CC BY
18
Рассмотренный метод исследования колебательных процессов имеет значительное преимущество перед известными широко распространенными «неявными» схемами ввиду неограниченного разнообразия прилагаемых нахрузок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зылев В. Б, Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций. М.: Науч. издат. центр «Инженер», 1999. 145 с.
УДК 533.6.011
Д. Н. Коновалов, Г. Д. Севостьянов
УДАРНЫЙ ПЕРЕХОД СЛАБОСВЕРХЗВУКОВОЙ ОДНОРОДНОЙ СТРУИ В ДОЗВУКОВУЮ ВБЛИЗИ ЕЁ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ
Плоские стационарные околозвуковые безвихревые течения идеального газа описываются системой Фальковича - Кармана [1] (и = М- число Маха):
иих = уу,ух = иу, (1)
на околозвуковом скачке х = к(у) имеем два условия:
£ = —М/[м]>(# )* = <„>, (2)
где [/],</>- разность и полусумма значений/ + и / разрывной на скачке функции / Исключив в (2) И', имеем уравнение ударной поляры Буземана
[у]2 = <и>[и]2. ^ (3)
Пусть однородная слабосверхзвуковая струя (и = М - 1 > 0, V = Ус = 0) вытекает из щели в стенке в область со сверхкритическим давлением р\ > р,. Направив ось х по стенке (у = 0, х < 0) в сторону течения, ось у перпендикулярно .г вне струи, исследуем околозвуковое течение вблизи края щели 0(0,0), из которой выходят околозвуковой скачок ОА и свободная дозвуковая граница струи ОВ (и = щ <0). Требуется найти решение и < 0, V системы (1) за неизвестным скачком ОА, свободную границу ОВ (скачок ОА криволинеен, если в струе за ним имеются возмущения, например преграда (рис. 1)).
Ударная поляра (3) является «ежевидной» («дикобраз» Буземана), если в однородном потоке скачок криволинейный. В [2] указана характерная точка 5" поляры, в которой наклон «иголки» (ЫсЫ = 0:
и = и, = -3/5 их < 0, М = = 8/(5 V 5) иУ2х. (4)
На свободной дозвуковой границе постоянно давление (р = р\), поэтому величина скорости не меняется, и = us.
Если за скачком поток однородный и = и„ v = vs (преграда отсутствует), то скачок ОА"— косой (х = 8у, у < 0), свободная граница ОВ° струи прямолинейна (v = vf, и = us).
Для этого нулевого приближения решения из условий (2) имеем
|5|=VujV5. (5)
Введя для кривого скачка ОА неизвестную функцию G(y), у < 0: g(y) ~ б + G(y), G(0) = 0, запишем через нее из (2) решение на скачке ОА \ и — и<ж~ us +48G + 2G2,
V = Vck = vs - 4/3 usG - 66G2 - 2G3. (6)
Эту функцию и уравнение скачка ОА будем искать в виде рядов: G(y) = Coy + су2 + Сгу3 + ...,
X = h(y) = 5^ + Со/2 у2 + с,/3 у3 +... (7)
Решение системы (1) с учетом условия на ОВ и(х,0) = us < 0 ищем в виде рядов вблизи края О'.
и = щ + Во' у + uJ6 В™ у* + 1/12 W До")' /+-■-, V = Во + иД Во"у2 + 1/3 Во'Во"у + ... (8)
с произвольной функцией В0(х):
В0(х) = у, + еох + е\х2 + е2х3 + ... (9)
Построим второе приближение системы (1): и - и„. + еау + 2е1 ху + ...,
у~у5 + е0х + (е1х2 + и!е\у2)+... (10)
Подставив (10) и (7) в (6), выразим коэффициенты ск и ек через параметры 8 и = е0 = уг(0,0):
Со = &/(45), с, = 3/64 й2/63, е, = 5/32 &2/83. (11)
Тогда уравнение скачка О А у края щели примет вид
х = /7(у) = 5^ + яЛ85)/ + &2/(6453)у3 + ..., у<0. При gs = 0 скачок - косой.
Поле скорости за скачком (второе приближение): и = и,+ ^ + 5/16 gs2/S3 ху+ ...,
v^vs + g¡x+ 5/32 gs2/b3 (х2 + + (12)
Величина скорости V, угол 0 её наклона к оси х, коэффициент давления ср - функции и или V (у > 1 - отношение теплоемкостей), они равны: V2 = К2„ [1 + 2(и - «и)/(у+1)АГ-Л]; 9 = у/(у+1 )М~2т сР = {р -Р»У( 1/2 Р.У2) = -2 (и - м„)/(у+1 )\Г2Л. (13)
Эти зависимости можно записать в универсальной форме, используя закон околозвукового подобия:
и=и/\щ\, = е5 = з1^8 = ±1,
Г= 8/(ЗУЗ) + 6^+5/(32^3) ЕД2 - 15/(32^3) Б&Г2 + ..., и=-1 +гчУ+ 15V3/16 ЕйАТ +
X= H{Y) = Eg/V3 Y+ V3/8 e6£gY2 + 3V3/64 esY3 + ... (14)
Уравнение свободной дозвуковой границы OB:
У = [(r+l^-r'tv,* + gJ2 x2 + 5/96 g2/53 x3+ ...]. На рис. 2 показаны изобары течения (т.е. U— const) для 5 > 0. g, > 0.
У
При решении (14) использован метод ускорения сходимости рядов. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Севастьянов Г. Д. Основы теории околозвуковых течений таза. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. Ч. 1.
2. Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений / Пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
УДК 539.3
В. И. Копнина, М. В. Демина
ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛИТЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО КРУГУ МЕНЬШЕГО РАДИУСА
Рассмотрим круглую плиту радиуса г -а, изготовленную из изотропного материала (рисунок). Будем считать, что она изгибается под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по кругу меньшего радиуса, при этом край плиты жестко защемлен. В силу того что плита загружена таким образом, можно считать, что она состоит из двух час-
176
