Удар цилиндра при наличии границы раздела жидкостей различной плотности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И То м IX 197 8

№ 6

УДК 532.5

УДАР ЦИЛИНДРА ПРИ НАЛИЧИИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрена задача об ударе цилиндра при наличии границы раздела жидкостей различной плотности. Рассмотрены случаи с различной формой раздела и различным расположением тела по отношению к этой задаче.1

1. В случае удара тела в присутствии границы раздела идеальных несжимаемых жидкостей различной плотности потенциал скорости жидкостей ® помимо обычного условия непротекания через границы твердого тела и раздела жидкостей должен удовлетворять условию, выражающему равенство импульсивных давлений на границе раздела, которое имеет вид

где индексы „1“ и „2“ относятся к разным сторонам границы раздела 5, а р обозначает плотность жидкости. Из равенства (1.1) следует, что касательная скорость vs на границе раздела имеет разрыв:

Будем считать границу раздела вихревой линией, интенсивность вихрей которой ^

При этом условия равенства нормальных скоростей на границе раздела (1.2) и (1.1) будут выполнены. Поверхность тела можно также считать границей раздела с распределенными на ней вихревыми особенностями и рассматривать в качестве области течения всю плоскость. На внутренней поверхности движущегося тела касательная скорость должна удовлетворять условию

А. И. Аржанов

Рі ?1 = Р2 ?2.

(1.1)

Рі ^5 1 = р2 2.

(1.2)

V, 2 = V О,,

(1.3)

где V—скорость тела, а о — единичный вектор, касательный к поверхности тела.

Можно показать, что в этом случае потенциал течения жидкости внутри границы тела соответствует поступательному перемещению объема жидкости, ограниченного контуром тела, со ско-

ростью V. Следовательно, условие (1.3) эквивалентно условию не-протекания на поверхности движущегося тела 2:

где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела-Интенсивность вихревого СЛОЯ 7 на поверхности движущегося тела

Для определения интенсивности вихревых слоев на границе раздела и поверхности тела можно составить интегральные уравнения, которые приводятся к виду:

Т (*о) = - -т^у -^г[/т(з)Г с!з+ [т (8) !%*>>?. (5°> ёЛ (1.4)

Ш ‘ ™ 1-5 |Г(«. 50)|2 * |Г(9, 50)!2 -1

7 (о0) = - 2 V' + ± / 7 (5) Г(!:°о)И(— <1$ +

5 I Г (5, 00) | 2

+ -^/т(°)^,а°-—■ аЬ, 0-5)

2 I (а, а0) I 2

где в — координата границы раздела 5; о — координата поверхности

тела £; г (А, В)—вектор, соединяющий точки А и В.

Таким образом, задача об ударе тела вблизи границы раздела жидкостей различной плотности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма (1.4) и (1.5).

Частными случаями границы раздела являются свободная поверхность (р = 0) и поверхность твердого тела (р = оо).

2. Отдельного рассмотрения требует случай, когда поверхность тела перпендикулярна границе раздела в точке их пересечения и существует составляющая скорости тела вдоль границы раздела. При этом должны одновременно выполняться кинематическое условие на поверхности тела, т. е. скорости жидкости по обе стороны от границы раздела должны быть равны, как и равны проекции скорости тела на нормаль к поверхности, и динамическое условие на границе раздела, в силу которого отношение скоростей вдоль границы по обе стороны от нее должно быть обратно пропорционально отношению плотностей жидкостей. Особенности течения, возникающего в этом случае, можно определить, рассмотрев задачу о симметричном ударе цилиндра вдоль прямолинейной границы раздела жидкостей различной плотности.

Введем полярную систему координат г, & с началом в центре цилиндра и осью 8 = 0, совпадающей с границей раздела. Потенциалы течения ЖИДКОСТИ С ПЛОТНОСТЬЮ рх — <Р! и жидкости с плотностью р2 — <р2 будем искать в виде

СО

<?!= ^ г~п(сі1п соепЬ + Ь1п зіпл8), —гс<&<0; (2.1)

/1—1 00

<р2 = ^ г- "(а2п совгай + Ьіп віп/гд), 0 < 0 < тс. (2.2)

я=1

Функции <р, и ч>2 должны удовлетворять следующим граничным условиям:

-^-=1/соз& и -^=Ксоз& (2.3)

дг ' дг

на поверхности тела и

и

д<Рі _ дуъ

дЬ ~ а»

(2.4)

р1?1 = р2?2 (2.5)

на границе раздела.

Для определения потенциалов срх и <р2 воспользуемся разложением в ряд Фурье функций и при значении г, равном ра-

дг дг

диусу цилиндра Д. Так как период функций <рг и <р2 равен 2п, а значения производных и см. выражение (2.3), заданы только

дг дг

на участках [-- тс, 0] для 9, и [0, я] для ср2, необходимо определить

значения функций и на всей поверхности цилиндра. По

дг дг

аналогии с известным решением для случая, когда р2 = 0 [^.предположим, что эти функции соответствуют удару цилиндра со сдвигом вдоль границы раздела, т. е. вторая половина цилиндра приобретает после удара скорость, отличную от V, величина которой зависит от соотношения плотностей р! и р2. Тогда

—— =1/,С08& при 0<0<;тс

дг

И

-^-=1/2С08& при — те <1 ^ <! 0.

