10) можно добиться ^ = 0 и тогда значения J = (р,хгь)м2 определяются точно \/р Е М2. Но последнее означает возможность по измерениям (2) однозначно восстановить хгн и, следовательно, движение системы (1) для £ > гН. Такое свойство называется полной наблюдаемостью. Различные критерии наблюдаемости систем с последействием представлены в обзоре [11].

В приложениях сверхусилия для решения бесконечномерной задачи полного поглощения £>г(0) I) Т*ГМ2 не всегда оправданы, поскольку модель (1), (2) приближенно описывает реальный процесс. Поэтому вернемся к задаче оценивания J = (р,хгь)м2- Оценка достаточного числа таких функционалов (коэффициентов Фурье) дает приближенное представление охгн-

Пусть г, р фиксированы. Не рассчитывая на точное решение двухточечной задачи управления Х\ — 0, Хг = д (тогда можно добиться Fl=0иJ = I*—ф \/жо), обратимся к задаче \\ХГ — д||<з —>• тт. Но и эта задача некорректна. Множество достижимости (12) описывается как линейная оболочка

с,{т*г-хвм2,..., Т*ВМ2}.

Эта ” сумма поворачивающихся под действием Т* плоскостей” в бесконечномерном случае незамкнута, и проекции д на С (в М2 с (•, -)<э)? которая и определяла бы оптимальный К, может не существовать. Поэтому перейдем к построению субоптимального К. Приставка г"суб6 требует расшифровки, и ниже будет уточнен ее смысл.

Воспользуемся идеологией метода динамического программирования Р. Веллмана. Пусть перед последним шагом управления система (12) оказалась в состоянии которое будем считать неизвестным

параметром. Как выбрать оптимальное иг-1 ? Очевидно, оно должно решать задачу

Отказываясь от решения (квазирешения) некорректной задачи Т*Виг-г =§'-Г*Хг°_1 (Б = д-1б") с параметром обратимся к ’’близкой” задаче:

||*г - $11<г < ||Г*|| • \\х°_г + Вйг-! - -> ШШ . (13)

Вместо целевой функции минимизируем ее верхнюю оценку. Новая задача по сути — конечномерная задача о наименьших квадратах. Она имеет, и притом единственное, решение

«?_1 (.*“_!) = #(т*г-1д-1р - хг°_!), N = (сд-1^')-1^. (14)

Напомним, что в силу принятых обозначений, которые легко расшифровываются по контексту, запись

(сд-1^)-1^ \/а = (а0, а(-)) е М2

означает

= (Сд-1(-)С!,)“1С'а(-)) £ М2.

Подчеркнем, что пока найдена как функция и^_1(Х^_1) от

неизвестного заранее начального состояния (12) на последнем шаге.

После подстановки (14) в (13) получаем оптимальное значение оценки:

ЦТ*II. \\Xr_i + в^г_М_г) - т'г-'д-Щд =

= цт*ц • \\мх?_г - (15)

М — Ё — ВЙ, Ё = (Еп,Еп) (Ёа = аеМ2).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что М2 = М, (ВЫ)2 = ВЫ, т.е. М, ВЫ:М2 —У М2 являются ортопроекторами (ВЫ — на ВМ2, М — на {ВМ2)1' С М2 в терминах (•, -)д). Нормы М. БЛГ как операторов равны единице. Поэтому (15) оценивается величиной

||г*||.||^?_1-г*’-1д-1р1|<з =

= ||т*ц • цт*х°г_2 + т*ви°г_2 - г*г-1д-1рц<3 <

< ||т*||2 • ||ХГ°_2 + Ви°г_2 - т*г-2д-1р||о.

Совершенно аналогично (13), (14) оптимизируем последнюю оценку:

^_2(ХГ°_2) = ^(Т*г-2д-1р-хг°_2).

Продолжая этот процесс, получаем

й?(Хг°) = - Х°), г = 1,Г - 1.

Начинаем теперь двигаться в обратном направлении. Начальное состояние Xо известно (X® = 0). Поэтому $25 = и

Х2° = Т^ВЫТ^^р.

Подставляя в ^(Х®) значение X®, имеем и® = NT*MT*Q~1p и т. д. Окончательно:

= О, X? = Т*^- Т*(МГ),_1«, в = j = %г,

и? = *°_1 = ТУТ*?, ^ = Ш*(МТ*У~1з^ = 2,г- 1.

