Обтекание цилиндра слоем стратифицированной весомой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XIV 1983

М 3

УДК 532.528

ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА СЛОЕМ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ

В. В. Воронин

В линейном приближении решена задача о движении кругового цилиндра внутри концентрического в начальный момент слоя идеальной несжимаемой жидкости, окруженного бесконечной идеальной жидкостью другой плотности, в поле тяжести. Задача сведена к бесконечной системе рекуррентных дифференциальных уравнений, описывающих деформацию границы слоя и всплывание центра тяжести внутренней жидкости. Получено общее выражение для силы, действующей на подвижный цилиндр. Система уравнений решена численно на ЭВМ.

Задача о движении кругового цилиндра внутри цилиндрической границы раздела плотностей идеальных жидкостей полностью решена только в случае внешней жесткой границы (см., например, [1, 2]). При этом получены общие выражения для потенциала течения жидкости и силы, действующей на цилиндр, в зависимости от величины и скорости смещения цилиндра относительно центра трубы.

В случае внешней свободной границы решена задача об ударе кругового цилиндра внутри слоя жидкости [2, 3]; найдено значение присоединенной массы цилиндра при его концентрическом и эксцентричном расположении относительно центра слоя. В работе [4] рассматривается обобщенный случай удара цилиндра внутри нескольких концентрических слоев жидкости различной плотности; для одного слоя полученное решение позволяет с помощью предельных переходов найти присоединенную массу цилиндра внутри жесткой или свободной внешней границы.

Особый интерес представляет случай поступательного движения цилиндра внутри деформируемой границы раздела плотностей с учетом влияния сил тяжести. В такой постановке необходимость учитывать деформацию слоя в нелинейных граничных условиях становится математически сложной проблемой. Однако предположение о малости деформаций позволяет существенно упростить

задачу и свести ее к бесконечной системе рекуррентных дифференциальных уравнений, описывающих движение слоя жидкости.

1. Рассматривается динамическая система, состоящая из идеальной жидкости с плотностью рь заполняющей всю плоскость вне цилиндрической области радиуса Цс, и жидкости с плотностью р2, заполняющей область Ь вне твердого концентрического цилиндра радиуса (рис. 1). Необходимо найти уравнения движения границы слоя в поле тяжести и величину силы, которая действует

на цилиндр, движущийся вертикально вниз со скоростью V (t) относительно покоящейся на бесконечности жидкости с плотностью pj. Все величины и функции обезразмериваются относительно характерных величин — радиуса цилиндра Rw плотности внешней жидкости р, и ускорения силы тяжести g.

Цилиндрическая система координат (г, б) связывается с подвижным центром тяжести слоя L. Так как в любой момент времени границы слоя и тела симметричны относительно вертикали, то контур L и поверхность цилиндра будут заданы соответственно функциями F^r, 6, t) и F2(r, 6, t) в виде:

00

F1 Cï> е> t)=r~R—'£ian(t)costib = r—RZ = 0]

п=2 V >

F2 {г, 6, t) — г — 1 4- х (t) cos 6 = г — X = О,

00

где R = RjR^ — параметр заполнения слоя, cosпЪ,

«=2

X — 1 — х cos 0.

Смещение цилиндра x(t) относительно начала координат определяется собственной скоростью V{t) и скоростью всплывания u(t) слоя

x(t)=W(t)=.(u- I/)7x = u(t)+ Vit).

Предполагается, что все формы деформации слоя малы в сравнении с его радиусом, т. е. -j~ < s « 1 ; смещение x(t) считается ма-

лым по отношению к радиусу цилиндра, т. е. |л:(^)|0 < 1. В дальнейшем решение ограничивается только членами нулевого и первого порядка малости относительно г, члены видах2, x-ah, an-ak, an-ak, ап-ak и т. д. считаются величинами высших порядков малости и отбрасываются. В частности, из условия несжимаемости внутренней жидкости получается, что R^ const.

Так как отношение плотностей о = p2/Pi считается отличным от нуля, то нельзя пренебрегать движением жидкости внутри слоя L. Течение внутри и вне слоя потенциально, решение уравнения Лапласа для внешней и внутренней областей ищем в виде

причем Фх — потенциал абсолютного течения внешней жидкости, покоящейся на бесконечности, в подвижной системе координат.

