Аналитическое решение задачи о движении газовой полости в весомой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ученые записки цаги

Том XXII

1991

№6

УДК 532.529

аналитическое решение задачи о движении газовой полости в весомой жидкости

А. В. Сбоев

Рассматривается задача о движении двумерной газовой полости в весомой жидкостн. Методамн конформных преобразованнй найдено аналнтнческое решение задачн в точной, нелинейной постановке. Из кннематнческого н днна-мнческого условий на границе получена система обыкновенных днффереицналь-ных уравнений, позволяющих рассчитать нзмененне по временн формы по-лостн и потенциала течення жидкостн.

Задача об э^мюции формы двумерной газовой полости, всплывающей в весомой жидкости, обычно рещается в линейном приближенин для малых деформаций граннцы полостн [1—4|. В настоящей работе с помощью теорин функцнй комплексного переменного найдено точное реше-нне этой задачи.

Рассмотрнм задачу о дннамнке двумерной газовой полостн в ндеальной несжнмаемой н весомой жидкостн, которая заннмает всю плоскость (х, у) за нсключеннем внутренностн полости. Двнженне жндкостн предполагается потенцнальным. На бесконечности жндкость поконтся.

Для удобства математическнх выкладок будем придержнваться следующих соглашеннй. Черта над любым снмволом обозначает комплексно-сопряженную величнну, а точка над снмволом означает днфференцнрованне по временн. Все гидродинамические уравнения запнсываются в обезраз-меренном виде. Для этого используются обезразмеренные координаты г, время 1, потенциал ш и скорость течения жндкостн и:

где Т, V — соответствующие размерные величнны, g — ускоренне силы тяжести, # — радиус круга, равновелнкого газовой полостн, имеющей площадь 5 = лЯ^

Введем декартову систему координат ОХУ, связанную с покоящейся на бесконечности жндкдоъю, прнчем снла тяжестн действует протнвоположно направленню осн ОХ (рис. 1). Для решення задачн необходнмо найтн комплексный потенцнал течення ш (г, 1), завнсящий от комплексного аргумента г = х + 4'у и временн 1. Это позволнт определнть форму газовой полости в каждый момент временн 1. Потенцнал ю удовлетворяет двумерному уравненню Лапласа во всей областн течення. На границе полости должны выполняться два граничных условия — кинема-тнческое и динамнческое.

Для решення двумерного уравнення Лапласа полезно воспользоваться методамн теорнн фукн-цнй комплексного переменного. Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость комплексного параметрнческого переменного е = 6 + ¿1'] (см. рнс. 1). Взанмно-однозначное соответствне между фнзической н параметрнческой плоскостямн устанавлнвается с помощью конформного преобразо-вання, которое можно представнть в внде

2

2

оо

*=о

где коэффнциенты г(/) н аь(1) являются функцнямн временн.

Рис. 1

Рис. 2

Завнснмот-н г(/) и а*(/) целесобразио выбрать такими, чтобы область течения. в плоский параметрического переменного оставалась в любой момент временн внешностью круга единичного радиуса. В этом случае преодапевается основная труднжъ задачи — пот-ановка граничных условий на. перемещающихся свобоободиых повеохнот-ях. В плоскот-н ; граница ^аетн течення неподвижна и являетси окружнотъю единичного радиуса к = ехр(<в), где в — де^гаителтельное число 0<в<2я.

Форма папости в физической плоскости легко определяется из (1):

2„(в, /)= г(0ехр(/в) + 2 акУ)ехр(—1кв). *-0

(2)

Аивлогачно (1) разлагаются в ряд по отрицательиым степеням параметрической пе комплексный потенциал ю и комплексная сопряжеиная скорость движения жидкж'и о:

/)= 2 ь„(ц\:-\ 1) = 2 с4(/)е-\

*-0

(3)

ао

ао

где ^^ициееты

функцин w и V гармоничны во всей ^^астн течення жидкости | ^ 1.

^я устаиовлення связи между коэффицнентами а., ЬИ с. ^папьзуемся определеннем потенциала течеиия жидкот-и

¿ю = О • ¿2.

Подстамяя в это равенство разложення (1), (3) и группнруя одены с одинаковыми степенями можно папучнть следующие соотношеиия мя коэффициентов:

с0=О,с, = О, гс,+ Ь, = О,

гс.+, + кЬк — 2 п алс4_„ = О, 11-1

(4)

^я постановки граничных условий папезно ввести специвльиое обообозиачение доя частной производной по времени г/):

«(е. /) = ¿(е. 0 = г(/)\: + 2 ¿.(ое-*.

*-0

(5)

Эта величина является скоростью перемещения.. в физической плоскости образа фиксированной точки параметрического пространства. Скорость и в общем случае не совпадает со ско^стью движения частиц жидкости и, по^му соответствие между точками плоскж'и и частицами жидк^и с течением времени меняется.

На рис. 2 показаны положения с^^дной поверхнот-и в два близких момента времеии / и / + Частица жидкости, связанная в момент времени / с произвольиой точкой границы \;=ехр((в), и образ этой точки двигаются в физической плоскости г со своими различающимися скоростями V и и оставаясь я любой момент времени на св^^дной поверхиости.

ао

Из геометрическнх соображений ясно, что два вектора (и — V) и dzп/dв коолинеарны свобоДНОЙ поверхности В комплексиой форме это условне нмеет вид

1т [(и — "> 18] = °

d8 J ' (6)

при с=ехр('(в), 0<в<2л.

