УЧЕТ КОНСТРУКТИВНОЙ ОРТОТРОПИИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ПРИОБРЕТАЕМОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научная статья УДК 539.3 + 624.012

ГРНТИ: 30.19 Механика деформируемого твердого тела; 67 Строительство и архитектура ВАК: 1.1.8. Механика деформируемого твёрдого тела; 2.1.9. Строительная механика doi:10.51608/26867818_2023_2_95

УЧЕТ КОНСТРУКТИВНОЙ ОРТОТРОПИИ И НЕЛИНЕЙНОЙ ПРИОБРЕТАЕМОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ

© Авторы 2023 SPIN: 8966-7812 AuthorID: 453902 ORCID 0000-0001-8601-4021 ScopusID: 6507502084 ResearcherID: ABA-7387-2021

ТРЕЩЁВ Александр Анатольевич

член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой

Российская академия архитектуры и строительных наук; Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: taa58@yandex.ru)

SPIN: 2473-3900 ЮЩЕНКО Никита Сергеевич

AuthorlD: 1123169 аспирант

Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: yushenko_1972@bk.ru

Аннот ация. Рассмотрен подход к построению математической модели поперечного изгиба прямоугольной пластины, не относящейся к классу тонких, обладающей начальной структурной ортотропией и выполненной из композитного материала, особенностью которого является приобретаемая в процессе нагружения нелинейной деформационной неоднородности. Данная неоднородность характеризуется зависимостью деформационно-прочностных свойств структуры пластины от вида напряженного состояния и направлений в ней. Соотношения характерных размеров пластины приняты таковыми, что использование гипотез Кирхгофа-Лява не может быть признано корректным, но вполне допускают переход от исходной трехмерной постановки краевой задачи механики к формулировке ее применительно к деформированию срединной поверхности в соответствии с подходом С.П. Тимошенко, который учитывает влияние сдвигов в поперечных сечениях. В предыдущих работах авторов данной статьи было показано, что, не смотря на наличие совершенно небольшого ряда известных моделей деформирования ортотропных материалов с наводимой нелинейной неоднородностью механических свойств, до настоящего времени нет единого подхода к построению для них уравнений состояния. В этих же работах показано, что вариант определяющих соотношений, предложенный авторами и основанный на использовании методики нормированных пространств напряжений, все же обладает универсальностью, и вполне адекватно с минимальными погрешностями предсказывает напряженно-деформированные состояния рассматриваемых материалов. Данный вариант использован в представленной работе. Математическая модель расчета прямоугольной пластины основана на гибридной форме прямоугольных конечных элементов в авторской интерпретации. Продемонстрированы основные результаты полученных решений.

Ключевые слова: структурная ортотропия; приобретаемая нелинейная неоднородность; прямоугольная пластина; нормированное пространство напряжений; метод конечных элементов; поперечный изгиб; гибридная форма; математическая модель; строительная механика; безопасность объектов строительства

Для цитирования: Трещёв А.А., Ющенко Н.С. Учет конструктивной ортотропии и нелинейной приобретаемой неоднородности при изгибе прямоугольных пластин средней толщины // Эксперт: теория и практика. 2023. № 2 (21). С. 95-102. Сок10.51608/26867818_2023_2_95.

Original article

CONSIDERATION OF CONSTRUCTIVE ORTHOTROPY AND NONLINEAR ACQUIRED INHOMOGENEITY DURING BENDING OF RECTANGULAR PLATES OF MEDIUM THICKNESS

© The Author(s) 2023 TRESHCHEV Alexander Anatolyevich

Corresponding Member of RAACS, Dr. of Technical, Prof., Head of the Department

Russian Academy of Architecture and Construction Sciences;

Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: taa58@yandex.ru)

YUSHCHENKO Nikita Sergeevich

PhD Candidate Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: yushenko_1972@bk.ru)