Решение строится следующим образом. Кинематические условия на границе слоя и поверхности цилиндра используются для того, чтобы определить связь между коэффициентами Вп, Сп, Оп потенциалов (2) с коэффициентами деформации ап, скоростью всплывания слоя иЦ) и смещением цилиндра относительно подвижной системы координат х{Ь). Из динамического условия на грднице области £ находим систему уравнений, описывающих движение слоя жидкости. Из интеграла Коши—Лагранжа определяется распределение давления по поверхности твердого цилиндра; интегрированием находится общее выражение для силы, действующей на цилиндр.

2. Кинематическое условие на твердой поверхности и жидкой границе раздела плотностей состоит в том, что нормальная скорость частицы жидкости равна скорости самой границы по нормали к ней. Математическая запись кинематического условия для внутренней жидкости на границе слоя £ имеет вид

Выражения (4) подставляются в уравнение (3), после чего полученное соотношение умножается на Z cos j bd.BR и интегрируется по 0 от нуля до г.. Члены, содержащие производную Zg, интегрируются один раз по частям, в результате получается

Фі (г, 0, t) = V Вп —- cos «9 при r>/?Z;

П- 1

(2)

П- 1

+ уф2-у^1 = О ПРИ r = RZ,

(3)

JF' ~Г ' Wl ’ пРичем из (О и (2) получается, что

со со ^

j ^ Сп Rn | Zn sin tib sin jbdü — i ^ | siny'6ú?0 =

n—1

0

=/?2 [ ¿¿соэут (5)

о

Так как деформация границы слоя считается малой, то У =

ОО

= -^-сов «0 1, и в уравнении (5) можно использовать разло-

п= 2

жение Z/г х 1 + п¥ + . . . . В линейном приближении уравнение (5) преобразуется к виду

J У (CnRn — Dn R~n) j sin пб sin jm + /¿ л (C„ Rn + Dn R~n)X

nzz 1 0 n^\

~ oo t:

X| ^ sin яб sin jbdQ = an j' (1 +• Y) eos/ S cosnSdQ. (6)

« = 2 ü

Коэффициенты потенциала Сп и Оп ищутся в виде степенного ряда относительно малого параметра г:

С„ = С(„0) + гСГ + . . .

Z?„ = D<0) + ^ + . . . , п=1, 2, з..;.

(7)

Разложения (7) подставляются в уравнение (6); группируются и выписываются отдельно члены нулевого порядка малости

¡ ^c1iü) Rn______~~¡rj Isin sin J — 0.

Отсюда легко получается, что

Cj,0) Rn - D{n] R-n = 0. (8)

Аналогично из уравнения (6) выпишем члены первого порядка малости

CU 7t

j У (sС{п] - /?-2") J sin nB Sin /e¿6 + 2/ 2 яСГ X

n= 1 ü /¡=1

п со г.

X |7 sin «6 sin у йс/6 = /? ^ an J cos ® cos

H=2 0

что позволяет получить второе уравнение для коэффициентов Сп и

со

(еС^/г» —/?-«)= - 2 АС^0> ^ (А| П-* I - ап + *) + ^-/?. (9)

*=1

Уравнения (8) и (9) составляют часть общей системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Сп и £)п. Недостающая часть этой системы находится из кинематического условия на поверхности цилиндра, т. е. из уравнения

-Jf + Уф2 v^2 = 0 при r = X,

(10)

где

v^2 I r=X = (1 , ■—ХвХ).

Уравнение (10) решается описанным выше методом, т. е. умножается на Xcosjbdb и интегрируется от нуля до тс, далее используются разложения (7) и Хп zz 1 — пх cos 0 -j- . . . , в результате получается дополнительная пара линейных алгебраических уравнений для Сп и Dn.

где Ьпк — символ Кронекера,

Уравнение (8) и первое из уравнений (11) имеют простое решение:

Подстановкой полученного решения в уравнения (9) и во второе из уравнений (11) получается система уравнений вида:

Тогда решение системы (13) выражается через введенные символы

(И)

(12)

(13)

S

xW 3/?* + 1 *

4 — 1 п 2 ’

; п— 1, 2, 3 ... .

Для удобства записи вводятся следующие обозначения

Q = ~

xW 3^2+1

вС{21)=Т, (р2- - J) ; sM1» = T,(P,-QR*) sCi1) = sD^) = P„r„; «==1,3,4....

