CC BY
40
УЕБТЫНС
мвви
ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ.
МЕХАНИКА ГРУНТОВ
УДК 624.131
Е.В. Васенкова, В.В. Зуев*
ФГБОУВПО «МГСУ», *ФГБОУВПО «МГУПИ»
РАСШИРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ ГРУНТОВОЙ СРЕДЕ
В рамках моделей теории пластичности, предложенной С.С. Григоряном, В.В. Зуевым, В.А. Иоселевичем, позволяющей учитывать целый ряд существенных особенностей деформационного поведения нескальных грунтов, решена задача о расширении сферической полости. Показано, что решение может быть сведено к решению задачи Коши для системы трех дифференциальных уравнений. Проведены конкретные расчеты для суглинистого грунта при различных глубинах залегания сферической полости. Получено распределение перемещений и напряжений в грунтовом массиве, а также реализуемые траектории нагружения.
Ключевые слова: модель пластической грунтовой среды, поверхность нагружения, относительное радиальное смещение, ассоциированный закон пластичности.
В [1] предложена модель пластической грунтовой среды, которая, как было показано, позволяет учесть ряд существенных особенностей поведения нескальных грунтов: нелинейность и необратимость деформаций [2], влияние траектории нагружения на величины достигнутых деформаций [3], перекрестное влияние первого и второго инвариантов тензоров напряжения и деформации, дилатансию [4]. Использовались обычные в теории течения понятия функции и поверхности нагружения, ассоциированный закон пластичности, принцип градиентальности [2]. Функция нагружения / задавалась в виде
/ = у + а
( * - *)-(< - хт )7
(1)
Здесь в качестве аргументов функции нагружения используются следующие переменные, связанные с влиянием инвариантов тензора напряжений а
и тензора пластических деформаций гры :
_
Т
-л/3
Ъ 1 = *
°и 5 и
у = ^Т2 =^3°' = л/(°« - Р5а )(°и - Р5ы ); и0 р8р5й; у=^^2=^2
(2)
где — интенсивность касательных напряжений; е. — интенсивность пластических деформаций сдвига.
Постоянные Ь и к характеризуют сопротивление грунта сдвигу (они могут быть связаны с параметрами, характеризующими состав грунта, его влажность, особенности структуры и т.п.) [5].
Соотношения ассоциированного закона в переменных (2) для изменения необратимых деформаций дают
сСи = к ; Су = кпри — = 0; С/ > 0;
дх ду
— — + — —л
У дх ди ду ду у
' = —йх + —с
(3)
дх ду
Из (3) очевидна нормальность вектора (ёы; ), образованного из приращений инвариантов пластических деформаций, следу поверхности нагружения на плоскости ху.
Однако выяснить, насколько полно отражает предложенная модель реальную работу грунта в массиве, можно лишь путем сопоставления полученных на ее основе решений конкретных инженерных задач с соответствующими этим задачам данными специально организованных экспериментов или натурных наблюдений за напряженным состоянием и деформациями грунтовых оснований [6], а также сравнением с решениями аналогичных задач для уже хорошо апробированных и широко применяемых моделей. При этом представляется целесообразным, по крайней мере на первом этапе, рассмотреть более простые задачи, допускающие решения при различных предположениях о связи между напряжениями и деформациями [7]. Анализ решения таких задач позволяет выявить различия между обычно используемыми схематизациями и предложенной в [1] схемой описания необратимой деформации грунтовой среды. При выборе задач естественно потребовать, чтобы они имели и определенный практический смысл, т.е. относились к ситуациям, реализуемым в строительной практике [8, 9].
В этой связи рассмотрим задачу о расширении сферической полости в бесконечной среде под действием меняющегося внутреннего давления аг (г1), где г1 — радиус полости. Эта задача представляет как теоретический, так и вполне определенный практический интерес в связи с проектированием и строительством подземных газо- и нефтехранилищ, транспортных и коммуникационных тоннелей, гидротехнических и специальных сооружений.
