CC BY
28
УЕБТЫНС
мвви
ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ. МЕХАНИКА ГРУНТОВ
УДК 624.154
Е.В. Васенкова, В.В. Зуев*
НИУМГСУ, *ФГБОУ ВПО «МГУИТРЭ»
УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ СИСТЕМЫ СВАЯ — ОСНОВАНИЕ В ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Рассмотрена в осесимметричной постановке базовая задача строительной механики, а именно — задача об ударном нагружении сваи, заглубленной в основание. Задача рассмотрена в рамках предложенных ранее в пространстве деформаций определяющих соотношений для необратимых деформаций. В качестве модели теории пластичности принята обобщенная авторами модель Мизеса, с использованием которой решается нестационарная система девяти двумерных уравнений в частных производных с разнообразными начальными и граничными условиями. Предложенный подход позволяет дать полную картину напряженно-деформируемого состояния в любой момент времени в системе свая — основание, картину появления и развития зон пластичности и разрушения.
Ключевые слова: напряжение, деформация, разрушение, разупрочнение, строительная механика, динамическое нагружение, свая, основание.
Исследование напряженно-деформируемого состояния (НДС) и разрушения основания при динамическом нагружении сваи имеет принципиальное значение для обоснования рациональных инженерных решений строительной механики, особенно в связи с интенсификацией разнообразных строительных работ в различных инженерно-геологических условиях [1—3]. Решение фундаментальной задачи о взаимодействии сваи и основания приобретает все большую актуальность [4—7]. Современные регламенты, в частности СНиП 2.02.03—85 «Свайные фундаменты»1, используют приближенные инженерные подходы, позволяющие оценить поведение системы свая — основание [8—12]. При этом решение строится в основном с использованием теории линейно-деформируемого континуума. Однако они не позволяют учесть различные особенности деформационного поведения грунтов и материалов сваи, а также дать соответствующую детальную картину НДС в системе [13—17]. Обнаруженные в последнее время механические особенности поведения материалов как основания, так и сваи требуют привлечения более современных подходов для анализа НДС системы свая — основание с учетом как пластичности, так и разрушения [18—20]. Представляется необходимым детально изучить процесс динамического нагружения системы свая — основание с использованием последних достижений в области построения определяющих соотношений для сред с усложненными свойствами [21].
1 СНиП 2.02.03—85. Свайные фундаменты. М. : ФГУП ЦПП, 2006. 50 с.
ВЕСТНИК
8/2015.
В работе предложен новый подход к описанию необратимых деформаций, причем определяющие соотношения сформулированы в пространстве деформаций. Этот подход позволяет в рамках единых определяющих соотношений исследовать как идеальную пластичность, так и пластичность с упрочнением — разупрочнением.
В настоящей работе с использованием этих определяющих соотношений рассмотрена в осесимметричной постановке задача об ударном нагружении сваи, заглубленной в основание (рис. 1). Диаметр основания составляет 3 м, диаметр сваи — 0,6 м, высота основания — 6 м, высота сваи — 6 м (включая 1,2 м погружения). Материалы основания и сваи могут проявлять свойства упрочнения — разупрочнения, быть идеально пластическими, проявлять свойства дилатансии, переменные упругие свойства и т.д. Так, в рассматриваемом случае материалом основания является скальный грунт. Его базовые физико-механические свойства: р = 2500 (плотность), О = 87,7 GPa (модуль сдвига), К = 78,4 GPa (коэффициент объемного сжатия), К1 = 0,004 (коэффициент угла внутреннего трения). Материал сваи — сталь, ее свойства: р = 7800,
Рис. 1. Схема ударного нагружения сваи, заглубленной в основание
Математическая задача сводится к решению системы из девяти уравнений относительно девяти неизвестных функций:
О = 81 GPa, К = 175 GPa.
