Явная схема исследования динамического поведения призматических стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

Размер и направление стрелок характеризует величину и направление перемещений. Имеет место сжатие основного сосуда аорты, а также сужение входов отростков аорты, по-видимому, это объясняется резинопо-добной природой материала стенок аорты.

Решение всех задач производилось на компьютере ASUS Р4Р800Е, Pentium IV 2800Е, 1024 Mb RAM.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Интернет сайт www.comsol.com.

2. Лоицянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

УДК 539.3

М. А. Ковырягин, А, В. Климов

ЯВНАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

Одним из ярких примеров высотных сооружений, широко востребованных в настоящее время практикой, являются пилоны вантовых мостов. Описание динамического поведения пилонов вантовых мостов производится с использованием дифференциальных уравнений. Причем сама конструкция рассматривается в виде двух моделей: 1) как многомассовая с расположением этих масс на определенном расстоянии друг от друга, 2) в виде единого деформируемого твердого тела.

Первая модель рассматривается в работе В. Б. Зылева [1]. В таком случае сосредоточенная масса ассоциируется с узлом. Узлы разделяются на подвижные и неподвижные. Координаты неподвижных узлов известны, а координаты подвижных узлов известны из предыдущего шага по времени, так же как и их скорости. Под скоростями здесь понимаются составляющие вдоль координатных осей. Внешние силы принимаются сосредоточенными, приложенными в узлах. Они могут быть как постоянными, так

171

и переменными. В последнем случае нужно иметь правило, по которому нагрузки вычисляются в каждый момент времени. Необходимые уравнения составляются на основании второго закона Ньютона, предполагая, что массы соединены стержнями известной жесткости. Сначала определяются текущие усилия в стержнях, ориентируясь на использование точных геометрических формул. Возьмем, к примеру, стержень 1-2. Его длина в текущий момент времени равна расстоянию между узлами 1 и 2

I - у1(х2 - хл )2 + (у2 - VI )2 , если этот стержень расположен вдоль оси х.

Вычтя из текущей длины начальную, получим удлинение М = И - !:0.

М

Далее по формз'ле закона Гука N - — ЕА находим внутреннее усилие в

стержне Дг|_2- Аналогично можно найти продольные силы во всех остальных стержнях конструкции. По отношению к точечной массе узла 1 усилие в стержне 1 -2 есть внешняя сила. Ее направляющие косинусы определяются через координаты узлов сое а = (х2 - Д) )/£, соя |3 = (у2 - у\ )/£. Дапее по второму закону Ньютона определяется ускорение массы ту в рассматриваемом узле. В проекции на ось х оно определится по формуле

К = (1)

т1

Здесь Рх - сумма проекций на ось х усилий во всех примыкающих к узлу 1 стержнях с добавлением составляющей внешней силы Рх, приложенной в этом узле; т^ - узловая масса в первой точке.

Составляющая Рх включает силу, приложенную к внешнему узлу относительно внутреннего узла, а также силу сопротивления среды.

Далее рассматриваются все остальные узлы расчетной схемы. При их описании учитываются координаты предыдущих узлов.

Выражения вида (1) для всех степеней упругой свободы системы являются разрешающими уравнениями. Правда, они не есть уравнения в привычном смысле слова, то есть выражения, из которых необходимо искать неизвестные величины. Здесь необходимые для дальнейшего составляющие ускорений вычисляются через известные на текущем шаге решения величины. Целью является получение состояния системы через малый промежуток времени Аг. В первом приближении можно предположить, что каждая составляющая ускорения остается постоянной в течение Л/. Применив формулы для равноускоренного движения, получим для выбранной точки приращение составляющей скорости Л 1\ = Н/х ■ А?; прира-

Д/2

щение смещения вдоль оси х Л5 = У0х ■ А! + 1УХ ——.