дг

Разложив определенные таким образом функции и в

дг дг

ряд Фурье и приравнивая соответствующие коэффициенты полученных разложений и производных по г от выражений (2.1) и (2.2), находим коэффициенты ах п, а2п, ЬХп и Ь2п. Постоянные Уг и У2 определяются из условий на границе раздела (2.4) и (2.5). Их значения:

I/ у -З?2 ~ Р‘ у0 — у 3Рі ~Ж

Рі + Р2 ’ Рі + Р2

В итоге получаются следующие выражения функций <р, и ср2:

со = _ 2Рз T/D2 cos» , _4_ Pi — Ра у У ^2я+1 S‘n 2я» . ,9

1 Pi + Р2 /■ 71 Pi + Р2 4л2 - 1 Г^П

?2:

Pi + Р2 /■ я Pi + Р2 “У 4«2 — 1

В случае, когда плотности жидкостей одинаковы, т. е. рх = р2, потенциалы ср1 и <р2 тождественно равны друг другу и совпадают с потенциалом течения, возникающего при ударе цилиндра в одно-родной безграничной жидкости.

Дифференцируя выражения (2.6) и (2.7) по & или г, можно найти распределение скоростей в жидкости. Касательные скорости на

поверхности цилиндра для различных значений отношения плотностей р2/?1 представлены на фиг. 1. Зависимость нормальной скорости Уп на поверхности раздела от расстояния до центра цилиндра имеет вид:

у.(г) - ^2 4^т(4Г+‘- <2-8>

П= 1

Согласно (2.8) скорость перед цилиндром в случае, когда ргфр2> направлена в сторону жидкости с меньшей плотностью и ее значение неограниченно возрастает при стремлении г к /?. Граничные условия на поверхности тела и границы раздела выполняются всюду, кроме точек пересечения поверхностью тела границы раздела.

В этих точках функции &) и -^-(г, 0) имеют особенность:

дг дг

при г = И пределы этих функций при стремлении & К 0 или тс равны V или — V, а при & = 0 или л пределы функций при г, стре-

« I 2оп V дф]

мящемся к к, равны Н----------Ц— для и

— Р1 + Ра лг

2р[ У ■ для 4г~- Согласно

Р1 + р2

(2.6) и (2.7), циркуляция скорости по любой кривой, в том числе и содержащей особую точку, является конечной величиной и, следовательно, решение, полученное численным методом, отличается от точного лишь в небольшой окрестности особой точки.

Присоединенная масса цилиндра т# в случае удара вдоль границы раздела:

1 (Р1~Р2)2|

т.

= 2тг/?2 [-

Р1 Р2 Р1 + Ра

+

Р1 + Р2

(2.9)

В случае, когда плотность одной из жидкостей, например р2, равна нулю, формула (2.9) дает значение присоединенной массы цилиндра, равное

т.

что совпадает с известным результатом.

3. Рассмотрим решение задачи об ударе цилиндра вблизи круглой границы раздела. Пусть радиус цилиндра равен радиус

Фиг. 2

границы раздела —/?2, а расстояние между центрами цилиндра Ог и границы раздела 02 равно Ь (фиг. 2). Плотность жидкости вне границы раздела обозначим р1, а внутри нее — р2. Скорость цилиндра после удара V направлена по прямой, проходящей через центры О, и 02. Введем полярные координаты г, & с центром в точке Ох и х, р с центром в точке 02. За направление осей 8 = 0

—*•

и р = 0 возьмем направление V.

Система уравнений (1.4) и (1.5) в этом случае имеет вид:

Т(Р) =

Р1 + ?2

тк

т

2тс

У?2 + Ъ соэ Р — соэ (» — р)

(3.1)

f (8) - 2 V sin 8 + JL J т (8) d& +

0

Po

+ J *1 -±££!i ~ *2cos № ~ »L T (p) dp, (3.2)

-Po

где p0 —угол точки пересечения границы раздела с поверхностью цилиндра

Ро = arccos------щ-ь-----

и

г2 = (b + R2 cos Р — /?i cos 8)2 + (/?2 sin р — Ri sin 0)*.

Так как течение сииметрично относительно прямой Ot 02, то ^(_в)=— f(8) и ?(—Р)= —т(Р) и, следовательно, интегралы по границам S и Е от ч равны нулю.

После определения функции 7 (8) можно вычислить потенциал на поверхности цилиндра Е:

* (8) = <р (0) + /?, / [Т (8) — V sin в] db, (3.3)

о

где f (0) — некоторая постоянная, равная значению потенциала в точке 8 = 0. При переходе через границу раздела значение потенциала терпит разрыв. Величина скачка Д<р определяется условием (1.1):

А? = ?(»„ +) ~ ?(»о -) = *(»« ~)(-g- - 1) .