1
диг дSr др дSrz _ 2Sr + Sz _
д дг дг дг г
диг дS„ дSz др S,
г гг г г _ /
дt дг дг дг г
^ + 2AG^ + G(2F -1)^ + G(2F -1)^ + 25G^ = 2G(A + 5);
dt dr ' dr v ' dz dz v 'r
d-P - 3K ^ - 3K ^ = 3K ^ ; dt dr dr r
V - 2 D Ъ - a du z - A du r - M du z M + 2 D) ^ ;
dt dr dr dz dz r
dep du du du du , ч u
- M—- - B-i- - B-*- - 2E—- = -( M + 2D ; dt dr dr dz dz r
depz du du du du , ,ur —- - A—r- - F—- - F—r- - B—- = -(A + B)—; dt dr dr dz dz r
A = 2GHSrSr: ; B = 2GHSzSrz ; D = GH (Sr )\
HeC2 ' HeC2 ' HeC2 '
E = GHjSt. F = 2GH(Sz)2. M = 2GHSrSz.
Н С2 НС2 НС2
8 8 8
, ч П, у = 0; . . П, у > 0;
Н = Н1Н2; Н1 = Н1 (у) = ^ ' Т Н2 = Н2 (уМ
1 2 1 и ' [0, у < 0; 2 2У ' [0, у <0,
где и и^ — компоненты скорости; S S Srz — компоненты девиатора тензора напряжений; р — давление; ер, ер, ер2 — компоненты тензора пластических деформаций.
В начальный момент времени все искомые функции в области свая — основание равны нулю.
иг (г, z) = и (г, г) = Sr (г, г) = Sz (г, г) = Srz (г, г) = р(г, г) = еР (г, г) =
= ер (г, г) = ер(г, г) = ер (г, г) = 0.
На общей поверхности основания и сваи [1П ] = [С/т ] = 0. Знак п внизу означает проекцию на нормаль; т — проекцию на направление касательной к границе, на которой ставятся граничные условия. Квадратные скобки означают скачок заключенной в них величины. На торце сваи ударная нагрузка задается в виде
u,z (r, z) = «
■ 2%t T
UmaxS™ —, 0 < t <-;
T
0, — < t < T. 2
где итах — максимальная величина и^ Т — период.
Отметим, что граничные условия в системе свая — основание в программе могут задаваться различными способами как в перемещениях, так и в напряжениях.
Функция у задает условия пластичности у = 0 в пространстве деформаций е... Рассмотрена обобщенная модель Мизеса. Функция деформирования имеет вид
ВЕСТНИК
МГСУ-
8/2015
у(Е., е) = 2Ч(е* № -еР'У)-С(ер),
р р 0Р я
где е■■ = е.. —о..; е. = е.--о.. — компоненты девиаторов тензоров полных
е.. и пластических деформаций е0 = е.О' — полная объемная деформация; 0р = ер 5' — пластическая объемная деформация; 5.. — символ Кронекера;
G — модуль сдвига; функция С имеет вид С = С0 - а^Г^, где С0 — начальный предел текучести; а — коэффициент, определяющий интенсивность упрочнения — разупрочнения; /2Р = 1 е Р ер.
Для приведенной выше системы разрешающих уравнений создана и реализована программа для различных вариантов динамического взаимодействия упругопластических сред с усложненными свойствами. Решение задач проводилось с помощью модифицированного метода конечных элементов. Были проведены многочисленные разнообразные расчеты различных вариантов ударного нагружения, исследовано поведение всех динамических и кинематических величин с течением времени, изучена динамика развития зон пластического деформирования и разрушения.
На рис. 2 в качестве примера приведены зоны разрушения — красный цвет (С = С Сг — остаточная прочность) и зоны пластического деформирования — желтый цвет (С < С < С0), как в основании, так и в свае для момента времени 3 мс, и = 50 м/с.
' 5 ГЛШ 155 Ш&ШГА
¡ЛШЖЛ'А'Ш'М'Ш и^А МП«М 'М'Л'Л'.'М иШ № 'ЛШ'Л 'АШ'Л'М , 115И5 ЮИ«« 5М«»ММ
домин гм с» ьп 'лт'Я тнгмгмглу.'глъу.'л
гмгтаисл'мул-м ¡^¡ситтгл'Л'лУЛ'Л'л
,".1111111111 í «'0 ¿Л 5И51МП
гршгшгоишшн
гм г« г; е м г гл 'м » ч'М', К ???VI1,1111111111'
г гш ш ш:■
мхсгссуу.'Л'.'Л'.'/м: ¡ън'шннгкнгг'гнг
Р ?3 РЙ Р» Р Р'Р Р!РР 3 РРЗ РРЗ Р? 31
«15Шю т нтгитмодшЮю 1 УмШютт ггг ггаш ггг г?з г?р гг г?
