Исследование динамики двумерной газовой полости вблизи свободной поверхности весомой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том XIV 1983

№ 2

УДК 532.528

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЕСОМОЙ жидкости

В. В. Воронин

Решается задача о движении границы двумерной газовой полости в поле сил тяжести. Из кинематического условия на границе методом последовательных приближений относительно малых деформаций полости находится связь между абсолютным потенциалом течения жидкости и кинематическими характеристиками движения полости. Из динамического условия на границе получается система рекуррентных дифференциальных уравнений, пригодная для численного решения на ЭВМ. Результаты расчетов хорошо совпадают с экспериментальными данными.

1. В работах [1—3], посвященных исследованию динамики границ тонкой каверны под воздействием различного рода возмущений, показано, что в случае, когда деформации границ тонкой каверны много меньше ее поперечных размеров, задача в линейном приближении сводится к определению независимого движения и деформации плоского поперечного сечения. Именно по этой причине практическую важность приобретает вопрос о достаточно точном аналитическом решении задачи движения двумерной газовой полости при различных возмущающих факторах.

Существует значительное количество работ, содержащих аналитическое решение задачи о динамике сферической газопаровон полости в поле переменного давления [4, 5], вблизи твердого экрана [6, 7] и т. д. Но практически отсутствуют работы, рассматривающие вопрос о движении плоской газопаровой полости; немногочисленные примеры аналитического решения такой задачи ограничиваются условием постоянства объема полости [8]. Объясняется это тем, что изменение объема двумерного пузыря в безграничной жидкости или вблизи твердой стенки приводит к логарифмической особенности потенциала течения на бесконечности и к расходящемуся интегралу кинетической энергии.

Указанные трудности легко устраняются, если решается задача о движении границы двумерной газовой полости переменного

объема в присутствии свободной поверхности (см. рис. 1). Если отношение где —радиус полости, к — расстояние от

центра полости до свободной поверхности, то абсолютный потенциал течения представляется в виде ряда мультиполей, в том

Граница газовой полости, симметричная относительно вертикали, в цилиндрических координатах (г, 6), начало которых связано с подвижным центром полости (центром тяжести геометрической фигуры, контур которой совпадает с границей полости), задается функцией Р(г, 6, і) такой, что

на границе полости.

Задача состоит в том, чтобы, во-первых, из кинематического условия на границе полости найти связь между коэффициентами потенциала Сп и деформации ап\ во-вторых, из динамического условия получить систему дифференциальных рекуррентных уравнений объемных колебаний, перемещения и деформации полости.

2. Кинематическое условие (условие непротекания) на границе газовой полости состоит в том, что скорость частицы жидкости на границе по нормали к ней равна нормальной скорости самой границы. Так как функция F(r, 0, t) из (3) задает границу полости в подвижной системе координат, то условие непротекания можно выразить в виде

где и = и(cos б, —sin 6) — поступательная скорость перемещения центра полости (см. рис. 1).

Уравнение (4) в развернутом виде на границе полости будет иметь вид

числе и отраженных относительно невозмущенного уровня поверхности, т. е.

ф(г, б, t) =

Свободная '

поверхность

где

г$ = [г2 + 4/г3 — 4/гг соэ 0],/2;

05 = г-81п0-(2А — г соэ 0)-1.

Вблизи поверхности газовой полости используем разложение г8 и б5 в ряд по

Г

rs \л

степеням малого отношения т] = и, огра-

ничиваясь только линейными членами, получим из (1) выражение для абсолютного потенциала скоростей в виде

Ф (г, 9, /г, t) = С01п +

Рис. 1

СО

F(r, 0, t)—r — R(t) — У'і ап (t) cos «8 = О

(3)

(4)

§ + + u-sm 0)4-'W+ (Уг- «-cos 0)~ = O. (5)

Компоненты скорости жидкости (V,, 1/е) определяются дифференцированием потенциала (2) и равны

+ -^-cosQ — У п -^-rcos/гб,

г дг г 1 2h jLu rn + l

п = 1

і <эф

С0

г дв 2 h

Введем обозначения

sin 0 — п sin «б.

