Удар кругового цилиндра в концентрических кольцевых слоях жидкости различной плотности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том II

1971

М 6

УДК 532

УДАР КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ КОЛЬЦЕВЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТИ РАЗЛИЧНОЙ

плотности

Приведен метод решения плоской задачи об ударе кругового цилиндра, который расположен внутри жидкой среды, образованной несмешивающимися концентрическими кольцевыми слоями идеальной несжимаемой жидкости различной плотности.

Рассмотрены задачи об ударе цилиндра в одном и двух кольцевых слоях, окруженных безграничной жидкостью.

Полученные выражения для потенциалов течения и присоединенной массы цилиндра включают, в частности, решения задач об ударе цилиндра в однородной безграничной жидкости и в кольце, ограниченном жесткой или свободной круговой поверхностью.

УДАР КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ КОЛЬЦЕВЫХ СЛОЯХ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Определим потенциал импульсивного движения жидкости, возникшего вследствие удара кругового цилиндра радиусом а, окруженного концентрическими слоями жидкости с внешними радиусами колец аки ..., акк,..., акт, причем 1 = Х0 < Х1}..., = оо. Плот-

ность жидкости, заключенной в кольце с внутренним радиусом аХА_! и внешним радиусом а\к, обозначим через р*. Внешняя граница аХт внешней кольцевой области простирается в бесконечность (фиг. 1).

Введем полярную систему координат г, 6с началом в центре цилиндра; угол 6 отсчитывается от направления, противоположного направлению скорости движения цилиндра. Обозначим через <р* потенциалы течения в кольцевых слоях аХ*_! -< г <; аХк, где А = 1,..., т.

Граничным условием потенциала течения на поверхности цилиндра является равенство нормальных скоростей точек поверхности цилиндра и соответствующих частиц жидкости:

А. А. Болдырев

0)

Здесь и далее дифференцирование по внешней нормали п можно заменить дифференцированием по радиусу г.

На границах кольцевых слоев также должно выполняться условие равенства нормальных скоростей:

dcpft+1__dcpft

дг дг (r = aXk, k= 1,..., от — 1).

(2)

Фиг. 1

При ударе твердого тела в жидкости движение создается импульсивным давлением р{, которое равно — р<р [1]. Следовательно, равенство импульсивных давлений, которое должно выполняться по обе стороны границы раздела двух жидкостей, имеет вид

Р*+1 'Рй-н = Р* 'Ра (^)

(>■ = Л= 1,..., от — 1).

Последним граничным условием является граничное условие на внешней границе внешней кольцевой области, т. е. равенство нулю скорости на бесконечности:

д9п

дг

= 0.

(4)

Потенциал течения в кольцевых областях удобно представить в виде разложения в ряд Лорана [2]:

* + 2 r” cos п6 ~ sin +

П =1

. со '

+ 2 r~n (Rnk COS Я0 + Snk sin Д0),

п =1

где индекс к относится к номеру кольца.

дфь

Соответственно производная потенциала имеет вид

"дг '~= X пг"~1 (Рпк cos "6 “ sln л0) ~

Л=1

СО

— 2 иг"л_1 cos n8 + snk sin яв). (5)

П— 1

На границе цилиндра должно выполняться граничное условие (1),

и его значение на внешней границе первого кольца равно

Выполнение граничного условия (2), которое должно удовлетворяться на границе между первым и вторым кольцевыми слоями,

границе первого кольца. Отсюда следует, что последовательное удовлетворение граничным условиям (2) сохраняет в разложении (5) только члены, содержащие cos0, и потенциал течения <р* в любом кольце с номером к имеет вид

В дальнейшем будем различать коэффициенты Рхк и только по номеру кольца т. е. будем писать Рк и /?А.

Так как потенциал течения определяется с точностью до аддитивной постоянной, то, положив эту постоянную равной нулю в какой-либо точке подя течения, в силу условий (3) получаем, что постоянная равна нулю во всем поле течения.

откуда следует, что разложение в ряд (5) содержит только члены, содержащие cos 6, т. е.

Следовательно, потенциал имеет вид

соответственно производная

д?2 /rv

приводит к тому, что разложение в ряд (5) также содержит только члены, содержащие cos 0, т. е.

следовательно, потенциал <р2 имеет вид

а производная

т. е. по виду не

на внешней

(6)

Таким образом, задача определения поля течения вокруг цилиндра, окруженного кольцевыми слоями жидкости различной плотности, сводится к определению коэффициентов Рк, /?* в выражении (6), причем число коэффициентов равно 2 т, где т — число колец.

Выведем теперь систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов Рк, Як.