» «1 тшш» «115«5шишш »тики а гаи дог« гл тт гI го
' гг НИН« №4«ПЪ5 НШ «5М5М5М5МКШ «15 И гтвПИЛ СИ IIШДО! ДО»1 К«IДО!ДО! МИМ111 "5 ШШУйтШШл 7лШ111111515
яттннш......шя
шт
^;;■• г, -и: г ^г ; ^ ^г ^ \ г. Т-^ гл ■,^;г, ^г, г. 5 г, - й ^:г, г - •:• - с: г ^: ■ .VI? ^ г ^. • ^ /^ с г ^ ?>%»: ^ с ? ^ ^ г / 1 ■.' ::
Рис. 2. Примеры зон разрушения и пластического деформирования
Таким образом, базируясь на определяющих соотношениях [21] и модификации метода конечных элементов, созданы и реализованы прикладные программные системы, позволяющие рассматривать разнообразные варианты
динамического нагружения упругогопластических материалов и конструкций с усложненными свойствами, в частности, базовую задачу строительной механики о взаимодействии сваи и основания.
Библиографический список
1. Тер-Мартиросян А.З. Остаточные деформации и напряжения в грунтовой среде при действии циклической нагрузки // Строительство — формирование среды жизнедеятельности : сб. науч. тр. XXIII Междунар. межвуз. науч.-практ. конф. молодых ученых, докторантов и аспирантов, 14—21.04.2010. М. : МГСУ 2010. C. 815—819.
2. Бурлаков В.Н., Тер-Мартиросян А.З. Дилатансия, влияние на деформируемость // Сб. тр. юб. конф., посв. 80-летию каф. мех. грунт., 110-летию Н.А. Цытовича, 100-летию С.С. Вялова, Москва, 2010. М. : МГСУ, 2010. C. 105—112.
3. Тер-Мартиросян З.Г., Ала Саид Мухаммед Абдул Малек, Тер-Мартиросян А.З., Аинбетов И.К. Напряженно-деформированное состояние двухслойного основания с преобразованным верхним слоем // Вестник МГСУ 2008. № 2. C. 81—95.
4. Зуев В.В., Шмелева А.Г. Осесимметричное ударное нагружение упругопла-стической среды с разупрочнением и переменными упругими свойствами // Вестник Самарского государственного университета : Естественнонаучная серия. 2007. № 2 (52). C. 100—106.
5. Зуев В.В., Шмелева А.Г. Моделирование поведения слоистых защитных преград при динамических нагрузках // Промышленные АСУ и контроллеры. 2009. № 12. C. 28—30.
6. Зуев В.В., Шмелева А.Г. Некоторые актуальные задачи динамического нагруже-ния упругопластических сред с усложненными свойствами // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4 (5). C. 2189—2191.
7. Шмелева А.Г. Ударное нагружение пластических сред. LAP Lambert Academic Publishing, 2012. 128 с.
8. Mata M., Casals O., Alcal J. The plastic zone size in indentation experiments: the analogy with the expansion of a spherical cavity // Int. J. of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. No. 20. Pp. 5994—6013.
9. Khodakov S. Physicochemical mechanics of grinding of solids // Shuili Xuebao/ Journal of Hydraulic Engineering. 1998. No. 9. Pp. 631—643.
10. Dememes D., Dechesne C.J., Venteo S., Gaven F., Raymond J. Development of the rat efferent vestibular system on the ground and in microgravity // Developmental Brain Research. 2001. Vol. 128. No. 1. Pp. 35—44.
11. Feldgun V.R., Karinski Y.S., YankelevskyD.Z., KochetkovA.V. Internal blast loading in a buried lined tunnel // Int. J. of Impact Engineering. 2008. Vol. 35. No. 3. Pp. 172—183.