Полученные решения (12) и (14) подставляются в разложения (7), и окончательно определяется вид потенциала течения внутренней жидкости:

Ф2(Г, б, t) = WTх (-£■ + 4-) cos 6 _QTа + cos26 +

сю

+ 2лû(г" + 7 cos«0. (15)

я=1 ' '

Для определения коэффициентов потенциала <Е>! необходимо рассмотреть кинематическое условие на границе слоя для внешней жидкости. Так как — потенциал абсолютного течения, то условие непротекания можно записать следующим образом:

+ (Уф1 — «) V^i = 0 при г = RZ, (16)

где и = (иcosЬ, — «sin6) — скорость поступательного движения начала координат (г, 6), связанного с центром тяжести слоя L.

Коэффициенты Вп потенциала Ф4 ищутся в виде степенного ряда относительно параметра е; метод решения уравнения (16) аналогичен тому, что применен для решения уравнения (3). После всех операций получается выражение для Вп в виде

Я, = -и + в-^;

; « = 2,3-----

Следовательно, потенциал течения внешней жидкости может быть выражен через скорость u(t) и деформацию слоя L следующим образом:

Г

Ф, (г, 6, t) = — и cos 9 + иао JL cos

Г

U , Ч <

-ff \ап +1 ап-\) ~

л=2

ил + 1

гд COS «6. (17)

Таким образом, используя кинематические условия на поверхности цилиндра и границе раздела плотностей I, можно связать коэффициенты потенциалов Ф, и Ф, с величинами, которые характеризуют движение слоя Ь и цилиндра.

3. Динамическое условие на границе слоя Ь состоит в том, что давление жидкости непрерывно при переходе границы. Давление внешней жидкости на границе определяется из интеграла Коши—Лагранжа, записанного в подвижной системе координат:

Р1 = Рж — RZ СОъЪ---м" + иЧ Ф1----2— при г — №. (18)

Давление внутренней жидкости на границе слоя определяется подобным образом:

2

р2 = Ро= — ÜRZ cos Ъ — — ПРИ r = RZ- (19)

Правые части уравнений (18) и (19) приравниваются и получается общее выражение для нахождения уравнений динамики. Группируются члены, стоящие при косинусах кратных углов собяЭ, п— 1, 2, 3 . . . , суммы этих членов приравниваются нулю, и в результате получается бесконечная система рекуррентных дифференциальных уравнений:

где Sn = /?" # «; п — \, 2, 3 . . . .

Уравнения (20) позволяют рассчитывать поступательное движение и деформацию слоя при заданных значениях параметров /?, 8, V и определенных начальных условиях. Система (20) неоднородна и имеет нетривиальное решение, так как уравнение для второй гармоники деформации а2 содержит отличный от нуля свободный член.

4. Если радиус цилиндра стремится к нулю, то слой жидкости превращается в круговую полость, заполненную жидкостью другой плотности. Уравнения динамики такой полости легко получить из уравнений (15), (17) и (20). При этом следует изменить параметры размерности, в частности, в качестве характерной длины необходимо взять радиус полости #с и устремить отношение /?ц//?с

^ (1 + 3 7\ 5,) - (2 - 1) - 2иа3 - у (Зи +1-8)-

т2

-№^(И+2а2-а3)-ЬТ1Т2Щ±±()Я'* + хЩ +

+ 37\ Гф(Ша, - №а?) + 8Тх IVТ3 53 а3 +

+ - а2) = 0;

^ Я (1 + оТп Зп) + ~ [пап+2 _ 2 (я - 1) а„ + (п - 2) а„_2] +

(20)

X (ая+2 - ап) + я] - (я - 1) 8 Гл_, 5„_.Х

к нулю. В результате предельного перехода получается выражение для потенциалов течении внутренней и внешней жидкостей в виде

Ф1 (г, 6, t) = — cos 0 21

cos nb

U (сіп-fl ttn— j) ^

V

Ф, (г, б, 0 = 2 COS «0

«==■2

и система уравнений, описывающих движение полости: и (1 + 8 — 2а2) — 1 + о — 2иа2 + м2 а3 = 0; а2 (1 + 8) — 2а2 if2 — 4ка3 — а3 (Зи + 1 — 3) -f- 4а4 и2 + 2и3 == 0;

/1 I Ол О/ Л \ +1

£(1 + 8)-2али2(я-1)-2и(ап+1-ап_1) - -^-(Зи + 1 - 8)+

ал—1

Н-------------------------------------------„— (и — 1 "Ь °) + ww2 й,(+2 (ч — 2) и- йп_2 = 0; и — 3, 4, 5 . . .