Abstract An approach to the construction of a mathematical model of the transverse bend-ing of a rectangular plate that does not belong to the class of thin, has an initial structural orthotropy and is made of a composite material, the peculiarity of which is the nonlinear deformation inhomogeneity acquired during loading. This hetero-geneity is characterized by the dependence of the deformation and strength proper-ties of the plate structure on the type of stress state and directions in it. The rela-tions of the characteristic dimensions of the plate are accepted such that the use of the Kirchhoff-Love hypotheses cannot be recognized as correct, but they quite allow for a transition from the initial three-dimensional formulation of the boundary val-ue problem of mechanics to its formulation in relation to the deformation of the median surface in accordance with the approach of S.P. Timoshenko, which takes into account the influence of shifts in cross-sections. In previous works of the au-thors of this article, it was shown that, despite the presence of a completely small number of known models of deformation of orthotropic materials with induced nonlinear inhomogeneity of mechanical properties, there is still no single approach to constructing equations of state for them. In the same works, it is shown that the variant of the defining relations proposed by the authors and based on the use of the normalized stress spaces technique still has universality, and predicts the stress-strain states of the materials under consideration quite adequately with minimal er-rors. This option is used in the presented work. The mathematical model for calcu-lating a rectangular plate is based on the hybrid shape of rectangular finite ele-ments in the author's interpretation. The main results of the obtained solutions are demonstrated.

Keywords: structural orthotropy; acquired nonlinear inhomogeneity; rectangular plate; nor-malized stress space; finite element method; transverse bending; hybrid shape; mathematical model; construction mechanics; safety of constructions

For citation: Treshchev A.A., Yushchenko N.S. Consideration of constructive orthotropy and nonlinear acquired inhomogeneity dur-ing bending of rectangular plates of medium thickness // Expert: theory and practice. 2023. № 2 (21). Pp. 95-102. (InRuss.). doi:10.51608/26867818_2023_2_95.

Введение

Интенсивное развитие строительной отрасли вызвало необходимость создания новых строительных материалов, особенностью которых является высокая прочность и жесткость при минимальной массе. К таким материалам относятся полимеры, композиты с использованием волокон бора, базальта и графитов. С другой стороны снижения массы используемых материалов при одновременном повышении деформационно-прочностных показателей конструкции в целом можно добиться путем использования эффективного очертания пространственных элементов. Использование композитных стеклопластиков и графитопластиков наряду с повышением жесткости и прочности конструкций создает предпосылки к увеличению их долговечности благодаря высоким показателям коррозионной стойкости.

Однако указанные материалы обладают определенными структурными особенностями, с которыми «не справляются» традиционные расчетные модели. К таким особенностям относятся структурная ортотро-пия, физическая нелинейность особого рода и зависимость деформационно-прочностных свойств от вида напряженного состояния, которую можно трактовать как деформационную анизотропию или наведенную неоднородность [1-19].

Отмеченные особенности вызвали к жизни новую ветвь механики, основой которой послужил ряд моделей специальных уравнений состояния, определяющих поведение материалов, обладающих анизотропией двоякого рода [4; 8; 20-27]. Модели уравнений были сформулированы как в квазилинейной, так и в нелинейной формах. При этом нелинейные уравнения не гарантируют более высокую точ-

ность соответствия теоретических расчетов экспериментальным данным по отношению к квазилинейным. Все зависит от механизма учета влияния сложного вида напряженного состояния на параметры тензора податливостей, заложенного в этих моделях. Поэтому, оценивая недостатки различных теорий, нами были предложены уравнения состояния для ортотропных материалов с наводимой деформационной анизотропией, построенные с использованием нормированного пространства напряжений, в квазилинейном [28-30] и нелинейном представлениях [31]. Там же продемонстрированы преимущества и высокая точность введенных соотношений.

Здесь рассматривается построение математической модели поперечного изгиба прямоугольных нетонких пластин, для которых свойства двоякой анизотропии учитывается нелинейными определяющими соотношениями [31].

Построение конечно-элементной модели

изгиба плиты

Для оценки напряженно-деформированного состояния ортотропной пластины средней толщины в соответствии с механической модели С.П.Тимошенко геометрические соотношения представим в виде: Ц (X!, Х2, Х3 ) = ц (X!, х2) + х3^2 (хг, х2); и2( х1, х2, Х3) = и 2 X, Х2) + хъ\у1(х1, Х2) ;

Ц^, Х2, Х3) = w{X1,X2), (1)

где х1, х2 - оси декартовой системы координат, привязанные к срединной плоскости пластины; х3 - перпендикулярная ось к срединной плоскости; и1(х1,х2) - продольные перемещения в срединной плоскости; w - перемещения ортогональные к срединной плоскости (прогибы); Ч/1(х1, х2) = w,1 -у23, у/2(х1,х2) = wп -^13 - углы поворота поперечных сечений пластины или срединной поверхности относительно указанных индексами осей; ^13, У23 - поперечные сдвиги в соответствующих сечениях пластины.