Для полУЧения дннамнческого граничиого условия запишем уравнение Коши — Лаграижа на граиице ^асти тоения с учетом п^гоянства давления на всей свободной поверх^сти:

(дт 1 - \ дГ--ас + "2™ + 21 = соад1,

(7)

при с = ехр((в), О < в < 231.

Производную потенциала по времени следует вычислять при фиксироваином положении точки г, поэтому в уравнеиии (7) появился дОПолннтельный член ии.

П^е подстановки (1), (3) и (5) в уравнения (6) и (7) граничные условия приводятся к виду:

1т

Re

ао ао "1

2 Л»ехр(«кв) + 2 В.ехр( —¿кв) I = °,

-*=0 *=о Л

ао ао "1

2 С.ехр('кв) + 2 О»ехр( —¿кв) I = °. -*=0 "=0 Л

(8)

где коэффициенты А», В», С», О. выражаются через коэффициенты разложения функций г. т, о и их прои^дных. Равенства (8) выполняется доя пронэ^мьной точки с^ОДдной поверхности, то есть при действительном значении в. В силу единственности разложения периодической функ-

ции в ряд Фурье по гармоиикам уравнения (8) эквивалентны системе

А. -В. = О,

С. + О. = О. к = 0.1. 2,____

}

(9)

Для доказател^ва' достаточио выделить в уравнениях (8) слагаемые. содержащие cos(kв) и

81П(кв).

Если заменить в системе (9) коэффициенты А». В», С. и О. своими выражениями, тогда ее можно записать в виде

Re

(бо+2 «Л+=

сопst,

6, — гс2 + 2 с„с„+1 + г + а, = О.

6. = — гс(

»+1

2 с„а",_п + 1: с„ё„+» + а» = О. к = 2. 3, ...

п=|

Re (г/ - 2 пала„) = О.

(10)

га. — — 2 (к + п + 1)а4+п+,а„-п=О

00 * 2 (п — к — 1)о„_._,а„ +2 палс»_„+, —

п=*+2

-гск+2= 0,

.С»

п=О

к = 0. 1. 2.....

Пер^ из уравнеиий (10) описывает изменение по времени аддитивной константы Ьо в потен циале, которая не:влияет на течение жидкости Поэтому это уравнение можно нсключить нэ системы. Дополняя систему (10) обыкновенных дифференциальных уравнений алгебраи^кими с^стиоше-ниями (4). случим замкнутую систему уравнений для определения всех входящих в нее величин.

00

00

X

г t=o г t=a,i r-t-1,0 r<^f>2

1,0

0,5.

0

У

-0,5 -1,0

— предложенный метод

— метод [9]

• эксперимент

Рис. 3

Для решения дифференциальных уравнений (1О) н^гёходимо задать значения коэффициентов а., Ь* и г начальный момент времени I = О:

П<одедиее раве^^м поучается из условия, что.^^зразмеривание гидродинами^ких уравнений пРОВОдмось таким образом, чтобтобы мощадь п^тати была равна 11. Начальная ^ичииа ко^^и-циентов с. (О) находится из уравиеиий (4).

Пример расчета ^одюции формы пмости по уравнениям (4), (10) приведен на рис. 3. В начальный момент времени жидкость находится в покое, а граница области течення является окружност-ью. Для ннтегрироваиии системы уравнений испмьзовался Адамса — Башфорта.

В расчеты учитымлось 60 гармоиик. Наблюдается удовлетворительное согласованне расчетиых результатов с экспериментальными данными (4). Для сравиення на рис. 3 на^ены результаты расчетов, проведенных по уравнениям ра^ны (4). В этой работе показано, что погрешность прнближенного решения изменяется пропорцнональио квадрату пара^^ра б, характеризующего степень деформации пмости и равного относительЮй ^нчине отклонення формы границы от круговой. Сопоставление готовых расчетов, проведенных по приближенной и точной методике, подтверждают ^от вывод. Следовательно, для ^^я точности приближеиных методов расчета формы полост-н может ис^м^ваться параметр б. Например, расчет по уравненням (4 ( ведется с оогреш^^^ю 5%, вди личина б не превышает 0,2.

Прн увелнчении д^^рмации ошибка вычислений в приближенной медике возрастает, прнводя в определеиный момент времени (/ = 1,2 на рнс. 3.) к физически нереальному результату самопересечення коитура граиицы. В ^м случае длярасчета динамнки газовой полостн нужно нспользрвать точные уравнения (4) и (10).

1. Л о г в и н о в н ч Г. В. Гидродинамика теченнй со с^йодными граиицамн.— Киев: Наукова думка, 1968.

2. Ж у р а в л е в Ю. Ф. М^ды -теории возмущений в пространственных струйных течениях.— Труды ЦАГИ, 1973, вып. 1532.

' 3. С о 11 i n s R. Structure and behaviour of wakes behind two-dimensional air bubbles in water.— Chem. Eng. Sii., уо1. 15965.

4. В о p о н и н В. В. Исследование динамикн двумерной газовой полостн вблнзи с^^дной поверхности— Ученые записки ЦАгИ, 1983, т. 14, № 2.

ЛИТЕРАТУРА

■C'S

Ру^дось ni^^nllAQa 4/1 1990 г.