Будем считать среду невесомой, а давление на бесконечности равным рт. Это давление может имитировать действие собственного веса среды (природное, «бытовое» давление). Подобная идеализация характерна для случая, когда полость располагается на глубине к, значительно превышающей диаметр полости при сравнительной малости последнего. При выполнении этих условий задачу о расширении полости можно считать одномерной [10]; рт = уН, у — объемный вес среды.
Выпишем систему определяющих уравнений, в которой фигурируют функции лишь одной радиальной координаты г . Уравнение равновесия и совместности деформации в используемых переменных (2) можно записать в виде ёх г-ёу 6 у Л ёы 1 ёг 3 V Л
— + Ы 2 — + = 0;---=---=- = 0, (4)
ёг ёг V2 г ёг у/2 ёг у/2 г
допускающем исключение координаты г . Здесь учтено, что в рассматриваемой задаче
s =
u
S, = — + J-v = -
2 b = _x___y_
3y - k; a0 = V3
b_ k
dw dr
u
se =
л/3 V6
w r
(5)
где ^ — радиальное смещение частицы грунта, расположенной на расстоянии г от центра полости. Из (4) следует
, ( л,, 1 ^аЛ
(6)
dx dy
42+—
v
2 y du 1 dv dy 42 dy
Роль независимой переменной играет инвариант у. С учетом (3) имеем
- = F (х, у, ы, V), (7)
dx 4lv + 2yh 'f _ dx 1 '
dy 1 ißf v + 2 yh — dx 'f. dx i ' _
1
(8)
где F — функция аргументов x, y, u, v, полностью определяемая заданием функции нагружения f.
Соотношение (7) и следующие из ассоциированного закона (3) уравнения
"U = h f i F f + 0 и dt = h f f f
dy dx у dx J dy у dx
образуют замкнутую систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций x (y), u (y), v (y). В рассматриваемой задаче граничными условиями являются условия на контуре полости
=, = S () (9)
и условие на бесконечности, где невозмущенному состоянию массива отвечает гидростатическое распределение напряжений и соответствующее значение объемной деформации Q = QX (касательные напряжения и деформации сдвига на бесконечном удалении от полости отсутствуют), т.е.
ю Р" ; I = e„, eJ
= 0;
А = 0. (10)
1 | г->00
Из (10) следует, что для системы уравнений (7), (8) граничные условия имеют вид
x 0 = x = V31 p
y= 0 да * I хда
u
y=0
= u„ =
e„
V3'
v
y=0
= 0.
(11)
Интегрирование системы уравнений (7), (8) с учетом (11) позволяет получить интегральные кривые
X = х(у, хш, уш); ы = ы (у, хш ,уш); V = v(y, хш ,уш). (12)
Для определения распределения напряжений, деформаций и перемещений частиц грунта по координате г подставим (12) в уравнение равновесия. Полученное уравнение для функции у (г) с учетом условия на контуре полости (9) допускает квадратуру
г у ^+72 , , л
п = - = ехр I ■- йу; у = у(г1). (13)
г1 у Ы2у
Величина у1 находится из (5), где следует положить сг =сг (г1), т.е. из соотношения
/ ч Ь 1 , .12
°г(г1)+к=7зх(У1; Хм; ) У3У1. (14)
Выражение (13) дает распределение инварианта у по безразмерной координате п = г/г. Соответствующие распределения инвариантов х (п), и (п), V (п) находятся затем из (12).
По формулам (5) определяется распределение напряжений сг (п); оо (п) и деформаций вг (п); во (п) в массиве грунта. Смещения частиц грунта ^ = w (г) находятся из соотношения w = -£ег . Реализацию приведенной здесь общей схемы решения задачи о напряженно-деформированном состоянии грунта при медленном расширении сферической полости [11] в безграничном массиве будем производить, пользуясь конкретными сведениями о механических свойствах суглинистого грунта [1], для которого имеем
7 164,32у2 +11, 62у + 0,12 . , „ 1 + 17,16У 1
а = ,---^---г-м = 0,7 • =
3 166,15у +19, 44у + 0,40 1 + 9,01У ф.