В соответствии с установленными перемещениями и с правилами правой системы координат, используемой в МКЭ, определим относительные деформации произвольной точки пластины следующим образом:

L +Х3^2

= u2,2 + x

(2)

где

м=

е22

Y12 N

Y13

/23.

sim

0 0 0

0 0 0

р66 0 0

р ' 44 0

Р55

Т12 Т13 Т23

Р11 = А1111 (СТ) + в11ц (^)ац; Р22 = А2222 (СТ) + В2222 Х2 '' Р12 = Л1122 (СТ ) + В1122 (СТ)(а11 + а 22 ) ;

Р66 = С1212 ) ; Р44 = С2323 ) ; Р55 = С1313 ) ;

где Лкт ) , %<т ) , Стт ) -нелинейные жест-костные функции от интенсивности напряжений, зависящие от свойств ортотропного материала;

сг = -^ц + а\2 -ст11а22 + 3(т122 + г\ъ + т\ъ) - интенсивность напряжений с учетом модельных упрощений; аи =ац /^ - упрощенного нормированные напряжения

5 = ф

е12 = и, ,2 +и2 ,1 + Х3 {^2 ,2 -^1 '1 ) ;

е33 = 0 ; ^13 = W,1 +^2 ; У23 = w,2 -^1

Матричное уравнение связи тензоров деформаций и напряжений с учетом упрощений типа С.П. Тимошенко (2) для ортотропных материалов с нелинейной зависимостью жесткостных свойств от вида напряженного состояния согласно предложенным в работе [31] определяющим соотношениям можно принять в виде: {е} = ИМ, (3)

(i, j = 1, 2); 5 = ,/ст„ст„ =

•у/о^ + а\2 + 2(Т + т23 + т223 ) - норма тензорного пространства напряжений с учетом упрощений.

Нелинейные материальные функции Ajjkm (ст(),

ВИЫ(о,-), Cjjkm(о,), фигурирующие в уравнениях (3), для процесса деформирования композита «углеродное волокно-углерод AVCO Mod 3a» устанавливаются по результатам обработки экспериментов по растяжению и сжатию в главных осях ортотропии, а также на сдвиг в главных плоскостях, которые получены в работе [31]. Все виды экспериментально установленных диаграмм для данного композита заимствованы из публикаций [8; 15-16]. С учетом модельного упрощения задачи материальные функции можно представить в виде:

Akkkk (о,) = 0,5[1/ Е+(о) +1/Е-(о, )]; Bkkkk (о,) = 0,5[1 / Е+(о) -1/Е-(о,)]; Am (О) = -0,5К (о) / Е+ (о) + v-m (О) / Е- (о)]; (4) Bkkmm (о) = -0, V (о) / Е+ (о) - v-m (о) / Е- (о,)] ;

Cpqpq (о) = 1 / Gpq (о); (k, m = 1, 2); (p, q = 1, 2, 3), где E± (о,) = a± + m^a, + n^af ; Gpq (о) = Qpq + Ppq°l+ Qpq°f

(о ) = Km + PtmPl + tin?] E± (°i) , Gpq (°i) , V±m )

- нелинейные аналоги модулей упругости, сдвига и коэффициентов поперечной деформации ортотроп-

ного тела в направлениях главных материальных осей и соответствующих плоскостей (знаком «+» обозначены характеристики, соответствующие осевому растяжению, а знаком «-» - осевому сжатию), являющиеся функциями интенсивности напряжений; о±, т±, п±, А^, , ^, 9рЦ, Р„, - константы алгебраических полиномов, полученные аппроксимацией данных экспериментов (методом наименьших квадратов) по деформированию композита, которые приведены в работе [31].