Граничное условие (1) на поверхности цилиндра дает выражение

Р1-ф- = -ио, (7>

граничные условия (2) приводят к уравнениям

Рн-.-%г-'>.--77Г <8>

а2 ХА а2 X*

(£= 1,..., т — 1), граничные условия (3) — к уравнениям

й+,(р.+,Л, + ^)=р.(р,Л,+ -££-) <9>

(к = I,т~ 1).

Добавив к граничным условиям (7) —(9) граничное условие (4) на внешней границе внешнего кольца, получим 2 т алгебраических уравнений для нахождения 2 т коэффициентов Рк, Р1к. В действительности, следует отыскивать 2т—\ коэффициентов Рк, #к, так

как в силу граничного условия (4) Рт= 0.

Присоединенную массу тела, движущегося в жидкости, определим через кинетическую энергию Т всей жидкости следующим образом:

2 Т

т* — ~Гл- 0°)

и о

В свою очередь, кинетическую энергию жидкости можно представить как

Т = ^Тк, (11)

*=1

где Тк — кинетическая энергия жидкости внутри кольца с номером к.

Для ациклического* безвихревого движения жидкости кинетическую энергию Т можно выразить следующим образом через поверхностный интеграл, взятый по всей границе в жидкости [3]:

* Движение, при котором потенциал скорости однозначен, называется ациклическим.

Это позволяет выразить кинетическую энергию жидкости, заключенной в кольце с номером к, как

(12)

где ск~ 1—внутренняя граница кольца, ск — внешняя граница кольца с номером к (с0 — контур тела).

В выражении (12) нормаль обращена внутрь кольцевой области жидкости. Подставив это выражение в формулу (11), получим

В силу граничных условий (2) и (3) и того обстоятельства, что при переходе через границу сь (£ == 1,..., т — 1), направление нормали меняется на противоположное, в выражении (13) попарно сокращаются все члены, кроме первого, т. е.

Следовательно, для вычисления кинетической энергии жидкости при ударе цилиндра в кольцевых слоях жидкости различной плотности, окруженных безграничной жидкостью, достаточно знать потенциал течения ср1 во внутреннем кольце.

Удар кругового цилиндра в кольцевом слое жидкости, окруженном безграничной жидкостью. Рассмотрим наиболее простой случай движения цилиндра с одним кольцевым слоем жидкости с плотностью, отличающейся от плотности внешней жидкости. Система алгебраических уравнений (7) — (9) сводится в этом случае к уравнениям

(13)

с т—1

(14)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Я

Решив эти уравнения, потенциалы течения <рг в кольце и <р2 в окружающей его жидкости можно выразить следующими формулами:

(1_р)г+аП?(р+1)_1

*1 = £/о—^т-гтт^- 1-----------С050- (15)

^1 (р + 1) + р— 1

2р

ъ = —ГСО80, (16)

^ (р + 1) + р—1

- р1 где р = — .

Р2

Выражения (15) и (16) в предельных случаях содержат известное выражение для потенциала движения цилиндра в однородной ■безграничной жидкости:

<р = —....сое 0. (17)

Чтобы получить выражение (17), достаточно в формулу (15) подставить значение X, = оо (кольцевая область занимает все пространство), или в формулу (16) подставить Х1 = 1 (кольцевая область удалена), или в выражения (15) и (16) подставить значение р=1 (жидкость однородна).

Если в выражение (15) подставить значение плотности р2 внешней жидкости, равное нулю (внешняя граница кольцевой области является свободной поверхностью), то получим следующее значение потенциала

— г + а2Х? —

= ^0— ,2 , , Г соэО. (18)

... , М 1

Подставив в уравнение (18) значение г = аХх, получим значение потенциала на внешней границе кольцевого слоя жидкости, равное нулю.

Если в выражение (15) подставить значение плотности внешней жидкости, равное бесконечности, что соответствует жесткой граг нице кольца, то получим значение потенциала <р, в кольцевом слое:

гЧ-а2Х?-1

?1 =■ ио--Гг---Г— С05 6-

А.! — 1

Значение производной потенциала на внешней границе

кольца при г = ак 1 равно нулю, что, действительно, соответствует жесткой границе.

Вычислим теперь присоединенную массу кругового цилиндра при его ударе в кольцевой области жидкости с плотностью ри окруженной безграничной жидкостью с плотностью р2.

Для этого подставим в формулу (14) выражение для потенциала <?! (15) и его производной при г —а. Получим:

(р + \)nî-(ï-\y [^i(p + D + p-l]2

Подставив в выражение (19) значение р=1 или Х1 = оо, т. е-приняв, что цилиндр движется в однородной безграничной жидкости, получим известное выражение

Т = р, и1а2к.

