Об ударе шара о поверхность воды Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том II

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И 1971

№ 4

УДК 532.5

ОБ УДАРЕ ШАРА О ПОВЕРХНОСТЬ ВОДЫ

А. Б. Лотов

На основе теории Г. Вагнера рассмотрена задача о быстром погружении в воду тела вращения с вертикальной осью симметрии. Получено решение основного интегрального уравнения. В качестве примера исследован вход в воду шара. Вычислена действующая на шар сила сопротивления воды. Произведено сравнение с данными эксперимента.

Рассмотрим вертикальный вход в воду тела вращения, движущегося в направлении его оси симметрии. Жидкость будем считать несжимаемой, невесомой и лишенной вязкости: перед ударом тела она была неподвижной и ее свободная поверхность представляла собой горизонтальную плоскость. Погружающееся тело будем считать абсолютно твердым; в области контакта с водой оно имеет слабо изогнутую поверхность, так что ординаты ее меридионального сечения и наклон касательных к плоскости невозмущенной свободной поверхности воды малые величины. Важный частный случай такой задачи — вход в воду тупого конуса — исследован Г. В. Лог-виновичем [1], [2] на основе свойства автомодельности течения.

Для решения поставленной задачи воспользуемся так называемым вторым методом Г. Вагнера [3]. Движение тела и воды отнесем к системе осей координат, неподвижных в пространстве; плоскость хОг совпадает с первоначально невозмущенной свободной поверхностью воды; ось у направлена вертикально вверх и совпадает с осью симметрии погружающегося тела. Будем рассматривать только симметричное относительно оси у движение жидкости и ограничимся его исследованием в меридиональной плоскости хОу.

Поскольку движение жидкости возникает из состония покоя и трение отсутствует, существует потенциал скоростей у=?(х,у, г, *). Обобщая соображения Г. Вагнера на случай пространственного осесимметричного движения, будем полагать, что движение жидкости, порожденное быстрым погружением в воду тупой поверхности» за исключением области брызговых струй, в каждый момент времени £ будет весьма близким к движению при ударе круглого диска, радиус с которого равен радиусу горизонтального сечения смоченной поверхности тела, определенной с учетом подпора. По

Ю9— -жг=— V для лг,<с;

общей теории [4] потенциал скоростей такого движения жидкости, отнесенный к подвижным осям координат х1} уи ги движущимся вместе с диском и в момент удара совпадающим с неподвижными осями х, у, г, при уг =0 имеет вид

<¥= — ^—Усг-—х? для Л!<с;

7Г 1

9 = 0 для Х1^>С.

Здесь V = —[2—скорость вертикального погружения тела.

Вертикальная скорость жидкости в плоскости 3/1=0

д? дуг'

д? 2 V ( с с\

~ —~ - агС5!пдля ^>с-

Для определения радиуса с вычислим высоту У подъема свободной поверхности жидкости относительно вершины тела А за время Ь в некоторой точке х (х^>с):

У (х, 0 = ^ {V+vy)dt.

о

Введем функцию

____V _ йк

и^с’ йс!<И~ йс

Уравнение свободной поверхности жидкости при этом преобразуется:

1 Н---] ийс.

V )

о

Обозначим уравнение меридиональной поверхности тела

У =/(*)•

В точке пересечения свободной поверхности жидкости с меридианом тела

X

-у-1 ийс.

Поскольку функции/(л:) и vy/V известны, это выражение можно рассматривать как интегральное уравнение для функции и(с):

/(х)

2 с

1-------агсвіп-

те х

* V X2

исіс.

о

Заметив, что и(с)-йс = й/г, перепишем это уравнение в следующем виде:

X X

исйс

Пх)=Д:1 ~ V агс5|п т) +1Г і

V X2 о

Интегрируя по частям первый член правой части и вводя обозначения

а; х2 — ^, ~ + и = 0 (а); /(х) = *}(£),

приводим его к интегральному уравнению Абеля

11 ] У^-а

решение которого известно. В результате находим

к(с) =

1 Г х/(х) йх

(1)

и (с)-

__ (1(1 Г х/(х) (ІХ

йс \ с \ у сг _ х* ) '

(2)

Применим полученные результаты для решения задачи о быстром погружении шара.

Обозначим радиус шара Я. Уравненйе меридиана шара в плоскости ху

/(х) = я - УФ - А :

Подставляя это выражение в формулы (1) и (2), получаем

А = -I _ 1п 1

Я 2 4-т

и

и ■■

_±_ + 1 + т2

2Т • 4-т2

1п

1 ~х.

1+4

1 -т

где

с

Поведение этих функций в области малых значений ^ ясно видно из их разложений в ряды:

Л і* Л , т2 , 3

Графики функций -4-(т) и и(4) показаны на фиг. 1. Представку

ляет интерес оценка величины подпора воды на поверхности шара. Вычислим для этого отношение с/с0, где с0 — диаметр сечения шара плоскостью невозмущенной поверхности воды:

/Я2 - (Я - А)2

с

Сп

V

_А_у

*1

Фиг. 1

При малых значениях -г это отношение вычисляется с помощью разложения

£±

с

-Ут" +

60

+ 0,0094 т*

Силы, действующие на шар при быстром погружении в воду.