12. Feldgun V.R., Karinski Y.S., Yankelevsky D.Z., Kochetkov A.V. Blast response of a lined cavity in a porous saturated soil // Int. J. of Impact Engineering. 2008. Vol. 35. No. 9. Pp. 953—966.
13. Aptukov V.N. Expansion of a spherical cavity in a compressible elastoplastic medium. Report 1. Effect on mechanical characteristics, free surface, and lamination // Strength of Materials. 1991. Vol. 23. No. 12. Pp. 1262—1268.
14. AnandL., Gu C. Granular materials: constitutive equations and strain localization // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2000. Vol. 48. No. 8. Pp. 1701—1733.
15. Zou J.-F., Li L., Zhang J.-H., Peng J.-G., Wu Y.-Z. Unified elastic plastic solution for cylindrical cavity expansion cosidering ladge strain and drainage condition // Gong Cheng Li Xue/Engineering Mechanics. 2010. Vol. 27. No. 6. Pp. 1—7.
16. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования напряженно-деформируемого состояния составных конструкций в зонах концентрации напряжений // Строительная механика инженерных конструкций сооружений. 2008. № 2. С. 20—27.
17. Фриштер Л.Ю., Мозгалева М.Л. Сопоставление возможностей численного и экспериментального моделирования напряженно-деформируемого состояния конструкций с учетом их геометрической нелинейности // International Jornal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010. Vol. 6. No. 1—2. Pp. 221—222.
18. Антонов В.И. Начальные напряжения в анизотропном неоднородном цилиндре, образованном намоткой // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 1. С. 29—33.
19. Антонов В.И. Метод определения начальных напряжений в рулоне при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями // Вестник МГСУ 2010. № 4. Т. 3. С. 177—180.
20. Антонов В.И. Напряжение в рулоне при дополнительном натяжении ленты // Вестник МГСУ 2013. № 10. С. 24—29.
21. Зуев В.В. Определяющие соотношения и динамические задачи для упругопла-стических сред с усложненными свойствами. М. : Физматлит, 2006. 176 с.
Поступила в редакцию в июле 2015 г.
Об авторах: Васенкова Екатерина Викторовна — старший преподаватель кафедры высшей математики, ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-28-74, ekvantmail@mail.ru;
Зуев Владимир Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники и электроники (ФГБОУ ВПО «МГУИТРЭ»), 107996, г. Москва, ул. Стромынка, д. 20, 8 (499) 269-55-87, kafedra_it-2@mail.ru.
Для цитирования: Васенкова Е.В., Зуев В.В. Ударное нагружение системы свая — основание в осесимметричной постановке // Вестник МГСУ 2015. № 8. С. 101—108.
E.V. Vasenkova, V.V. Zuev
PILE-FOUNDATION SYSTEM SHOCK LOADING IN AN AXISYMMETRIC APPROACH
The basic problem of structural mechanics, namely the problem of pile shock loading sunk in a foundation, has been examined in an axisymmetric approach within defining relations for irreversible deformations offered earlier in the space of deformations. As a model of the theory of plasticity, the Mises model generalized by the authors has been accepted, the use of which solves a nonstationary system of nine two-dimensional equations with various entry and boundary conditions. Enlightened attitudes use approximate engineering approaches which allow estimating the behavior of a pile-foundation system. A solution is constructed mainly with the use of the theory of linear-elastic continuum. However they do not enable to consider various peculiarities of deformation behavior of soils and pile materials and to give an appropriate detailed picture of a system mode of deformation. Mechanical peculiarities of the behavior of foundation and pile materials discovered recently demand more enlightened attitudes to analyze a mode of deformation in a pile-foundation system considering both plasticity and fracture. The offered approach enables to give a complete picture of a mode of deformation in a pile-foundation system at any time and a picture of occurrence and development of plasticity and fracture zones.
Key words: stress, deformation, fracture, softening, structural mechanics, dynamic loading, pile, foundation.