Обращение матричного уравнения (3) позволяет установить следующие зависимости:

= [Т]{е}, (5)

где [7] = [Р] 1 - матрица жесткостей, зависящих от

вида напряженного состояния и уровня нагружения.

Учитывая, что механическое поведение конструкций не зависит от физической природы материала, из которого они изготовлены, в рамках модели С.П.Тимошенко статические уравнения изгиба пластин представимы в виде:

N11,1 +%2,2 = 0; N12,1 + N22,2 = 0; Мц,1 +М12П = 01;

М,п +М22,2 = 0?; 01П +02,2 = q(Xl,*>), (б)

'12 '1 h/2

-<1'1

h/2

h/2

Tk3dX3

где {M} =

[D] =

Nr N2

N1.

D„ D„ D1C K,

Da

D

K2. K

K25

K65

J

K11 K12 Kl6

K12 K22 K26

Kl6 K26 K65

J14 J24 J46

J15 J25 J 65

Jll Jl2 Jl6

J22 J26 J66

W21 Wl '2

W22 -Wll

Yl3 Y23

U,,

Jj = J TkmdX3 ; Kkm = J TkmX3dX3

-h/2 -h/2 h/2

Dpq = J TmX¡dX3 ,

(9)

-h/2

где N = | ^ёх3; Ц = | ^хЗёх3 ; О = }

-Л/2 -Л/2 -Л/2

(/,1, к = 1,2); (7)

Л - толщина пластины.

Уравнение связи вектора обобщенных усилий {М} с обобщенными деформациями, получаемыми срединной поверхностью пластины после интегрирования напряжений (5) по правилам (7) с учетом геометрических зависимостей (2) определится следующим образом:

{М} = [0]{е}, (8)

Ми

М2: М-

где i, j = 1,2,4,5,6; k ,m = 1,2,4,5,6; p,q = 1,2,6.

Очевидно, что жесткостные параметры пластины Jи, Kkm, Dpq (9) аналитически неопределимы,

так как компоненты матрицы [Г] не являются известными функциями координаты х3, а нелинейно зависят от характера, степени нагружения конструкции и от вида напряженного состояния, реализуемого в конкретной точке тела пластины. Поэтому для получения результатов интегрирования пластину необходимо условно разделить по толщине на ряд фиктивных слоев в таком количестве, чтобы была обеспечена необходимая точность расчетов. Было принято 21 слой одинаковой толщины (достаточно 13 слоев). Однако интегралы можно вычислять приближенно, разбив пластину по толщине на ряд фиктивных слоев. В целях упрощения фиктивные слои можно принять одинаковыми по толщине. Интегрирование рекомендовано выполнять численно методом Симпсона.

В расчетной модели представим пластину сеткой плоских конечных элементов с разбивкой по толщине на ряд фиктивных слоев. Жесткостные параметры в рамках конкретного конечного элемента будем определять в центре каждого фиктивного слоя и распространять их на весь его объем. Во избежание появления «паразитных жесткостей» при изгибе ор-тотропных пластин при использовании изопарамет-рических конечных элементов с учетом поперечных сдвигов здесь были приняты гибридные элементы, основанные на функционале, обоснованном в работах P.Tong и T.T.H. Pian [32-33]. Впервые, по-видимому, гибридная формулировка простейших гибридных элементов была осуществлена в работах R.D.Cook [34-35]. Полная оригинальная формулировка всех уравнений и матриц, свойственных треугольным и прямоугольным гибридным элементам с пятью степенями свободы в узле, основанным на указанном функционале с использованием нелинейных определяющих зависимостей типа (8) подробно обсуждалась в работах [36-39]. Кроме того в этих же

работах проведена оценка сходимости конечно-элементных моделей с учетом разбиения на фиктивные слои. Учитывая, что ортотропный материал пластины обладает ярко выраженной физической нелинейностью, зависящей от вида напряженного состояния, при решении использовалась процедура метода переменных параметров упругости в сочетании с пошаговым нагружением малыми величинами поперечной нагрузки.