Хо = х„1У; х01 = 0,28ехр |——т 1 + 0,06; у = 1 — 8,15У
1,85 •Ю-2) 1 + 17,16у
Интегрирование системы уравнения с граничными условиями выполнено для ряда значений рш = 10,2; 20,4; 30,6 и 40,8 кг/см2, соответствующих различным глубинам заложения полости Н = рю/у (Н = 50, 100, 150 и 200 м; значение объемного веса исследованного суглинка у = 2,04 г/см3). Отвечающие указанным значениям рт величины ем вычислялись по формуле, описывающей объемную деформируемость при гидростатическом сжатии.
Для сравнения параллельно получены решения задачи о статическом расширении полости [12, 13] в рамках теории линейно-деформируемой среды и статического варианта «динамики грунтов» С.С. Григоряна. При конкретизации этих схем использовались результаты обычных трехосных испытаний образцов суглинка [14—16].
В соответствии с этими результатами и рекомендациями СНиП для линейно-деформируемой модели суглинистого грунта были приняты следующие значения параметров: модуль деформации грунта Е = 250 кг/см2; коэффициент бокового расширения ц = 0,35.
В статическом варианте «динамики грунтов» С.С. Григоряна зависимость объемной деформации от первого инварианта тензора напряжений строилась на основании опытов на всестороннее сжатие и поэтому, естественно, совпадала с диаграммой гидростатического нагружения модели [1]. Величина модуля сдвиговых деформаций грунта в модели С.С. Григоряна назначена из условий согласования сдвигового поведения с опытом и линейно-деформируемой схематизации, так что О = 92,6 кг/см2.
Во всех указанных схематизациях в соответствии с данными опытов приняты одни и те же значения параметров к и Ь, а именно к = 0,73 и Ь = 1,2 кг/см2.
Из уравнения равновесия следует, что распределения напряжений для линейно-деформируемой схемы и модели С.С. Григоряна совпадают. Эти распределения (с учетом граничного условия на контуре полости) имеют вид
S = Рос
(ri ) - Ро .
se = Ро
S (ri) - Ро
ц 2ц
Различия в деформациях грунта, вычисленных по этим схемам, связаны только с различными законами сжимаемости при всестороннем давлении. Поэтому в формулах
S" = 3 + 20ц3 '
se =— e 3
e s (ri ) - Ро.
4Gn3
для модели С.С. Григоряна следует полагать 9 = 9( рт), а для модели линейно-деформируемой грунтовой среды соответственно 9 = 3(1 -2ц) рм/Е. В обоих случаях распределения величин ег - 9/3 и в9-9/3 при указанном выше выборе О совпадают, а значит, совпадают и распределения радиальных смещений частиц грунта
^ = стг (Г) - рт г1 4Оц2 '
На рис. 1 показаны траектории нагружения, полученные в результате численного интегрирования системы (7)—(8) для различных значений рт, т.е. для различных глубин заложения полости. Траектория нагружения для Н = 100 м отмечена цифрой 1; траектория нагружения, соответствующая модели линейно-деформируемой среды и модели С.С. Григоряна, отмечена цифрой 2.
Рис. 1
Точки траекторий, в которых у = 0, отвечают невозмущенному состоянию массива (его состоянию на достаточно большом удаление от полости).
Как видно из приведенных графиков, для модели [1] всестороннее давление при расширении полости, сопровождающееся ростом величины у от нуля
до своего предельного значения (след конуса Мизеса — Шлейхера — Боткина у = кх на плоскости х, у, помечен буквой а), сначала убывает, а затем, по мере приближения к предельному состоянию, возрастает.
На рис. 2 показана зависимость напряжений аг - рт и се - рт от безразмерной координаты п, построенные для всех сравниваемых схематизаций при различных значениях аг (г1). Результаты расчетов по теории пластического упрочнения отмечены цифрой 1; распределения, полученные по модели линейно-деформируемой среды и модели С.С. Григоряна, отмечены цифрой 2. Нижние индексы характеризуют выбранные значения в порядке их нарастания.