References
1. Ter-Martirosyan A.Z. Ostatochnye deformatsii i napryazheniya v gruntovoy srede pri deystvii tsiklicheskoy nagruzki [Residual Deformations and Stresses in Soil Medium under Cyclic Load]. Stroitel'stvo — formirovanie sredy zhiznedeyatel'nosti: sbornik nauchnykh tru-dov XXIII Mezhdunarodnoy mezhvuzovskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii molodykh uchenykh, doktorantov i aspirantov, 14—21.04.2010 [Collection of Scientific Papers of the 23rd International Interuniversity Scientific-Practical Conference of Young Scientists, Doctoral and Post-Graduate Students "Construction — Formation of Living Environment", 14— 21.04.2010]. Moscow, MGSU Publ., 2010, pp. 815—819. (In Russian)
2. Burlakov V.N., Ter-Martirosyan A.Z. Dilatansiya, vliyanie na deformiruemost' [Dilat-ancy, ilnfluence on Deformability]. Sbornik trudov yubileynoy konferentsii, posvyashchen-noy. 80-letiyu kafedry mekhaniki gruntov, 110-letiyu N.A. Tsytovicha, 100-letiyu S.S. Vyalova, Moskva [Proceedings of the Jubilee Conference Dedicated to the 80th Anniversary of the Department of Soil Mechanics, the 110-year Anniversary of N.A. Tsytovich, the 100th Anniversary of S.S. Vyalov, Moscow]. Moscow, MGSU Publ., 2010, pp. 105—112. (In Russian)
3. Ter-Martirosyan Z.G., Ala Said Mukhammed Abdul Malek, Ter-Martirosyan A.Z., Ai-nbetov I.K. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie dvukhsloynogo osnovaniya s preo-brazovannym verkhnim sloem [Stress-Strain State of a Double-Layer Foundation with a Transformed Upper Layer]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2008, no. 2, pp. 81—95. (In Russian)
4. Zuev V.V., Shmeleva A.G. Osesimmetrichnoe udarnoe nagruzhenie uprugoplas-ticheskoy sredy s razuprochneniem i peremennymi uprugimi svoystvami [Axisymmetric Shock Loading of an Elasto-Plastic Medium with Softening and Variable Elastic Properties]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta : Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara State University : Natural Sciences]. 2007, no. 2 (52), pp. 100—106. (In Russian)
5. Zuev V.V., Shmeleva A.G. Modelirovanie povedeniya sloistykh zashchitnykh pregrad pri dinamicheskikh nagruzkakh [Modeling of the Behavior for Stratified Protective Barriers at Dynamic Loads]. Promyshlennye ASU i kontrollery [Industrial Automatic Control Systems and Controllers]. 2009, no. 12, pp. 28—30. (In Russian)
6. Zuev V.V., Shmeleva A.G. Nekotorye aktual'nye zadachi dinamicheskogo nagru-zheniya uprugoplasticheskikh sred s uslozhnennymi svoystvami [Some Current Problems of Dynamic Loading for Elasto-Plastic Media with Complicated Properties]. Vestnik Nizhegoro-dskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod]. 2011, no. 4 (5), pp. 2189—2191. (In Russian)
7. Shmeleva A.G. Udarnoe nagruzhenie plasticheskikh sred [Shock Loading of Plastic Media]. LAP Lambert Academic Publishing, 2012, 128 p. (In Russian)
8. Mata M., Casals O., Alcal J. The Plastic Zone Size in Indentation Experiments: The Analogy with the Expansion of a Spherical Cavity. Int. J. of Solids and Structures. 2006, vol. 43, no. 20, pp. 5994—6013. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.07.002.
9. Khodakov S. Physicochemical Mechanics of Grinding of Solids. Shuili Xuebao/Journal of Hydraulic Engineering. 1998, no. 9, pp. 631—643.
10. Demémes D., Dechesne C.J., Venteo S., Gaven F., Raymond J. Development of the Rat Efferent Vestibular System on the Ground and in Microgravity. Developmental Brain Research. 2001, vol. 128, no. 1, pp. 35—44. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0165-3806(01)00146-8.