Таким образом, стратегия оптимизации на каждом шаге оценок позволяет получить решение в явном виде. Операцию Т* на базе интегрирования сопряженной системы (7) с различными а считаем относительно элементарной. Такая стратегия является приближенной (субоптимальной). Значение критерия оптимальности при этом равно

Д° = II?- хг°||<г = ЦТ* (МТТ"1^.

В частности, если Д° = 0, то значения J = (р,хгь)м2 ПРИ использовании ^ с kj = к9 определяются точно (Т^ =0, <7 = 7* — -0, ^ = 1).

§ 3. Выбор интегрального оператора наблюдения на начальном отрезке времени

В заключение статьи перейдем к исследованию следующей задачи. Предположим, что появилась дополнительная возможность проводить измерения (2) и на начальном отрезке времени [—/г, 0]. Пусть операция Л из (4) (£ = 1) фиксирована. Например, выбором К\ — К\

(к^ = Щ) согласно стратегии §2. По результатам дополнительных из-

з

мерений определим

(£о,Уо)^2 = коУ(°) + [ К(т)у(т)^-«/ — к

Рассмотрения §2 были ориентированы на неопределенность начальных данных (жо,Жо)<2 < й2. Если же теперь имеется дополнительная информация 32 = «2, то исходная неопределенность, образно говоря, сужается до сечения эллипсоида плоскостью. Направляющий вектор таких сечений, естественно, влияет на точность оценивания.

Аналитически задача формулируется следующим образом. Рассмотрим оценку (10) при £ = 2 и фиксированном J\ согласно (4). Как выбрать к0 в функционале ^ с целью і*і = і^^о) —>• тій ? В частности, это позволит минимизировать погрешность гарантированного оценивания (\1 — /*| < і^й).

Обратимся к представлениям J, </і, ^ на начальных данных:

J = I-•ф, Л=/і-^ь 1={ч,х0)я, її = (д.1,х0)<э,

г — 1

д = Т*г§~1р, д^^Т^Вкц, і=і______________________

Ь = І2(Я2,хо)(з, д2 = Вк0, В =

Числа ф = '0(и(-)), фі = '0і(и(-)) не зависят от жо, и без ограничения общности можно считать ф = фі =0 (и(-) =0).

Предполагаем, что $2 ф ЯіУко. Иначе задача і*і —>■ тій преобразуется в ||<7 — $2І|д —тій, откуда = А/'д. Обозначим §о = (7, Щ и будем отождествлять В, О с соответствующими опе-

раторами М2 —У М2, М2 —У м2

Вко = (д0_1С"^,д0(-)_1С"А;о(-)), (?а= (Са°,Са(-))-

В М2 рассматриваем (•, -)д, и тогда В* = (?. Вычислим ^2:

І7? = ?оо + (2до1<?12<?02 - 902^11 “ Зої^г)* х(дцд22 - ді2)_1 = доо - діідїі-

~(Ч02 - ?12д01дй1)2(922 - Ч212Ч11 Г1 =

= Чоо - ч1хЧ11 - [(<?, Вко)я--(дьБйо)^^!^!1]2 • [(Вк0,Вк0)д--Я.11{Ч1,Вк0)2о\~1 = д00 - Qoiq.il —

- (к0, вд - д01 ^й1 С?!) ~2 х х[{ОВк0,к0)~2 - д^^ко^дг)2-}-1.

От к0 зависит только последнее слагаемое, причем значение не изменится при замене ко на /ико, /л =сопз1/ 0. Вводя новое скалярное произведение (-,')р — ('>Р')м2 ? Р — = Сф_1С', приходим к

задаче:

(к0,а)2Р[1 - (к0,Ь)2р]~1 ->-лтах , (ко,ко)р = 1. (16)

коЕМ2

Здесь а — элемент единичной длины ((а, а)р = 1), полученный нормированием

(С^~1С)~1(Сд- догд^Сдх) = Й(д- до^П1^)-

Длина вектора Ь = д^^2 (СС}~1С)~1Сд\ = дп^ЛТд! е Мо меньше единицы:

(Ъ,Ь)р = 1,Сд!)~2 = д^{ВЙдг, дг)я < 1.