Распределения относительных радиальных смещений частиц грунта показаны на рис. 3. Как видно из приведенных на этом рисунке кривых, предлагаемая в [1] модель грунтовой среды, позволяет описать отмечаемую в подавляющем большинстве натурных экспериментальных исследований и наблюдений за возведенными сооружениями резкую локализацию возмущений, обусловленных местной нагрузкой в малой окрестности нагруженной области. Идентификация кривых такая же, как на рис. 2.
Рис. 2 Рис. 3
Полученные здесь результаты можно использовать для рациональных оценок допредельных деформаций грунта в окрестности полости, а развитая выше схема расчета может быть применена при проектировании подземных нефте- и газохранилищ и других выработок.
Библиографический список
1. Григорян С.С., Зуев В.В., Иоселевич В.А. О закономерностях пластического упрочнения грунтов // Труды IV Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Киев, 1976. С. 89—90.
2. Зуев В.В., Шмелёва А.Г. Осесимметричное ударное нагружение упруго-пластической среды с разупрочнением и переменными упругими свойствами // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. № 2 (52). С. 100—106.
3. Зуев В.В., Шмелёва А.Г. Моделирование поведения слоистых защитных преград // Промышленные АСУ и контроллеры. Математическое обеспечение АСУ. 2009. № 12.
C. 28—30.
4. Зуев В.В., Шмелёва А.Г. Некоторые актуальные задачи динамического нагружения упруго-пластических сред с усложненными свойствами // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 4. C. 2189—2191.
5. Шмелёва А.Г. Ударное нагружение пластических сред // LAP Lambert Academic Publishing. 2012. 128 p.
6. Тер-Мартиросян А.З. Остаточные деформации и напряжения в грунтовой среде при действии циклической нагрузки // Строительство — формирование среды жизнедеятельности : Сб. науч. тр. XXIII Междунар. межвуз. науч.-практич. конф. молодых ученых, докторантов и аспирантов, 14—21.04.2010. М. : МГСУ 2010. C. 815—819.
7. Бурлаков В.Н., Тер-Мартиросян А.З. Дилатансия, влияние на деформируемость // Сб. тр. юбилейной конф., посвященной 80-летию кафедры механики грунтов, 110-летию со дня рождения Н.А. Цытовича, 100-летию со дня рождения С.С. Вялова, Москва, Россия. М., 2010. С. 105—112.
8. Напряженно-деформированное состояние двухслойного основания с преобразованным верхним слоем / З.Г. Тер-Мартиросян, Саид Ала Мухаммед Абдул Малек, И.К. Аинбетов, А.З. Тер-Мартиросян // Вестник МГСУ. 2008. № 2. C. 81—95.
9. Mata M., Casals O., Alcal J. The plastic zone size in indentation experiments: the analogy with the expansion of a spherical cavity. International Journal of Solids and Structures. 2006, vol. 43, no. 20, pp. 5994—6013.
10. Khodakov S. Physicochemical mechanics of grinding of solids. Shuili Xuebao / Journal of Hydraulic Engineering. 1998, no. 9, pp. 631—643.
11. Development of the rat efferent vestibular system on the ground and in microgravity / D. Dememes, C.J. Dechesne, S. Venteo, F. Gaven, J. Raymond // Developmental Brain Research. 2001, vol. 128, no. 1, pp. 35—44.
12. Internal blast loading in a buried lined tunnel / VR. Feldgun, Y.S. Karinski,
D.Z. Yankelevsky, A.V. Kochetkov // International Journal of Impact Engineering. 2008, vol. 35, no. 3, pp. 172—183.
13. Blast response of a lined cavity in a porous saturated soil / V.R. Feldgun, Y.S. Karinski, D.Z. Yankelevsky, A.V. Kochetkov // International Journal of Impact Engineering. 2008, vol. 35, no. 9, pp. 953—966.
14. Aptukov V.N. Expansion of a spherical cavity in a compressible elastoplastic medium. Report 1. Effect on mechanical characteristics, free surface, and lamination. Strength of Materials. 1992, vol. 23, no. 12, pp. 1262—1268.
15. AnandL., Gu C. Granular materials: Constitutive Equations and Strain Localization. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2000, vol. 48, no. 8, pp. 1701—1733.