Постановка задачи об изгибе

прямоугольной плиты

Апробация рассмотренной конечно-элементной модели осуществлена применительно к поперечному изгибу сплошной прямоугольной пластины со следующими габаритными размерами: a х b х h = 1 х 0,75 х 0,075 м, где a и b - размеры пластины в плане, а h - ее толщина, которая принималась в соответствии с классификацией пластин средней толщины при h = b/10. Поперечная нагрузка, приложенная к верхней плоскости пластины, соответствует равномерно распределенной интенсивностью q, возрастающей от 0 до 1,45 МПа. Опира-ние пластины принято в виде жесткого защемления по всему контуру (расчетная схема приведена на рис. 1). Пластина в плане покрывалась сеткой прямоугольных конечных элементов размерностью 16х16, при этом, как указывалось выше, в каждом КЭ по толщине выделялся 21 фиктивный слой. В качестве материала пластины принимался ортотропный композит «углеродное волокно-углерод AVCO Mod 3a», деформационно-прочностные характеристики которого зависят от вида напряженного состояния [8; 15-16; 31].

^ Î i $ if f

V Л 11 f I I I ' I ' I ' I I}

t я

t h

меров перемещений согласно принятой их нумерации внутри узла. Для жесткого защемления пластины обнулялись на контуре узловые перемещения, характеризующие следующие параметры: u1 = 0; u2 = 0; w = 0; у/1 = 0; ц/2 = 0. Процесс приложения нагрузки осуществляется путем задания вектора узловых сил для указанной области ансамбля, которая, в принципе, допускает сведение к силе, приложенной к одному узлу (сосредоточенная сила в точке).

На базе принятой конечно-элементной модели была разработана пошагово-итерационная процедура, реализованная на алгоритмическом объектно-ориентированном языке высокого уровня C++, с применением среды разработки Visual C++ фирмы Microsoft. Количество итераций по методу переменных параметров упругости устанавливалось автоматически при достижении разницы в величинах напряжений между смежными приближениями не более 0,01%, система алгебраических уравнений МКЭ решалась методом Гаусса.

Ниже приведены графические зависимости полученных характерных результатов для расчетных величин. Предварительно была рассмотрена тенденция сходимости МКЭ в зависимости от густоты сетки элементов и дискретизации пластины по толщине. Выбранные параметры были приведены выше.

Демонстрация полученных результатов

Характерные результаты расчета поперечного изгиба жестко защемленной по всему контуру орто-тропной прямоугольной пластины, выполненной из композита AVCO Mod 3a, представлены на рис. 2 - 7. При этом рис. 2 и 3 демонстрируют зависимость максимальных прогибов и моментов от уровня интен-

Максимзпьные прогибы, м

Рис. 1. Расчетная схема жестко защемленной пластины

Граничные условия на контуре пластины формируются путем присвоения нулевых значений подмножеству вектора узловых перемещений ансамбля КЭ, характерному для конкретного опирания или закрепления. Это подмножество перемещений генерируется в ответ на указание последовательности узлов ансамбля и но-

■ Теория Трещева A.A. ортотропные материалы P.M. Джонс - Д.А.Р. Нельсон

■ к.в. Берг - Д.н. Редди -С.А. Амбарцумян

A.A. Золочевский

Класс, реш. без учета разносопротивляемости

2

W, M

3.5 4 х10"3

Рис. 2. Влияние величины интенсивности нагрузки на максимальные прогибы

Максимальный момент M

■ Теория Трещева А.А. ортотропные материалы Р.М. Джонс - Д.А.Р. Нельсон

■ К.В. Берт - Д.Н. Редди

■ С.А. Амбарцумян А.А. Золочевский

Класс. реш. без учета разносопротивляемости

2

3 M

4

5

, Н*м

Максимальный момент M

[15-17], К.В. Бертом и Д.Н. Редди [8-14], С.А. Амбар-цумяном [24] и А.А. Золочевским [23], а также без учета их разносопротивляемости.