Присоединенная масса цилиндра /и* оо в безграничной жидкости плотностью Р1 [формула (10)] равна

/И* оо — Pi тс<2“.

(20)

Присоединенная масса цилиндра в кольце жидкости плотностью Ри отличной от плотности р2 внешней жидкости, с учетом соотношений (10), (19) и (20) может быть записана в виде

Шщ (р+1)П?_Гр—1)а

Р, 7$

m

*00 К(р + 1) + р- 1J2

(21)

Из соотношения (21) путем; подстановки значения плотности внешней жидкости р2=оо и 0 получим выражения присоединенной массы:

для случая внешней жесткой границы

т, ... , * (22>

т,

*î + l Х?-1

для случая внешней свободной границы кольца

т* X? — 1

т

* 00

х* + 1

(23)

РгРг

PrPt

Выражения (22) и (23) совпадают с выражениями, полученными соответственно О. П. Шоры-гиным и Е. Н. Капанкиным.

На фиг. 2 представлены значения безразмерной присоединенной массы «> в зависимости от

величины 1/Х1 для различных значений отношения плотностей

Фиг. 2

р"=—-Р2

Величина присоединенной

массы т^/т^оо меняется в пределах от 1/р до 1 при изменении параметра Х1 от 1 до оо. Следует отметить, что все значения присоединенной массы при любом отношении плотностей р заключены в области, ограниченной кривыми, соответствующими значениям р = 0 и оо, ’

Удар кругового цилиндра в двух кольцевых областях жидкости со свободной внешней границей. Рассмотрим в качестве примера удар кругового цилиндра, заключенного в кольце жидкости а<ХаХ, плотностью рн которое в свою очередь заключено в кольцо аХ4 ^ г аХ2 плотностью р2. Внешняя граница второго кольца свободная, т. е.

Систему уравнений для нахождения коэффициентов Я,, Яи Р2, следует записать в виде:

Решив систему уравнений (24), получим потенциалы ^ и <рг в виде

Легко проверить, что если подставить в формулы (25) и (26) значение Х2 = оо, то получим выражения (15) и (16) для случая цилиндра, заключенного в кольце, которое находится в безграничной жидкости.

Используя выражение (25) для потенциала <р1, находим присоединенную массу: .

т* р 4-1 + (Р — ч( VI х2) ■-( р +1 *2 + 1 >4

т* оо !(р+1)Л + 7 ^ + (р -1) [Ю 1 ' *1 Г

Проверка показывает, что при значениях Х,=Х2 и Х2 = оо получим предельные значения присоединенной массы, которые совпадают с выражениями (23) и (21).

|г—ах2 — 0.

(24)

соб б, (25)

?2 =^0

(Р + 1)

соэО. (26)

Удар цилиндра в двух кольцевых областях жидкости различной плотности, окруженных безграничной жидкостью с плотностью, равной плотности жидкости во внутреннем кольце. Система

уравнений для определения коэффициентов Ри /?!, Рг, /?2, /?3 запишется в виде:

р R±_ г]

а? ~ U°’

р ( Л + А

я-

ак j

Я,

; Р2 а^ч +

ак1 ’

a2 kf Р2 ак2 +

о R

Фиг. 3

где

Pi

Рз

~=Рг Rt аП?

/?2 - Дз

ûX2 аХ2 *

2 /?3

>2 ~ а2 к22 '

Рг Р2

Решив эту систему уравнений, находим потенциал срх течения во внутреннем кольце:

_1_

>ч

V)(p3-i)^+

(Р+1)2

(Р-1)5

г

(Р+1)2-

(р — 1)з +

_1

*2

2 ,(Р3-

1)

cos 6. (27)

Нетрудно проверить, что при р=1 потенциал ср, совпадает с потенциалом (17) цилиндра в однородной безграничной жидкости и приХ2 = оо выражение для потенциала tpt совпадает с выражением (15) для потенциала течения в кольце, окруженном безграничной жидкостью.

Используя формулу (27) для потенциала <р,, выражение для

присоединенной массы цилиндра , можно представить в виде

т

т.

(Р+1)3

« 00

I)3

1 )»

т

*00

(р

Зависимость

фиг. 3.

т

* 00

от параметра Х1(1<;Х1<;2) иллюстрируется

ЛИТЕРАТУРА

1. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., „Наука“, 1966.

2. Ламб Г. Гидродинамика. М., Гостехтеориздат, 1947.

3. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М., .Мир“, 1964.

Рукопись поступила 22/1 1971 г.