Добавив к координатам и скоростям точек найденные приращения, получим состояние системы в момент времени / + А г, что и завершает ал-

горитм, Обратим внимание, что искомые добавки к скоростям и перемещениям получаются здесь в явном виде, без решения уравнений. Поэтому естественно назвать такую вычислительную схему «явной». Она принципиально отличается от неявных вычислительных схем, которые в настоящее время являются наиболее распространенными. Если действительно принять формулы (1) за основу вычислительного метода, то такой метод, по выражению В. Б. Зылева, можно назвать методом «постоянного ускорения».

Метод «постоянного ускорения» в принципе является работоспособным. Вопрос здесь заключается лишь в том, что для его использования нужно применять крайне маленький шаг Лí. Следовательно, метод будет неэкономичным. Для улучшения обычно используют экстраполяцию по Адамсу. В. Б. Зылев предлагает следующие расчетные формулы приращения скорости АV и смещения. Д5 за шаг по времени Аг [1]: А V = (5 5РР0 - 59+ 3 Ш2 - Щ )Д//24, Д5 = УМ + (323Г0 - 264^, +15Ш2 ~ 38Щ )д2?/360.

Рассчитанный по описанному методу призматический стержень размерами длиной 10 м, выполненный из стали, находится под действием порыва ветра. Колебательные процессы, испытываемые узлами, будут иметь вид, изображенный на рис. 1-5.

Рис. 1

Рис. 2

л/ Ч

Рис. 3

- ЛЛ-

Рис. 4

А У и

Г" у|

1

Рис. 5

Изображенные на рис. 1 - 5 процессы описывают колебательное положение узлов, расположенных с шагом 2 м от основания. Из рис. 1-5 видно, что чем выше узел, тем существеннее усложняется колебательный процесс. Следовательно, необходимость управления динамическим поведением возникает именно на большом расстоянии от основания.

Рассмотренный метод исследования колебательных процессов имеет значительное преимущество перед известными широко распространенными «неявными» схемами ввиду неограниченного разнообразия прилагаемых нахрузок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зылев В. Б, Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций. М.: Науч. издат. центр «Инженер», 1999. 145 с.

УДК 533.6.011

Д. Н. Коновалов, Г. Д. Севостьянов

УДАРНЫЙ ПЕРЕХОД СЛАБОСВЕРХЗВУКОВОЙ ОДНОРОДНОЙ СТРУИ В ДОЗВУКОВУЮ ВБЛИЗИ ЕЁ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ

Плоские стационарные околозвуковые безвихревые течения идеального газа описываются системой Фальковича - Кармана [1] (и = М- число Маха):

иих = уу,ух = иу, (1)

на околозвуковом скачке х = к(у) имеем два условия:

£ = —М/[м]>(# )* = <„>, (2)

где [/],</>- разность и полусумма значений/ + и / разрывной на скачке функции / Исключив в (2) И', имеем уравнение ударной поляры Буземана

[у]2 = <и>[и]2. ^ (3)

Пусть однородная слабосверхзвуковая струя (и = М - 1 > 0, V = Ус = 0) вытекает из щели в стенке в область со сверхкритическим давлением р\ > р,. Направив ось х по стенке (у = 0, х < 0) в сторону течения, ось у перпендикулярно х вне струи, исследуем околозвуковое течение вблизи края щели 0(0,0), из которой выходят околозвуковой скачок ОА и свободная дозвуковая граница струи ОВ (и = щ <0). Требуется найти решение и < 0, V системы (1) за неизвестным скачком ОА, свободную границу ОВ (скачок ОА криволинеен, если в струе за ним имеются возмущения, например преграда (рис. 1)).

Ударная поляра (3) является «ежевидной» («дикобраз» Буземана), если в однородном потоке скачок криволинейный. В [2] указана характерная точка 5" поляры, в которой наклон «иголки» (1и:сЬ = 0:

и = и, = -3/5 их < 0, М = = 8/(5 V 5) иУ2х. (4)