Рис. 4. Распределение прогибов ^вдоль длинной стороны пластины

Рис. 5. Распределение прогибов ^вдоль короткой стороны пластины

■ Теория Трещева А.А. ортотропные материалы Р.М. Джонс - Д.А.Р. Нельсон

■ К.В. Берт - Д.Н. Редди

■ С.А. Амбарцумян А.А. Золочевский

Класс. реш. без учета разносопротивляемости 4

м22, Н*м хю4

Рис. 3. Влияние величины интенсивности нагрузки на максимальные моменты

сивности поперечной нагрузки, а рис. 4 - 7 характеризуют распределение расчетных величин прогибов и моментов вдоль осей симметрии пластины по длинной и короткой сторонам при фиксированном значении нагрузки д=1,45 МПа. При выполнении расчетов по рассматриваемой модели с использованием уравнений (3) - (5) производилось сравнение результатов, получаемых благодаря применению различных вариантов определяющих соотношений для деформационно анизотропных материалов, предложенных Р.М. Джонсом и Д.А.Р. Нельсоном

Рис. 6. Распределение моментов Мц [кН^м] вдоль длинной стороны

Для более наглядного численного сравнения результатов расчета пластины вдоль длинной стороны, получаемых по различным вариантам уравнений состояния ортотропных материалов, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния, с оценкой погрешности классической теории относительно указанных моделей приведены в табл. 1.

Н*м

11

0

6

7

10

Н"м

22

Рис. 7. Распределение моментов М>2 [кН^м] вдоль короткой стороны

Таблица 1. Результаты расчета пластины по различным моделям

\ Модели \решения Результатьгч. Классическое решение Пред-ложен-ная модель R.M. Jones, D.A.R. Nelson C.W. Bert, J.N. Reddy А.А. Зо-ло-чев-ский С.А. Амбар-цумян

Прогиб w, м*10-3/% 3,1 3,9/ 25,8% 3,75/ 21% 3,55/ 14,5% 3,25/ 4,8% 3,2/ 3,2%

Напряжение Стп в центре, МПа/% 19 23/ 21% 22/ 15,8% 21/ 10,5% 20/ 5,3% 19,5/ 2,6%

Напряжение ст22 в центре, МПа/% 36 46/ 27,8% 44/ 22,2% 42/ 46,7% 38/ 5,6% 37/ 2,8%

Момент М11, кН«м/% -18 -22/ 22,2% -21,7/ 20,6% -21,5/ 19,4% -20,8/ 15,6% -18,3/ 1,7%

*Момент М22, (вдоль короткой стороны) кН«м/% -30 -40/ 33,3% -38/ 26,7% -37/ 23,3% -36/ 20% -34/ 13,3%

Обсуждение полученных результатов

Анализ результатов расчета прямоугольной жестко защемленной пластины, обладающей структурной ортотропией, осложненной нелинейной зависимостью жесткостных свойств материала от вида напряженного состояния, позволяет утверждать, что учёт подобных особенностей дает возможность значительно уточнить результаты деформационно-прочностного расчета конструкции (погрешность результатов, получаемых по классической тории упругости ортотропных материалов, представлена в табл. 1 и на рис. 2 - 7). Кроме того результаты расчета пластины по предложенной модели не противоречат, а лишь уточняют решения, вытекающие из других теорий благодаря особенности более гибкого учета нелинейных свойств материала, что подтверждено рис. 2 - 7.

Выводы

Анализируя полученные результаты расчета ортотропной пластины средней толщины при попе-

речном нагружении и жестком защемлении по контуру с учетом приобретаемой в процессе деформирования неоднородности распределения механических свойств с учетом физической нелинейности, позволяет утверждать, что все это ведет к изменению научных мировоззрений при оценке состояний конструкций. Это объясняется особенностью ранее не учитываемых свойств материалов пространственных конструкций, которое определяется кардинальном их отличием от классических нелинейно упругих, хотя и в рамках структурной ортотропии. В частности, выявлены очевидные погрешности в определении параметров НДС традиционной нелинейной теории деформирования ортотропных пластин. При этом, как естественный фактор обнаружено нелинейное распределение напряжений по толщине.

Библиографический список

1. Розе, А.В. Трехармированные тканные материалы / А.В. Розе, И.Г. Жигулин, М.Н. Душин // Механика полимеров.

- 1970. - №3. - С. 471-476.

2. Каргин, В.А. Энциклопедия полимеров / В.А.Каргин.

- М.: Советская энциклопедия. - 1977. - Т. 3. - 1152 с.