2

5. Результаты расчетов динамики слоя жидкости по уравнениям (20) для случая, когда твердый цилиндр неподвижен относительно жидкости на бесконечности, представлены на рис. 2 и 3. Решение прекращается в том случае, если на очередном шаге итерации твердая поверхность цилиндра соприкасается с границей раздела плотностей, т. е.

оо

/?-}- 2 (— 1)" ап —1 —х < ° при §<0-

л=2

На рис. 2 представлен случай течения, когда диаметр твердого цилиндра относительно невелик, и поэтому наиболее существенным фактором, определяющим характер течения, является весомость жидкости. В этом случае слой /. всплывает с образованием под-жатия в нижней части, скорость всплывания и темп формирования поджатия зависят от величины отношения плотностей.

На рис. 3 представлен случай, когда диаметр цилиндра близок к диаметру /?с и влияние стенок цилиндра сравнимо с влиянием весомости. Внутренняя жидкость в нижней части слоя притормаживается стенкой цилиндра, слой вытягивается в продольном направлении. На боковой части слоя формируется пережатие, которое в дальнейшем приводит к отрыву внутренней жидкости от цилиндра.

В случае когда скорость цилиндра относительно жидкости на бесконечности отлична от нуля, влияние твердой поверхности существенно даже при больших значениях /?. Расчеты показывают, что при фиксированном значении /? увеличение скорости V приводит к растяжению слоя в продольном направлении и пережатию слоя в его средней части.

6. Сила, действующая на цилиндр в вертикальном направлении, находится интегрированием давления по контуру /,ц цилиндра, т. е.

Давление жидкости определяется из интеграла Коши—Лагранжа

Интеграл по контуру в (21) сводится к интегралу по углу б, так как

(n.ix)dL — ( 1, Xi/X)(coSe, — sin 9) XdO~(cos б — я cos 26)¿¿0.

После всех необходимых операций в линейном относительно параметра в приближении получается выражение для силы, действующей на цилиндр:

В начальный момент времени, когда деформация границы слоя и смещение цилиндра равны нулю, сила Рх равна

Выражение (23) удовлетворяет известным предельным переходам; в частности, при фиксированном 8 и /? -> 1 или, наоборот, при фиксированном И и 8 -* 1 получается известное выражение для силы в сплошной жидкости с учетом весомости

На рис. 4 и 5 представлены результаты расчетов нестационарных нагрузок, действующих на покоящийся цилиндр в слое весомой жидкости, по формуле (22). Отмечается резкий рост нестационарной составляющей силы Ри — Рх— и8 за счет ускоренного движения слоя и увеличения присоединенной массы цилиндра при приближении его к границе раздела плотностей и деформации

(21)

ц

Fx = ~8 + т.Ы\ 5, [ W - ( Wa2 + Wa2) - Г2 Т1 Т2 +

R2 + 25 - 1

[V(R2 + 1) + /?2(2~8) + 8]. (23)

Р, = тс(1 + V).

самой границы. Возможны ситуации, когда сила FH возрастает вдвое и более, например, прирост силы в момент времени ¿=1,6 составляет около 90% от ее начального значения при 8 = 0,3 и Л? = 2,0 (см. рис. 4) или при /?=1,5 и 8 = 0,5 (см. рис. 5). Если скорость цилиндра относительно жидкости на бесконечности равна нулю, то при 8 0 и 8 1 нестационарная сила Fa 0; от-

сюда следует, что при фиксированном параметре R в любой момент времени существует максимум зависимости силы FH от отношения плотностей 8.

Таким образом, метод последовательных приближений, основанный на теории малых возмущений, позволяет успешно решить задачу о деформациях границы слоя стратифицированной весомой жидкости, свести ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и найти общее выражение для силы, действующей на круговой цилиндр со стороны внутренней жидкости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Segel L. A. Application of conformai raapping to viscous flow between moving circuler cylinders. „Quaterly of applied Mathematics“, vol. 18, N 4, 1961.

2. К a п a и к и h E. H. Удар кругового цилиндра в жидкости с внешней жесткой или свободной границей в виде окружности. Учет влияния границ потока в аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1154, 1969.

3. Аржанов А. И. Удар цилиндра при наличии границы раздела жидкостей различной плотности, „Ученые записки ЦАГИ“, т. IX,

№ 6, 1978.

4. Болдырев- А. А. Удар кругового цилиндра в концентрических слоях жидкости различной плотности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 6, 1971.

Рукопись поступила 1/ХИ 1981 г.