16. Zou J.-F., Li L., Zhang J.-H., Peng J.-G., Wu Y.-Z. Unified elastic plastic solution for cylindrical cavity expansion cosidering ladge strain and drainage condition. Gong Cheng Li Xue/Engineering Mechanics. 2010, vol. 27, no. 6, pp. 1—7.
Поступила в редакцию в апреле 2013 г.
Об авторах: Васенкова Екатерина Викторовна — ассистент кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, +7(499)183-28-74, [email protected];
Зуев Владимир Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики»
(ФГБОУ ВПО «МГУПИ»), 107996, г. Москва, ул. Стромынка, д. 20, +7(499)269-55-87, [email protected].
Для цитирования: ВасенковаЕ.В., ЗуевВ.В. Расширение сферической полости в пластической грунтовой среде // Вестник МГСУ 2013. № 10. С. 85—93.
E.V. Vasenkova, V.V. Zuev
EXPANTION OF A SPHERICAL CAVITY IN THE PLASTIC SOIL GROUND
The problem of expansion of a spherical cavity is solved using models of the plasticity theory, proposed by Grigoryan S.S., Zuev V.V. and Ioselevich V.A. The theory allows us to take account of a number of significant features of the soil deformation behavior. It is shown that the solution can be reduced to the solution of the Cauchy problem for the system of three differential equations. Specific calculations were made for the loamy ground at different depths of the spherical cavity. Distribution of displacements and stresses in the soil mass as well as loading trajectories were obtained. It was found out how fully the suggested model reflects the real work of the soil in mass by comparing specific engineering solutions based on the theory, experimental and observation findings. For the same purpose, simpler problems are solved, those that axxept a solution in the presence of different hypotheses about the relation between stresses and deformations. The analysis of these solutions allow us to detect differences between commonly used schematizations and the pattern proposed by the current model.
The tasks under concern are of practical use in the construction industry.
Key words: plastic soil ground model, area of stress, relative radial displacement, associated plasticity law.
References
1. Grigoryan S.S., Zuev V.V., Ioselevich V.A. O zakonomernostyakh plasticheskogo uprochneniya gruntov [On the Issue of Regularities of Plastic Hardening of Soils]Trudy IV Vsesoyuz. s"ezda po teoreticheskoy i prikladnoy mekhanike [Works of the 4th All-union Congress on theoretical and applied mechanics]. Kiev, 1976, pp. 89—90.
2. Zuev V.V., Shmeleva A.G., Osesimmetrichnoe udarnoe nagruzhenie uprugo-plas-ticheskoy sredy s razuprochneniem i peremennymi uprugimi svoystvami [Axisymmetric impact Loading of the elastoplastic medium having softening and variable elastic properties]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaya seriya [Proceedings of Samara State University. Natural Science Series]. 2007, no. 2 (52), pp. 100—106.
3. Zuev V.V., Shmeleva A.G. Modelirovanie povedeniya sloistykh zashchitnykh pre-grad [Simulation of Behaviour of Laminar Proteective Barriers] Promyshlennye ASU i kontrollery. Matematicheskoe obespechenie ASU [Industrial Automated Control Systems and Controllers. Mathematical Support of Automated Control Systems]. 2009,. no. 12, pp. 28—30.
4. Zuev V.V., Shmeleva A.G. Nekotorye aktual'nye zadachi dinamicheskogo nagruzheni-ya uprugo-plasticheskikh sred s uslozhnennymi svoystvami [Some Relevant Objectives of Dynamic Loading of Elastoplastic Media Having Complicated Properties]. Vestnik Nizhegoro-dskogo universiteta imeni N.I. Lobachevskogo [Proceedings of N.I. Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod]. 2012, no. 4, pp. 2189—2191.
5. Shmeleva A.G. Udarnoe nagruzhenie plasticheskikh sred [Impact Loading of plastic media]. LAP Lambert Academic Publishing. 2012, 128 p.