П~ 1

(6)

bn = CnR~n

оо

Z=1 + £cos/г0 = 1 + Г. j

(7)

п=2

В уравнение (5) подставляются значения компонентов скорости (6) с обозначениями (7), в результате получается уравнение

R zb

X п ^ГГ2- sin nQ ~ Е П&+1 008 ПЬ + Ь° 2h C0S 9 + Ь* 2Л Т Sin 6 +

/1 = 1 П=1

h z' 00

-f~=«-^-sin0 + M cos 9 + /? + E a« cos (8)

n=2

Уравнение (8) умножается на Zcosy'9d0 и интегрируется от нуля ДО ТТ. Первый, пятый и шестой члены интегрируются один раз по частям, окончательно из (8) получается

ОО 1C 1C г, ’7Г

— у ^ bn j" —— sir* «9 sin у0 rf9 -)- й0 j cos y'9 rf9 4- jb0 f Z sin 0 sin y'0 db =

n=l 0 0 0

7Z TZ 00 1C

— /? j Z cos y'0 d9 + /И J z sin 0 sin j 9 rf0 + ^ a„ j Z cos «0 cos /0 rf0. (9)

0 0 n=2 0

Предполагается, что амплитуды деформации a„ малы в сравнении с радиусом R, т. е. существует еще один малый параметр

s = 1; произведения a, aft, aiak, at ah имеют порядок г2. В даль-

н

нейшем ищется решение, линейное относительно малых парамет-ров s и т), т. е. члены порядка е-т) и выше отбрасываются.

При у —0 из (9) в линейном приближении получается

b0 = R. (10)

Очевидно, что коэффициенты Ьп в уравнении (9) являются линейной комбинацией скоростей и, R и ап, т. е.

= и

(И)

или

Ь — uq -f- Rs -f aD.

Согласно [5] коэффициенты Ьп ищутся в виде степенного ряда по малому параметру е, и решение ограничивается линейными членами, т. е.

q — q(0) 4. е^(') -f-. . . ;

(12)

s = v]s(°) 4- ss(1) + • • ■;

Z> = Z><°) + s/><!).

3. Линейная комбинация (11) подставляется в уравнение (9), после чего из (9) получаются три самостоятельных уравнения для

нахождения векторов q, s и матрицы D. Метод решения полученных уравнений можно продемонстрировать на примере нахождения

—У

вектора q.

Вектор q, характеризующий поступательное движение газовой полости, находится из соответствующей части уравнения (9):

со т. тс

sin/гб sin /в fife = — { Zsin б sin/в dO. (13)

tl— 1 о о

Дополнительно обозначается

тс

Ynj— | Yk sin nb sin/б dO, (14)

о

причем простые вычисления позволяют получить, что

У0 _ 71 g . IЛ ____ л ап+1 ап—\ / 1 [-4

I nj = ~Y °nji уп 1-------4--------------------------------

где on/- — символ Кронекера.

Обозначения (12) и (14) подставляются в уравнение (13), в результате получается

ОО

£ (<?Г + + • . . ) (У°п; - п Y\j) = - Y?J - Y\j . (16)

П= 1

Из (16) выписываются члены нулевого порядка малости, т. е.

оо ОО

V4 /7(0) Н° _ V'°-=4.V' /7(0)Г, _ _8

У . Яп I nj I IJ ==> 2^ Чп °nj — °1/>

Л=1 п=1

откуда

(17)

Далее в (16) группируются члены первого порядка малости, т. е.

оо оо СО .

х y°nj-Z №чУ Kj=-4^,

/2 = 1 /2=1 /2=1

откуда

(1) ап + \ — ап_ 1 / 1 о\

Щп =-------^------• (1“)

Полное выражение для компонента вектора q, определенного с точностью 0(e), получается сложением (17) и (18)

5 I ^/i+l -1 /10 \

<7п = -81ПН-------я-----• ^™

Аналогичным образом из соответствующих уравнений методом

последовательных приближений находятся компоненты вектора « и элементы матрицы й в виде

~ ______ К р __________.