Распределение давлений по поверхности шара вычислим с помощью интеграла Лагранжа:

Д р

<?ср

дЬ

2

^Р_\2 , (д? дх I

(3)

Здесь Ар— избыточное относительно атмосферного давление на поверхности шара; «р — потенциал абсолютных скоростей при ударе

о воду плоского диска радиусом с, отнесенный к неподвижной системе осей координат.

Исследованиями Г. В. Логвиновича применительно к удару клиньев и конусов показано, что при уточнении выражения для <р с целью более полного учета эффекта брызговой струи выражение для Ар сводится к формуле (3), в которой потенциал скоростей f должен быть отнесен к подвижным осям координат. Взяв приве-

2 _________

денное в начале статьи выражение для <р=-------УУс2— х2, спра-

ведливое при х<е, _у = 0, дифференцируя его по ^ и л: и полагая

I/ V ^ /оч

— — V и , из формулы (3) получим:

Ар 2 1с йУ\лГ.-------------= , 2 1 , 4 — те2 2

1 _ р + 9-тг2 «2/1 ’ (4)

РУ2~~ 11 [V2 М )¥ ^ ш 1 - 5 ^ 2тг2 *2(1 _ 5) ’

где X =

с

Из этого выражения видно, что при я -»с величина Ар-* — оо, что является физически нереальным.

Г. В. Логвинович рекомендует [2] формулу (4) применять только в области положительных давлений. Он показал, что подсчитанная таким образом полная гидродинамическая сила для ряда тел (клинья, конусы, цилиндр) хорошо согласуется с полученной экспериментально.

Полагая х = сЪ, где 6<1, найдем координату х границы области положительных давлений.

Подставим в формулу (4) £ = 02 и потребуем, чтобы Ар = 0. Замечая, что У1—62 =е есть малая величина, и пренебрегая

величинами порядка е2 и меньшими, из (4) найдем е=—; 6 =

7Г

= 1—1-(^

2 ^ 7Г

Расчет показывает, что Ар обращается в нуль в точках, чрезвычайно близко расположенных к основанию брызговой струи, порядка 0,5% с.

Вычислим теперь полную силу Р сопротивления воды при быстром погружении шара

= 1 ^ йХ =”С* /

Фиг. 2

Фиг. 3

Подставляя в правую часть выражение (4) для Д/»/р1/2 и выполняя интегрирование, найдем

Ч2

4р V2 И2 и

где

4 + я2 и и . и

(5)

^ ,6)

Функция ф(и) изображена на фиг. 2.

При погружении шара с постоянной скоростью

Ро-^г'Ни).

4РК2Я2 0 и

Зависимости Р0 от и и Л изображены на фиг. 2 и 3. Сопротивление шара при нестационарном погружении. Выражение (5) для силы сопротивления воды можно представить в виде

„ й , .. 4рV2с2 п .

(Ц ^пр ^ и ^

4 3

где /гапр — присоединенная масса диска радиусом с; тпр = -^-рсл.

Дифференциальное уравнение движения хиара массой т вдоль вертикальной оси у под действием силы Р и веса шара в = mg представим в виде

& I \г\ й ( т/\ , 4 ?У2с* ...

_ (М V) = V) + (1 - и + те.

Введем относительную присоединенную массу

т

где

4р/?3 1 р

к =

3/га те Рщ

(рш — средняя плотности шара).

Вводя в качестве зависимого переменного функцию

4/?2Р V2 г=----^—(1 4- (*)2,

преобразуем дифференциальное уравнение к виду

* 2г^ + 2

а?. 1 + н- т2

Интегрируя это линейное дифференциальное уравнение при

Л 4РД2 VI

начальном условии при ^ = 0, г = г0 = —^— , найдем

У

Уп

ІТ

ео

+ [х

где

-і—^ и (1 4~ е*)

£і-ф -2 Г і—“ йр.

Л 1+Р-О

1+ ш

14

(7)

V 2*я

Заметим, что в правой части выражения (7) множитель перед радикалом определяет отношение скоростей У/У0 при движении шара без учета влияния его веса. Последнее учитывается вторым множителем У\ + (•// У$) ■

Полная сила сопротивления шара Р имеет следующее выражение: ; ,

р=—-^г(тУ)-{-гтц = -4рс2~- ~-(У) + т$ , : или после приведения к безразмерному виду

Р =

+

і

б&І'о

4Р1/оЯ“ 2ы сГц ^ У0 Подставляя сюда выражение У/У0 из (7), получим

Р = Р0с( 1+ 3 ^ 1

~ь —

Vі) 6А1^(1+ц)

(8)

Здесь Р0 —безразмерная сила сопротивления шара при погружении с постоянной скоростью V = У0; а—фактор, учитывающий уменьшение скорости с глубиной погружения вследствие конечности массы шара т,

ТИ**

J 1+1*

(1 + |а)'!