6. Ter-Martirosyan A.Z. Ostatochnye deformatsii i napryazheniya v gruntovoy srede pri deystvii tsiklicheskoy nagruzki [Residual Deformations and Stresses in the Soil Ground Exposed to Cyclic Loading]. Stroitel'stvo — formirovanie sredy zhiz-nedeyatel'nosti : Sbornik nauchnykh trudov XXIII mezhdunarodnoy mezhvuzovskoy nauchno-prakticheskoy konferen-tsii molodykh uchenykh, doktorantov i aspirantov [Construction — Formation of Life Environment. Research Works of the 23th Interuniversity Science and Practice Conference of Young Researchers, Doctoral Students and Postgraduates]. 14—21.04.2010, Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2010, pp. 815—819.
7. Burlakov V.N., Ter-Martirosyan A.Z. Dilatansiya, vliyanie na deformiruemost' [Dilat-ancy, Influence on Deformability]. Sb. tr. yubileynoykonf., posvyashchennoy 80-letiyu kafedry mekhaniki gruntov, 110-letiyu so dnya rozhdeniya N.A. Tsytovicha, 100-letiyu so dnya rozh-deniya S.S. Vyalova, Moskva, Rossiya [Works of the Anniversary Conference dedicated to 80th birthday of Department of soil engineering, 110th anniversary of Tsytovich N.A., Moscow, Russia]. Moscow, 2010, pp. 105—112.
8. Ter-Martirosyan Z.G., Said Ala Mukhammed Abdul Malek, Ainbetov I.K., Ter-Martiro-syan A.Z. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie dvukhsloynogo osnovaniya s preobra-zovannym verkhnim sloem [Stress and Strain State of the Double Layer Base with Modified Upper Layer]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2008, no. 2, pp. 81—95.
9. Mata M., Casals O., Alcal J. The Plastic Zone Size in Indentation Experiments: the Analogy with the Expansion of a Spherical Cavity. International Journal of Solids and Structures. 2006, vol. 43, no. 20, pp. 5994—6013.
10. Khodakov S. Physicochemical Mechanics of Grinding of Solids. Shuili Xuebao /Journal of Hydraulic Engineering. 1998, no 9, pp. 631—643.
11. Dememes D., Dechesne C.J., Venteo S., Gaven F., Raymond J. Development of the Rat Efferent Vestibular System on the Ground and in Microgravity. Developmental Brain Research. 2001, vol. 128, no. 1, pp. 35—44.
12. Feldgun V.R., Karinski Y.S., Yankelevsky D.Z., Kochetkov A.V. Internal blast loading in a buried lined tunnel. International Journal of Impact Engineering. 2008, vol. 35. № 3. Pp. 172—183.
13. Feldgun V.R., Karinski Y.S., Yankelevsky D.Z., Kochetkov A.V. Blast Response of a Lined Cavity in a Porous Saturated Soil. International Journal of Impact Engineering. 2008, vol. 35, no. 9, pp. 953—966.
14. Aptukov V.N. Expansion of a Spherical Cavity in a Compressible Elastoplastic Medium. Report 1. Effect on Mechanical Characteristics, Free Surface, and Lamination. Strength of Materials. 1992, vol. 23, no. 12, pp. 1262—1268.
15. Anand L., Gu C. Granular Materials: Constitutive Equations and Strain Localization. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2000, vol. 48, no. 8, pp. 1701—1733.
16. Zou J.-F., Li L., Zhang J.-H., Peng J.-G., Wu Y.-Z. Unified Elastic Plastic Solution for Cylindrical Cavity Expansion Considering Large Strain and Drainage Condition. Gong Cheng LiXue/Engineering Mechanics. 2010, vol. 27, no. 6, pp. 1—7.
About the authors: Vasenkova Ekaterina Victorovna — assistant lecturer, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7(499)183-28-74; [email protected].
Zuev Vladimir Vasil'evich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chair, Department of Applied Mathematics and Informatics, Moscow State University of Instrument Engineering and Informatics (MSUIEI), 20 Stromynka, Moscow, 107996, Russian Federation; +7(499)269-55-87; [email protected].
For citation: Vasenkova E.V., Zuev V.V. Rasshirenie sfericheskoy polosti v plasticheskoy gruntovoy srede [Expansion of a Spherical Cavity in the Plastic Soil Ground]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 85—93.