п 2Л '1п пЯ ' —-------------------

(20)

Полученные решения (19) —(20) подставляются в (11), и с учетом первого соотношения (7) получается связь между коэффициентами потенциала С„, п = 1, 2 . . . и кинематическими характеристиками движения границы полости в виде

С„ = Ф

— иЯЪ1п + и (а,

п+Г

• /?2

Я/і-і) + И 2^^1п

К-1 -я ^ п п

(21)

В известных работах [1—3] в соотношениях, аналогичных (21), учитывались только первый и два последних члена. Таким образом, одно из уточнений, предлагаемых в настоящей работе, состоит в том, что в (21) учитываются дополнительные члены, линейные относительно малых деформаций полости.

4. Важной интегральной характеристикой движения газовой полости является присоединенный импульс Вх в направлении перемещения центра полости

(22)

интегрирование производится по контуру Ь границы полости.

Скалярное произведение векторов (П1Х) (см. рис. 1) легко определить следующим образом:

(п 1Х) = (пг г'г + Пб 4) Ьх =

: (соэ 0, —ЭШ 0) [ 1,---------—

соэ 6 + Кеэт 0. (23)

Элемент дуги с11 на границе газовой полости определяется из соотношений

і+і^

1/2

<*0^/?(1 + у)ёВ.

(24)

В выражение (22) подставляются значения потенциала (2) с учетом (21) и значения скалярного произведения и элемента дуги (23)—(24); после интегрирования по углу 0 в линейном приближении получается, что

Вх = тер.Я (# — 2а,) и — тгрЛ?2 Л? ■— .

(25)

Второй член в (25) описывает обтекание газовой полости потоком от симметричного относительно свободной поверхности

о

фиктивного источника; при 0 этим членом можно пренебречь.

Следовательно, присоединенный импульс плоской деформируемой полости зависит от продольного сжатия границы, что может быть наглядно истолковано с помощью простых соображений. Известно,

что присоединенная масса эллипса при движении вдоль одной из полуосей пропорциональна квадрату второй полуоси. Отсюда следует, что в случае движения эллиптической полости вдоль оси (к-\-а2) ее присоединенный импульс должен быть пропорциональным (К — а2)2 ~/?(/? —2а2), что совпадает с первым членом соотношения (25).

5. Динамическое условие на границе полости, заключающееся в том, что давление жидкости не меняется при переходе от одной точки границы к другой, позволяет записать интеграл Коши—Лагранжа в подвижной системе координат в виде

дФ -*■ 1уФ|2 \ Рк Ратч

ж - и,Ф + -У-)„*г+ ~ - — + гк - ЯЮ.с°8 6. (26)

В уравнение (26) подставляются значения производных потенциала (2) с коэффициентами (21), затем группируются члены, стоящие при косинусах кратных углов яб, п = 0, 1, 2 ... . Каждая

группа членов приравнивается нулю, и получается бесконечная

система рекуррентных дифференциальных уравнений:

\ (пп I ТУ>\ 1 ^ I и2 + К2 I Рь ^а™ и п

а) {RR + R-)\nJF^------------Ь— 4----------------------- -= 0;

б) 1,5а2) + 2и(Я — кщ — а2) + и2-^ —

- 4- 2Я2) А _ ^ (/? + 0,5 а2) = 0;

в) к = — и\

г) а2Я + 2а2 $ - а2 + 6 — а3 (зи + 2и~- 4 #) —

— 4а3 к + 4а4 + 2и2 — 2 и/? = 0;

Д) ^ + 2 ^ - ая (л - 1) (4 + 2 -^) -2 (ап+1 - а„_,) и-

г«+11о.: . о.. Л , \ , ап-1 / - , 0.. /г

Згг 4- 2ы ^ -1—4* 2и-^— 4" Ял+2-^- п-\-

(27)

+ Он—2 -^г (л ~~ 2) — 0;

п = 3, 4, 5 . . .

Легко заметить, что в случае нулевых деформаций и вдали

П

от свободной поверхности, когда -* 0, уравнение б) системы (27)

переходит в известное по [1] уравнение всплывания поперечных сечений тонкой каверны

М=-!ГЯ2 (х) </т.