3. О нелинейном деформировании углепластиков: эксперимент, модель, расчёт / Е. В. Амелина, С. К. Голушко, В. С. Ерасов [и др.] // Вычислительные технологии. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 27-52. - EDN UQCKLZ

4. Идентификация механических характеристик армированных волокнами композитов / Р. А. Каюмов, С. А. Лукан-кин, В. Н. Паймушин, С. А. Холмогоров // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. - 2015. - Т. 157, № 4. - С. 112-132. - EDN VBEYRR.

5. Калинка, Ю.А. Исследование физико-механических свойств хаотически наполненных стеклопластиков / Ю.А.Ка-линка, С.М.Боровикова // Механика полимеров. - 1971. - №3.

- С. 411-415.

6. Development of the recommendations on selection of glass-fiber reinforced polyurethanes for vehicle parts / L. N. Shafigullin, A. A. Bobrishev, A. N. Shafigullina [et al.] // International Journal of Applied Engineering Research. - 2015. - Vol. 10, No. 23. - P. 43758-43762. - EDN WOTQAX.

7. Production of sulfur composite materials from sulfur containing waste for construction applications / A. A. Yusupova, R. T. Akhmetova, A. A. Treshchev [et al.] // Research Journal of Pharmaceutical, Biological and Chemical Sciences. - 2016. - Vol. 7, No. 4. - P. 1411-1419. - EDN XFPUMJ.

8. Bert C.W. Models for Fibrous Composite with Different Properties in Tension and Compression / C.W. Bert // Transaction of the ASME. - 1977. - Vol. 99 H. - Ser. D. - No. 4. - Р. 344-349.

9. Bert C.W. On the Behavior of Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials / C.W. Bert, L.N. Reddy // ZАММ.

- 1982. - V. 62. - № 6. - P. 213 - 219.

10. Bert C.W. Bending of Thick Rectanqular Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials / C.W. Bert, J.N. Reddy, W.C. Chao // AIAA Journal. - 1981. - Vol. 19. - No. 10. - P. 13421349.

11. Bert C.W. Deflection of Thick Beams of Multimodular Materials / C.W. Bert, F. Gordaninejad // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1984. - Vol. 20. P. - 479503.

12. Reddy J.N. Nonlinear bending of bimodular-material plates / J.N. Reddy, W.C. Chao // J. Solids a. Structures. - 1983. -V>l. 19. - N 3. - P. 229 - 237.

13. Hsu Y.S. Thermoelasticity of Circular Cylindrical Shells Laminated of Bimodulus Composite Materials / Y.S. Hsu, C.W. Bert, J.N. Reddy // Journal of Thermal Stresses. 1981. Vol. 4. No. 2. Pp. 155-177.

14. Reddy J.N. Thermal bending of think rectangular plates of bimodulis composite materials / J.N. Reddy, C.W. Bert, Y.S. Hsu, V.S. Reddy // Journal Mach. Eng. Sci. - 1980. - Vol. 22. -No. 6. - P. 297-304.

15. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material / R.M. Jones // AIAA Journal.

- 1980. - V. 18. - № 8. - Р. 995 - 1001.

16. Nelson D.A. Theoretical and experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite / D.A. Nelson, R.M. Jones // AIAA Journal. - 1976. - V. 14 - №10. - P. 1427-1435.

17. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression / R.M. Jones // AIAA Journal, 1977. Vol. 15. No. 1. P. 16 - 25.

18. Tabaddor F. Two-Dimenshional Bi-Linear Ortotrtpic Elastic Materials / F. Tabaddor // Journal of Composite Materials.

- 1969. - Vol. 3. - P. 725-727.

19. Мкртчан, Р.Е. Закон упругости для слоистого материала, разносопротивляющегося деформациям растяжения и сжатия / Р.Е.Мкртчан // Механика полимеров. - 1978. - №2. -

C. 199-203.

20. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния / Е.В.Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - №3. - С. 63-69.

21. Ramana Murthy P.V. Finite Element Analysis of Laminated Anisotropic Beams of Bimodulus Materials / P.V. Ramana Murthy, K.P. Rao // Computers and Structures. - 1984. -Vol. 18. - No. 5. - P. 779-787.

22. Schmueser D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Response of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells /

D.W. Schmueser // AIAA Journal. - 1983. - V. 21. - №12. - P. 1742

- 1747.