11. Feldgun V.R., Karinski Y.S., Yankelevsky D.Z., Kochetkov A.V. Internal Blast Loading in a Buried Lined Tunnel. Int. J. of Impact Engineering. 2008, vol. 35, no. 3, pp. 172—183. DOI: http://dx.doi.org/10.1016Zj.ijimpeng.2007.01.001.
12. Feldgun V.R., Karinski Y.S., Yankelevsky D.Z., Kochetkov A.V. Blast Response of a Lined Cavity in a Porous Saturated Soil. Int. J. of Impact Engineering. 2008, vol. 35, no. 9, pp. 953—966. DOI: http://dx.doi.org/10.10167j.ijimpeng.2007.06.010.
13. Aptukov V.N. Expansion of a Spherical Cavity in a Compressible Elastoplastic Medium. Report 1. Effect on Mechanical Characteristics, Free Surface, and Lamination. Strength of Materials. 1991, vol. 23, no. 12, pp. 1262—1268. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF00779445.
14. Anand L., Gu C. Granular Materials: Constitutive Equations and Strain Localization. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2000, vol. 48, no. 8, pp. 1701—1733. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-5096(99)00066-6.
15. Zou J.-F., Li L., Zhang J.-H., Peng J.-G., Wu Y.-Z. Unified Elastic Plastic Solution for Cylindrical Cavity Expansion Considering Large Strain and Drainage Condition. Gong Cheng Li Xue/Engineering Mechanics. 2010, vol. 27, no. 6, pp. 1—7.
16. Frishter L.Yu. Raschetno-eksperimental'nyy metod issledovaniya napryazhenno-deformiruemogo sostoyaniya sostavnykh konstruktsiy v zonakh kontsentratsii napryazheniy [Computational and Experimental Method of Stress-Strain State Investigation of Composite Structures in the Areas of Stress Concentration]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings]. 2008, no. 2, pp. 20—27. (In Russian)
17. Frishter L.Yu., Mozgaleva M.L. Sopostavlenie vozmozhnostey chislennogo i eksperimental'nogo modelirovaniya napryazhenno-deformiruemogo sostoyaniya konstruktsiy s uchetom ikh geometricheskoy nelineynosti [Comparison of Capabilities of Numerical and Experimental Simulation for Stress-Strain State of Structures Subject to their Geometric Nonlinearity]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010, vol. 6, no. 1—2, pp. 221—222. (In Russian)
18. Antonov V.I. Nachal'nye napryazheniya v anizotropnom neodnorodnom tsilindre, obrazovannom namotkoy [Initial Stresses in an Anisotropic Nonuniform Cylinder Created by Winding]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 1, pp. 29—33. (In Russian)
19. Antonov V.I. Metod opredeleniya nachal'nykh napryazheniy v rulone pri nelineynoy zavisimosti mezhdu napryazheniyami i deformatsiyami [Method of Initial Stress Determination in a Roll with Nonlinear Dependence of Stresses and Deformations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 177—180. (In Russian)
20. Antonov V.I. Napryazheniya v rulone pri dopolnitel'nom natyazhenii lenty [Stresses inside a Roll in Case of Higher Belt Tension]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 24—29. (In Russian)
21. Zuev V.V. Opredelyayushchie sootnosheniya i dinamicheskie zadachi dlya uprugo-plasticheskikh sred s uslozhnennymi svoystvami [Defining Relations and Dynamic Problems for Elasto-Plastic Media with Complicated Properties]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 176 p. (In Russian)
About the authors: Vasenkova Ekaterina Viktorovna — Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-28-74; ekvantmail@mail.ru;
Zuev Vladimir Vasil'evich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, chair, Department of Applied Mathematics and Informatics, Moscow State Institute of Radio Engineering, Electronics and Automation (MIREA), 20 Stromynka str., Moscow, 107996, Russian Federation; +7 (499) 269-55-87; kafedra_it-2@mail.ru.
For citation: Vasenkova E.V., Zuev V.V. Udarnoe nagruzhenie sistemy svaya — os-novanie v osesimmetrichnoy postanovke [Pile-Foundation System Shock Loading in an Axi-symmetric Approach]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 8, pp. 101—108. (In Russian)