Уравнения г) — д) системы (27) являются линейными относительно коэффициентов малых деформаций ап газовой полости, и так как скорость всплывания и{£) не является одной из форм деформации и ее малость не оговаривается, то естественным образом сохраняются члены, содержащие квадрат скорости к (аналогичный результат впервые получен в [1]). Отсюда также следует,

что скорость и не может быть произвольно большой величиной; необходимо, чтобы по крайней мере квадрат скорости и был величиной первого порядка малости, т. е. и2 —О (г). Можно показать, что выполнение этого условия необходимо для устойчивости решения задачи Коши об отыскании потенциала течения, удовлетворяющего условию непротекания на деформируемой границе полости.

Уравнение д) системы (27), как показано в [3], в некоторых приближениях можно свести к рекуррентной зависимости, выражающей возмущение порядка п через возмущение порядка п— 1, а именно:

Если скорость и является величиной нулевого порядка малости, то из (28) следует, что все деформации ап имеют одинаковый порядок малости. Однако в этом случае решение задачи Коши для уравнения Лапласа, удовлетворяющее в начальный момент времени граничным условиям

является неоднозначным, а сама задача Коши — некорректно поставленной (9).

Задача Коши может быть регуляризована, если скорость и (^) имеет, например, порядок 0(е1/2). Тогда из (28) следует, что порядок малости возмущений повышается с ростом индекса, т. е. ап — 0(ап/2). Можно показать, что решение задачи Коши в этом случае становится однозначным и устойчивым.

В уравнении д) системы (27) целесообразно сохранить члены, содержащие квадрат скорости и,(1), так как, например, произведение м2а„_2 имеет тот же порядок, что и возмущение ап. Значимость этих членов возрастает в случае движения границы полости, форма которой в начальный момент времени отличается от круговой.

6. Система уравнений (27), описывающих движение двумерной газовой полости, решалась численно методом Блёсса при различном числе учтенных форм деформации 10 < п <50. Показано, что решения практически не отличаются друг от друга при я >25. Процесс решения прекращается, если на очередном шаге итерации центр тяжести полости выходит за контур ее границы, т. е. при выполнении условия

На рис. 2 представлены результаты расчета динамики двумерных газовых полостей различной формы в поле сил тяжести. Наиболее интенсивно деформируется нижняя часть границы полости любой формы: граница прогибается внутрь полости и образует мощную кумулятивную струю, направленную вверх. Первоначально деформированная верхняя часть полости выравнивается и становится выпуклой (варианты 2, 3), нижний боковой прогиб имеет тенденцию подворачиваться под газовую полость и сливаться с кумулятивной струей (вариант 3).

(28)

о

^ 'Зг,=л = ^(в); 2)?^° ПРИ Г^°°,

со

жо+£(-1)ям*)<о.

- ^ + <7,, С0!* в’ ^

/?0л /с „ _

Перепад давленик йр-0,5

7. На специальной установке, которая формирует плоскую газонаполненную полость вблизи свободной поверхности жидкости, проведены физические исследования динамики полости в поле тяжести. Установка представляет собой плоскую вертикальную камеру размерами 120X50X2 см3, выполненную из органического стелка, и тонкостенного стакана с внутренним диаметром 100 мм, связанного посредством троса, переброшенного через блок, с чашкой, на которую падает груз (см. также [8]). Падающий с высоты 1,2 м груз передвигает стакан за границу плоской камеры и освобождает газовую полость за время 0,02 с.

Течение регистрируется с помощью скоростной кинокамеры •с частотой съемки 32 кадра/с. Киносъемка производится в проходящем свете на черном фоне; для удобства расшифровки на переднюю стенку камеры нанесена масштабная сетка с шагом 20 мм.

На рис. 3 приводится кинограмма всплывания плоской газовой полости в весомой жидкости с некоторой глубины до пересечения со свободной поверхностью; давление газа в полости в момент пуска равно атмосферному.