Последнее неравенство справедливо в силу $1 ^ ВМ2 и (ВМ)2 = ВМ (ВМ- ортопроектор на ВМ2 в терминах (•, -)д).

Оптимальный элемент ко следует искать в виде линейной комбинации а, Ь, так как ненулевая ортогональная составляющая лишь уменьшит дробь в (16). Отобразим плоскость элементов а, Ь со скалярным произведением (•, -)р на Я2. Совместим а с ортом ех, а вектор Ь длины (6, 2 < 1 повернем относительно е\ против часовой стрел-

ки на угол а Е [0,7г/2], сое а — |(а, Ь)р\ (замена Ь на —Ъ задачу (16) не меняет). Если А;0- решение (16), то и —ко тоже решение. Элемент

ко ищется с точностью до постоянного множителя. Поэтому достаточно искать вектор ко единичной длины, составляющий с b угол /3 Е [—сг,7Г — сг]. В силу (16) этот угол определяется из условий

/(/?) = cos2(сг + /3)( 1 — £ cos2 /5)-1 —>• max, £ = (6, Ь)р < 1.

Поскольку /( — сг) = /(7Г — сг) > /(/5) ДЛЯ (3 Е [сг, 7Г — сг], то максимум следует искать на отрезке [—сг, сг], сг Е [0,7г/2]. Если сг = 7г/2 ((а, Ь)р = 0), то (3 = 7г/2 и оптимальный элемент пропорционален а. В остальных случаях:

/И</(-0-)> /'(—сг) > 0, /' = ()=>

А, = arg max /(/3) = arctg((£ - l)tga) G (-a,0).

[-(7,(7]

По определяется вектор ко и соответствующий ему оптимальный элемент ко Е М2.

Решение такой задачи может пригодиться в следующей ситуации. Пусть нас интересует ”р-я координата” J = (р,х^м2 фазового вектора и алгоритм определения ее возможных значений для t = rh по наблюдениям на [0, (г — 1 )h\ не гарантирует необходимую точность оценивания. Увеличим г (г —> г + 1). Рационально использовать на [/г, rh] уже построенную операцию обработки измерений, а на [0, h\ добавить новый функционал с оптимальным весовым элементом ко.

Resume

Dynamical time-delay system with uncertain initial data is considered. Algorithm of estimation of funcyionals on system’s solutions by measurement’s results is proved. Optimal weight functions in integral observation operators, that minimize garanteed estimation, are constracted approximately with the help of the dynamic programming method.

Литература

[1] Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности М.: Наука, 1977. 393 с.

[2] Куржанский А. Б. Гарантированное оценивание распределенных процессов по результатам наблюдений// Вестник МГУ. Серия 15. Выч. мат. и киберн. 1995. Г 1. С. 33-40.

[3] Krasovskii A. N., Krasovskii N. N. Control under Lack of Information. Birkhauser, 1995. 320 p.

[4] Кирин H. E., Исраилов И., Отакулов С. Задачи и методы оценивания управляемых систем. Ташкент: Фан, 1993. 229 с.

[5] Заика Ю. В. Оценивание функционалов на решениях возмущаемых систем с запаздыванием по неполной обратной связи// Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. Г 1. С. 99-108.

[6] Заика Ю. В. Оценивание функционалов на решениях возмущаемых систем с запаздыванием // Вопросы мех. и проц. управл. Вып. 17. 1996. С.-Петербург: Изд-во С.-Петербург, ун-та. С. 67-78.

[7] Заика Ю. В., Кручек М. М. Среднеквадратичная оценка функционалов на решениях систем с запаздыванием и случайными возмущениями// Труды Петрозаводского ун-та. Серия математика. Вып. 2. 1995. С. 19-30.

[8] Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием М.: Наука, 1981. 448 с.

[9] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений М.: Мир, 1984. 421 с.

[10] Жидков Н. П. Линейные аппроксимации функционалов М.: Изд-во МГУ, 1977. 262 с.

[11] Гринберг А. С., Лотоцкий В. А., Шкляр Б. Ш. Управляемость и наблюдаемость динамических систем// Автоматика и телемех. 1991. t 1. С. 3-21.