£2 _____^2

где 80 = arccos------^-------—координата точки пересечения гра-

ницы раздела поверхностью тела, а <р(80—) равняется значению ср(80), вычисленному по формуле (3.3). Для углов 8, больших 80, величина потенциала <р(&) определяется выражением

&

? (8) = у (0) 4 R, j [-у (8) - V' sin 8] db + Д<р. (3.4)

о

Выражение для кинетической энергии жидкости и, следовательно, для присоединенной массы тела /п* при наличии границы раздела имеет такой же вид, как и в однородной жидкости [2]. Для нашего случая можно написать:

»„ 2тг—

= f ?(»)-|j-(»)<*»• (3.5)

-&о ®о

Подставив в уравнение (3.5) значения потенциала, определяемые выражениями (3.3) или (3.4) и его нормальной производной на поверхности тела

-!-(&) =1^05 8,

можно получить численное значение присоединенной массы цилиндра, плавающего на границе раздела жидкостей различной плотности.

На фиг. 3 представлены результаты расчета зависимости присоединенной массы цилиндра от расстояния между центрами цилиндра и границы раздела для различных значений отношения плотностей р2/р1. Расчет проводился с помощью ЭВМ БЭСМ-6 путем замены интегральных уравнений (3.1) и (3.2) конечной системой линейных алгебраических уравнений.

4. В случае, когда цилиндр не пересекает границу раздела, решение задачи мо&сет быть найдено при помощи методов теории функций комплексной переменной, как это сделано в работе [3], в которой рассмотрен удар цилиндра в жидкости с внешней круглой жесткой или свободной границей. Возможны два случая: когда цилиндр плавает внутри границы раздела (Ь < R2 — #1) и когда он находится вне ее (Ь> Ri + R2).

Введем комплексную переменную г — гетЬ. Дробно-линейным преобразованием

г — гх

W (Z) = тегР = — Г2

(4.1)

‘г-г2

границы 5 и Ї плоскости г переводятся в концентрические окружности 5' и Е' плоскости да. Величины гх и г2 в выражении (4.1) являются координатами точек, симметричных одновременно относительно обеих окружностей 5 и 2:

+ r\ - r\ + Vw + r\ -r\Y- w r\

r 1, 2 =

при + и

Гі.2 =

2Ь

Rl-bi-R^T V(R\ — b» — RIf - 2

__

при b<CR2 — Ri- При таком преобразовании радиус окружности £' равен Rlt а радиус окружности S' равен:

Я2 = Г2Ц^р- при &>/?! + /?2 И R'2=r2^~± при —/?!.

Потенциал течения жидкости ЧЧ в кольце Ri <.^<CRi можно представить в виде

00 _ I

(«Я х" + -^й-) COS п$ + (а’п хп + ^ sin ftp

•PiC*. Р) = <Ро + 2

n=1

, (4.2)

73

а потенциал течения <р2 в области виДе

00 Г

?2 (*, Р) = ?0 + X НГ C0S "Р + "Ч Si0 ИР) • (4'3>

л=1 4 т т '

Слагаемое <р0 в выражениях (4.2) и (4.3) соответствует потенциалу

течения, вызванного движением цилиндра в однородной жидкости

?0==_ -----------------------------------------

■ “Н +2/"i х cos р

В силу симметрии течения относительно оси 8 = 0 и, следова-вательно, р = 0 потенциалы и <р2 являются четными функциями. Поэтому коэффициенты а„, Ьп и с'п равны нулю. Коэффициенты ап, Ьп, сп определяются с помощью граничных условий на поверхности цилиндра 2':

<fyi

дп

д’Ь

дп

dz

dw

где A — , и границей раздела .S'

PlTl = P2 ?2.

JlL = Лъ

дп дп

После решения системы линейных алгебраических уравнений находим значения коэффициентов:

ЬнН*я

Ь„=-

*22% + R\ К R” Rjn

R'22nk +R\

2л >

2л »

С„ =

knR'2n(R'2in-R\n)

RiMh9 + R?

где kn — коэффициент разложения функции <р0 в ряд Фурье

= (/•* — ''О (— 1)" >

£ = Р1 + Рз

Р Р1 — Рз

Значение присоединенной массы цилиндра при этом оказывается

\2л

1 _ 2 (г2 — гi)2 ( /?i

R\ 2и( RL \2«

"ы| Т) 4'+1.

(4.4)

где Pi = Pt при b>Rt + /?2 и рг = р2 при — /?,.

74

При стремлении Ъ к нулю предел выражения (4.4) равен

что совпадает с полученным в работе [2] результатом для концентричного расположения цилиндра и границы раздела.

Отличие результатов численного решения системы интегральных уравнений (3.1) и (3.2) от расчетов по формуле (4.4) составляло менее 0,5%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., .Наука", 1966.

2. Болдырев А. А. Удар кругового цилиндра в концентрических кольцевых слоях жидкости различной плотности. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 6, 1971.

3. К а п а н к и н Е. Н. Удар кругового цилиндра в жидкости с внешней жесткой или свободной границей в виде окружности. Труды ЦАГИ, вып. 1154, 1969.

Рукопись поступила 7)Х 1977 г.