Кадры 1 — 11 демонстрируют процесс начальной деформации газовой полости. В работе [1] показано, что абсолютное ускорение частиц жидкости на поверхности постоянного давления направлено всегда вдоль нормали к этой поверхности и определяется величиной . Отсюда следует, что в случае движения газовой полости

в поле тяжести нижняя часть границы должна прогибаться внутрь полости, так как абсолютное ускорение частиц жидкости на границе увеличивается при 0 -> я. В силу симметрии течения в нижней части полости образуется мощная кумулятивная струя. По мере развития струя принимает грибовидную форму (см. также [8]), ее боковые точки касаются изнутри стенок полости; при этом формируются два симметричных относительно вертикали вихря, види-

мых благодаря мелким пузырькам воздуха, попавшим в область пониженного давления.

Кадры 12—18 зафиксировали всплывание газовой полости в форме кругового сегмента (см. [10)) с двумя спутными вихрями, присутствие которых обеспечивает в основном постоянство давления вдоль нижней границы-хорды. По мере всплывания объем газовой полости увеличивается, давление газа уменьшается, что приводит к изменению расположения вихрей относительно нижней границы и друг друга. В общем, как указывается в [11], система „газовая полость—спутные вихри“ представляет собой замкнутую круговую область, которая обтекается внешним потоком.

Кадры 19—27 показывают процесс пересечения свободной поверхности газовой полостью, начинающийся тогда, когда практически весь объем полости находится выше уровня невозмущенной свободной поверхности. Выравнивание давления газа в полости с атмосферным происходит настолько быстро, что падение давления на нижней границе не успевает компенсироваться изменением расположения спутных вихрей. Поэтому часть кинетической энергии жидкости, движение которой индуцировано спутными вихрями, переходит в потенциальную энергию поднятой над уровнем невозмущенной поверхности жидкости. Одновременно с подъемом нижней границы полости происходит быстрое разбегание вихрей в горизонтальном направлении.

На кадрах 28 — 44 показан процесс выравнивания свободной поверхности после прорыва газа из полости в атмосферу. Характерной особенностью является отсутствие волновых движений свободной поверхности, так как потенциальная энергия поднятой жидкости расходуется на увеличение скорости разбегания оставшихся внутри жидкости спутных вихрей.

На рис. 4 приводятся результаты расчета начальной деформации газовой полости, движение которой приводится на рис. 3.

f J У >

\ }

1 1 f* 0c 1 t У 0,031c У

f "V

w 3 t = {/ 0,062c 4 t V --0,093c

Так как масса и температура газа внутри полости остаются практически неизменными, систему уравнений динамики (27) необходимо дополнить уравнением состояния газа

pk + 0,5 X а\ j = const.

Результаты расчета границы полости (сплошная линия) сравниваются с экспериментальными данными (точки). Очевидно, что теоретическое решение хорошо описывает реальное течение даже в случае значительной деформации полости. Отклонения становятся существенными, когда вершина струи поднимается достаточно близко к центру тяжести полости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев, „Наукова думка*, 1969.

2. Журавлев Ю. Ф. Методы теории возмущений в пространственных струйных течениях. Труды ЦАГИ, вып. 1532, 1973.

3. Б у й в о л В. Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев, „Наукова думка“, 1975.

4. Y е h Н. С., Yang W. J. Dynamics of bubbles moving in liquid with pressure gradient. J. Appl. Physics, vol. 39, N 7, 1968.

5. Hermans W. A. H. J. On the instability of translating gas bubble under the influence of a pressure step. Philips Res. Repts Suppl.,

N 3, 1973.

6. Левковский Ю. Л. Структура кавитационных течений.

Л., „Судостроение", 1978.

7. Kobayashi R. Growth and collapse of a cavity close to solid boundary. Tohoku Univ., Inst, of High Speed Mech., Rept N 173, 1966.

8. W a 11 e r s J. K., Davidson J. F. The initial motion of a gas bubbles, formed in a inviscid liquid. „J. Fluid Mech.“, vol. 12, N 3, 1962.

9. A p с e н и н В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М., „Наука", 1974.

10. Collins R. The rise velocity of davidson’s fluidization bubble. Chem. Eng. Sci., vol. 20, 1965.

11. Collins R. Structure and behaviour of wakes behind two-dimensional air bubbles in water. Chem. Eng. Sci., vol. 20, 1965.

Рукопись поступила 10/VII 1981 г.