23. Золочевский, А.А. Напряженно-деформированное состояние в анизотропных оболочках из разномодульных композитных материалов / А.А. Золочевский // Механика композитных материалов. - 1986. - №1. - С. 166-168.

24. Амбарцумян, С.А. Основные уравнения и соотношения разномодульной теории упругости анизотропного тела / С.А. Амбарцумян // Изв. АН СССР. МТТ.

- 1969. - №3. - С. 51-61.

25. Нгуен, Ш. Т. Идентификация параметров квадратичной модели упругого анизотропного материала / Ш. Т. Нгуен, Д. В. Христич // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2021. - № 3(49). - С. 3-11. -DOI 10.37972/chgpu.2021.49.3.001. - EDN IMUCUB.

26. Нгуен, Ш. Т. Нелинейные модели упругости орто-тропного материала / Ш. Т. Нгуен // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2021. - № 4(50). - С. 25-32. - DOI 10.37972/chgpu.2021.50.4.004. - EDN VUUESW.

27. Khristich D.V. Determining the type of initial anisot-ropy of elastic material from a series of experiments / D.V. Khristich, S.T. Nguyen // IPO Conference Series: Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Vol. 1479. - 012139. - 12 p.

28. Трещев, А. А. Вариант модели деформирования ортотропных композитных материалов / А. А. Трещев, Ю. А. Завьялова, М. А. Лапшина // Эксперт: теория и практика. -2020. - № 3(6). - С. 62-68. - DOI 10.24411/2686-7818-202010027. - EDN SWJGCO.

29. Defining equations of deformation of materials with double anisotropy / A.A. Treschev, Yu.A. Zavyalova, M.A. Lapshina, A.E. Gvozdev, O.V. Kuzovleva, E.S. Krupitsyn // Chebyshevskii sbornik. - 2021. - Vol. 22. - No. 4. - P. 369 - 383.

30. Трещев, А. А. О концентрации напряжений в композитных материалах / А. А. Трещев // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2021. - № 11(755). - С. 120133. - DOI 10.32683/0536-1052-2021-755-11-120-133. - EDN RHSEGA.

31. Nonlinear matematical model of relation of second-rank tensors for composite materials / A.A. Treshchev, A.E. Gvozdev, N.S. Yushchenko, А.А. Kalinin / Chebyshevskii sbornik. -2022. - Vol. 23. - No. 3. - P. 224 - 237.

32. Tong P. A variation principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution / P. Tong, T.H.H. Pian // Int. J. Solids Struct. - 1969. - P. 463-472.

33. Pian TKH. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution / TKH. Pian // AIAA Journal. -1967. - Vol 5. - P. 1332-1336.

34. Cook R.D. Two hybrid elements for analysis of thick thin and sandwich plates / R.D. Cook // Int. J. num. Meth. Engng. - 1972. - Vol. 5. - P. 277-288.

35. Cook R.D. Some quadrilateral "hybrid" finite elements / R.D. Cook, J.K. Al-Abdulla // AIAA Journal. - 1969. - Vol. 7. - N. 11. - P. 2184-2185.

36. Артемов, А.Н. Поперечный изгиб железобетонных плит с учетом трещин / А.Н.Артемов, А.А.Трещев // Изв. вузов. Строительство. - 1994. - №9 - 10. - С. 7-12.

37. Теличко, В. Г. Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами / В. Г. Теличко, А. А. Трещев // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2003. - № 5(533). - С. 17-23. - EDN PJIGPV.

38. Теличко, В. Г. Гибридный конечный элемент для моделирования пространственных машиностроительных конструкций с усложненными свойствами / В. Г. Теличко, А. А. Трещев // Проблемы машиностроения и автоматизации. -2004. - № 1. - С. 61-65. - EDN HLAAOR.

39. Трещев, А.А. Теория деформирования пространственных железобетонных конструкций / А.А.Трещев, В.Г. Теличко - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2019. - 386 с.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Статья поступила в редакцию 10.04.2023; одобрена после рецензирования 15.05.2023; принята к публикации 15.05.2023.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication. The article was submitted 10.04.2023; approved after reviewing 15.05.2023; accepted for publication 15.05.2023.