Зависимость о от /г//? для разных значений параметра к изображена на фиг. 4.

3_

VI

и слагаемое

— члены, учи-

6АУ5(1 + Р-)

тывающие влияние веса шара.

На фиг. 3 и 5 изображены результаты расчетов силы сопротивления шара и относительной скорости его погружения при разных значениях к в предположении несущественности влияния собственного веса шара. Максимумы величин Р в функции снятые с кривых фиг. 3, и соответствующие им значения ЩР и V/1/0 изображены на фиг. 6. Из фиг. 3 и 6 видно, что нестационарность погружения оказывает существенное влияние на силу сопротивления и пренебрегать ею нельзя.

Для расчета зависимости силы сопротивления шара от времени путем численного интегрирования вычисляется квадратура:

п/я

Р Г (1{к1Р)

о

VIVо

(9)

Для оценки влияния собственного веса шара на процесс его погружения на фиг. 7 в качестве примера показаны результаты расчетов по формулам (7) — (9) при А ==10 и ряде значений У0.

Видно, что при изменении безразмерного веса шара 6 =

в

4Р VIР*

в пределах от 0 до 0,02 его влияние в области максимума Р невелико.

На фиг. 8 произведено сравнение результатов расчета и эксперимента, выполненного О. П. Шорыгиным и В. Н. Никитиным. Диаметр испытывавшегося шара был больше 1 м; его ускорения измерялись акселерометром с индукционным датчиком, собственная частота колебаний которого составляла 1000 гц. Видно, что общий характер зависимости Р от (Ц,/)//? и величина Ргаах по расчету удовлетворительно согласуются с экспериментом, тогда как интенсивность нарастания Р со временем на начальных участках кривых по теории получилась более высокой. Влияние веса шара слабо повлияло на изменение скорости со временем.

Ричардсон [5] занимался исследованием удара шара о поверхность воды, сбрасывая полусферу диаметром 508 мм весом 10,88

и 20,9 кгс со скоростями от 1,5 до 3,0 м/сек. Этим условиям соответствуют значения параметра /г = 2,00 и 1,045 и безразмерные

Р

0.3

0.2

0.1

1 /1 Л

\

\ \ —1— N.

\ р -*■ тах ч 0,04

\

9,02

0

10

20 Фиг. 6

0.9

0.1

02

0.1

к - 10

1<^| II > 1/

к,-/; д= 0,0167/ в=0 —

| |

30

Ь0 к

$01 0,02 0,03 0,0* 0,05 Ц06 {

Фиг. 7

р 0J0 О,IS 0}10

op

о

скорости 1/0 = 0,б8-ь 1,37. Ускорения шара регистрировались акселерографом с емкостным датчиком с собственной частотой колебаний 900 гц и скоростной кинокамерой (2000 кадр/сек). Сопоставление результатов испытаний Ричардсона с расчетами по предлагаемому методу показывает, что экспериментальные значения перегрузок в области максимума на 30—60% больше расчетных. Однако точность измерений была невысока (разброс точек составляет +20%). В опубликованном Ричардсоном методе расчета перегрузок не учитывается эффект подпора и используются почти в 2 раза завышенные присоединенные массы воды.

Ограничения метода расчета. Развитая теория справедлива только для небольших относительных погружений шара, когда сохраняется допущение малости ординат и наклонов погруженной части поверхности шара. Для оценки области допустимых погружений воспользуемся сравнением аналогичного расчета с экспериментами для конусов, проведенными Г. В. Логвиновичем [2]. Было показано, что удовлетворительное совпадение результатов сохраняется для углов конусности j3<30° (р — угол образующей с плоскостью ортогональной оси конуса).

Предположим, что и для шара теория будет применима при погружениях, когда угол наклона касательной к смоченной части меридианов с горизонтом р' не превысит 30°. Расчет показывает, что углу Р' = 30° соответствуют величины с/7? = ^ 0,45 и h/R^0,07.

Таким образом, можно полагать, что предложенный метод расчета применим в пределах погружения А//? <0,07.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логвинович Г. В. Течения с развитой кавитацией. .Инженерный журнал", т. 1, вып. 1, 1961.

2. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев, „Наукова думка', 1969.

3. Wagner Н. Ober Stoss- und Gleitvorg2nge ап der Oberflache von Fliissigkelten. ZAMM, H. 4, 1932, S. 193-215.

4. Ламб Г. Гидродинамика. М. — Л., ОГИЗ, 1947.

5. Richardson Е. G. The impact of a solid on a liguid surface.

The Proceedings of the Physical Society, v. 61, pt. 4, № 346, 1 oct. 1948.

Рукопись поступила 25jl 1971 г.